Luận văn ứng dụng của cấp và chỉ số cho số nguyên theo modulo

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Nội dung Chương 1 được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] và một phần
nhỏ trong tài liệu [3]. Các kiến thức ở chương này nhằm chuẩn bị những
kiến thức cơ bản giúp cho việc trình bày chương sau được hệ thống và dễ
theo dõi hơn.
Mục 1.1 sẽ nhắc lại về lý thuyết chia hết trong tập số nguyên; đồng thời
mục này cũng nhắc lại khái niệm hệ số nhị thức và định lý nhị thức.
Mục 1.2 nhắc lại các khái niệm cơ bản về đồng dư thức thức, hệ thặng
dư đầy đủ, định lý Euler, định lý Fermat nhỏ, phương trình đồng dư.

1.1

Lý thuyết chia hết trong tập số nguyên

Trong tập hợp số nguyên Z, các phép tốn cộng, trừ và nhân ln thực
hiện được, tuy nhiên phép chia cho một số nguyên khác 0 không phải
bao giờ cũng thực hiện được, nghĩa là phương trình ax = b, trong đó
a, b ∈ Z; a 6= 0 khơng phải lúc nào cũng có nghiệm trong Z. Trong trường
hợp ax = b có nghiệm trong Z, chúng ta đi đến khái niệm chia hết.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử a, b là hai số nguyên, b 6= 0. Ta nói b chia hết
a hay b là một ước của a và kí hiệu b | a nếu như có một số nguyên q sao
cho a = bq. Khi đó ta cũng nói a chia hết cho b hay a là bội của b và viết
.
a..b.
Khi b khơng chia hết a ta kí hiệu là b - a.
Ví dụ 1.1.2. Trong tập số ngun Z, ta có
(i) −5 chia hết 10 hay 10 chia hết cho −5, vì 10 = (−2).(−5).
5

(ii) 1 và −1 là ước của mọi số nguyên a vì a = 1.a = (−1).(−a).
(iii) 0 là bội của mọi số nguyên b 6= 0 vì 0 = b.0.
Chú ý 1.1.3. Nếu b | a và a 6= 0 thì từ a = bq ta có q 6= 0 do đó |q| ≥ 1
cho nên |a| = |b|.|q| ≥ |b|.
Các tính chất chia hết sẽ được trình bày vắn tắt dưới đây.
(i) Số nguyên a là ước của 1 khi và chỉ khi a = ±1.
(ii) Nếu b | a thì ±b | ±a.
(iii) Nếu a | b và b | a thì a = ±b.
(iv) Nếu b | a1 , b | a2 , . . . , b | an , với b, a1 , a2 , . . . , an ∈ Z thì b | (a1 x1 +
a2 x2 + · · · + an xn ), ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z.
Định lý 1.1.4. Với mỗi cặp số nguyên a, b cho trước (b 6= 0), tồn tại duy
nhất cặp số nguyên q, r thỏa mãn hệ thức

a = bq + r, 0 ≤ r < |b|.
Chứng minh. Sự tồn tại cặp số nguyên q, r: Xét tập hợp M gồm các bội
của b không vượt quá a

M = {bx : x ∈ Z, bx ≤ a}.
Ta thấy −|b|.|a| là một bội của b không vượt quá a nên M 6= ∅. Hơn
nữa, M là một bộ phận của Z và bị chặn trên bởi a do đó trong M có
số lớn nhất, chẳng hạn là bq, q ∈ Z. Vì |b| ≥ 1 nên ba + |b| > bq , do đó
bq + |b| ∈
/ M cũng là bội của b cho nên ta có

bq ≤ a < bq + |b| hay 0 ≤ a − bq < |b|.
Đặt r = a − bq ta được r ∈ Z, a = bq + r và 0 ≤ r < |b|.
Để chứng minh tính duy nhất của cặp q, r ta giả sử có cặp số nguyên
q1 , r1 cùng thỏa mãn hệ thức

a = bq + r, 0 ≤ r < |b|;
a = bq1 + r1 , 0 ≤ r1 < |b|.

6


Từ đây ta có

b(q − q1 ) = −(r − r1 ) và |r − r1 | < |b|.
Khi đó do |b| > 0 và |b||q − q1 | = |r − r1 | < |b| ta được |q − q1 | < 1. Do
đó |q − q1 | = 0 hay q = q1 kéo theo r = r1 .
Định nghĩa 1.1.5. Cho a, b là các số nguyên cho trước, b 6= 0. Khi có
đẳng thức a = bq + r, trong đó q là một số nguyên, 0 ≤ r < |b|, thì ta nói
a chia cho b được thương là q và số dư r. Kí hiệu a ≡ r (mod b).
Chú ý 1.1.6. Trong trường hợp số dư r = 0, ta có a = bq, nghĩa là a chia
hết cho b. Như vậy, phép chia hết là một trường hợp riêng của phép chia
có dư.
Số nguyên d được gọi là một ước chung của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an
nếu d là ước đồng thời của mỗi số nguyên đó.
Một ước chung d của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an sao cho mọi ước chung
của a1 , a2 , . . . , an đều là ước của d được gọi là ước chung lớn nhất (viết
tắt là ƯCLN) của các số đó.
Các số nguyên a1 , a2 , . . . , an được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu như
ƯCLN của các số đó là 1.
Số tự nhiên lớn hơn 1 khơng có ước nào khác ngồi 1 và chính nó được
gọi là số ngun tố.
Chúng ta sẽ nhắc lại định lý cơ bản nhưng không đề cập đến chứng
minh của nó.
Định lý 1.1.7 (Định lý cơ bản). Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích
được thành tích những thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất

nếu khơng kể đến thứ tự của các thừa số.
Nội dung định lý cơ bản đã nói lên vai trò quan trọng của số nguyên tố
trong tập các số tự nhiên: mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều được “cấu tạo”
từ những số nguyên tố bởi phép nhân, mà chúng ta biết số nguyên tố là
những số có ít ước nhất. Từ định lý cơ bản, các nhà toán học đã đi đến
các ứng dụng của nó như: tiêu chuẩn chia hết, ước chung lớn nhất - bội
chung nhỏ nhất. Các ứng dụng của định lý cơ bản đã được đề cập trong
chương trình học đại học, trong luận văn này ta bỏ qua không nhắc lại.
7


