12. Bất Phương Trình Mũ - Logarit (Đa-Vdc).Pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.37 MB, 43 trang )
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
Chuyên đề 20
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM
DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Câu 1.
(Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho a là số thực dương, a 1 . Biết bất phương trình
2 log a x x 1 nghiệm đúng với mọi x 0 . Số a thuộc tập hợp nào sau đây?
B. 3;5
A. 7;8
C. 2;3
D. 8;
Lời giải
Chọn A
Ta có: với x 1 thì 2 log a 1 0 1 1
Ta sẽ tìm a để đường thẳng y x 1 nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2 log a x tại điểm
x 1
Có y
2
2
y 1
x lna
ln a
2
x 1
ln a
Vậy để đường thẳng y x 1 nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2 log a x thì
Phương trình tiếp tuyến y
2
1 ln a 2 a e 2
ln a
Thử lại a e 2 ta sẽ chứng minh
2 log e2 x x 1 ln x x 1
f x ln x x 1 0 x 0
1
1 x
1
f x 0 x 1
x
x
Bảng biến thiên
Có f x
Từ bảng biến thiên suy ra f x 0 ln x x 1 x 0
(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho
a
là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn
E
D. 23 .
I.
N
C. 25 .
Lời giải
H
B. 26 .
T
A. 19 .
T
3log3 1 a 3 a 2log2 a . Giá trị của log 2 2017a xấp xỉ bằng:
O
N
Từ giả thiết 3log3 1 a 3 a 2log2 a .
IE
IL
A
Ta được bất phương trình: 3log 3 1 8 x 4 x 6 x 1 8x 4 x 9 x .
U
Đặt log 2 a 3 x a 64 x .
T
Câu 2.
Trang 1
Tài Liệu Ôn Thi Group
x
x
x
1 8 4
1.
9 9 9
x
x
x
1 8 4
Đặt f x .
9 9 9
x
x
x
1 1 8 8 4 4
f x ln ln ln 0 , x .
9 9 9 9 9 9
Vậy f x là hàm số nghịch biến trên . Và ta lại có f 2 1 .
x
x
x
1 8 4
Từ 1 f x f 2 x 2 .
9 9 9
Suy ra a 64 2 4096 mà a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra a 4095 .
Vậy log 2 2017a log 2 2017 4095 22.97764311 23 .
Câu 3.
(Chuyên Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
log 0,02 log 2 3x 1 log 0,02 m có nghiệm với mọi x ;0
A. m 1.
B. 0 m 1.
;m 0.
Đk: x
C. m 1.
Lời giải
D. m 2.
Ta có: log 0,02 log 2 3x 1 log 0,02 m , x ;0 .
log 2 3 x 1 m , x ; 0 .
3x 1 2m , x ;0 .
Xét hàm f x 3x 1 trên ; 0 . Ta có f x 3x.ln 3 0, x ;0 .
Bảng biến thiên:
x
∞
y'
0
+
2
y
1
Để phương trình có nghiệm với mọi x ;0 ta phải có 2m 2 m 1 .
(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để
bất phương trình ln 7 x 2 7 ln mx 2 4 x m nghiệm đúng với mọi x thuộc . Tính S .
C. S 12 .
Lời giải
D. S 35 .
T
B. S 0 .
E
A. S 14 .
I.
N
Câu 4.
T
H
Chọn C
Ta có:
N
7 x 2 7 mx 2 4 x m
7 m x 2 4 x 7 m 0 1
ln 7 x 7 ln mx 4 x m
2
2
mx 4 x m 0
mx 4 x m 0 2
O
2
IE
U
2
Trang 2
A
IL
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x khi và chỉ khi các bất phương trình 1 , 2 đúng với
T
mọi
x.
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Xét 7 m x 2 4 x 7 m 0 1 .
+ Khi m 7 ta có 1 trở thành 4 x 0 x 0 . Do đó m 7 khơng thỏa mãn.
+ Khi m 7 ta có 1 đúng với mọi x
m 7
7 m 0
m 7
m 5 .
2
' 0
m 5 m 9
4 7 m 0
Xét mx 2 4 x m 0 2 .
+ Khi m 0 ta có 2 trở thành 4 x 0 x 0 . Do đó m 0 khơng thỏa mãn.
+ Khi m 0 ta có 2 đúng với mọi x
m 0
m 0
m 0
m 2 .
2
' 0 4 m 0 m 2 m 2
Từ và ta có 2 m 5 . Do m Z nên m 3; 4;5 . Từ đó S 3 4 5 12 .
(Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình
log 2 7 x 2 7 log 2 mx 2 4 x m nghiệm đúng với mọi x .
A. 5
B. 4
C. 0
Lời giải
D. 3
Chọn D
Cách 1:
7 x 2 7 mx 2 4 x m
Bpt: log 2 7 x 2 7 log 2 mx 2 4 x m 2
mx 4 x m 0
f x m 7 x 2 4 x m 7 0
2
g x mx 4 x m 0
f x 0 , x
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x
g x 0 , x
Trường hợp 1: m 7
f x 0
4 x 0
2
7 x 4 x 7 0
g x 0
Vậy m 7 không thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: m 0
7 x 2 4 x 7 0
f x 0
4 x 0
g x 0
I.
N
E
T
Vậy m 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 3: m 0; m 7
IL
IE
U
O
N
T
H
a f 0
m 7 0
m 7
2
m 5 m 9
f x 0, x
f 0
4 m 7 0
Khi đó:
2m5
a
0
g x 0, x
g
m 0
m 0
2
0
m 2 m 2
4 m 0
g
A
Do m nên m 3; 4;5 .
