TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ NÂNG CAO TL ÔN THI THPTQG

Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chuyên đề 8

TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7+8+9 ĐIỂM
Dạng 1. Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 (CHỨA THAM SỐ)
 Bài tốn tổng qt: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d : y = px + q cắt đồ thị hàm số
(C ) : y = ax3 + bx 2 + cx + d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện)
 Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C ) là: ax3 + bx 2 + cx + d = px + q
Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x = xo để chia Hoocner được:

 x = xo
( x − xo )  (ax 2 + bx + c) = 0  

2


g
(
x
)
=
ax
+
b
x

+
c
=
0

Bước 2. Để d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt  phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác
 g ( x )  0
xo  
 Giải hệ này, tìm được giá trị m  D1.
 g ( xo )  0

Bước 3. Gọi A( xo ; pxo + q), B( x1; px1 + q), C ( x2 ; px2 + q) với x1 , x2 là hai nghiệm của g ( x) = 0.
c
b
và x1 x2 = (1)
a
a
Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1 , x2 (2)

Theo Viét, ta có: x1 + x2 = −

Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá trị
m  D2 .
Kết luận: m  D1  D2 .
Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh
độ lập thành cấp số cộng.
Điều kiện cần:
Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
Khi đó: ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , đồng nhất hệ số ta được x2 = −

b
3a

b
vào phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của
3a
tham số.
Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có
3 nghiệm phân biệt.

Thế x2 = −

O

N
T

H

I.
N

E

T

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh
độ lập thành cấp số nhân.

Điều kiện cần:
Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
U

d
a

d
vào phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị
a
T

Thế x2 = 3 −

A

IL
IE

Khi đó: ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , đồng nhất hệ số ta được x2 = 3 −

Trang 1



Tài Liệu Ôn Thi Group

của tham số.
Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có

3 nghiệm phân biệt.
Câu 1.

(Sở Ninh Bình 2020) Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 2m . Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m
để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm: x 3 - 3mx 2 + 2m = 0 (*)
Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có ba nghiệm lập thành cấp s cng ắ ắđ phng trỡnh cú mt
nghim x 0 = -

b
3a

.

Suy ra phương trình (*) có một nghiệm x = m.
ém = ± 1
.
ëm = 0

Thay x = m vào phương trình (*), ta được m 3 - 3m . m 2 + 2m = 0 Û - 2m 3 + 2m = 0 « êê
Thử lại:
 Với
Do đó
 Với

m = 1,
m= 1

ta được

éx = 1 - 3
ê
x - 3x + 2 = 0 « êêx = 1
ê
êëx = 1 + 3
3

2

.

thỏa mãn.

m = - 1,

ta được

éx = - 1 + 3
ê
x + 3 x - 2 = 0 « êêx = - 1
ê
êëx = - 1 - 3
3

2

.

Do đó m = - 1 thỏa mãn.
 Với m = 0 , ta được x 3 = 0 Û x = 0 .
Do đó m = 0 khơng thỏa mãn.
Vậy m = ± 1 là hai giá trị cần tìm.
(Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x3 - 3x2 + 2 (C )cắt đường
D. m = - 3 .

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng D có phương trình y = 2 x + 1 cắt đồ thị của hàm số
IL
IE

Câu 3.

U

O

N
T

H

I.
N

x3 - 3x 2 + 2 = m( x - 1) (1)
Phương trình (1) Û x3 - 3x 2 - mx + 2 + m = 0 Û ( x - 1)( x 2 - 2 x - m - 2) = 0
éx - 1 = 0
éx = 1
ê
Û ê
Û
êf ( x) = x 2 - 2 x - m - 2 = 0 êf ( x) = x 2 - 2 x - m - 2 = 0 (2)
ë
ë
Phương trình (1) ln có nghiệm x = 1 , vậy để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì
phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.
ìï D ' = 1 + m + 2 > 0 ìïï m > - 3
ùớ
ớ
m> - 3.
ùùợ f (1) ạ 0
ùùợ m ¹ - 3
Vậy m> - 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

T

thẳng d : y = m( x - 1) tại ba điểm phân biệt x1 , x2 , x3 .
A. m> - 2 .
B. m = - 2 .
C. m> - 3 .
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C )và d là

E

Câu 2.

T

A

y = x3 - x + 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A(xA ; y A )và B (xB ; yB )
trong đó xB < xA . Tìm xB + yB ?
Trang 2



Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

B. xB + yB = - 2

A. xB + yB = - 5

D. xB + yB = 7

C. xB + yB = 4
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của D và y = x3 - x + 3 :
éx = - 2 Þ y = - 3
x3 - x + 3 = 2 x + 1 Û x3 - 3x + 2 = 0 Û ê
êëx = 1 Þ y = 3
Vậy A(1;3); B(- 2; - 3) Þ xB + yB = - 5

Câu 4.

(THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 − m3 có đồ thị

( Cm )

và đường thẳng

d : y = m2 x + 2m3 . Biết rằng m1 , m2 ( m1  m2 ) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ
thị ( Cm ) tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x14 + x2 4 + x34 = 83 . Phát biểu nào
sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1 , m2 ?
A. m1 + m2 = 0 .

B. m12 + 2m2  4 .

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của d và ( Cm )

D. m1 − m2 = 0 .

C. m2 2 + 2m1  4 .
Lời giải

x3 + 3mx 2 − m3 = m2 x + 2m3
 x3 + 3mx 2 − m 2 x − 3m3 = 0
 ( x 3 − m 2 x ) + ( 3mx 2 − 3m3 ) = 0

 x ( x 2 − m 2 ) + 3m ( x 2 − m 2 ) = 0
 ( x + 3m ) ( x 2 − m 2 ) = 0

 x = −3m

  x = m
 x = −m
Để đường thẳng d cắt đồ thị ( Cm ) tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3  m  0 .
Khi đó, x14 + x2 4 + x34 = 83  m4 + ( −m ) + ( −3m ) = 83
4

4

 83m4 = 83  m = 1
Vậy m1 = 1, m2 = −1 hay m1 + m2 = 0 .

(THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
số y = x3 − 3x 2 cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt.
A. m ( −; −4 ) .
B. m ( −4;0 ) .
D. m ( −; −4)  ( 0; + ) .

C. m ( 0; + ) .

Lời giải
Chọn B

T

x = 0
Ta có y = x3 − 3x 2  y = 3x 2 − 6 x; y = 0  
x = 2

−

0

+

I.
N

2

+

H

+

0
0
0

N
T

y

−

+
−4

A

−

IL
IE

U

y

O

x

E

Bảng biến thiên:

T

Câu 5.

Trang 3



Tài Liệu Ôn Thi Group

Câu 6.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 cắt đường thẳng y = m tại ba điểm
phân biệt khi −4  m  0
(Mã 123 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx − m +1 cắt đồ thị
hàm số y = x3 − 3x2 + x + 2 tại ba điểm A , B, C phân biệt sao AB = BC
 5

A. m   − ; + 
 4

C. m ¡

B. m  ( −2; + )
D. m  ( −; 0 )   4; + )

Lời giải
Chọn B
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm là:
x 3 − 3x 2 + x + 2 = mx − m + 1  x 3 − 3x 2 + x − mx + m + 1 = 0

( 1)

x = 1
 ( x − 1) x 2 − 2 x − m − 1 = 0   2
.Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba
x − 2x − m − 1 = 0

(

)

điểm phân biệt thì phương trình x2 − 2x − m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 .Hay
1 + m + 1  0
m  −2

 m  −2 .Với m  −2 thì phương trình ( 1) có ba nghiệm phân

1 − 2 − m − 1  0 m  −2
x + x2
biệt là 1, x1 , x2 ( x1 , x2 là nghiệm của x2 − 2x − m − 1 = 0 ). Mà 1
= 1 suy ra điểm có hồnh
2
độ x=1 ln là trung điểm của hai điểm cịn lại. Nên ln có 3 điểm A,B,C thoả mãn AB = BC
Vậy m  −2 .
Câu 7.