Phần cuối của mục này ta nhắc lại khái niệm và tính chất của hệ số nhị
thức.
Định nghĩa 1.1.8. Cho n, r là các số nguyên không âm, hệ số nhị thức


n!
nếu r ≤ n và bằng 0 nếu ngược lại; ta cũng
được kí hiệu là nr = r!(n−r)!
thường kí hiệu hệ số nhị thức bởi Cnr .








n
Từ định nghĩa, ta có n0 = 1 = nn và nr = n−r
.
Định lý 1.1.9 (Đồng nhất thức Pascal). Cho n và r là hai số nguyên

n−1
+
dương, trong đó r ≤ n. Khi đó nr = n−1
r .
r−1
Chứng minh. Ta sẽ biến đổi vế phải và đưa dần dần về vế trái:
!
!
n−1
n−1
(n − 1)!
(n − 1)!
+
=
+
r−1
r
(r − 1)!(n − r)! r!(n − r − 1)!

r(n − 1)!
(n − r)(n − 1)!
+
r(r − 1)!(n − r)! r!(n − r)(n − r − 1)!
r(n − 1)! (n − r)(n − 1)!
=
+
r!(n − r)!
r!(n − r)!
(n − 1)![r + (n − r)]
(n − 1)!n

=
=
r!(n − r)!
r!(n − r)!
!
n!
n
=
=
.
r!(n − r)!
r

=

Định lý sau đây chỉ ra rằng ta có thể sử dụng các hệ số nhị thức để tìm
khai triển của (x + y)n .
Định lý 1.1.10 (Định lý nhị thức). Cho x, y là hai số thực bất kỳ và n là


P
số nguyên không âm. Khi đó (x + y)n = nr=0 nr xn−r y r .
Chứng minh. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Với n = 0, ta có


P
(x + y)0 = 1 và 0r=0 0r x0−r y r = x0 y 0 = 1. Do đó giả thiết đúng với
n = 0. Giả sử định lý đúng với số k ≥ 0 nào đó, tức là
!
k
X
k k−r r

(x + y)k =
x y .
(1.1)
r
r=0

8


Khi đó
"

!
#
k
X
k k−r r
(x + y)k+1 = (x + y)k (x + y) =
x y (x + y) theo công thức 1.1
r
r=0
!
!
k
k
X k
X k
=
xk+1−r y r +
xk−r y r+1

r
r
r=0
r=0
" !
!
# " k−1
!
!
#
k
X
X
k k+1
k k+1−r r
k k−r r+1
k k+1
=
x
+
x
y +
x y
+
y
0
r
r
k
r=1

r=0
!
!
!
!
k
k
X
X
k + 1 k+1
k k+1−r r
k
k + 1 k+1
=
x
+
x
y +
xk+1−r y r +
y
0
r
r
−
1
r
+
1
r=1
r=1

!
"
!
!#
!
k
X
k + 1 k+1
k
k
k + 1 k+1
=
x
+
+
xk+1−r y r +
y
0
r
r
−
1
r
+
1
r=1
!
!
!
k

k + 1 k+1 X k + 1 k+1−r r
k + 1 k+1
=
x
+
x
y +
y
(theo định lý 1.1.9)
0
r
r
+
1
r=1
!
k+1
X k+1
=
xk+1−r y r .
r
r=0
Do vậy theo quy nạp, giả thiết trên đúng với mọi số nguyên n ≥ 0.

1.2

Đồng dư thức và phương trình đồng dư

Đồng dư là một phương pháp có tính chất bổ trợ về mặt kỹ thuật để
giải quyết vẫn đề chia hết trong vành số nguyên. Chúng ta đã biết tập hợp

các số dư trong phép chia các số nguyên cho một số tự nhiên cho trước là
tập hữu hạn phần tử, trong khi tập hợp số nguyên Z là một tập vơ hạn
phần tử. Vì thế ta có thể chuyển việc nghiên cứu trên Z về nghiên cứu
trên một tập hợp hữu hạn.
Định nghĩa 1.2.1. Cho 0 < m ∈ Z và a, b ∈ Z. Ta nói a đồng dư với
b theo modulo m, kí hiệu a ≡ b (mod m), nếu trong các phép chia a và
b cho m ta được cùng một số dư, nghĩa là có các số nguyên q1 , q2 , r với
0 ≤ r < m, sao cho a = mq1 + r và b = mq2 + r.
Chú ý khi a ≡ b (mod m), ta cũng nói a, b đồng dư với nhau theo
9


modulo m). Trong trường hợp không xảy ra a đồng dư với b theo modulo
m ta viết a 6≡ b (mod m).
Ví dụ 1.2.2. Ta có 3 ≡ 10 (mod 7); −25 ≡ 23 (mod 8)
Để thấy được ý nghĩa của đồng dư thức, ta nhắc lại các điều kiện tương
đương với định nghĩa của nó ở định lý sau.
Định lý 1.2.3. Các mệnh đề sau đây là tương đương
(i) a, b đồng dư với nhau theo modulo m;
(ii) m chia hết a − b;
(iii) Tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt.
Từ định nghĩa và định lý trên, chúng ta có thể dễ dàng suy ra các tính
chất của đồng dư thức sau đây:
Chú ý 1.2.4. [(i)] Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập
Z, nghĩa là nó có các tính chất đơn giản như sau:

• ∀a ∈ Z : a ≡ a (mod m);
• ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m);
• ∀a, b, c ∈ Z : a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m).
(ii) Ta có thể cộng, trừ hoặc nhân từng vế của nhiều đồng dư thức theo

cùng một modulo. Cụ thể là

• a1 ≡ b1 (mod m) và a2 ≡ b2 (mod m) ⇒ a1 ± a2 ≡ b1 ± b2 (mod m).
Thật vậy, từ a1 ≡ b1 (mod m) và a2 ≡ b2 (mod m) ta có t1 , t2 ∈ Z sao
cho a1 = b1 + mt1 , a2 = b2 + mt2 . Do đó
a1 ± a2 = b1 ± b2 + m(t1 ± t2 ) ⇒ a1 ± a2 ≡ b1 ± b2

(mod m).