T
Câu 5.
Trang 3
Tài Liệu Ôn Thi Group
Cách 2:
7 x 2 7 mx 2 4 x m
log 2 7 x 7 log 2 mx 4 x m 2
mx 4 x m 0
2
2
7 x 2 4 x 7 m x 2 1
m 7 x 2 4 x m 7 0
2
2
mx 4 x m 0
m x 1 4 x
4 x
4 x
7 x2 4 x 7
m
x 2 1
7 x 2 1 m
m 7 x 2 1
(*)
m 4 x
m 4 x
m 4 x
2
2
2
x 1
x 1
x 1
4 x
Xét hàm số g ( x ) 2
trên .
x 1
4( x 2 1) 4 x ( x 2 1) 4 x 2 4
g '( x)
2
( x 2 1) 2
( x 1) 2
x 1
g '( x) 0
x 1
Bảng biến thiên
m 7 2
Vậy đk (*)
2m5
m 2
Do m nên m 3; 4;5 .
Câu 6.
(Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất
phương trình log 1 x 1 log 1 x3 x m có nghiệm.
A. m 2 .
C. m 2 .
2
2
B. m .
D. Không tồn tại m .
Lời giải
Chọn A
I.
N
E
T
x 1
Điều kiện
.
3
x x m 0
Phương trình tương đương
f x x 3 1 m, x 1 m min f x
Trang 4
IL
A
T
f x 3x 2 0 x 0 1;
IE
1;
Ta có
T
N
O
Khi đó ta có
2
U
2
H
log 1 x 1 log 1 x3 x m x 1 x3 x m x3 1 m
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Bảng biến thiên
Câu 7.
Dựa vào bảng biến thiên và đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn m .
(THPT Chun Thái Bình - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương
trình log 2 x 2 mx m 2 log 2 x 2 2 nghiệm đúng với mọi x .
A. 2 .
B. 4 .
D. 1.
C. 3 .
Lời giải
Chọn D
Ta thấy x 2 2 0 x
Do đó bất phương trình
log 2 x 2 mx m 2 log 2 x2 2 x2 mx m 2 x 2 2 mx m 0 .
Bất phương trình log 2 x 2 mx m 2 log 2 x 2 2 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
mx m 0 x m 0
(Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp
số x; y thỏa mãn log x2 y2 2 4 x 4 y 6 m2 1 và x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 .
A. S 5; 1;1;5 .
B. S 1;1 .
C. S 5;5 .
D. S 7 5; 1;1;5;7 .
Lời giải
Chọn A
y
m
2
I
-3
J
O
-1
1
2
x
Nhận thấy x 2 y 2 2 1 với mọi x, y nên:
E
T
log x2 y2 2 4 x 4 y 6 m2 1 4 x 4 y 6 m 2 x 2 y 2 2
x 2 y 2 4 x 4 y 8 m 2 0 x 2 y 2 m 2 (*).
2
I.
N
2
A
IL
IE
U
O
N
T
H
x 2
Khi m 0 thì (*)
. Cặp 2; 2 khơng là nghiệm của phương trình
y 2
x2 y 2 2 x 4 y 1 0 .
T
Câu 8.
Trang 5
Tài Liệu Ôn Thi Group
Khi m 0 , tập hợp các điểm x; y thỏa mãn (*) là hình trịn tâm J 2; 2 , bán kính là m .
Trường hợp này, yêu cầu bài tốn trở thành tìm m để đường trịn tâm I 1; 2 , bán kính 2 và
hình trịn tâm J 2; 2 , bán kính m có đúng một điểm chung (hình vẽ)
m 1
m 1
Điều này xảy ra khi
(thỏa mãn m 0 ).
m 5
m 5
Vậy S 5; 1;1;5 .
Câu 9.
(Bình Giang-Hải Dương 2019) Xét bất phương trình log 22 2 x 2 m 1 log 2 x 2 0 . Tìm tất
cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng
3
A. m ; 0 .
4
B. m 0; .
C. m ; 0 .
2; .
3
D. m ; .
4
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình log 22 2 x 2 m 1 log 2 x 2 0 log 22 x 2m log 2 x 1 0 1 .
Đặt t log 2 x , vì x
1
2; t ; .
2
Bất phương trình trở thành t 2 2mt 1 0 2mt t 2 1 2m
Đặt f t
1
t 2 1
với t ; .
2
t
Bất phương trình 1 có nghiệm thuộc khoảng
t2 1
2 .
t
2; khi và chỉ khi bất phương trình 2 có
1
nghiệm thuộc khoảng ; .
2
Ta có f t 1
1
1
0 t ; .
2
t
2
E
I.
N
2; khi và chỉ
H
Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng
T
Bảng biến thiên
O
N
T
3
3
khi 2m m .
2
4
IE
U
Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
T
tập hợp S.
A. 2 .
A
IL
m 2 x5 x 4 m x 4 x3 x ln x 1 0 thỏa mãn với mọi x 0 . Tính tổng các giá trị trong
B. 0 .
C. 1.
Trang 6
D. 2 .
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải
Chọn C
Đặt f x m 2 x 5 x 4 m x 4 x3 x ln x 1 . Ta có f x liên tục, có đạo hàm trên
1
.
x
Bất phương trình đã cho viết thành f x 0 . Giả sử y f x có đồ thị là (C).