(Sở Cần Thơ - 2019) Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + ( m2 − 2 ) x + 2m2 + 4
cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là
A. m = 2 .

B. m = 1 .

C. m =  3 .
Lời giải

D. m =  2 .

Chọn D
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là B ( 0; 2m 2 + 4 )
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:

 x = −2
x 3 + ( m 2 − 2 ) x + 2m 2 + 4 = 0  ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + m 2 + 2 ) = 0  
2
2
( x − 1) + m + 1 = 0

( vn )

Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là A ( −2;0) .
1
1
Diện tích tam giác ABC là: S = OA.OB = .2. ( 2m 2 + 4 ) = 8  m =  2.
2
2

Câu 8.

(Mã 110 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = − mx cắt đồ thị của
C. m (1: + )

D. m ( −;3)

H

Lời giải

E

B. m ( − : + )

I.
N

A. m ( −; −1)

T

hàm số y = x3 − 3x 2 − m + 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC .

O

N
T

Chọn D
Hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình

T

A

IL
IE

U

x = 1
x3 − 3x 2 − m + 2 = −mx  ( x − 1) ( x 2 − 2 x + m − 2 ) = 0   2
 x − 2x + m − 2 = 0
Đặt nghiệm x2 = 1. Từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành

cấp số cộng.
Trang 4



Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Khi đó phương trình x − 2 x + m − 2 = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng
x1 + x3 = 2 = 2 x2 )
2

Vậy ta chỉ cần  = 1 − ( m − 2)  0  m  3
Câu 9.

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 + 3x 2 − 2 = m
có ba nghiệm phân biệt.
A. m ( 2; + .
B. m ( −; −2 .
C. m ( −2; 2 ) .
D. m −2;2 .
Lời giải
3
2
2
Xét hàm số y = x + 3x − 2 , y = 3x + 6 x .
Lập bảng biến thiên

Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 − 2 = m (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y = x3 + 3x 2 − 2 và đường thẳng y = m .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra PT (*) có 3 nghiệm phân biệt khi −2  m  2 .

Câu 10.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng  có phương trình y = 2 x + 1 cắt đồ thị của hàm số
y = x3 − x + 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A ( xA ; y A ) và B ( xB ; yB )

trong đó xB  xA . Tìm xB + yB ?
A. xB + yB = −5
B. xB + yB = −2

D. xB + yB = 7

C. xB + yB = 4
Lời giải

Chọn C
Hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x3 − x + 3 = 2 x + 1
x = 1
Giải phương trình ta được 
x = 2
Vì xB  xA Vậy xB = 1; yB = 3  xB + yB = 4

U
IL
IE
A

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị:

( C ) : y = 2 x 3 − 3x 2

d : y = 2m + 1

O

N
T

H

I.
N

E

T

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình 2 x3 − 3x 2 = 2m + 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng
3
1
1
5
A. − .
B. − .
C. − .
D. .
2
2

2
2
Lời giải
Xét hàm số: y = 2 x3 − 3x 2  y = 6 x 2 − 6 x  y = 0  x = 0  x = 1 .
Bảng biến thiên:

T

Câu 11.

Trang 5



Tài Liệu Ơn Thi Group

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân
 m = −1
 2m + 1 = −1 
1

 S = −1; −  .

biệt  
1
m = −
2

 2m + 1 = 0


2
 1  −3
Vậy tổng các phần tử của S bằng −1 +  −  =
.
 2 2

Câu 12.

(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
y = − x + 5 cắt đồ thị hàm số
y = x3 + 2mx 2 + 3(m − 1) x + 5 tại 3 điểm phân biệt.


2
m 

3
m 1
m 1

A. 
.
C.  
.
D. 
.
 m  1
m  2
m  2
 m2


Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm chung là: x3 + 2mx 2 + 3(m − 1) x + 5 = − x + 5
x = 0
 x3 + 2mx 2 + (3m − 2) x = 0   2
 x + 2mx + 3m − 2 = 0 (1)

2
 m  3

B.  
.
 m  1
 m2


Đường thẳng y = − x + 5 cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx 2 + 3(m − 1) x + 5 tại 3 điểm phân biệt
 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

m  2
2
m 
2



 = m − 3m + 2  0
3

 m 1


 
 
.
 m  1
2
3m − 2  0

 m2
 m  3

Câu 13.

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị ( C ) như hình
vẽ, đường thẳng d có phương trình y = x − 1 . Biết phương trình f ( x ) = 0 có ba nghiệm
C. −2 .

D. −

5
.
2

E

T

x1  x2  x3 . Giá trị của x1 x3 bằng
7
A. −3 .

B. − .
3

I.
N

Lời giải

Trang 6


N
T
O
U
IL
IE
A
T

 f ( x ) = a ( x + 1)( x −1)( x − 3) + x − 1 ; f ( 0) = 2  a = 1 .

H

 x = −1

+Ta có: f ( x ) = x − 1   x = 1 .
 x = 3
f ( x ) là hàm bậc ba nên f ( x ) − ( x −1) = a ( x + 1)( x − 1)( x − 3)

Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 f ( x ) = ( x + 1)( x −1)( x − 3) + x − 1 .
 x = 1 = x2
+ f ( x) = 0  
.
x
+
1
x
−
3
+
1
=
0
2
(
)(
)
(
)

x1 , x3 là các nghiệm của ( 2) nên ta có x1 x3 = −2 .

thẳng y =
Câu 14.

5
nên từ đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
2

(Chun Lê Thánh Tơng 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m −2018;2019 để
đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3 và đường thẳng y = 3x + 1 có duy nhất một điểm chung?
A. 1 .
B. 2019 .
C. 4038 .
D. 2018 .
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm:
x3 − 3x + 2
x3 − 3mx + 3 = 3x + 1  x3 − 3x + 2 = 3mx  3m =
(1).
x
x3 − 3x + 2
2
2 2 x3 − 2
2

Xét hàm f ( x ) =
; f ( x) = 0  x = 1 .
= x − 3 + ; f ( x ) = 2x − 2 =
x
x
x
x2
Bảng biến thiên.

x
0
1
−
+
f ( x)
0
+
−
−

f ( x)

+

+
−

+
0

Khi đó u cầu bài tốn  m  0 . Mà m nguyên và m −2018;2019 nên có 2018 giá trị thỏa
mãn.
Câu 15.

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x3 − 6mx + 5 = 5m 2 có 3 nghiệm phân biệt
lập thành cấp số cộng khi
A. m = 0 .
B. m = −1 m = 1 .
C. m = 1 .

D. m .
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương: x3 − 6mx + 5 − 5m2 = 0 .
Đặt y = f ( x ) = x3 − 6mx + 5 − 5m2 có f  ( x ) = 3x 2 − 6m ; f  ( x ) = 6 x .
PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt  Hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 f  ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn f ( x1 ) . f ( x2 )  0 .
3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên x2 − x1 = x3 − x2 .

Suy ra, x2 là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của f  ( x ) = 0 .
Cho f  ( x ) = 0  6 x = 0  x = 0 .
Với x = 0 ta có: 5 − 5m2 = 0  m = 1 .
Thử lại:

N
T

H

I.
N

E

T

x = 0
 Với m = 1 thì ta có x3 − 6 x + 5 = 5  x ( x 2 − 6 ) = 0  
x =  6
Với m = −1 thì ta có: x3 + 6 x + 5 = 5  x ( x 2 + 6 ) = 0  x = 0

U

O

Câu 16. Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + 4 và đường thẳng

A

B. 8 .

C. 1 .

T

8 2 với I (1;3) .
A. 3 .