• a1 ≡ b1 (mod m) và a2 ≡ b2 (mod m) ⇒ a1 .a2 ≡ b1 .b2 (mod m). Thật
vậy, a1 a2 = b1 b2 + m(b2 t1 + b1 t2 + mt1 t2 ) ⇒ a1 .a2 ≡ b1 .b2 (mod m).
(iii) a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m), ∀n ∈ N.
(iv) Ta có thể chia hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung của
chúng nguyên tố với modulo.

10


(v) Ta có thể nhân hai vế và modulo của một đồng dư thức với cùng một
số nguyên dương. Nghĩa là

a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod mc), ∀c ∈ Z, c > 0.
Tương tự, ta có thể chia hai vế và modulo của một đồng dư thức cho một
ước chung dương của chúng. Cụ thể là

a ≡ b (mod m), 0 < δ ∈ Z, δ | ƯCLN(a,b,m) ⇒

b
a
≡

δ
δ

(mod

m
).
δ

Ta biết rằng quan hệ đồng dư theo modulo m là một quan hệ tương
đương trong tập số nguyên Z cho nên tồn tại tập thương Z trên quan hệ
tương đương này.
Định nghĩa 1.2.5. Tập thương của Z trên quan hệ đồng dư theo modulo
m gọi là tập các lớp thặng dư modulo m và kí hiệu là Zm .
Mỗi phần tử A của Zm được gọi là một lớp thặng dư modulo m. Với
A ∈ Zm và a ∈ A, ta kí hiệu

a = {x ∈ Z | x ≡ a (mod m)}
thì a = A. Như vậy, mỗi lớp thặng dư A modulo m có dạng a (mod m),
với a là một phần tử tùy ý của A. Phần tử a như thế được gọi là một đại
diện của lớp A và cũng gọi là một thặng dư modulo m. Ta dễ thấy tập hợp
Zm có m phần tử.
Ví dụ 1.2.6. Trong Z8 , lớp thặng dư 1 (mod 8) là

1 = {x ∈ Z : x ≡ 1

(mod 8)} = {. . . − 15, −7, 1, 9, 17, . . .}

Nhận xét 1.2.7. (i) ƯCLN của một lớp thặng dư A với modulo m được
xác định là ƯCLN của một thặng dư tùy ý của lớp đó với modulo m, kí

hiệu ƯCLN(A, m). Nói cách khác ƯCLN(A, m) = ƯCLN(a, m) với a ∈ A.
(ii) Trong Zm , tập hợp các lớp thặng dư nguyên tố với modulo m được kí
hiệu bởi Z∗m . Như vậy
Z∗m = {A ∈ Zm : ƯCLN(A, m) = 1}.
Số các phần tử của tập hợp Z∗m được kí hiệu là ϕ(m) (ta gọi là hàm Euler).
11


Chú ý 1.2.8. Vì vậy, có thể nói ϕ(m) là các số tự nhiên không vượt quá
m − 1 và nguyên tố với m. Ta cũng biết rằng Zm = {1, 2, . . . , m}, nên
Z∗m = {a ∈ Zm : 1 ≤ a ≤ m, ƯCLN(a, m) = 1}.
Ví dụ 1.2.9. Trong Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ta có
ƯCLN(0, 8) = 8, ƯCLN(1, 8) = 1, ƯCLN(2, 8) = 2, ƯCLN(3, 8) = 1,
ƯCLN(4, 8) = 4, ƯCLN(5, 8) = 1, ƯCLN(6, 8) = 2, ƯCLN(7, 8) = 1.
Các lớp nguyên tố với modulo 8 là 1, 3, 5, 7.
Ví dụ 1.2.10. Ta có ϕ(1) = 1, ϕ(5) = 4, ϕ(9) = 6, . . . Tổng quát hơn ta
có ϕ(p) = p − 1 với p là số nguyên tố.
Định nghĩa 1.2.11. Cho 0 < m ∈ N. Tập hợp H gồm những số nguyên
lấy ra ở mỗi lớp thặng dư của Zm một và chỉ một số được gọi là hệ thặng
dư đầy đủ modulo m.
Như vậy, tập hợp H bao gồm những số nguyên là một hệ thặng dư đầy
đủ modulo m khi và chỉ khi

• Các phần tử của H đôi một không đồng dư với nhau theo modulo m;
• Mỗi số nguyên tùy ý đều đồng dư theo modulo m với một số nào đó
thuộc H .
Ví dụ 1.2.12. Với m = 8 ta có {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} là một hệ thặng dư
đầy đủ modulo 8, nó được gọi là hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ nhất.
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 8, hệ này
được gọi là hệ thặng dư đầy đủ giá trị tuyệt đối nhỏ nhất.

