Tóm tắt lý thuyết và bài tập Phép chia các phân thức đại số

PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1. Phân thức nghịch
A
B
là .
đảo của
B
A
- Muốn chia phân thức
đảo của

C
D

A
C
A
cho phân thức
khác 0, ta nhân
với phân thức nghịch
B
D
B

- Ta có:
A C A D
C
≠ 0.
:  . với
B D B C

D

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính
Phương pháp giải: Áp dụng công thức:
A C A D
C
≠ 0.
:  . với
B D B C
D

Chú ý:
- Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức
đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải.
- Ưu tiên tính tốn đối vói biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).
Bài 1: Làm tính chia các phân thức
a)

7 xy 14 x 2 y
:
3x  1 6 x  2

34 x 2 y 3
17 xy
:
b)
2
2

2 xy  2 y 3 x  3
c)

x3  27
:  x2  6 x  9
x3

d)  x 2  2 x  1 :

x2  1
2x  3


Bài 2: Chia các phân thức sau
a)

9 x 2  4 3x  2
:
3x  1 6 x 2  2 x

b)

5 x  15 x  3
:
x2  4 x  2

x3  8
c) 2
:  x2  2x  4
x 4

d)

2x  4x2 4 x2  4x  1
:
x2  x
x 1

Bài 3: Thực hiện phép chia
a)  3 x 2  48  :

2x  8
9x  6

b)  3  6 x  3x 2  :

x2 1
x

c)

x  1 x  2  x  1 x  3
:
:
x  2 x 3
x2  4

d)

x3  1 2
x 1

:  x  x  1 :
x 1
x 1

Bài 4: Làm tính chia
a)

9 x2  6 x  1
12 x  4
: 3
2
2
x  2 xy  4 y 4 x  32 y 3

b)

x 2  3x  2
x2  x
:
x2  x  6 x2  4x  4

x4  y 4
3 x 2 y  3xy 2
c)
:
4x2  4x  1
6  12 x
d)

x 2  4 xy  4 y 2 10 x  20 y

:
2 x 2  2 xy  2 y 2 5 x3  5 y 3

Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế;


Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần
tìm.
x4
x2  5x  4
:
A

x3  3x 2  x  3
 x  2  x  3

Bài 5: Tìm phân thức A , thoả mãn:

12 x 2  18 x 8 x 3  36 x 2  54 x  27
Bài 6: Tìm phân thức B , biết: B.

x3
x2 x
1
 1
8
4 2

Bài 7: Tìm phân thức C , thoả mãn:

Bài 8: Tìm phân thức D, biết:

x6  y 6
x4  x2 y2  y4
:
C

10 x 2  10 xy
5 x 2  10 xy  5 y 2

 x  1

2

 6  x  1  9

3x 2  3x

.D 

x 2  16
3x3  3x

Dạng 3: Bài tốn nâng cao.
Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thức A chia hết cho phân thức B biết:
A

x3  x 2  x  11

x2
; B
.
x2
x2

Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức M 

15
5
:
là số nguyên.
2
16 x  1 4 x  1

HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia các phân thức
a)

7 xy 14 x 2 y
7 xy 6 x  2 7 xy 2.  3 x  1 1
:

.

.
 .
3 x  1 6 x  2 3 x  1 14 x 2 y 3 x  1 14 x 2 y
x

b)

2 3
34 x 2 y 3
17 xy
34 x 2 y 3 3 x  3
34 x 2 y 3 3  x  1 102 x y .  x  1
:

.

.

 3x
2 xy 2  2 y 2 3 x  3 2 xy 2  2 y 2 17 xy 2 y 2  x  1 17 xy
34 xy 3  x  1

 x  3  x 2  3 x  9  1
1
x3  27
x3  33
2
c)
:  x  6x  9 
.
.


2

x3
x  3 x2  6 x  9
x3
 x  3


d)  x 2  2 x  1 :

x 2  3x  9
x 2  3x  9

x2  9
 x  3 x  3

 x  1 2 x  3
x2  1
2x  3
2x  3
2
  x 2  2 x  1 . 2
  x  1 .