IL
IE

y = x + 4 cắt nhau tại ba điểm phân biệt A ( 0;4) , B , C sao cho diện tích tam giác IBC bằng
D. 5 .
Trang 7



Tài Liệu Ôn Thi Group

Lời giải
Chọn C

+) Gọi đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + 4 là ( Cm ) và đồ thị hàm số y = x + 4 là ( d ) .
+) Phương trình hồnh độ giao điểm của ( Cm ) và ( d ) là

x = 0
x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + 4 = x + 4  x3 + 2mx2 + ( m + 2) x = 0 ()   2
 x + 2mx + m + 2 = 0
2
+) Gọi g ( x ) = x + 2mx + m + 2 .
+) ( d ) cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt  phương trình ( ) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0
  m  −1

m2 − m − 2  0
 g  0



   m  2 ( a )

m + 2  0
 g (0)  0
m  −2

+) x = 0 là hoành độ điểm A , hoành độ điểm B , C là hai nghiệm x1 , x2 của phương trình

g ( x) = 0

+) BC 2 = ( x2 − x1 ) + ( x2 + 4 ) − ( x1 + 4 ) = 2 ( x2 − x1 ) (do B , C thuộc đường thẳng ( d )
2

= 2 ( x2 + x1 ) − 4 x1 x2  = 8 m 2 − m − 2


+) Viết phương trình đường thẳng ( d ) dưới dạng x − y + 4 = 0 , ta có
2

2

(

d ( I , ( d )) =

1− 3 + 4
2

+) SIBC = 8 2 

2

)

= 2.

2
1
1
BC.d ( I , ( d ) ) = 8 2  BC 2 .  d ( I , ( d ) )  = 128
4
2

1
 8 ( m 2 − m − 2 ) .2 = 128
4

1 + 137
m =
2
(thỏa điều kiện ( a ) )
 m 2 − m − 34 = 0  

1 − 137
m =

2
+) Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1 .
Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  −2018;2019 để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3 và
đường thẳng y = 3x + 1 có duy nhất một điểm chung?
A. 1 .
B. 2019 .
C. 4038 .
D. 2018 .
Lời giải
Chọn D
+ Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 3mx + 3 = 3x + 1  3mx = x3 − 3 x + 2 . (1)

T

A

IL

IE

U

O

N
T

H

I.
N

E

T

+ Dễ thấy x = 0 không thỏa.
2
+ (1)  3m = x 2 − 3 + = f ( x ) .
x
2 2 x3 − 2
= 0  x = 1.
+ f  ( x) = 2x − 2 =
x
x2
+ Bảng biến thiên:

Trang 8

Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

+ Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3 và đường thẳng y = 3x + 1 có duy nhất một điểm chung
 3m  0  m  0 .
+ Do m và m  −2018;2019 nên có 2018 giá trị.
Câu 18. Đường thẳng d có phương trình y = x + 4 cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 tại 3
điểm phân biệt A(0; 4) , B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với M (1;3) . Tìm tất
cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. m = 3 .
B. m = 2 hoặc m = 3 .
C. m = −2 hoặc m = −3 . D. m = −2 hoặc m = 3
Lời giải
Chọn A
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
x = 0
x3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 = x + 4  x3 + 2mx 2 + (m + 2) x = 0   2
.
 x + 2mx + (m − 2) = 0 (*)
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân
  m  −1
m 2 − m − 2  0

biệt khác 0  
   m  2 .
m + 2  0

m  −2

Giả sử B ( x1; x1 + 4) ; C ( x2 ; x2 + 4) với x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (*) khi đó

BC = 2( x1 − x2 )2 = 2( x1 + x2 )2 − 8x1.x2 = 8m2 − 8m −16 .

1− 3 + 4
1
1
SMBC = BC.d (M , d ) = .BC.
= 4  BC = 4 2 .
2
2
2
 m = −2
Ta có m2 − m − 6 = 0  
.
m = 3
Đối chiếu điều kiện ta có m = 3 .
(THPT Minh Khai - lần 1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = − x + 5
cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + 3 ( m − 1) x + 5 tại ba điểm phân biệt.


2
 m  3

C.  
.
 m  1
m  2


Lời giải

E

T

m  1
D. 
.
m  2

I.
N

m  1
A. 
.
m  2


2
 m  3

B.  
.
 m  1
m  2


N
T

H

Chọn C
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x3 + 2mx2 + 3 ( m −1) x + 5 = − x + 5

A

IL
IE

U

O

x = 0
 x3 + 2mx 2 + ( 3m − 2 ) x = 0   2
.
x
+
2
mx
+
3
m
−
2
=

0
1
(
)

u cầu bài tốn tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, khác 0 .
T

Câu 19.

Trang 9



Tài Liệu Ôn Thi Group

2


2
m
m 


0 + 2m.0 + 3m − 2  0
3
3


.



 
2
m2
 m  1
 = m − 3m + 2  0

m  2
  m  1

2

Câu 20.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình 2 x3 − 3x 2 = 2m + 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng
3
1
1
5
A. − .
B. − .
C. − .
D. .
2
2
2
2
Lời giải

Chọn B
Xét hàm số: y = 2 x3 − 3x 2  y = 6 x 2 − 6 x  y = 0  x = 0  x = 1 .
Bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị:
( C ) : y = 2 x 3 − 3x 2

d : y = 2m + 1
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân
 m = −1
1
 2m + 1 = −1 

 S = −1; −  .

biệt  
1
m = −
2

 2m + 1 = 0

2
 1  −3
Vậy tổng các phần tử của S bằng −1 +  −  =
.
 2 2
Câu 21. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Giá trị lớn nhất của m để đường thẳng
( d ) : y = x − m + 1 cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2 ( m − 2) x2 + (8 − 5m) x + m − 5 tại 3 điểm phân biệt

có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 = 20 là
A. 3 .

C. 0 .

B. 1 .

3
D. − .
2

Lời giải
Chọn A
Hoành độ giao điểm của đường thẳng ( d ) và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

x3 + 2 ( m − 2) x2 + (8 − 5m) x + m − 5 = x − m + 1

T

A

N
T
O
U

IL
IE

  m  −1

 = ( m − 1)2 + ( m − 3)  0
 m  −1

biệt x1 ; x2 khác 2  
(2).
   m  2  
m

2
4
+
2
m
−
2
.2
−
m
+
3

0

(
)

m  −1


 x + x = − ( 2m − 2 )

Khi đó,  1 2
.

 x1 x2 = −m + 3

H

I.
N

E

T

 x3 = 2
 ( x − 2 )  x 2 + ( 2m − 2 ) x − m + 3 = 0   2
.
x
+
2
m
−
2
x
−
m
+
3
=
0

1
(
)
(
)

Đường thẳng ( d ) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân

Trang 10



Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Theo giả thiết x + x + x = 20  ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + x = 20
2
1

2
2

2

2
3

2
3

m = 3
 ( 2m − 2 ) + 2 ( m − 3) + 4 = 20  2m − 3m − 9 = 0  
(thỏa mãn (2)).
m = − 3

2
2

2

Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 .
Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y = −2 x3 − 3m 2 x 2 + ( m3 + 2m ) x + 2 cắt trục hồnh tại
ba điểm phân biệt có hồnh độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hồnh là nghiệm của phương trình
−2x3 − 3m2 x2 + ( m3 + 2m) x + 2 = 0. (* )
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hồnh độ x1, x2 , x3 .
Khi đó ta có
y = −2( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = −2x3 + 2( x1 + x2 + x3 ) x2 − 2( x1x2 + x2 x3 + x3x1 ) x + 2x1x2 x3.
Đồng nhất thức ta được


3m2
x

+
x
+
x
=
−
 1 2 3
2
2 ( x1 + x2 + x3 ) = −3m2


m3 + 2m

3
−2 ( x1x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = m + 2m   x1x2 + x2 x3 + x3 x1 = −
2


2
x
x
x
=
2
1
2
3

 x1x2 x3 = 1



Vì x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân nên x1x3 = x22.