Tổng quát hơn, ta có: H = {0, 1, . . . , m − 1} là một hệ thặng dư đầy đủ
modulo m và nóđược gọi là hệ thặng dư đầy đủ không
 âm nhỏ nhất. Với
m−1
m−1 m−1
,−
+ 1, . . . ,
là một hệ thặng dư
m là số lẻ, H = −
2
2
2
đầy đủ modulo m, gọi lànhệ thặng dư đầy đủ giá trị
o tuyệt đối nhỏ nhất.
m
m m
Với m là số chẵn, H = − , − + 1, . . . , − 1 là hệ thặng dư đầy
2
2
2
đủ giá trị tuyệt đối nhỏ nhất.
Định nghĩa 1.2.13. Cho m là một số nguyên dương. Tập hợp K gồm
những số nguyên được lấy ra ở mỗi lớp nguyên tố với modulo m của Z∗m
một và chỉ một số được gọi là một hệ thặng dư thu gọn modulo m.
12


Vậy, một tập hợp K gồm những số nguyên được gọi là một hệ thặng dư
thu gọn modulo m khi và chỉ khi

• Các phần tử thuộc K đơi một khơng đồng dư với nhau theo modulo
m;
• Các phần tử thuộc K nguyên tố với modulo m;
• Mỗi số nguyên tùy ý nguyên tố với modulo m đều đồng dư với một số
nào đó thuộc K .
Ví dụ 1.2.14. Với m = 8 ta có {1, 3, 5, 7} là hệ thặng dư thu gọn không
âm nhỏ nhất và {−3, −1, 1, 3} là hệ thặng dư thu gọn giá trị tuyệt đối
nhỏ nhất.
Nếu m = p là số nguyên tố thì {1,
2, . . . , p − 1} là hệ thặng dư thu gọn
p−1
p−1
, . . . , −2, −1, 1, 2, . . . ,
không âm nhỏ nhất và nếu p > 2 thì −
2
2
là hệ thặng dư thu gọn giá trị tuyệt đối nhỏ nhất.
Định lý 1.2.15 (Định lý Euler). Giả sử 1 < m ∈ N và a ∈ Z thỏa mãn
ƯCLN(a, m) = 1. Khi đó ta có aϕ(m) ≡ 1 (mod m).
Chứng minh. Cho x chạy qua hệ thặng dư thu gọn modulo m không âm
nhỏ nhất {r1 , r2 , . . . , rϕ(m) }. Khi đó, tập hợp {ar1 , ar2 , . . . , arϕ(m) } cũng
là một hệ thặng dư thu gọn modulo m. Gọi s1 , s2 , . . . , sϕ(m) là các thặng
dư không âm nhỏ nhất tương ứng cùng lớp với ar1 , ar2 , . . . , arϕ(m) thì ta
có

ar1 ≡ s1

(mod m),

ar2 ≡ s2

(mod m),

...
arϕ(m) ≡ sϕ(m)

(mod m),

ta sẽ được {s1 , s2 , . . . , sϕ(m) } cũng là hệ thặng dư thu gọn modulo m không
âm nhỏ nhất. Bằng cách nhân vế với vế của ϕ(m) đồng dư trên ta được

aϕ(m) .r1 r2 . . . rϕ(m) ≡ s1 s2 . . . sϕ(m)

(mod m).

Bởi vì {r1 , r2 , . . . , rϕ(m) } và {s1 , s2 , . . . , sϕ(m) } cùng là hệ thặng dư thu gọn
modulo m khơng âm nhỏ nhất nên ta có

r1 r2 . . . rϕ(m) = s1 s2 . . . sϕ(m) ,
13


từ đó

aϕ(m) .r1 r2 . . . rϕ(m) ≡ r1 r2 . . . rϕ(m)

(mod m).

Nhưng tích r1 r2 . . . rϕ(m) nguyên tố với m (vì từng thừa số của nó nguyên tố
với m), nên có thể chia hai vế của đồng dư thức trên đây cho r1 r2 . . . rϕ(m)

ta được
aϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Hệ quả 1.2.16 (Định lý Fermat nhỏ). Cho p là một số nguyên tố và a là
một số nguyên không chia hết cho p. Khi đó ta có ap−1 ≡ 1 (mod p).
Chứng minh. Theo giả thiết ta có ϕ(p) = p − 1 và a nguyên tố với p nên
theo định lý Euler ta được ap−1 ≡ 1 (mod p).
Sử dụng hệ quả trên ta có cơng thức khác của định lý Fermat sau đây.
Định lý 1.2.17. Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên. Khi
đó ta có ap ≡ a (mod p).
Tiếp theo ta nhắc lại những kiến thức cơ bản về phương trình đồng dư.
Định nghĩa 1.2.18. Giả sử g(x), h(x) ∈ Z[x] và 1 < m ∈ N. Khi đó đồng
dư thức g(x) ≡ h(x) (mod m) hoặc f (x) = g(x) − h(x) ≡ 0 (mod m)
được gọi là phương trình đồng dư một ẩn.
Định nghĩa 1.2.19. Cho f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ Z[x].
Nếu với x = x0 ∈ Z thỏa mãn

f (x0 ) ≡ 0

(mod m)

(1.2)

thì ta nói x0 nghiệm đúng của phương trình f (x) ≡ 0 (mod m).
Giải một phương trình đồng dư là tìm tập hợp các giá trị nghiệm đúng
phương trình đồng dư đó. Giả sử g(x), h(x) ∈ Z[x]. Hai phương trình
đồng dư g(x) ≡ 0 (mod m1 ), h(x) ≡ 0 (mod m2 ) tương đương với nhau
nếu như tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình này bằng tập
hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình kia. Khi đó ta viết g(x) ≡ 0
(mod m1 ) ⇔ h(x) ≡ 0 (mod m2 ). Sử dụng các tính chất của đồng dư

thức ta có nhiều phép biến đổi tương đương các phương trình đồng dư.
14


Định nghĩa 1.2.20. Trong phương trình (1.2) nếu an 6≡ 0 (mod m) thì
ta nói rằng n là bậc của phương trình đồng dư (1.2).
Tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình f (x) ≡ 0 (mod m) được
phân chia thành những lớp theo modulo m và được gọi là những nghiệm
của phương trình đó. Định lý sau đây là cơ sở cho việc định nghĩa nghiệm
của một phương trình đồng dư.
Định lý 1.2.21. Nếu x = α nghiệm đúng phương trình (1.2) thì mọi
số nguyên thuộc lớp thặng dư α (mod m) đều nghiệm đúng phương trình
(1.2).
Định nghĩa 1.2.22. Khi số nguyên α nghiệm đúng phương trình (1.2)
thì ta gọi lớp thặng dư α (mod m) là một nghiệm của phương trình (1.2).
Khi α (mod m) là một nghiệm của phương trình (1.2) thì ta cũng có
thể viết x ≡ α (mod m) là một nghiệm của phương trình (1.2).
Vì Zm có m phần tử nên số nghiệm của một phương trình đồng dư theo
modulo m khơng vượt q m. Đối với phương trình bậc 1 ta có kết quả
sau đây.
Định lý 1.2.23. Phương trình đồng dư bậc nhất ax + b ≡ 0 (mod m) có
nghiệm duy nhất nếu (a, m) = 1.