2x  3
x 1
x 1
 x  1 x  1


Bài 2: Chia các phân thức sau
3 x   22 6 x 2  2 x  3 x  2  3 x  2  2 x  3 x  1


9 x 2  4 3x  2
a)
:

.

.
 2 x  3x  2 
3x  1 6 x 2  2 x
3x  1
3x  2
3x  1
3x  2
2

b)

5.  x  3
x2
5 x  15 x  3
5


:
.
2
x  4 x  2  x  2  x  2  x  3 x  2

 x  2  x2  2x  4 

1
1
1
x3  8
x3  23
2
c) 2
:  x  2x  4  2
. 2
. 2


2
x 4
x  2 x  2x  4
 x  2  x  2  x  2 x  4 x  2
d)

2 x. 1  2 x  x  1
x 1
2x  4x2 4x2  4x  1 2x  4x2
2
:
. 2
.
 2


2
2

x x
x 1
x  x 4 x  4x 1
x.  x  1  2 x  1
2x  1

Bài 3: Thực hiện phép chia
a)  3 x 2  48  :

3.  3 x  2 
2x  8
9x  6
  3 x 2  48  .
 3.  x 2  16  .
9x  6
2x  8
2.  x  4 
 3.  x  4  x  4  .

b)  3  6 x  3 x 2  :
c)

3.  3 x  2 
2.  x  4 



9.  x  4  3x  2 
2

3 x.  x  1
x2  1
x
x
2
 3. 1  2 x  x 2  . 2
 3.  x  1 .

x
x 1
x 1
 x  1 x  1

x  1 x  2  x  1 x  3 x  1 x  3  x  1 x  3
:
:

.
:
x  2 x 3
x2  4
x  2 x  2  x  2  x  2 



 x  1 x  3 .  x  2  x  2   x  2
2
 x  1 x  3 x  2
 x  2

2
1
x3  1
x  1  x  1  x  x  1
x  1 x 1 x 1
2
:  x  x  1 :

. 2
:

.
1
d)
x 1
x 1
x 1
x  x 1 x 1 x 1 x  1

Bài 4: Làm tính chia
2
2
4.  x3  8 y 3 
3 x  1
3 x  1


9x2  6x  1
12 x  4
4 x3  32 y 3

a) 2

 2
:
.
.
x  2 xy  4 y 2 4 x3  32 y 3 x 2  2 xy  4 y 2 12 x  4
x  2 xy  4 y 2 4.  3 x  1



 3x  1

2

x 2  2 xy  4 y 2

.

4.  x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2 
4.  3x  1

  3 x  1 x  2 y 

 x  2  x  2 
x 2  3x  2
x2  x
x 2  3 x  2 x 2  4 x  4  x  1 x  2   x  2 
b) 2
: 2

 2
.

.

2
x  x  6 x  4x  4 x  x  6
x x
x.  x  3
 x  3 x  2  x.  x  1
2


c)

 x2  y 2  x2  y 2  . 6. 1  2 x 
x4  y 4
3 x 2 y  3xy 2
x4  y 4
6  12 x


:
.
2
4x2  4x  1
6  12 x
4 x 2  4 x  1 3 x 2 y  3 xy 2
3xy.  x  y 
 2 x  1



 x  y  x  y   x 2  y 2  6. 1  2 x  2  x  y   x 2  y 2 
.

2
3 xy.  x  y 
xy. 1  2 x 
1  2 x 

2
5.  x3  y 3 
x  2y

x 2  4 xy  4 y 2 10 x  20 y

:
.
d)
2 x 2  2 xy  2 y 2 5 x3  5 y 3 2.  x 2  xy  y 2  10.  x  2 y 



 x  2y

2

2.  x  xy  y
2

2



.