(1)
( 2)
(3)

( 4)

E

N
T

H

I.
N


 x1 = −2

Với m= 1 phương trình (* ) : −2x3 − 3x2 + 3x + 2 = 0   x2 = 1 (thỏa mãn).

1
 x3 = −

2

−7 − 45

 x1 =
2

3
2
Với m= 2  phương trình (* ) : x + 6x − 6x − 1 = 0   x2 = 1
(thỏa mãn).

 x = −7 + 45
 3
2
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.

T

m = 0
Từ ( 2) và ( 3) : x2 = 1. Thay vào phương trình (* ) rút ra được  m = 1.
 m = 2
Với m= 0  phương trình (* ) : −2x3 + 2 = 0  x = 1 (không thỏa mãn).

U

O

(Kinh Môn - Hải Dương 2019) Tìm m để đồ thị ( C ) của y = x3 − 3x 2 + 4 và đường thẳng

A

IL
IE

y = mx + m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A ( −1;0 ) , B , C sao cho OBC có diện tích bằng 64 .
A. m = 14 .
B. m = 15 .
C. m = 16 .
D. m = 17 .
Lời giải

T

Câu 23.

Trang 11



Tài Liệu Ôn Thi Group

Chọn C

d ( O, BC ) =

m
m2 + 1

( xB − xC ) + ( yb − yc )

BC =

2

(m

2

=

(m

2

+ 1) ( xB − xC )

2

+ 1) ( xB + xC ) − 4 xB xC  = ( m 2 + 1) 4m


1
 S OBC = d ( O, BC ) .BC = m m = 64  m = 16.
2
Cách 2:
Phương trình hồnh độ giao điểm:
=

2

2

 x = −1

x3 − 3x 2 + 4 = mx + m  ( x + 1) ( x 2 − 4 x + 4 − m ) = 0  
2
( x − 2 ) = m ( )
m  0
Để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt phương trình ( ) có 2 nghiệm phân biệt khác −1  
m  9
 x = 2 − m  B 2 − m ;3m − m m
()  
 x = 2 + m  C 2 + m ;3m + m m

(

(
(

)

(

)
)

OB = 2 − m ;3m − m m , OC = 2 + m ;3m + m m
 SOBC =

Câu 24.

)

1

OB, OC  = m m = 64  m = 16.

2

(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = x3 − 8 x 2 + 8 x có đồ thị ( C ) và hàm số y = x 2 + (8 − a) x − b
( với a, b 

) có đồ thị ( P ) . Biết đồ thị hàm số ( C ) cắt ( P ) tại ba điểm có hồnh độ nằm trong

−1;5 . Khi a đạt giá trị nhỏ nhất thì tích ab bằng
A. −729 .

B. 375 .

C. 225 .
Lời giải

D. −384 .

Chọn B
Cách 1:
Phương trình hồnh độ giao điểm là x3 − 8x 2 + 8x = x 2 + (8 − a) x − b  x3 − 9 x 2 + ax + b = 0 (1).

m + n + p = 9

Gọi m, n, p là 3 nghiệm của phương trình (1) ta có mn + np + pm = a
mnp = −b


T

A

Khi đó phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong  −1;5 .

Trang 12


E
I.
N
H
N
T
O
U

IL
IE

(m + 1)(n + 1)( p + 1)  0
mnp + (mn + np + pm) + (m + n + p) + 1  0


(5 − m)(5 − n)(5 − p)  0
−mnp + 5(mn + np + pm) − 25(m + n + p) + 125  0
Cộng vế theo vế của hệ phương trình trên ta
có 6(mn + np + pm) − 24(m + n + p) − 124  0  mn + np + pm  15  a  15.
mnp  −25
Dấu bằng xảy ra khi 

 mnp = −25  b = 25
mnp  −25
Vậy tích ab = 375.
Cách 2: Phương trình hồnh độ giao điểm là
x3 − 8x 2 + 8x = x 2 + (8 − a) x − b  x3 − 9 x 2 + ax + b = 0 (1).

T

Do ( C ) cắt ( P ) tại ba điểm có hồnh độ nằm trong  −1;5 nên


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Đặt f ( x) = x − 9 x + ax + b suy ra f '( x) = 3x − 18x + a . Để phương trình (1) có 3 nghiệm nằm
3

2

2

trong  −1;5 thì f '( x) = 3x 2 − 18x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc

−1;5  a = −3x

2

+ 18 x có hai nghiệm phân biệt thuộc  −1;5 .

Xét hàm số g ( x) = −3x 2 + 18 x suy ra g '( x) = −6 x + 18 , ta có g '( x) = 0  x = 3 .
Bảng biến thiên của y = g ( x)

Từ BBT ta có 15  a  27 suy ra giá trị nhỏ nhất của a bằng 15 khi x = 5 , khi đó b = 25 .
Vậy tích ab = 375.
Câu 25.

(Sở Quảng Trị 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y = −mx + m
cắt đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + m tại 3 điểm phân biêt có hồnh độ x1, x2 , x3 thỏa mãn
−1  x1 + x2 + x3  3 ?.

A. 6 .

B. 5 .

D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn C
( d ) y = −mx + m , (C ) y = x3 + mx2 + m .

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( d ) và ( C ) : x3 + mx2 + mx = 0 (1) .

x = 0
 2
 x + mx + m = 0 ( 2)
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ( 2) , x3 = 0 .

(1) có 3 nghiệm phân biệt  ( 2) có 2 nghiệm x , x
1

2

phân biệt và khác 0 .

2

  0,  = m − 4m
 m ( −; 0)  ( 4; + ) .

m

0


(1) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 thỏa −1  x1 + x2 + x3  3 , với x1 + x2 = −m , x3 = 0 .

 −1  −m  3
 −3  m  1, mà m ( −; 0)  ( 4; + ) , m

 m  −2; −1 . Vậy có 2 giá trị m .

(Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + 4 ( Cm ) . Tất cả các giá trị
của tham số m để đường thẳng ( d ) : y = x + 4 cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt A ( 0;4) , B , C sao

B. m =

1 + 137

.
2

C. m =

1  137
.
2

D. m =

U

O

N
T

H

Lời giải
Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( Cm ) và ( d ) là:
A

IL
IE

x3 + 2mx2 + ( m + 3) x + 4 = x + 4 (1)
 x3 + 2mx2 + ( m + 2) x = 0

1 − 137
.
2
E

1 + 137
.
2

I.
N

A. m =

T

cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 với điểm K (1;3) là:

T

Câu 26.

Trang 13



Tài Liệu Ôn Thi Group

 x.  x 2 + 2mx + ( m + 2 )  = 0

x = 0  y = 4
.
 2
 x + 2mx + m + 2 = 0 ( 2 )
( d ) cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt

 (1) có ba nghiệm phân biệt
 ( 2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m  2
m  2
  0
m 2 − m − 2  0  

 2

   m  −1   m  −1 .

0 + 2m.0 + m + 2  0 m + 2  0
m  −2

 m  −2
Khi đó, ( 2) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 tương ứng cũng là hoành độ của B và C .

 B ( x1 ; x1 + 4) và C ( x2 ; x2 + 4) .
 KB = ( x1 − 1; x2 + 1) và KC = ( x2 − 1; x2 + 1) .