0;
và f x m 2 5 x 4 4 x 3 m 4 x 3 3 x 2 1
f x 0 với mọi x 0 khi và chỉ khi đồ thị (C) khơng nằm phía dưới trục Ox.
Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A 1; 0 . Nên điều kiện cần để đồ thị (C) khơng nằm phía
dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A 1; 0 .
m 0
2
Suy ra, f ' 1 0 m m
.
m 1
Với m 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành f x x ln x 1 0 .
f x 0 x 1 .
Bảng biến thiên của hàm số f x
Dựa vào bảng biến thiên ta có f x 0, x 0 . Suy ra m 0 thỏa mãn điều kiện.
Với m 1 ta có bất phương trình đã cho trở thành f x x 5 2 x 4 x3 ln x x 1 0 .
4
3
1
5 x5 8 x 4 3x3 x 1 x 1 5 x 3 x 1
f x 5 x 8x 3x 1
x
x
x
4
3
2
2
2
2
3
9
9
Ta có 5 x 3 x 1 2 x 2 x x 2 1 0 .
4
32
32
Suy ra f x 0 x 1 . Bảng biến thiên của hàm số f x như sau
4
3
I.
N
E
T
Dựa vào bảng biến thiên ta có f x 0, x 0 . Suy ra m 1 thỏa mãn điều kiện.
O
N
T
(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình log 7 x 2 2 x 2 1 log 7 x 2 6 x 5 m .
C. 35 .
Lời giải
Chọn A
D. Vô số.
IL
B. 34 .
A
A. 36 .
IE
U
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ?
T
Câu 11.
H
Vậy S 0;1 .
Trang 7
Tài Liệu Ơn Thi Group
Ta có:
log 7 x 2 2 x 2 1 log 7 x 2 6 x 5 m , x 1;3
log 7 7 x 2 14 x 14 log 7 x 2 6 x 5 m , x 1;3
2
x 2 6 x 5 m 0, x 1;3
m x 6 x 5 , x 1;3 1
2
2
6 x 8 x 9 m, x 1;3
6 x 8 x 9 m, x 1;3 2
Xét g x x 2 6 x 5 , x 1;3 , có g x x 3 4 1 3 4 12, x 1;3
2
2
Do đó 1 m 12 .
Xét h x 6 x 2 8 x 9, x 1;3 , có h x 6.12 8.1 9 23, x 1;3 .
Do đó 2 m 23 .
Do m và m 12; 23 nên ta được tập các giá trị của m là 12; 11; 10;...; 23 .
Vậy có tổng cộng 36 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 12.
(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Gọi m0 là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình
x
1 log 2 2 x 2log 2 m 4
2
đúng trong các khẳng định sau
A. m0 9;10 .
2 x 2 x 2 log 2 x 1 có nghiệm. Chọn đáp án
C. m0 10; 9 .
B. m0 8;9 .
D. m0 9; 8 .
Lời giải
Chọn C
1 x 2
1 x 2
+ Điều kiện xác định:
x
x
m 2 4 2 x 2 x 2 0
m 2 4
+ Với điều kiện trên bất phương trình:
x
1 log 2 2 x 2log 2 m 4 2 x 2 x 2 log 2 x 1
2
2 x 2x 2
* .
x
log 2 2 2 x x 1 log 2 m 4 2 x 2 x 2
2
x
2 x 2 x 2 m 4 2 x 2 x 2
2
x
m 2 x 2 x 2 4 2 x 2 x 2 1 .
2
2
+ Ta thấy các nghiệm của 1 trong khoảng 1;2 luôn thỏa mãn * .
T
+ Đặt t 2 x 2 x 2 , t 0 với x 1;2 .
2x 2
2
2 x 2 x 2
I.
N
2 2 x 2x 2
H
1
.
T
2 2x
N
1
O
f x
E
Xét f x 2 x 2 x 2 với x 1;2 .
IE
U
f x 0 2 2 x 2x 2 x 1.
T
A
IL
Bảng biến thiên:
Trang 8
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Suy ra khi x 1;2 thì t
+ Ta có t 2 4 x 2
+ 1 trở thành m
3;3 .
2 x 2 x 2
x
2
2 x 2 x 2
t2 4
.
2
t2 4
4t 2m t 2 8t 4 2 .
2
+ 1 có nghiệm x 1;2 2 có nghiệm t
+ Xét hàm số y g t t 2 8t 4 trên
3;3 .
3;3 .
Bảng biến thiên:
+ Do đó bất phương trình 2 có nghiệm t
Suy ra m0
Câu 13.
3;3 khi và chỉ khi 2m 19 m
19
.
2
19
10; 9 .
2
(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các điểm M x; y trong đó x, y là
các số nguyên thoả mãn điều kiện log x2 y 2 1 2 x 2 y m 1, với m là tham số. Có bao nhiêu số
nguyên m thuộc đoạn 2020; 2019 để tập S có khơng q 5 phần tử?
A. 1.
B. 2020.
C. 2021.
Lời giải
D. 2019.
Chọn C
log x 2 y 2 1 2 x 2 y m 1 2 x 2 y m x 2 y 2 1
x 1 y 1 m 1 Để bất phương trình có 5 phần tử thì
2
2
m 1 2 m 1
Bình
-
Lần
3
-
2020)
Cho
bất
phương
trình
E
Thái
I.
N
(Chuyên
log 7 x 2 x 2 1 log 7 x 6 x 5 m . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
2
H
2
Chọn A
Điều kiện xác định x 2 6 x 5 m 0 .