5.  x  y   x 2  xy  y 2 
10.  x  2 y 



Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 5: Tìm phân thức A , thoả mãn:

x4
x2  5x  4
:
A

x3  3x 2  x  3
 x  2  x  3

x4
x2  5x  4
 A 3
:
x  3 x 2  x  3  x  2  x  3

A

 x  2  x  3
x4
. 2
2
x  3x  x  3 x  5 x  4

A

 x  2  x  3
x4
. 2
x  x  3  x  3 x  x  4 x  4

A

 x  2  x  3
x4
.
 x  3  x 2  1  x  1 x  4 

A

x2
 x  1  x 2  1

3

2

Bài 6: Tìm phân thức B , biết: B.

12 x 2  18 x 8 x 3  36 x 2  54 x  27

x3
x2 x
1
 1
8
4 2

8 x 3  36 x 2  54 x  27 12 x 2  18 x
B
:
x2 x
x3
 1
1
4 2
8

 x  2 y  x  y 
4


3

B

B

B

 2 x  3

3

x2 x
 1
4 2

 2 x  3

3

x2 x
 1
4 2

x
  1
2
.  
6 x.  2 x  3
2
x 
 x  x
  1   1
 2  4 2 
.
6 x.  2 x  3

x 
.   1
2 
6x

 2 x  3

2

x6  y 6
x4  x2 y2  y4
:
C

10 x 2  10 xy
5 x 2  10 xy  5 y 2

Bài 7: Tìm phân thức C , thoả mãn:
C

x6  y6
x 4  x2 y 2  y 4
:
10 x 2  10 xy 5 x 2  10 xy  5 y 2

 x    y  . 5 x
C
2 3

2 3

10 x  x  y 

x
C

2

2

 2 xy  y 2 

x4  x2 y2  y 4

 y 2  x 4  x 2 y 2  y 4 
10 x  x  y 

 x  y  x  y  .  x  y 
C
2x  x  y 
1
Bài 8: Tìm phân thức D, biết:

 x  1
 D

2

 6  x  1  9

3x2  3x

 x  1
D

:

2

.

5 x  y

x4  x2 y 2  y 4

x  y


3

2x

 x  1

2

 6  x  1  9

3x 2  3x

x 2  16
3x3  3 x

 6  x  1  32 3 x 3  3 x
. 2
3 x.  x  1
x  16
2

 x  1  3
3 x.  x  1

2

D

.

3 x  x 2  1
x 2  42

2

.D 

x 2  16
3x3  3x

 x  4  . 3x.  x  1 . x  1
3 x.  x  1  x  4  .  x  4 
2

D

D

 x  4  x  1
x4

Dạng 3: Bài tốn nâng cao.
Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thức A chia hết cho phân thức B biết:
A

x3  x 2  x  11
x2
; B
.
x2
x2

Ta có A : B 

x3  x 2  x  11 x  2 x3  x 2  x  11 x  2 x3  x 2  x  11
1
:
.



 x 2  3x  5 
x2
x2
x2
x2
x2
x2

Để phân thức A chia hết cho phân thức B thì

1  x  2   x  2  Ư 1
 x  2  1;1  x  3; 1
Vậy x  3; 1 thì phân thức A chia hết cho phân thức B .
Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức M 

15
5
:
là số nguyên.
2
16 x  1 4 x  1

Giải
Ta có M 

15
5
15
4x 1
3

:

.

2
16 x  1 4 x  1  4 x  1 4 x  1 5
4x 1

Để giá trị của phân thức M là số nguyên thì

3  4 x  1  4 x  1  Ư  3
 1 1 
 4 x  1 3; 1;1;3  x   ;0; ;1
2 
2
 1 1 
Vậy x   ;0; ;1 thì giá trị của phân thức M là số nguyên.
2 
2

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia phân thức:


 3 x 2  11x 4
b)   8 y  : 4 y 2


Bài 2: Làm tính chia phân thức:

4 x  12 3  x  3
7 x  2 14 x  4
:
:
2
a) x  4

 x  4 b) 3xy 3 x 2 y

15 x x 2
a) 7 y 3 : 2 y 2

 20 x   4 x 3 
c)   3 y 2  :   5 y 

 

c)  x  y  :

y 2  xy
x y

d) 