 SKBC =

( x1 − 1)( x2 + 1) − ( x2 − 1)( x1 + 1)

Theo đề bài: SKBC

= x1 − x2 .
2
2
= 8 2  x1 − x2 = 8 2  ( x1 − x2 ) = 128  S 2 − 4 P = 128

1  137
(nhận).
2
1  137
Vậy tất cả các giá trị m thỏa đề là m =
.
2
 ( −2m ) − 4 ( m + 2 ) = 128  m =
2

Câu 27.

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để
phương trình x3 − 3x 2 − m3 + 3m2 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của T
bằng
A. 1 .
B. 5 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Ta có x3 − 3x 2 − m3 + 3m2 = 0  x3 − 3x 2 = m3 − 3m2  f ( x) = f (m) (1)
Xét hàm số f ( x) = x3 − 3x 2 .

x = 0
.
f '( x) = 3x 2 − 6 x, f '( x) = 0  
x = 2

T

A

IL
IE

U

O

N
T

H

I.
N

E

T

x = 0
f ( x) = 0  

.
x = 3
x = 2
f ( x) = −4  
.
 x = −1

Trang 14



Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

−1  m  3

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt  −4  f (m)  0 m  0
.
m  2


Suy ra T = 1 . Vậy tổng tất cả các phần tử của T bằng 1.

Cách 2: Ta có x3 − 3x 2 − m3 + 3m 2 = 0  ( x3 − m3 ) − 3 ( x 2 − m 2 ) = 0
 ( x − m )  x 2 + ( m − 3) x + m 2 − 3m  = 0

x = m
 2
2

 x + ( m − 3) x + m − 3m = 0 (*)
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt, khác m

 = ( m − 3)2 − 4 ( m 2 − 3m )  0

( m − 3)( −3m − 3)  0

 2
2
2

m + ( m − 3) m + m − 3m  0
3m − 6m  0
−1  m  3

 m  0
 m = 1 (vì m ).
m  2

Suy ra T = 1 . Vậy tổng tất cả các phần tử của T bằng 1.
Câu 28.

(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho đồ thị hàm số f ( x ) = x3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm

1
1
1
+
+
.

f  ( x1 ) f  ( x2 ) f  ( x3 )
1 1
+ .
C. P = b + c + d .
D. P =
2b c
Lời giải

phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 . Tính giá trị của biểu thức P =
A. P = 3 + 2b + c .

B. P = 0 .

Chọn B
Vì x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình bậc ba f ( x ) = 0  f ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )
Ta có f  ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 ) + ( x − x2 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x3 ) .
 f  ( x1 ) = ( x1 − x2 )( x1 − x3 )

Khi đó:  f  ( x2 ) = ( x2 − x3 )( x2 − x1 )
 
 f ( x3 ) = ( x3 − x1 )( x3 − x2 )

Suy ra P =

1

+

1

+

1

( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x3 )( x2 − x1 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 )
( x − x ) − ( x1 − x3 ) + ( x1 − x2 ) = 0 .
= 2 3
( x1 − x2 )( x1 − x3 )( x2 − x3 )
(Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số bậc ba

y = f ( x ) có đồ thị đi qua điểm

A

IL
IE

U

O

N
T

H

I.
N

E

T

A (1;1) , B ( 2;4) , C (3;9) . Các đường thẳng AB, AC , BC lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm
M , N , P ( M khác A và B , N khác A và C , P khác B và C . Biết rằng tổng các hoành độ
của M , N , P bằng 5, giá trị của f ( 0 ) là
A. −6 .
B. −18 .
C. 18.
D. 6.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thuyết bài toán ta giả sử f ( x ) = a ( x − 1)( x − 2)( x − 3) + x2 ( a  0 )
Ta có: AB : y = 3 x − 2 , AC : y = 4 x − 3 , BC : y = 5 x − 6 .
Khi đó:
T

Câu 29.

.

Trang 15



Tài Liệu Ơn Thi Group

M
Hồnh
độ

của
là
nghiệm
của
phương
trình:
2
a ( xM −1)( xM − 2)( xM − 3) + xM = 3xM − 2  a ( xM − 1)( xM − 2)( xM − 3) + ( xM − 1)( xM − 2) = 0

 a ( xM − 3) + 1 = 0  xM = 3 − .
1
a

Hồnh
độ
của
là
nghiệm
của
phương
trình:
N
2
a ( xN −1)( xN − 2)( xN − 3) + xN = 4 xN − 3  a ( xN −1)( xN − 2)( xN − 3) + ( xN −1)( xN − 3) = 0

 a ( xN − 2) + 1 = 0  xN = 2 −

1
.
a

P

Hồnh
độ
của
là
nghiệm
của
phương
trình:
2
a ( xP −1)( xP − 2)( xP − 3) + xP = 5xP − 6  a ( xP −1)( xP − 2)( xP − 3) + ( xP − 2)( xP − 3) = 0

 a ( xP − 1) + 1 = 0  xP = 1 −

1
.
a

Từ giả thuyết ta có; xM + xN + xP = 5  6 −
Do đó: f ( x ) = 3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) + x 2

3
= 5  a = 3.
a

f ( 0 ) = −18 .
Câu 30.

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x3 − 3x 2 + 2 cắt đường thẳng d : y = m ( x − 1) tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3
thỏa mãn x12 + x22 + x22  5 .
A. m  −3 .
B. m  −2

C. m  −3 .
Lời giải

D. m  −2 .

Chọn D
Phương trình hồnh độ giao điểm:

x3 − 3x2 + 2 = m ( x −1)  x3 − 3x2 − mx + m + 2 = 0

 x1 = 1
.
 ( x − 1) ( x 2 − 2 x − m − 2 ) = 0  
2
 g ( x ) = x − 2 x − ( m + 2 ) = 0 ( *)

Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt
2
  0
m  −3
1 + ( m + 2 )  0


 m  −3 .
khác 1  

 g (1)  0
1 − 2 − m − 2  0
m  −3

Gọi x2 , x3 là hai nghiệm phương trình (*) .

 x2 + x3 = 2
Theo định lý Viét ta có 
.
 x2 .x3 = − ( m + 2 )
Theo bài ta có x12 + x22 + x32  5  1 + x22 + x32  5  x22 + x32  4
 ( x2 + x3 ) − 2 x2 x3  4  4 + 2 ( m + 2)  4  m  −2 .
2

E

I.
N

(Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
y = x3 + 3x 2 − 9 x + 2m + 1 và trục
Ox có đúng hai điểm chung phân biệt. Tính tổng T của các phần tử thuộc tập S
A. T = −10 .
B. T = 10 .
C. T = −12 .
D. T = 12 .
Lời giải
Chọn C
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 2m + 1 và trục Ox là nghiệm của
phương trình : x3 + 3x 2 − 9 x + 2m + 1 = 0  − x3 − 3x 2 + 9 x = 2m + 1 .

T

A

IL
IE

U

O

N
T

H

Câu 31.

T

So sánh với điều kiện ở trên suy ra m  −2 .
Kết luận: m  −2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trang 16



Tài Liệu Ôn Thi Group

Xét hàm số f ( x ) = − x − 3x + 9x .

Tập xác định: D = .
3

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

2

x = 1
.
f  ( x ) = −3x 2 − 6 x + 9, f  ( x ) = 0  −3x 2 − 6 x + 9 = 0  
 x = −3
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 2m + 1 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đường
thẳng y = 2m + 1 cắt đồ thị hàm số f ( x ) = − x3 − 3x2 + 9x tại hai điểm phân biệt.
 2m + 1 = 5
m = 2

 S = −14; 2 .
Từ bảng biến thiên suy ra : 
 2m + 1 = −27
 m = −14
Tổng của các phần tử thuộc tập S là : T = −14 + 2 = −12 .
Dạng 2. Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến (CHỨA THAM SỐ)
Bài toán tổng quát
ax + b
Cho hàm số y =
có đồ thị ( C ) . Tìm tham số m để đường thẳng d : y =  x +  cắt ( C ) tại hai điểm
cx + d
phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K?