N
O
U
D. Vô số.
IE
C. 34 .
Lời giải
IL
B. 35 .
A
A. 36 .
T
bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ?
T
Câu 14.
T
Vậy có 2021 số nguyên m thuộc đoạn 2020; 2019 để tập S có khơng q 5 phần tử.
Trang 9
Tài Liệu Ơn Thi Group
Khi đó
log 7 x 2 2 x 2 1 log 7 x 2 6 x 5 m log 7 7 x 2 14 x 14 log 7 x 2 6 x 5 m
7 x 2 14 x 14 x 2 6 x m 5
6 x2 8x 9 m 0 .
2
2
6 x 8 x 9 m 0
6.1 8 9 m 0
Khi đó ycbt 2
12 m 23 .
, x 1;3 2
x 6 x 5 m 0
1 6 5 m 0
Vậy có 36 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.
Câu 15.
(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Xét bất phương trình log 22 2 x 2 m 1 log 2 x 2 0 . Tìm tất
cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng
3
B. m ;0 .
4
A. m 0; .
3
C. m ; .
4
Lời giải
2; .
D. m ;0 .
Điều kiện: x 0
log 22 2 x 2 m 1 log 2 x 2 0
1 log2 x 2 m 1 log2 x 2 0
2
1 .
Đặt t log 2 x .Vì x 2 nên log 2 x log 2 2
1
1
1
. Do đó t ;
2
2
thành 1 t 2 m 1 t 2 0 t 2 2mt 1 0 2
2
1
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc ; .
2
2
Xét bất phương trình (2) có: ' m 1 0, m .
f t t 2 2mt 1 0 có ac 0 nên (2) ln có 2 nghiệm phân biệt t1 0 t2 .
1
1
3
t2 m m 2 1 m .
2
2
4
2
t 1
1
Cách 2: t 2 2mt 1 0 f t
< m t
2t
2
3
Khảo sát hàm số f t trong 0; ta được m ; .
4
Khi đó cần
(Chun
Vinh
-
2018)
Gọi
a
là
số
thực
lớn
nhất
để
bất
phương
trình
x x 2 a ln x x 1 0 nghiệm đúng với mọi x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
2
A. a 2;3 .
B. a 8; .
C. a 6; 7 .
D. a 6; 5 .
T
Câu 16.
I.
N
E
Lời giải
2
H
1 3
3
Đặt t x x 1 x suy ra t
4
2 4
N
T
2
Trang 10
U
IE
IL
A
T
Trường hợp 1: t 1 khi đó a ln t t 1 luôn đúng với mọi a .
3
Trường hợp 2: t 1
4
O
Bất phương trình x 2 x 2 a ln x 2 x 1 0 t a ln t 1 0 a ln t t 1
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
t 1
3
3
Ta có a ln t t 1, t ;1 a
, t ;1
ln t
4
4
1
ln t 1
t 1
t 0, t 3 ;1 do đó
Xét hàm số f t
f t
2
4
ln t
ln t
t 1
7
3
, t ;1 a
3
ln t
4
4 ln
4
Trường hợp 3: t 1
a
t 1
, t 1;
ln t
1
ln t 1
t 1
t , t 1; .
Xét hàm số f t
f t
ln t
ln 2 t
1
1 1
Xét hàm số g t ln t 1 g t 2 0
t
t t
Vậy g t 0 có tối đa một nghiệm.
Ta có a ln t t 1, t 1; a
Vì g 1 2; lim g t vậy g t 0 có duy nhất một nghiệm trên 1;
t
Do đó f t 0 có duy nhất một nghiệm là t0 . Khi đó ln t0
t0 1
suy ra f t0 t0
t0
Bảng biến thiên
t 1
, t 1; a t0 .
ln t
7
Vậy t0 a
.
3
4 ln
4
Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a 6; 7 .
Vậy a
(THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử S a, b là tập nghiệm của bất phương trình
7
.
2
5
.
2
Lời giải
C.
D. 2 .
A
IL
IE
U
O
N
T
x 0
x 0
Điều kiện:
2
2 x 3
6 x x 0
D 0;3 .
5 x 6 x 2 x 3 x 4 log 2 x x 2 x log 2 x 5 5 6 x x 2
E
B.
I.
N
1
.
2
H
A.
T
5 x 6 x 2 x 3 x 4 log 2 x x 2 x log 2 x 5 5 6 x x 2 . Khi đó b a bằng
T
Câu 17.
Trang 11
Tài Liệu Ôn Thi Group
5 x x 6 x x 2 log 2 x x x 1 log 2 x 5 5 6 x x 2
x 1 5 x log 2 x 6 x x 2 x log 2 x 5 0
5 x log 2 x x 1 6 x x 2 0
5 x log 2 x 0
I
2
x 1 6 x x 0
.
5 x log 2 x 0
II
2
x
1
6
x
x
0
Giải hệ (I).
5 x log 2 x 0 1
2
x 1 6 x x 0 2
Giải 1 5 x log 2 x 0 .
5
Xét hàm số f x x log 2 x xg x với x 0;3
x
5
1
0x 0;3 .
Ta có g x 2
x
x ln 2
Lập bảng biến thiên
5
Vậy f x x log 2 x 0x 0;3 .
x
Xét bất phương trình (2):
6 x x 2 x 12
2 x 2 3x 5 0
6 x x x 1
x 1
x 1
2
E
T
x 1
5
5
x x .
2
2
x 1
H
I.
N
5
Vậy nghiệm của hệ I là D ;3 .
2
U
O
N
T
Hệ II vô nghiệm.