15


Chương 2

Ứng dụng của cấp và chỉ số của số
nguyên

Nội dung của Chương 2 đề cập đến các khái niệm và ứng dụng của cấp
cho số nguyên theo modulo, căn nguyên thủy modulo, chỉ số cho số nguyên
theo modulo. Mục 2.1 sẽ đề cập đến các khái niệm và tính chất cơ bản
về cấp cho số nguyên theo modulo và các ví dụ minh họa. Mục 2.2 trình
bày về khái niệm và tính chất của căn nguyên thủy modulo. Mục 2.3 trình
bày ứng dụng của cấp cho số nguyên theo modulo vào bài tốn kiểm tra
tính ngun tố dựa trên định lý Lucas và các hệ quả của nó. Mục 2.4 trình
bày ứng dụng của cấp cho số nguyên theo modulo vào nhận diện các căn
nguyên thuỷ cho số nguyên tố. Mục 2.5 khảo sát ứng dụng của cấp cho số
nguyên modulo vào bài toán nhận diện các số nguyên có căn ngun thủy.
Mục cuối cùng dành để trình bày về một khái niệm tương tự khái niệm
lơgarit, đó là khái niệm chỉ số cho số nguyên theo modulo đối với một cơ
sở, và xét một vài ứng dụng của nó vào phương trình đồng dư. Nội dung
chi tiết của chương 2 được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [3].

2.1

Khái niệm, ví dụ, tính chất cơ bản về cấp cho số nguyên
theo modulo

Cho m là số nguyên dương cố định, và a là số nguyên dương sao cho
(a, m) = 1. Khi đó theo định lý Euler, tồn tại số mũ dương e sao cho
ae ≡ 1 (mod m) (ở đây e = ϕ(m)). Nhìn chung số ϕ(m) khơng nhất thiết
16


là số mũ nhỏ nhất có tính chất như vậy. Theo tính chất sắp thứ tự tốt của
tập các số nguyên dương, ta luôn chọn được số mũ dương nhỏ nhất có tính
chất đã nêu.
Chẳng hạn, nếu chúng ta tính toán đối với các thặng dư dương a nhỏ

nhất và nguyên tố với modulo 9, tức là 1 ≤ a ≤ 8, (a, 9) = 1. Ta có
ϕ(9) = 6 và a6 ≡ 1 (mod 9). Tìm sẽ cần số mũ nhỏ nhất trong mỗi
trường hợp của a. Để thuận tiện ta sẽ tổng hợp các số mũ dương e nhỏ
nhất sao cho ae ≡ 1 (mod 9) trong bảng 2.1 dưới đây (số mũ nhỏ nhất
ứng với số có ô vuông).
a

a2

a3

a4

a5

a6

1

1

1

1

1

1

2

4

8

7

5

1

4

7

1

4

7

1

5

7

8

4

2

1

7

4

1

7

4

1

8

1

8

1

8

1

Bảng 2.1: Giá trị thặng dư của a theo modulo 9

Khái niệm cấp một số theo modulo m đã được nhà toán học Carl
Friedrich Gauss (1777 − 1855) xuất bản vào năm 1801 trong cuốn sách
“Disquisitiones Arithmeticae”.
Định nghĩa 2.1.1. Cho m, a là các số nguyên dương sao cho (a, m) = 1.
Khi đó số mũ dương e nhỏ nhất sao cho ae ≡ 1 (mod m) được gọi là
cấp của a theo modulo m, kí hiệu bởi ordm a (hoặc ord a, nếu việc bỏ qua
modulo m mà khơng dẫn đến nhầm lẫn).
Theo định nghĩa trên và nhìn vào Bảng 2.1 ta có ord9 1 = 1, ord9 2 =
ord9 5 = 6, ord9 4 = ord9 7 = 3 và ord9 8 = 2.
Ví dụ 2.1.2. Tìm ord13 5 và ord13 7.
Giải. Ta có (5, 13) = 1 = (7, 13). Ta tìm số mũ e nhỏ nhất của 5 và 7 theo
modulo 13 sao cho 5e ≡ 1 (mod 13) và 7e ≡ 1 (mod 13). Ta có

52 ≡ −1

(mod 13),

53 ≡ −5

(mod 13),

17

54 ≡ 1

(mod 13)


Do vậy, ord13 5 = 4. Tương tự ta tính được

72 ≡ −3

(mod 13),

73 ≡ 5

75 ≡ −2

(mod 13),

76 ≡ −1

(mod 13),

77 ≡ 6

(mod 13)

79 ≡ −5

(mod 13),

710 ≡ 4

(mod 13)

78 ≡ 3

(mod 13),

711 ≡ 2

(mod 13),

712 ≡ 1

(mod 13),

74 ≡ −4

(mod 13)

(mod 13).

Do vậy, ord13 7 = 12.
Vậy, để tính ordm a, chúng ta cần tính ak theo modulo m với mọi số
nguyên dương k ≤ ϕ(m). Việc tính toán này tốn khá nhiều thời gian nếu
như các số nguyên dương đã cho có giá trị lớn. Định lý dưới đây giúp chúng
ta loại trừ khá nhiều ứng cử viên để tính ordm a.
Định lý 2.1.3. Cho a, m là số nguyên dương sao cho (a, m) = 1 và
ordm a = e. Khi đó an ≡ 1 (mod m) khi và chỉ khi e | n.
Chứng minh. Giả sử an ≡ 1 (mod m) nhưng e - n, vậy ta có n = qe + r
trong đó 0 ≤ r < e. Khi đó

an =aqe+r = (ae )q .ar
≡1q .ar ≡ ar

(mod m).