Phương pháp giải
Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến)
ax + b
=x+ 
Lập phương trình hồnh độ giao điểm giữa d và ( C ) :
cx + d
d
 g ( x ) =  cx 2 + (  c +  d − a ) x +  d − b = 0, x  − .
c
c  0;   0
d

- Để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt  g ( x ) = 0 có nghiệm nghiệm phân biệt  −    d 
.
g
−

0
c



  c
Giải hệ này, ta sẽ tìm được m  D1 ( i )

-Gọi A ( x1; x1 +  ) , B ( x2 ; y2 +  ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của g ( x ) = 0 Theo Viét:
S = x1 + x2 = −

c +d − a
d −b

; P = x1 x2 =
( ii )
c
c
T

Bước 2.
-Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x1 , x2 ( iii )
I.
N

E

-Thế ( ii ) vào ( iii ) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải nó sẽ tìm được
N
T

H

m  D2 ( )
O

-Từ ( i ) , ()  m  ( D1  D2 ) và kết luận giá trị m cần tìm.

T

A

IL
IE

U

Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng y = kx + p và
ax + b
đồ thị hàm số y =
cx + d
Trang 17



Tài Liệu Ôn Thi Group

Giả sử d : y = kx + p cắt đồ thị hàm số y =

ax + b
tại 2 điểm phân biệt M , N .
cx + d

ax + b
cho ta phương trình có dạng: Ax 2 + Bx + C = 0 thỏa điều kiện cx + d  0 , có
cx + d
 = B 2 − 4 AC . Khi đó:

Với kx + p =

1). M ( x1; kx1 + p), N ( x2 ; kx2 + p)  MN = ( x2 − x1; k ( x2 − x1 ))  MN = (k 2 + 1)


A2

Chú ý: khi min MN thì tồn tại min ,k = const

2). OM 2 + ON 2 = (k 2 + 1)( x12 + x22 ) + ( x1 + x2 )2kp + 2 p 2
3). OM .ON = ( x1. x2 )(1 + k 2 ) + ( x1 + x2 )kp + p2
4). OM = ON  ( x1 + x2 )(1 + k 2 ) + 2kp = 0
Câu 1.

(Sở Ninh Bình 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  −2020;2020 của tham số
2x − 3
tại hai điểm phân biệt?
x −1
C. 4038.
D. 4034.
Lời giải

m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =
B. 4040.

A. 4036.
Chọn A

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng y = x + m và đường cong y =
2x − 3
 ( x + m )( x − 1) = 2 x − 3 ( x  1) .
x −1
 x2 + mx − x − m = 2x − 3  x2 + ( m − 3) x − m + 3 = 0 (*)

2x − 3
x −1

x+m=

Ta có  = ( m − 3) − 4 ( −m + 3) = m 2 − 6m + 9 + 4m − 12 = m 2 − 2m − 3 .
2

Để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =

(*)

2x − 3
tại hai điểm phân biệt thì phương trình
x −1

có hai nghiệm phân biệt khác 1 .

2


 m  −1
  0
 m − 2m − 3  0
.
 2


m

3
1

+
m
−
3
.1
−
m
+
3

0
1

0
l
đ
(
)
(
)





 −2020  m  −1
 m  −1
Theo giả thiết: −2020  m  2020 và 
nên 
.

3  m  2020
m  3

Vì m

và −2020  m  −1, suy ra có

−2 − ( −2020 )
1

+ 1 = 2019 giá trị nguyên m .

2020 − 4
+ 1 = 2017 giá trị nguyên m .
1
Tóm lại có tất cả 2019 + 2017 = 4036 giá trị nguyên của tham số m .
T

I.
N

 m  −3
C. 
.
m  1

D. −3  m  1 .

N
T

 m  −1
B. 
.
m  3

O

biệt khi và chỉ khi
 m  −1
A. 
.
m  3

x −3
tại hai điểm phân
x +1
E

(ĐHQG TPHCM 2019) Đường thẳng y = x + 2m cắt đồ thị hàm số y =

U

Câu 2.

và 3  m  2020 , suy ra có

IL
IE

Lời giải

T

A

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho

Trang 18


H

Vì m


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


x−3
( x + 2m )( x + 1) = x − 3
= x + 2m  
 x 2 + 2mx + 2m + 3 = 0 (*) . (vì khi x = −1 thì
x +1

 x  −1
phương trình trở thành 0 = −4 vơ lí).

Để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai
 m  −1
nghiệm phân biệt. Khi đó m phải thoả mãn (*)  0  m2 − 2m − 3  0  
.
m  3
 m  −1
Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là 
.
m  3

Câu 3.

(Gia Lai 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị
x+ 3
của hàm số y =
ti hai im phõn bit.
x+ 1
A. m ẻ (- Ơ ; + Ơ ).
B. m ẻ (- 1; + Ơ ).
C. m ẻ (- 2;4).
D. m ẻ (- Ơ ; - 2).
Lời giải
Chọn A
x+ 3
Phương trình hồnh độ giao điểm:
= 2 x + m (*), với điều kiện xác định x ¹ - 1.
x+ 1
Biến đổi (*) về thành: 2 x 2 + (m + 1) x + m - 3 = 0 (**) .
Theo yêu cầu đề bài, phương trình (**) cần có hai nghiệm phân biệt khác - 1 , tức là:
ìï D = (m + 1)2 - 4.2.(m - 3)> 0

ïìï m2 - 6m + 25 > 0
ù

m ẻ (- Ơ ; + Ơ ).
ớ
ớ
ùùợ
ùù 2.(- 1)2 + (m + 1).(- 1)+ m - 3 ¹ 0
- 2ạ 0
ùợ

Cõu 4.

Gi A v B l hai im thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y =
đoạn AB ngắn nhất bằng
A. 4 2 .
B. 4 .

x
. Khi đó độ dài
x−2

D. 2 2 .

C. 2 2 .
Lời giải

Chọn B

T

b 
a 
x


có đồ thị ( C ) như hình vẽ. Gọi A  a;
 là hai điểm thuộc
 và B  b;
x−2
 b−2
 a−2
hai nhánh của ( C ) ( a  2  b ) .
N
T

H

I.
N

E

Hàm số y =

U
IL
IE

.

A

4

2

T

Áp dụng BĐT Cơsi ta có: ( b − 2 )( 2 − a )

(b − a )


O


b
a  
b−a

−
Ta có: AB =  b − a;
.
 =  b − a;
b−2 a−2 
( b − 2 )( 2 − a ) 


Trang 19

Tài Liệu Ôn Thi Group

(b − a )
= (b − a ) +
2
( b − 2 )( 2 − a ) 
2

Suy ra: AB

2

2

 (b − a ) +

64

2

(b − a )

2

 16

 AB  4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2 − 2 và b = 2 + 2 .

Vậy ABmin = 4 .
Câu 5.

x
( C ) và đường thẳng d : y = − x + m .
x −1
Gọi S là tập các số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho

(Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk 2019) Cho hàm số y =

tam giác OAB ( O là gốc tọa độ) có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 2 2 . Tổng các phần tử
của S bằng
A. 4 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn A
x
Xét phương trình
= − x + m, (điều kiện x  1 ).
x −1
Phương trình tương đương x 2 − mx + m = 0 (1) .
Đồ thị ( C ) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm phân biệt x  1 điều kiện cần và đủ là m  0  m  4 .
Khi đó hai giao điểm là A( x1; − x1 + m) ; B( x2 ; − x2 + m) .
Ta có OA = m2 − 2m ; OB = m 2 − 2m ; AB = 2(m 2 − 4m) ; d ( O, d ) =

m
2

.