25 x 2 y 5
:15 xy 2
3x

5 xy 15 xy 3
d) 2 x  3 : 12  8 x

Bài 3: Làm tính chia phân thức:
4x2 1
5 x  10
2 x  10
3x  6
a) 2
:  2 x  4  b)  x 2  25  :
c)  4 x 2  16  :
d)
: 1  2 x 
x 7
3x  7
7x  2
x
Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)
4  x  3 x 2  3x
8 xy 12 xy 3
1  9x2 6x  2
:
b)
:
a)
:
d)
c)
3x2  x 1  3x
3 x  1 5  15 x
x2  4 x 3x
Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4)

a)

27  a 3 a  3
:
5a  10 3a  6

b)  2b 2  32  :

c)

3x3  3
:  x 2  x  1
x 1

d)

y3  8
:  y2  2 y  4
y 1

e)

4 x  6 y 4 x 2  12 xy  9 y 2
:
x 1
1  x3

f)

x2  x

3x  3
:
2
5 x  10 x  5 5 x  5

b4
7b  2

Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 6: Tìm Q , biết:

a 3  b3
b2  a 2
.
Q

.
a4
a2

a 2  b 2  2ab
ab
.Q  3 3 .
Bài 7: Tìm Q , biết: 2
2
a  b  ab
a b
Bài 8: Tìm Q , biết:

a4  b4

a 2  b2
:
Q

.
a 4  2a 2 b 2  b 4
a 2  b2

Bài 9: Tìm Q , biết:
a)

x y
x 2  2 xy  y 2
Q

.
.
x3  y 3
x 2  xy  y 2

Dạng 3: Bài tốn nâng cao.
Bài 10: Thực hiện các phép tính sau:
m 2  5m  6 m 2  6m  9
a) 2
:
m  7 m  12 m 2  4m

b)

x y

3x 2  3 xy
Q
.

x3  y 3
x 2  xy  y 2


u 2  4uv  4v 2
4u  8v
b)
: 3
2
2
2u  2uv  2v 6u  6v 3
Bài 11: Rút gọn các biểu thức
a)

x 1 x  2 x  3
:
:
x  2 x  3 x 1

b)

x 1  x  2 x  3 
:
:

x  2  x  3 x 1 

HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia phân thức:
 3 x 2  11x 4
15 x x 2
:
b)   8 y  : 4 y 2
a) 7 y 3 2 y 2



 20 x   4 x 3 
c)   3 y 2  :   5 y 

 

Lời giải

d) 

25 x 2 y 5
:15 xy 2
3x

15 x x 2 15 x 2 y 2
30
:

.


3
2
3
2
a) 7 y 2 y
7y x
7 xy
 3 x 2  11x 4 3 x 2 4 y 2
3 y



:
.


2
4
b)
8 y 11x
22 x 2
 8y  4y
 20 x   4 x 3  20 x 5 y
25
c)   3 y 2  :   5 y   3 y 2 . 4 x3  3x 2 y

 


5 y 3
25 x 2 y 5
25 x 2 y 5
1
:15 xy 2  
.

3x
3 x 15 xy 2
9
Bài 2: Làm tính chia phân thức:
4 x  12 3  x  3
7 x  2 14 x  4
y 2  xy
:
x

y
:
:


a) x  4 2
c)
x y

 x  4 b) 3xy 3 x 2 y

d) 

5 xy 15 xy 3
d) 2 x  3 : 12  8 x

Lời giải
4 x  12 3  x  3 4  x  3 x  4
4
a) x  4 2 : x  4  x  4 2 . 3  x  3  3  x  4 




7 x  2 14 x  4 7 x  2
x2 y
x
:

.