Nhưng theo giả thiết an ≡ 1 (mod m) nên ar ≡ 1 (mod m) trong đó
0 ≤ r < e. Vì e là số mũ bé nhất thỏa mãn ae ≡ 1 (mod m) và r < e suy
ra r = 0. Do đó, n = qe và suy ra e | n. Để chứng minh chiều ngược lại,
giả sử e | n. Khi đó n = be với b là số nguyên dương. Do đó

an =abe = (ae )b
≡1b ≡ 1

(mod m).

Hệ quả của Định lý 2.1.3 cung cấp cho ta một công cụ hiệu quả để tính
ordm a.
Hệ quả 2.1.4. Cho a, m là các số nguyên dương sao cho (a, m) = 1. Khi
đó ordm a | ϕ(m). Trong trường hợp đặc biệt, nếu p là một số nguyên tố
và p - a thì ordp a | (p − 1).
18


Chứng minh. Theo định lý Euler, aϕ(m) ≡ 1 (mod m). Do đó theo Định
lý 2.1.3 ta có ordm a | ϕ(m). Đặc biệt, khi p là số nguyên tố, ta có ϕ(p) =
p − 1, nên ordp a | (p − 1).
Hệ quả 2.1.4 đã giới hạn đáng kể số ứng viên cho vị trí số ordm a, cụ thể
nó giới hạn vào tập các ước số của ϕ(m). Do đó, để tính ordm a, ta khơng
cần phải tìm tất cả các lũy thừa k của a trong phạm vi k ≤ ϕ(m), mà ta
chỉ cần quan tâm đến các số mũ dương d của a sao cho d|ϕ(m). Các ví dụ
sau đây sẽ minh họa cho điều này.
Ví dụ 2.1.5. Hãy tìm ord21 5.
Chứng minh. Ta có ϕ(21) = ϕ(3.7) = ϕ(3)ϕ(7) = 2.6 = 12. Các ước số d
của ϕ(21) = 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12, do đó các giá trị ấy cũng là các ứng
viên tiềm năng của ord21 5. Để tìm nó, ta tính tốn 5d modulo 21 ứng với

mỗi d lần lượt là 1, 2, 3, 4, 6, 12 cho đến khi đạt được lũy thừa đó bằng 1:

51 ≡ 5
54 ≡ −5

(mod 21),
(mod 21),

52 ≡ 4

(mod 21),

56 ≡ 1

(mod 21).

53 ≡ −1

(mod 21)

Vậy ord21 5 = 6.
Giả sử ai ≡ aj (mod m). Khi đó có một câu hỏi hợp lý được đặt ra là:
Mối quan hệ giữa i và j là gì? Câu trả lời được trình bày trong hệ quả
dưới đây.
Hệ quả 2.1.6. Cho ordm a = e. Khi đó ai ≡ aj (mod m) khi và chỉ khi
i ≡ j (mod e).
Chứng minh. Giả sử ai ≡ aj (mod m) với i ≥ j . Vì (a, m) = 1, nên
(aj , m) = 1. Do đó phương trình đồng dư aj x ≡ 1 (mod m) có nghiệm,
tức là tồn tại x0 (mod
m) để aj x0 ≡ 1 (mod m). Vì thế ai x0 ≡ aj x0 ≡ 1


ai x ≡ 1 (mod m)
0
(mod m). Do đó
aj x0 ≡ 1 (mod m).
Suy ra aj x0 (ai−j − 1) ≡ 0 (mod m). Tức là m|aj x0 (ai−j − 1). Từ đó với
lưu ý (aj , m) = 1 = (x0 , m), ta suy ra được m|(ai−j − 1). Do đó ai−j ≡ 1
(mod m). Vì thế áp dụng Định lý 2.1.3 ta suy ra e|(i − j), tức là i ≡ j
(mod e).
19


Ngược lại, cho i ≡ j (mod e) với i ≥ j . Khi đó tồn tại k ≥ 0 sao cho
i = j + ke. Do đó

ai = aj+ke = aj .(ae )k
≡ aj .1k
≡ aj

(mod m)

(mod m).

Đó là điều phải chứng minh.
Ví dụ sau minh họa cho kết quả này.
Ví dụ 2.1.7. Xét lại ví dụ 2.1.5, ta có ord21 5 = 6. Ta có thể kiểm
chứng rằng 514 ≡ 52 (mod 21) trong đó 14 ≡ 2 (mod 6). Nhưng 517 6≡ 53
(mod 21) bởi vì 17 6≡ 3 (mod 6).
Giả sử ta đã biết ordm a = e. Khi đó có câu hỏi đặt ra là “liệu có quan
hệ nào giữa ordm (ak ) với e hay khơng?” (trong đó k > 0). Định lý dưới

đây sẽ cho ta biết về mối quan hệ giữa hai số này.
e
Định lý 2.1.8. Cho ordm a = e và 0 < k ∈ Z. Khi đó ordm (ak ) =
.
(e, k)
Chứng minh. Giả sử ordm (ak ) = r và đặt d = (e, k). Khi đó có các số
nguyên dương s, t sao cho e = sd, k = td và (s, t) = 1. Vì

(ak )s = (atd )s = (asd )t = (ae )t ≡ 1t ≡ 1

(mod m),

nên theo Định lý 2.1.3 ta suy ra r | s.
Vì ordm (ak ) = r nên (ak )r = akr ≡ 1 (mod m); nên từ Định lý 2.1.3
ta có e | kr. Vì vậy, e = sd | tdr = kr, suy ra s | tr. Nhưng lưu ý rằng
(s, t) = 1, do vậy s | r.
Do vậy, s | r và r | s nên s = r, nghĩa là
e
e
.
ordm (ak ) = r = s = =
d (e, k)
Ví dụ 2.1.9. Trong Ví dụ 2.1.5, ta thấy rằng ord21 5 = 6. Do đó, theo
6
6
Định lý 2.1.8, ta có ord21 (59 ) =
= = 2. Để kiểm chứng lại kết
(6, 9)
3
quả này, ta tính tốn

52 ≡ 4
59 ≡ −1

(mod 21),
(mod 21),

54 ≡ 16
518 ≡ 1

(mod 21),
(mod 21).