T
A
IL
IE
5
Vậy S ,3 .
2
5 1
b a 3 .
2 2
Trang 12
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 18.
(Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho bất phương trình log 7 x 2 2 x 2 1 log 7 x 2 6 x 5 m . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng
1;3 ?
A. 35 .
B. 36 .
C. 34 .
Lời giải
D. 33 .
2
x 2 6 x 5 m 0
m x 6 x 5
bpt
2
2
2
6 x 8 x 9 m
log 7 7 x 2 x 2 log 7 x 6 x 5 m
m max f x
1;3
, với f x x 2 6 x 5 ; g x 6 x 2 8 x 9
m
min
g
x
1;3
Xét sự biến thiên của hai hàm số f x và g x
f x 2 x 6 0, x 1;3 f x luôn nghịch biến trên khoảng 1;3
max f x f 1 12
1;3
g x 12 x 8 0, x 1;3 g x luôn đồng biến trên khoảng 1;3
min g x g 1 23
1;3
Khi đó 12 m 23
Mà m nên m 11; 10; ...; 22
Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(Sở Quảng Nam 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 9;9 của tham số m để bất
phương trình 3log x 2 log m x x 2 1 x 1 x có nghiệm thực?
A. 6 .
B. 7 .
C. 10 .
Lời giải
D. 11.
0 x 1
0 x 1
0 x 1
Điều kiện
1 x 0 .
2
m
x
1
x
0
m x x 1 x 1 x 0
m
x
Bất phương trình đã cho tương đương
log x 3 log m x x 2 1 x 1 x
2
T
1 x
x
E
x
1 x
xx
Áp dụng bất đẳng thức cơ si ta có
2
I.
N
x x 1 x 1 x
.
H
m
T
x x m x x 2 1 x 1 x
N
2
O
x3 m x x 2 1 x 1 x
IE
IL
A
Vì vậy m x 1 x .
U
x
1 x
1 x
x 2 x 2 1 x .
1 x
x
T
Câu 19.
Khảo sát hàm số f x x 1 x trên 0;1 ta được f x 2 1, 414 .
Trang 13
Tài Liệu Ơn Thi Group
Vậy m có thể nhận được các giá trị 2,3, 4, 5, 6, 7,8 .
Câu 20.
(Yên Phong 1 - 2018) Có bao nhiêu số nguyên
2
2
m
sao cho bất phương trình
ln 5 ln x 1 ln mx 4 x m có tập nghiệm là .
A. 3 .
B. 4 .
C. 1.
D. 2 .
Lời giải
Ta có bất phương trình ln 5 ln x 2 1 ln mx 2 4 x m ln 5 x 2 5 ln mx 2 4 x m
5x2 5 4 x
2
2
m
f x
5
x
5
4
x
m
x
1
5 x 5 mx 4 x m
x2 1
.
2
2
4
x
mx 4 x m 0
m
x
1
4
x
m
g x
x2 1
2
2
Hàm số f x có bảng biến thiên:
Hàm số g x có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình có tập nghiệm là khi 2 m 3 .
Vậy có 1 giá trị nguyên của m .
DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ
Câu 1.
(VTED 2019) Cho a 1 . Biết khi a a0 thì bất phương trình x a a x đúng với mọi x 1; .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1 a0 2
B. e a0 e 2
C. 2 a0 3
D. e 2 a0 e3
Lời giải
Chọn C
x a a x a.ln x x.ln a
a
x
ln a ln x
T
x
, x 1;
ln x
ln x 1
f x
ln 2 x
f x 0 x e.
U
O
N
T
H
I.
N
E
Đặt f x
T
A
IL
IE
Bảng biến thiên:
Trang 14
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Bất phương trình nghiệm đúng x 1;
a
e a e.ln a a e.ln a 0
ln a
* Xét hàm số
g x x e.ln x; g x 1
e
xe
x
x
Vậy a e.ln a 0
Theo bảng biến thiên, ta có: a e.ln a 0 a e
I.
N
D. 3 2 2 m 3 2 2 .
Lời giải
H
C. m 0 .
T
B. m 1 .
N
A. Đáp án khác.
E
(Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số sau xác định trên : y 4 x m 1 .2 x m
t2 t
Xét hàm số: f t
với t 0 .
t 1
t2 t
m t 0 .
t 1
IE
t 2 m 1 .t m 0 t 0
IL
t 0 . Khi đó:
A
Đặt t 2 x
U
O
Hàm số y 4 x m 1 .2 x m xác định trên khi và chỉ khi 4 x m 1 .2 x m 0 x .
T
Câu 2.
T
Vậy a a0 e 2;3
Trang 15
Tài Liệu Ơn Thi Group
Ta có: f ' t
t 2 2t 1
t 1
2
khi đó: f ' t 0 t 2 2t 1 0 t 1 2 do t 0 .
Lập bảng biến thiên ta tìm được min f t f 1 2 3 2 2 .
0;
Để bất phương trình
Câu 3.
t2 t
m t 0 thì m 3 2 2 .
t 1
x
x 1
Bất phương trình 4 (m 1)2 m 0 nghiệm đúng với mọi x 0. Tập tất cả các giá trị của m
là
A. ;12 .
B. ; 1 .
C. ;0 .
D. 1;16 .
Lời giải
Chọn B
Đặt t 2x . ĐK: t 1
BPT t 2 2 m 1 t m 0 2t 1 m t 2 2t m
Ta có g ' t
Câu 4.