1
1 m
OAOB
. . AB
.
SOAB = . AB.d ( O, d ) = .
. 2(m2 − 4m) =
2
2 2
4R
(m2 − 2m). 2(m2 − 4m)
1 m
2
.
2(m − 4m) =
2 2
4.2 2
 m = 0 (l )
2
 m − 2m = 4 m   m = 6 (n) .
 m = −2 (n)
Vậy tổng các phần từ của S bằng 4 .
Suy ra

Câu 6.

2x −1

( C ) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m
1− x
để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại 2 điểm phân biệt

Đồ thị hàm số y =
A. m  −1.
Chọn D
Hàm số y =

B. −5  m  −1.
2x −1
có tập xác định D =
1− x

C. m  −5 .
Lời giải

D. m  −5 hoặc m  −1 .

\ 1 .
T

2x −1
= x + m ( x  1)
1− x
2

2 x − 1 = x + m − x 2 − mx
 x + ( m + 1) x − ( m + 1) = 0 ( )




x  1
x  1
Đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại 2 điểm phân biệt

T

A

IL
IE

U

O

N
T

H

I.
N

E

Lập phương trình hồnh độ giao điểm:

Trang 20

Tài Liệu Ơn Thi Group

 phương trình ( ) có 2 nghiệm phân biệt x  1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

2


  0
 m + 6m + 5  0
 m  −5 hoặc m  −1 .
 2

1
+
m
+
1
−
m
+
1

0
1


0
t/m
(
)
(
)
(
)





Câu 7.

x+3
có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = x − m , với m là
x +1
tham số thực. Biết rằng đường thẳng d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm
(Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số y =

G ( 2; −2) là trọng tâm của tam giác OAB ( O là gốc toạ độ). Giá trị của m bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. −9 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn A
x+3
−2

Hàm số y =
có y  =
 0 , x  D và đường thẳng d : y = x − m có hệ số a = 1  0
2
x +1
( x + 1)
nên d luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A ( xA ; y A ) và B ( xB ; yB ) với mọi giá trị của tham số
m.
x+3
= x−m
Phương trình hồnh độ giao điểm của d và ( C ) là:
x +1
 x 2 − mx − m − 3 = 0 ( x  −1) .
Suy ra x A , xB là 2 nghiệm của phương trình x 2 − mx − m − 3 = 0 .
Theo định lí Viet, ta có xA + xB = m .

Mặt khác, G ( 2; −2) là trọng tâm của tam giác OAB nên xA + xB + xO = 3xG

 xA + xB = 6
m=6.
Vậy m = 6 thoả mãn yêu cầu đề bài.

3 x − 2m
với m là tham số. Biết rằng với mọi m  0, đồ
mx + 1
thị hàm số luôn cắt đường thẳng d : y = 3x − 3m tại hai điểm phân biệt A , B. Tích tất cả các giá
trị của m tìm được để đường thẳng d cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích
OAB bằng 2 lần diện tích OCD bằng
4
A. − .

B. −4 .
C. −1 .
D. 0 .
9
Lời giải
Chọn
A.
3 x − 2m
= 3x − 3m  3 x 2 − 3mx − 1 = 0 . (*)
Với m  0 , xét phương trình
mx + 1
Gọi tọa độ các giao điểm của d với đồ thị hàm số đã cho là: A ( x1;3x1 − 3m) , B ( x2 ;3x2 − 3m) .

(Sở Nam Định 2019) Cho hàm số y =

Tọa độ các điểm C , D là C ( m;0 ) và D ( 0; −3m) .
= 2S

OCD



O

N
T

H

OAB

I.
N

1
1
AB.h = 2. CD.h  AB = 2CD  AB 2 = 4CD 2
2
2
2
2
2
2
 ( x1 − x2 ) + 3 ( x1 − x2 ) = 4 m + ( −3m ) 



Theo giả thiết: S

E

T

Gọi h = d(O,d ) thì h là chiều cao của các tam giác OAB và OCD .

 10 ( x1 − x2 ) = 40m 2  ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 4m 2

4
4
2

= 4m 2  m 2 =  m =  .
3
9
3

U
IL
IE

 m2 +

2

A

2

T

Câu 8.

Trang 21



Tài Liệu Ơn Thi Group

4
Vậy tích các giá trị của m là − .
9

Câu 9.

(Gia Lai 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng y = - 3x + m
2x + 1
cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB ( O
x- 1
là gốc tọa độ) thuộc đường thẳng x - 2 y - 2 = 0 ?
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
2x + 1
Phương trình hoành độ giao điểm: - 3 x + m =
(*)
x- 1
Vi iu kin x ạ 1 , (*) ị 3x2 - (m + 1)x + m + 1 = 0 (1)
2x + 1
tại hai điểm phân biệt A và B khi và
x- 1
chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 , điều kiện:
ìï (m + 1)2 - 12 (m + 1)> 0
ìï m2 - 10m - 11 > 0
ém < - 1
ï
Û ê
. (**)

Û ïí
í 2
êëm > 11
ùùợ 3 ạ 0
ùù 3.1 - (m + 1).1 + m + 1 ạ 0
ùợ
Khụng mt tớnh tng quỏt, giả sử A(x1 ; - 3x1 + m), B (x2 ; - 3x2 + m) với x1 , x2 là hai nghiệm

Đường thẳng y = - 3x + m cắt đồ thị hàm số y =

phân biệt phương trình (1). Theo Vi-et ta có: x1 + x2 =

m+ 1
.
3

ỉm + 1 m - 1ư÷
;
Gọi M là trung điểm AB , ta cú: M ỗỗỗ
ữ. Gi s G (x ; y ) là trọng tâm tam giác OAB ,
è 6
2 ø÷
ìï
ìï
2 m+ 1
m+ 1
ïï x = .
ïï x =
æm + 1 m - 1ư
2

ï
ï
3 6
9
÷
;
Û í
ta có OG = OM Û ớ
. Vy G ỗỗ
ữ
ữ.
ỗố 9
ùù
ùù
3
2 m- 1
m- 1
3 ứ
ùù y = .
ïï y =
3 2
3
ïỵ
ỵï
m+ 1
m- 1
- 2.
- 2= 0
Mặt khác, điểm G thuộc đường thẳng x - 2 y - 2 = 0 nên ta có:
9

3
11
Û m= (thỏa mãn (**)). Do đó khơng có giá trị ngun dương của m thỏa mãn yêu cầu bài
5
toán.

Câu 10. Giả sử m = -

b
, a, b Ỵ
a

+

,

(a, b)= 1 là giá trị thực của tham số m để đường thẳng

2x + 1
(C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho trọng
x- 1
tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng   x - 2 y - 2 = 0 , với O là gốc toạ độ. Tính a + 2b .
A. 2 .
B. 5 .
C. 11 .
D. 21 .
Lời giải
Chọn D
2x + 1
= - 3x + m , x ¹ 1 .

Phương trình hồnh độ giao điểm:
x- 1
Þ 3x2 - (m + 1)x + m + 1 = 0 (*).
N
T

H

I.
N

E

T

d : y = - 3x + m cắt đồ thị hàm số y =

Trang 22


IL
IE
A

ém + 1 < 0
ém < - 1
ê
Þ ê
.
êëm > 11

êëm + 1 > 12

T

ìï (m + 1)2 - 12 (m + 1)> 0
ï
Þ
í 2
ïï 3.1 - (m + 1).1 + (m + 1)ạ 0
ùợ

U

O

(C ) cắt d tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Suy ra


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Khi đó A(x1; - 3x1 + m), B (x2 ; - 3x2 + m), với x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*) đồng
thời thoả mãn x1 + x2 =

m+ 1
.
3

æm + 1 m Gọi G là trọng tâm của OAB , ta cú G ỗỗ

;
ỗố 9
3

1ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

m+ 1
m- 1
11
. Suy ra
- 2
- 2= 0Þ m= 9
3
5
Vậy a + 2b = 21 .