20

58 ≡ 4

(mod 21)


Vì vậy ord21 (59 ) = 2.
Hệ quả 2.1.10. Cho ordm a = e và k là số nguyên dương. Khi đó ordm (ak ) =
e khi và chỉ khi (e, k) = 1.
e
e
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.8, ta có ordm (ak ) =
. Do đó
=e
(e, k)
(e, k)

khi và chỉ khi (e, k) = 1.
Ví dụ 2.1.11. Theo ví dụ 2.1.5 ta có ord21 5 = 6. Suy ra ord21 (511 ) = 6
vì (6, 11) = 1. Ta có thể kiểm chứng trực tiếp kết quả này.

2.2

Khái niệm và tính chất của căn nguyên thủy modulo

Ta nhắc lại, cho a, m là các số nguyên dương sao cho (a, m) = 1. Khi
đó theo Hệ quả 2.1.4, ta có ordm a | ϕ(m); vì vậy cấp lớn nhất của số
nguyên a theo modulo m là ϕ(m). Các trường hợp thặng dư dương nhỏ
nhất như thế là tồn tại, chẳng hạn như ở Ví dụ 2.1.2 ta đã tìm được
ord13 7 = 12 = ϕ(13).
Định nghĩa 2.2.1. Cho α là số nguyên dương sao cho (α, m) = 1. Khi
đó ta nói α là căn nguyên thủy modulo m nếu ordm α = ϕ(m).
Ví dụ sau minh họa cho định nghĩa này.
Ví dụ 2.2.2. Theo Bảng 2.1 ta có ord9 2 = ord9 5 = 6 = ϕ(9), vì vậy cả
2 và 5 đều là các căn nguyên thủy modulo 9.
Trong ví dụ 2.1.2 chúng ta có ord13 7 = 12 = ϕ(13), nên 7 là căn nguyên
thủy modulo 13.
Ví dụ 2.2.2 có thể gây cho người đọc ấn tượng rằng mọi số nguyên dương
bất kỳ đều có căn ngun thủy. Tuy nhiên, điều này khơng chắc đúng. Ví
dụ như khơng có căn ngun thủy modulo 12. Bởi vì ϕ(12) = 4, các số
nguyên dương nhỏ hơn 12 và nguyên tố cùng nhau với 12 lần lượt là 1, 5, 7
và 11. Nhưng ord12 1 = 1; ord12 5 = ord12 7 = ord12 11 = 2. Như vậy ta
khơng có căn ngun thủy modulo 12.
Tiếp theo ta sẽ tập trung nghiên cứu căn nguyên thủy modulo các số
nguyên tố Fermat fn , với n ≥ 0. Rõ ràng, số 2 là một căn nguyên thủy
modulo số Fermat f0 = 3 và f1 = 5 (vì 21 ≡ 2 (mod f0 ), 22 ≡ 1 (mod f0 );
21 ≡ 2 (mod f1 ), 22 ≡ 4 (mod f1 ), 23 ≡ 3 (mod f1 ), 24 ≡ 1 (mod f1 )).

21


Ví dụ sau đây chỉ ra được rằng chỉ có duy nhất các số nguyên tố Fermat
f0 và f1 là nhận 2 là một căn nguyên thủy.
Ví dụ 2.2.3. Chứng minh rằng 2 không là căn nguyên thủy modulo bất
n
kỳ số nguyên tố Fermat fn = 22 + 1 nào với n ≥ 2.
Giải. Ta có
n

22 + 1 = f n ≡ 0

(mod fn )

vì vậy
n

22 ≡ −1

(mod fn ).

Khi đó
n+1

22

n

= (22 )2 ≡ 1

(mod fn ).

Vì thế theo Định lý 2.1.3, ta suy ra ordfn 2 | 2n+1 . Do đó ordfn 2 ≤ 2n+1 .
Mặt khác bằng quy nạp ta có thể chứng minh được rằng n + 1 < 2n với
mọi n ≥ 2 (vì rõ ràng n = 2 thỏa mãn; ta có (n + 1) + 1 < 2n + 1 <=
2n + 2n = 2n+1 ). Vì thế
n

ordfn 2 ≤ 2n+1 < 22 = fn − 1 = ϕ(fn ).
Do đó, số 2 khơng thể là một căn nguyên thủy modulo số nguyên tố Fermat
n
fn = 22 + 1, với n ≥ 2.
Định lý dưới đây đóng vai trị quan trọng trong bài tốn xác định xem
số ngun dương nào thì có căn ngun thủy. Kết quả của định lý này góp
phần nhận diện các số có căn nguyên thủy.
Định lý 2.2.4. Nếu α là một căn nguyên thủy modulo m, thì các thặng
dư dương nhỏ nhất của α, α2 , . . . , αϕ(m) modulo m tạo thành một hoán vị
của ϕ(m) các số nguyên dương ≤ m và nguyên tố cùng nhau với m.
Chứng minh. Để chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng minh hai điều là:
α, α2 , . . . , αϕ(m) là nguyên tố cùng nhau với m; và khơng có hai số nào
trong số chúng là đồng dư với nhau theo modulo m. Ta sẽ thực hiện điều
này sau đây.
Vì (α, m) = 1, nên (αk , m) = 1 với mọi số nguyên dương k . Đặc biệt ta
suy ra các số α, α2 , . . . , αϕ(m) đều nguyên tố cùng nhau với m.
Để chứng minh khơng có hai số nào trong ϕ(m) lũy thừa của α cùng
đồng dư modulo m, ta giả sử tồn tại 1 ≤ i, j ≤ ϕ(m) sao cho αi = αj
22