2t 2 2t 2
2t 1
2
t 2 2t
g t m min g t
2t 1
0, t 1 Min g t g 1 1 m ; 1
(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương
trình 4 x 1 m 2 x 1 0 nghiệm đúng với mọi x .
B. m ; 0 .
A. m ; 0 1; .
C. m 0; .
Bất phương trình 4
D. m 0;1 .
x 1
m 2 1 0 1 .
Lời giải
x
Đặt t 2x , t 0 .
Bất phương trình (1) trở thành:
1 2
t m t 1 0 t 2 4mt 4m 0 2 .
4
Đặt f t t 2 4mt 4m .
Đồ thị hàm số y f t có đồ thị là một Parabol với hệ số a dương, đỉnh I 2 m ; 4 m 2 4 m .
Bất phương trình 1 nghiệm đúng với mọi x Bất phương trình 2 nghiệm đúng với mọi t 0 hay
f t 0, t 0 .
TH1: m 0 f 0 4m 0 m 0 thỏa mãn.
E
I.
N
C. ;0 .
T
D. 1;16 .
IL
m 0, x 0 .
2 m 1 2 x m 0, x 0 (1).
Trang 16
A
2
x 2
T
4 m 1 2
x 1
IE
Lời giải
x
N
B. ; 1 .
A. ;12 .
O
đúng với mọi x 0 . Tập tất cả các giá trị của m là
H
(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Bất phương trình 4 x m 1 2 x 1 m 0 nghiệm
U
Câu 5.
T
TH2: m 0 4 m 2 4 m 0 nên m 0 không thỏa mãn.
Vậy m 0 .
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Đặt t 2 x , t 0 .
(1) trở thành t 2 2 m 1 t m 0, t 1 (2).
Cách 1:
(2) m
t 2 2t
, t 1 (3).
2t 1
Xét hàm số y f t
t 2 2t
. Ta có hàm số y f t liên tục trên 1; .
2t 1
2t 2 2t 1 2 t 2 2t 2t 2 2t 2
0, t 1 .
2
2
2t 1
2t 1
Suy ra hàm số f t đồng biến trên 1; f t f 1 1,
Do đó (3) m min f t m 1 .
1;
f t
t 1 .
Cách 2:
t 2 2 m 1 t m 0 là một bất phương trình bậc hai.
Tam thức bậc hai ở vế trái ln có m 2 m 1 0, m nên tam thức ln có hai nghiệm là
t m 1 m2 m 1 và t m 1 m2 m 1 .
Suy ra bất phương trình t 2 2 m 1 t m 0 có tập nghiệm là
; m 1
m 2 m 1 m 1 m 2 m 1; .
m 0
m 1 .
(2) m 1 m 2 m 1 1 m 2 m 1 m 2
2
m m 1 m
(THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10;10 để
bất phương trình sau nghiệm đúng với x : 6 2 7
A. 10 .
B. 9 .
x
2 m 3 7
C. 12 .
Lời giải
x
m 1 2 x 0
D. 11 .
Ta có:
6 2 7
x
3 7
2 m 3 7
x
x
m 1 2 x 0 2 x 3 7
x
2 m 3 7
x
m 1 2 x
x
3 7
2 m
m 1
2
x
3 7 1
Đặt t 3 7 , t 0
. Bất phương trình đã cho trở thành:
2 t
x
E
I.
N
T
N
A
IL
IE
U
t 3
f t 0
. Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:
t 0
H
t2 t 2
t 2 2t 3
trên khoảng 0; , ta có f t
2
t 1
t 1
O
Xét hàm số f t
T
t2 t 2
1
m.
t 2 m . m 1
t 1
t
T
Câu 6.
Trang 17
Tài Liệu Ôn Thi Group
Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m 1 . Suy ra trong
đoạn 10;10 có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 7.
(THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Tìm m để bất phương trình 2 x 3 x 4 x 5 x 4 mx có
tập nghiệm là .
A. ln120 .
B. ln10 .
C. ln 30 .
D. ln14 .
Lời giải
e x ln a 1
a x 1
lim
+ Với a 1 ta có lim
.ln a ln a .
x 0
x 0
x
x ln a
ax 1
xa x ln a a x 1
.
x 0 , ta có f x
x
x2
Xét hàm số g x xa x ln a a x 1 g x a x ln a xa x ln 2 a a x ln a xa x ln 2 a .
+ Với a 1 xét hàm số f x
Với x 0 ta có g x 0 suy ra g x g 0 g x 0 f x 0, x 0 .
Với x 0 ta có g x 0 suy ra g x g 0 g x 0 f x 0, x 0 .
Do đó hàm số f x
ax 1
a 1 đồng biến trên các khoảng ; 0 và 0; .
x
Trở lại bài tốn:
+ Xét x 0 bất phương trình thỏa mãn.
+ Xét x 0 ta có: 2 x 3x 4 x 5 x 4 mx m
2 x 1 3x 1 4 x 1 5 x 1
h x .
x
x
x
x
Từ nhận xét trên ta có h x đồng biến trên 0; . Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với
m lim h x ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln120 .
x 0
2 x 1 3x 1 4 x 1 5 x 1
h x .
x
x
x
x
Từ nhận xét trên ta có h x đồng biến trên ; 0 . Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với
+ Xét x 0 ta có: 2 x 3x 4 x 5 x 4 mx m
m lim h x ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln120 .
x 0
E
I.
N
(Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có bảng biến thiên như sau:
T
A
IL
IE
U
O
N
T
H
Câu 8.
T
Kết hợp lại ta có m ln120 .