M G ẻ nờn

ỡùù a = 11
.
ớ
ùùợ b = 5

3x + 2
, (C) và đường thẳng d : y = ax + 2b - 4 . Đường thẳng d cắt ( C ) tại A,
x+ 2

B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó T = a + b bằng
7
5
A. T = 2 .
B. T = .
C. T = 4 .
D. T = .
2
2
Lời giải
Chọn D
3x + 2
= ax + 2b - 4; x ¹ - 2.
Xét phương trình hồnh độ:
x+ 2
Û ax2 + (2a + 2b - 7)x - 10 = 0(*).
Đường thẳng d cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân
ìï a ¹ 0
ïï
2
biệt Û ïí (2a + 2b - 7) - 4a (4b - 10)> 0 (2*)
ùù
ùù 4 ạ 0
ợ
Gi A(x1; ax1 + 2b - 4); B (x2 ; ax2 + 2b - 4) .

Câu 11. Cho hàm số y =

ìï x1 + x2 = 0 ìïï x1 + x2 = 0
Û í

Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên ïí
ïïỵ 4b - 8 = 0
ïïỵ b = 2
7 - 2a - 2b
.
Theo Viét của phương trình (*) ta có x1 + x2 =
a
7 - 2a - 2b
3
Þ
= 0 Û 7 - 2a - 2b = 0 Þ a = .
a
2
ìï
3
ïa=
Thay ïí
2 vào điều kiện (2*) tháy thỏa mãn.
ïï
ïỵ b = 2
7
Vậy a + b = .
2
2x + 1
x- 1
tại hai điểm phân biệt A , B sao cho trọng tâm D OAB thuộc đường thẳng D : x - 2 y - 2 = 0 ,
với O là gốc tọa độ.
11
1
A. m = .

B. m = - .
C. m = 0 .
D. m = - 2 .
5
5
Lời giải
Chọn A
2x + 1
Hoành độ hai điểm A , B là nghiệm của phương trình - 3 x + m =
x- 1
Û (- 3x + m)(x - 1)= 2 x + 1 ( vì x = 1 khơng phải là nghiệm của phương trình).
T

Û 3x2 - (m + 1)x + m + 1 = 0 (*)

A

IL
IE

U

O

N
T

H

I.

N

E

T

Câu 12. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = - 3x + m cắt đồ thị hàm số y =

Trang 23



Tài Liệu Ôn Thi Group

ém < - 1
2
Điều kiện: D > 0 Û (m + 1) - 4.3(m + 1)> 0 Û (m + 1)(m - 11)> 0 Û ê
.
êëm > 11
m+ 1
Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x A , xB thỏa mãn x A + xB =
.
3
Gọi A(xA ; - 3xA + m), B (xB ; - 3xB + m) thì trọng tâm của tam giác

æx + x - 3(xA + xB )+ 2m ữ
ử
ổm + 1 m B
ữ
G ỗỗỗ A

;
hay G ỗỗ
;
ữ
ỗố 9
ữ
ỗố 3
3
3
ø
m+ 1
m- 1
11
.
- 2.
- 2= 0 Û m= GỴ D Û
9
3
5

OAB

là

1ư
÷
÷
÷.
ø

2x
có đồ thị là ( C ) . Tìm tập hợp tất cả các giá trị a để qua điểm M ( 0; a )
x −1
có thể kẻ được đường thẳng cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M .

Câu 13. Cho hàm số y =

A. ( −;0)  ( 2; + ) .

C. ( −;0 ) .

B. ( 3; + ) .

D. ( −; −1  3; + ) .

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M ( 0; a ) có dạng y = kx + a .
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng y = kx + a là:

x  1
2x
x  1
.
 2
= kx + a  
2
x −1

2 x = kx − kx + ax − a

kx + ( a − k − 2 ) x − a = 0 (*)

Ta cần tìm điều kiện của a để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 1 và thỏa
mãn

x1 + x2
= 0  x1 + x2 = 0 .
2

k  0
k  0

2

2
a − k − 2 ) + 4ka  0
(

a
−
k
−
2
+
4
ka

0
(
)



 −2  0
Điều kiện này tương đương với 
2

k .1 + ( a − k − 2 ) .1 − a  0
k + 2 − a = 0
x + x = 0
 1 2
 k
k  0
a − 2  0


 k = a − 2
 k = a − 2
 a  ( −;0)  ( 2; + ) .
4 a − 2 a  0
a  −;0  2; +
)
) (
)
 (
 (
(Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng
2x −1
tại hai điểm phân biệt M , N sao cho MN  10 .
y = x + m cắt đồ thị hàm số y =
x +1

A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định của hàm số: x  −1 .
I.
N

E

T

Câu 14.

O

N
T

H

 x 2 + ( m − 1) x + m + 1 = 0
2x −1
= x+m 
Phương trình hồnh độ giao điểm:
.
x +1
 x  −1

U

2x −1
tại hai điểm phân biệt M , N khi và chỉ khi
x +1
phương trình x2 + ( m − 1) x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1
T

A

IL
IE

Đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =

Trang 24



Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

m  3 − 2 3
 m − 6m − 3  0
  0




(*) .
 x  −1 3  0
 m  3 + 2 3
2

Gọi M ( x1 ; x1 + m) , N ( x2 ; x2 + m ) là tọa độ giao điểm đường thẳng y = x + m và đồ thị hàm số
2x −1
.
y=
x +1
Theo bài cho MN  10  2 ( x2 − x1 )  10  ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2  50
2

2

 x1 + x2 = 1 − m
Áp dụng định lí Viét cho phương trình x2 + ( m − 1) x + m + 1 = 0 ta có: 
.
 x1.x2 = m + 1
Ta có MN  10  ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2  50  m 2 − 6m − 53  3 − 62  m  3 + 62
2

(

) (

)

Kết hợp với (*) thì m  3 − 62 ;3 − 2 3  3 + 2 3 ;3 + 62 .
Các số nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m = 7,8,9,10 .

Câu 15. Cho là đồ thị hàm số y =

2x + 1
. Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + 1 cắt tại hai điểm
x +1

phân biệt A,B sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng khoảng cách từ B đến trục hồnh.
A. 1.

B.

2
5

C. −3 .

D. −2 .

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:

 x  −1(ld)
2x + 1
= kx + 2k + 1   2
.
kx
+
3
k
−

1
x
+
2
k
=
0
1
x +1
(
)
(
)

Ycbt tương đương có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 sao cho kx1 + 2k + 1 = kx2 + 2k + 1

k  0
k  0


2
  = k − 6k + 1  0
 k2 − 6k + 1  0
 k = −3.
k x + x + 4k + 2 = 0 1 − 3k + 4k + 2 = 0  k = −3

 ( 1 2)
(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm điều kiện của m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ
x −3
thị hàm số y =

tại hai điểm phân biệt.
x +1
A. ( −;0  16; + ) B. (16;+ )
C. ( −;0 )
D. ( −;0)  (16; + )
Lời giải
Chọn D

x−3
= mx + 1
x +1
mx 2 + mx + 4 = 0 (*)
 x − 3 = ( mx + 1)( x + 1)


 x  −1
 x  −1

E
I.
N

H

x −3
tại hai điểm phân biệt thì phương trình
x +1
N
T

Để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y =

T

Hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

  0
m2 − 16m  0

có hai nghiệm phân biệt khác −1 hay 

2
m ( −1) + m ( −1) + 4  0
4  0
 m  ( −;0)  (16; + ) .
A

IL
IE

U

O

(*)

T

Câu 16.

Trang 25