(mod m), khơng mất tổng qt ta có thể giả thiết i ≤ j . Khi đó theo Hệ
quả 2.1.6, thì i ≡ j (mod ϕ(m)). Nhưng i, j ≤ ϕ(m), nên suy ra i = j .
Vì thế khơng có cặp số phân biệt nào trong các số α, α2 , . . . , αϕ(m) cùng
đồng dư nhau theo modulo m.
Do vậy các thặng dư dương nhỏ nhất của α, α2 , . . . , αϕ(m) modulo m là
một bộ sắp xếp lại của ϕ(m) các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng m
và nguyên tố cùng m.
Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho định lý này.
Ví dụ 2.2.5. Cho m = 18, khi đó có ϕ(18) = 6 các số nguyên dương ≤ 18
và nguyên tố cùng nhau với 18; chúng lần lượt là 1, 5, 7, 11, 13 và 17. Ta
có thể chứng minh được rằng α = 5 là một căn nguyên thủy modulo 18.
Thật vậy, ta tính ϕ(18) = 6 các lũy thừa của 5 là 5, 52 , 53 , 54 , 55 và 56 ;
và lấy modulo 18 lần lượt các số đó ta được các số: 5, 7, 17, 13, 11 và 1:

51 ≡ 5
54 ≡ 13

(mod 18),
(mod 18),

52 ≡ 7
55 ≡ 11

(mod 18),
(mod 18),

53 ≡ 17
56 ≡ 1

(mod 18)

(mod 18).

Rõ ràng chúng là một hoán vị của các số 1, 5, 7, 11, 13 và 17.
Định lý 2.2.4 có một hệ quả rất hữu ích. Nó cho ta biết chính xác số các
căn nguyên thủy modulo m, nếu chúng tồn tại.
Hệ quả 2.2.6. Nếu m có một căn ngun thủy, thì nó có ϕ(ϕ(m)) các
căn ngun thủy modulo m. Đặc biệt, nếu m = p là số nguyên tố thì nó
có ϕ(p − 1) căn ngun thủy modulo p.
Chứng minh. Giả sử α là một căn nguyên thủy modulo m. Khi đó theo
Định lý 2.2.4, các thặng dư dương nhỏ nhất của α, α2 , . . . , αϕ(m) theo
modulo m là các số phân biệt và nguyên tố cùng nhau với m. Theo Hệ quả
2.1.10, ta có ordm (αk ) = ϕ(m) khi và chỉ khi (k, ϕ(m)) = 1, nghĩa là αk
là một căn nguyên thủy modulo m khi và chỉ khi (k, ϕ(m)) = 1. Nhưng
ta biết có ϕ(ϕ(m)) các số nguyên dương ≤ ϕ(m) và nguyên tố cùng nhau
với ϕ(m). Do đó m có ϕ(ϕ(m)) các căn nguyên thủy.
Trường hợp đặc biệt, nếu m = p là số nguyên tố thì ϕ(p) = p − 1. Do
đó ta có ϕ(p − 1) căn nguyên thủy modulo p.
Phần chứng minh của định lý trên đã đưa ra một phương pháp để tìm tất
cả ϕ(ϕ(m)) các căn nguyên thủy modulo m xuất phát từ một căn nguyên
23


thủy α modulo m cho trước. Chúng chính xác là αk với (k, ϕ(m)) = 1,
như được minh họa ở ví dụ dưới đây.
Ví dụ 2.2.7. Cho biết số 5 là một căn nguyên thủy modulo 54, hãy tìm
các căn nguyên thủy còn lại.
Giải. Theo Hệ quả 2.2.6, số 54 có ϕ(ϕ(54)) = ϕ(18) = 6 các căn nguyên
thủy. Chúng được cho dưới dạng 5k trong đó (k, 18) = 1. Các số nguyên
dương k ≤ 18 và nguyên tố cùng nhau với 18 lần lượt là 1, 5, 7, 11, 13, 17;
do đó ta tính các lũy thừa

51 ≡ 5
511 ≡ 29

(mod 54),
(mod 54),

55 ≡ 47

(mod 54),

57 ≡ 41

(mod 54)

513 ≡ 23

(mod 54),

517 ≡ 11

(mod 54).

Do vậy các căn nguyên thủy modulo 18 còn lại lần lượt là 11, 23, 29, 41 và
47.
Ví dụ tiếp theo là áp dụng trường hợp đặc biệt của Hệ quả 2.2.6.
Ví dụ 2.2.8. Tìm tất cả các căn nguyên thủy modulo 19.
Giải. Ta thấy số 2 là một căn nguyên thủy modulo 19. Do đó theo Hệ
quả 2.2.6, ta thấy số nguyên tố 19 có ϕ(18) = 6 căn nguyên thủy 2k , với
(k, 18) = 1 và 0 < k ≤ 18. Vì vậy các số k lần lượt là 1, 5, 7, 11, 13 và

17. Ta tính 2k modulo 19 ứng với các số k nêu trên, thu được các giá trị
thặng dư modulo 19 theo tứ tự tăng dần là 2, 3, 10, 13, 14 và 15. Như vậy
các căn nguyên thủy modulo 19 lần lượt là 2, 3, 10, 13, 14 và 15.

2.3

Cấp cho số nguyên theo modulo và ứng dụng để kiểm tra
tính ngun tố

Ta có thể sử dụng khái niệm cấp cho số nguyên theo modulo để phát
triển các tiêu chuẩn kiểm tra số nguyên tố. Lucas, năm 1876, đã cung cấp
một tiêu chuẩn như vậy; nó dựa trên một thực tế là “một số nguyên dương
n là số nguyên tố khi và chỉ khi ϕ(n) = n − 1” (Thật vậy, nếu n nguyên tố
thì rõ ràng ϕ(n) = n − 1; ngược lại, nếu ϕ(n) = n − 1 thì n > 1 và mọi số
nguyên dương bé hơn n đều nguyên tố cùng nhau với n; suy ra n khơng
chia hết cho bất kì số nguyên dương nào khác 1 và nhỏ hơn n. Chứng tỏ
n là số nguyên tố).
24