Trang 18
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Bất phương trình f x e x m đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi.
A. m f 1
1
e
B. m f 1
1
e
C. m f 1 e
D. m f 1 e
Lời giải
Chọn B
Ta có f x e x m m f x e x .
Xét hàm số g x f x e x ; g ' x f ' x e x 0x 1;1 .
Suy ra hàm số g x nghịch biến trên 1;1 .
1
Yêu cầu bài toán m max g x g 1 f 1 , chọn C.
e
(Chuyên Sơn La 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như
sau
Bất phương trình f x e x m đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi
2
A. m f 0 1.
B. m f 1 e.
C. m f 0 1.
D. m f 1 e.
Lời giải
f x ex m f x ex m
2
2
Xét hàm số: g x f x e x ; g x f x 2 xe x .
2
2
f x 0
Trên khoảng 1;0 ta có
g x 0, x 1; 0 .
2 x 0
I.
N
E
T
f x 0
Trên khoảng 0;1 ta có
g x 0, x 0;1 .
2 x 0
U
O
N
T
H
f x 0
Tại điểm x 0 ta có
g x 0 .
x2
2
xe
0
A
IL
IE
Suy ra bảng biến thiên của g x :
T
Câu 9.
Trang 19
Tài Liệu Ơn Thi Group
Từ bảng biến thiên ta có: max g x f 0 1.
1;1
Do đó bất phương trình m g x đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi
m max g x f 0 1.
1;1
Câu 10.
(Phú Thọ 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
9.6 f x 4 f 2 x .9 f x m 2 5m .4 f x đúng x là
A. 10
C. 5
B. 4
D. 9
Lời giải
Chọn B
Ta có
9.6 f x 4 f 2 x .9 f x m 2 5m .4 f x
3
4 f 2 x .
2
2 f x
3
9;
2
f x
m 2 5m
1
Từ đồ thị hàm số suy ra f x 2, x
3
9.
2
T
E
I.
N
f x
2
3
9. 4, x .
2
H
2 f x
f x
4, x .
T
3
Suy ra 4 f x .
2
2
3
0, x và 9.
2
N
2 f x
O
3
Do đó 4 f 2 x
2
IE
U
Để 1 có nghiệm đúng x thì 4 m 2 5m 1 m 4 .
A
IL
Do m là số nguyên nên m 1, 2, 3, 4 .
(VTED 2019) Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
T
Câu 11.
Trang 20
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Bất phương trình f x 3.e x 2 m có nghiệm x 2; 2 khi và chỉ khi:
A. m f 2 3
B. m f 2 3e 4
C. m f 2 3e 4
D. m f 2 3
Lời giải
Bất phương trình tương đương với m g x f x 3.e x 2 .
Ta có g x f x 3.e x 2 3 3.e2 2 0, x 2;2 .
Do đó g x g 2 f 2 3.e4 , x 2; 2 .
Vậy m f 2 3.e4 thì phương trình có nghiệm trên khoảng 2; 2 .
(THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên.
f e
.
3e 2019
E
D. m
I.
N
4
2
. C. m
.
3e 2019
1011
Lời giải
H
B. m
T
4
.
1011
N
A. m
T
Bất phương trình f e x m 3e x 2019 có nghiệm x 0;1 khi và chỉ khi
O
U
IE
IL
Ta có: x 0;1 t e x 1; e .
f t
m.
3t 2019
A
Đặt t e x t 0 . Bất phương trình có dạng: f t m 3t 2019
T
Câu 12.
Trang 21
Tài Liệu Ôn Thi Group
Xét hàm g t
f t
3t 2019
có g t
Dựa vào đồ thị hàm số f x , ta
f t 3t 2019 3 f t
3t 2019
thấy: f x đồng
2
.
biến trên khoảng 1;e và f x 0
f x 0
x 1; e
x 1; e .
f x 0
g t 0 t 1; e g t đồng biến trên khoảng 1;e g 1 g t g e t 1; e .
Vậy bất phương trình f e x m 3e x 2019 có nghiệm x 0;1
Bất phương trình
Câu 13.
f t
4
2
m có nghiệm t 1; e m g 1
.
3t 2019
2022
1011
(THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;9 và có
đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Có
16.3
bao
f x
nhiêu
giá
trị
f 2 x 2 f x 8 .4
nguyên
f x
của
m 2 3m .6
B. 31 .
A. 32 .
tham
f x
số
để
m
bất
phương
trình
nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc 1;9 ?
C. 5.
Lời giải
D. 6 .
Dễ thấy 4 f x 2, x 1;9 (1) nên f x 4 . f x 2 0, x 1;9 .
Do đó f 2 x 2 f x 8 0, x 1;9 (2).
Ta có 16.3 f x f 2 x 2 f x 8 .4 f x m 2 3m .6 f x nghiệm đúng với mọi x 1;9
1
16.
2
f x
2
f x 2 f x 8 .
3
2
f x
m 2 3m nghiệm đúng với mọi x 1;9
E
I.
N
H
T
f x
0, x 1; 9 .
N
2
f 2 x 2 f x 8 .
3
f x
4, x 1; 9 .
O
f x
2
1
2
và f 2 x 2 f x 8 .
2
3
U
1
Suy ra 16.
2
f x
IE
1
Từ (1) và (2) ta có
2
T
f x
1 f x
2
min 16. f 2 x 2 f x 8 . m 2 3m (3).
x 1; 9
3
2
IL
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f x 2 x 1 x a 7 a 8 .
