Câu 1

SỞ GD&ĐT VĨNH
PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
ĐỀ THI MƠN: TỐN
Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1. Giải hệ phương trình:

Câu 2.

Cho hai đường trịn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và N
là một điểm tùy ý trên đoạn AB (N không trùng với A, B). Một đường thẳng (d)
đi qua B cắt (O1), (O2) tại M1, M2 theo thứ tự đó. Đường thẳng M1N cắt đường
tròn (O2) tại P2, Q2 và đường thẳng M2N cắt đường tròn (O1) tại P1, Q1. Chứng
minh rằng bốn điểm P1, P2, Q1, Q2 cùng nằm trên một đường trịn có tâm O và OB
M1M2.

Câu 3. Tìm tất cả các cặp hai số nguyên (x; y) sao cho:
Câu 4. Cho các số thực

thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Câu 5. Cho số nguyên dương n. Tìm số từ độ dài n lập từ ba chữ cái a, b, c trong đó có
chẵn lần chữ cái a.

---Hết--(Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh ........................................................................ SBD ....................

SỞ GD&ĐT VĨNH
PHÚC


KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN


Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc


Câu
1. + Điều kiện:
(2đ)
của hệ thì

Nội dung

Điểm

. Từ phương trình thứ hai, suy ra nếu

là nghiệm

0.25

+ Hệ đã cho tương đương với

0.25

+ Từ (1) suy ra
+ Nếu

0.25

hoặc
thay vào (2), được

0.25
và do đó
+ Nếu

0.25
thay vào (2), được
0.25
0.25

và do đó

0.25

+ Kết luận nghiệm
2.
(2.5
đ)

Q1

O
Q2

A
N
O1

O2

P2
B

M1

+ Xét phương tích của

P1

đối với hai đường trịn
1

M2

ta được

1


Suy ra

cùng nằm trên một đường tròn, gọi

theo thứ tự

là tâm, bán kính của đường trịn đó.
Ta có:

0.5

+ Từ đó, suy ra

1

Suy ra
3. + Xét đa thức
(2.5
đ)
+ Nếu
thì

+ Suy ra

và do đó

hoặc

+ Mặt khác

khơng có nghiệm

ngun và

khơng có nghiệm

0.5

0.5

ngun. Do đó, phương trình đã cho khơng có nghiệm mà
+ Với

: để ý rằng

, nên

là nghiệm nếu

là nghiệm.
+ Do đó, phương trình khơng có nghiệm với
trình có nghiệm

, suy ra nếu phương

thì

+ Thử trực tiếp, tìm được các nghiệm:
4. + Đặt
(1.5
đ) +
Nếu

và

và

0.25
khi

đó

bất đẳng thức cần chứng minh
đúng
2

0.5
0.5

. Khi đó

thì

0.5


+ Nếu

thì

Chia cả tử và mẫu cho
+ Để ý rằng

và đặt

thì

0.5

, nên cần chứng minh:

+ Ta có
(1)
+ Nếu
+ Với

thì (1) là phương trình bậc nhất, có nghiệm
, do (1) ln có nghiệm

0.25

(2)

nên
0.25

+ Giải bất phương trình này thu được

và

+ Từ (1),(2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
5. Giả sử trong từ độ dài có

(1.5
đ) + Có
cách chọn vị trí cho
cách chọn vị trí cho hai chữ cái
+ Do đó, số từ độ dài , có chứa

(3)
0.25

chữ cái . Thế thì
chữ cái

với mỗi cách đó, có
0.25

.
chữ cái

bằng

0.25

+ Vậy, số từ cần tìm bằng:
S=

0.5

+ Xét khai triển

và tính được

0.5

.

---Hết---

3