T
A
Do đó 4 và (3) 4 m 2 3m 1 m 4 . Vì m nguyên nên m 1;0;1; 2;3; 4 .
Trang 22
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 14.
(Sở Cần Thơ - 2019) Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho bất phương trình
9 x 2 m 1 .3x 3 2m 0 có nghiệm đúng với mọi số thực x là
3
A. m .
2
3
C. m .
2
Lời giải
B. m 2 .
D. m .
Chọn A
Ta có: 9 x 2 m 1 .3x 3 2m 0
3x 2.3x 3 3x 1 .2m
2
3x 1 3 x 3 3 x 1 .2m
3 x 3 2m 3 x 3 2 m
3
Vậy, để 9 x 2 m 1 .3x 3 2m 0, x khi 3 2m 0 m .
2
Câu 15.
(Sở Nam Định - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất
phương trình 3 x 2 3 3 x 2m 0 chứa không quá 9 số nguyên?
A. 3281.
B. 3283.
C. 3280.
Lời giải
D. 3279.
Chọn C
Do m là số nguyên dương nên 2m >1 => log 3 2m 0 .
1
3
2
3 x 2 3 0 3x 2 3 2 x
3x 2m 0 x log 3 2m .
3
tập nghiệm bất phương trình này là ;log3 2m
Lập bảng biến thiên, ta kết luận:
2
Suy ra, log 3 2 m 8 2m 38 m
(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình
9m x 4m x m.5m x có nghiệm?
A. 10 .
B. Vô số.
2
C. 9 .
Lời giải
m2 x
9
2
5
m2 x
4
.
5
m2 x
T
m2 x
E
4
5
6
2
5
I.
N
m 1
H
m2 x
T
4
5
9
5
m2 x
N
m2 x
m.5
m2 x
.
O
9
Có
5
4
m2 x
U
Ta có: 9
m2 x
6
Do đó nếu có x0 là nghiệm của bất phương trình 2
5
m2 x
m
IE
Chọn B
Từ giả thiết, ta chỉ xét m
D. 1.
IL
2
A
2
T
Câu 16.
6561
3280.5 =>
2
Trang 23
Tài Liệu Ơn Thi Group
9
thì x0 cũng là nghiệm của
5
m2 x
4
5
m2 x
m.
6
Ta xét các giá trị m làm cho bất phương trình 2
5
m2 x
6
Vì 2
5
m2 x
6
m
5
m2 x
m 2 có nghiệm.
m
, m
2
m
m
1
m2 x log 6 x 2 log 6 , với m .
m
5 2
5 2
Vậy với m thì bất phương trình 2 có nghiệm tương ứng là x
m
1
log 6 .
2
m
5 2
Suy ra có vơ số giá trị m làm cho bất phương trình 1 có nghiệm.
Câu 17.
x
x 1
(Chun Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Bất phương trình 4 m 1 2 m 0 nghiệm
đúng với mọi x 0 . Tập tất cả cá giá trị của m là
A. ;12 .
B. ; 1 .
C. ; 0 .
D. 1;16 .
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình 4 x m 1 2x1 m 0
1 4x 2 m 1 2 x m 0 .
2
Đặt 2x t bất phương trình trở thành t 2 m 1 t m 0 2 .
Bất phương trình 1 nghiệm đúng với mọi x 0 khi và chỉ khi bất phương trình 2
nghiệm
đúng với mọi t 1 .
2 2t 1 m t 2 2t m
Đặt f t
t 2 2t
với t 1 .
2t 1
f 't
2t 2 2t 2
2t 1
2
t 2 2t
(do t 1 ).
2t 1
0 t 1 .
Bảng biến thiên
E
(THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hàm số f x cos 2 x . Bất phương trình
I.
N
Câu 18.
T
Từ bảng biến thiên ta có f t m t 1; m 1 . Vậy chọn B
T
Xét hàm số f x cos 2 x , TXĐ: R .
Trang 24
O
N
Chọn B
2019
D. m 2 .
U
.
IE
2019
IL
C. m 2
Lời giải
A
2018
B. m 2 .
T
2018
A. m 2 .
H
3
f 2019 x m đúng với mọi x ;
khi và chỉ khi
12 8
Tài Liệu Ôn Thi Group
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
4
Ta có f x 2sin 2 x , f x 22 cos 2 x , f x 23 sin 2 x , f x 24 cos 2 x .
Suy ra f 2016 x 22016 cos 2 x f 2017 x 2 2017 sin 2 x
f 2018 x 2 2018 cos 2 x
f 2019 x 22019 sin 2 x .
1
2
3
3
Vì x ;
hay f 2019 x 22018 , x ;
nên sin 2 x
2
2
12 8
12 8
3
2018
Vậy f 2019 x m đúng với mọi x ;
khi và chỉ khi m 2 .
12
8
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng
biến thiên như sau:
x
Bất phương trình f x 2 m đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi:
A. m f 1 2 .
1
2
C. m f 1 .
B. m f 1 2 .
1
2
D. m f 1 .
Lời giải
Chọn B
f x 2x m , x 1;1 f x 2x m f x 2x m .
x
Xét hàm số g x f x 2 trên 1;1 .
x
Ta có: g x f x 2 .ln 2 .
Ta thấy: x 1;1 thì f x 0 và 2 x. ln 2 0 .
x
Do đó g x f x 2 .ln 2 0 , x 1;1 .
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
T
Bảng biến thiên
A
IL
Từ bảng biến thiên ta có: m g 1 m f 1 2 .
T
Câu 19.
.
Trang 25