3
2
3
b) 3 xy
x y
3 xy 2  7 x  2  6 y 2
y 2  xy
x y
x y
x y
c)  x  y  : x  y   x  y  . y 2  xy   x  y  . y  y  x   y

5 xy 15 xy 3
5 xy 12  8 x
5 xy 4  3  2 x 
5 xy 4  2 x  3 4
d) 2 x  3 : 12  8 x  2 x  3 . 15 xy 3  2 x  3 . 15 xy 3  2 x  3 . 15 xy 3  3 y 2
Bài 3: Làm tính chia phân thức:
5 x  10
2 x  10
3x  6
4x2 1
2
2
a) 2
:  2 x  4  b)  x  25  :
c)  4 x  16  :
d)
: 1  2 x 
x 7
3x  7
7x  2
x
Lời giải


a)

5  x  2
5 x  10
1
5


:  2x  4  2
.
2
2
x 7
x  7 2  x  2 2  x  7

b)  x 2  25 :

2 x  10
3x  7
3x  7
 x  53x  7 
  x  5 x  5 .
  x  5 x  5 .

3x  7
2 x  10
2  x  5
2

c)  4 x 2  16  :

4  x  2  7 x  2 
3x  6
7x  2
7x  2
 4  x2  4.
 4  x  2  x  2  .


7x  2
3 x  2
3 x  2
3

 2 x  1 2 x  1 . 1    2 x  1
4x2  1
d)
: 1  2 x  
x
x
x
  2 x  1
Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)
4  x  3 x 2  3x
8 xy 12 xy 3
:
a)
:
b)
c)
3x2  x 1  3x
3 x  1 5  15 x

Lời giải
4  x  3 x  3 x 4  x  3   3 x  1 4
:

.


a)
3 x 2  x 1  3x
x  3 x  1 x  x  3 x 2

d)

1  9x2 6x  2
:
x2  4 x 3x

2

8 xy 12 xy 3
8 xy 5 1  3 x  8 xy 5  3 x  1 10
b)
:

.

.
 2
3 x  1 5  15 x 3 x  1 12 xy 3
3 x  1 12 xy 3
3y
3  x  3
  x  2
3x  9 x  3
3
:


.

2
c) x  4 2  x  x  2  x  2  x  3
x2
3 1  3 x 
1  9 x 2 6 x  2 1  3 x 1  3 x 
3x
d) 2
:

.

x  4 x 3x
x  x  4
2  3 x  1
2  x  4

Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4)
27  a 3 a  3
a)
:
5a  10 3a  6

b)  2b 2  32  :

b4
7b  2

c)

3x3  3
:  x 2  x  1
x 1

d)

y3  8
:  y2  2 y  4
y 1

e)

4 x  6 y 4 x 2  12 xy  9 y 2
:
x 1
1  x3

f)

x2  x
3x  3
:
2
5 x  10 x  5 5 x  5

Lời giải
a)

2
2
27  a 3 a  3  3  a   9  3a  a  3  a  2  3  a  3a  9 
:

.

5a  10 3a  6
5  a  2
5
a 3

b)  2b 2  32  :

b4
7b  2
 2  b 2  16  .
 2  b  4  7b  2 
7b  2
b4

3  x 3  1
3  x  1  x 2  x  1 3  x  1
3x3  3
1
2
c)
:  x  x  1 
.



x 1
x  1 x 2  x  1  x  1 .  x 2  x  1
x 1


5  x  1
x  x  1
3x  3
x2  x
x
:
.


d) 2
2
5 x  10 x  5 5 x  5 5  x  2 x  1 3  x  1 3(x  1)
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 6: Tìm Q , biết:

a 3  b3
b2  a 2
.
Q

.
a4
a2
Lời giải

a 3  b3
b2  a 2
.Q 
a4
a2
Q

a2  a  b
b 2  a 2 a 3  b3  b  a  b  a 
a4
:
.



a2
a4
a2
 a  b   a 2  ab  b 2  a 2  ab  b 2

Bài 7: Tìm Q , biết:

a 2  b 2  2ab
ab
.Q  3 3 .
2
2
a  b  ab
a b

Lời giải

Ta có:

a 2  b 2  2ab
ab
.Q  3 3
2
2
a  b  ab
a b

Q

1
a  b a 2  b 2  2ab
a b
a 2  ab  b 2

 2 2
:
.
2
3
3
2
2
2
2
a  b a  b  ab  a  b   a  ab  b   a  b 

a b

a4  b4
a 2  b2
:Q  2
.
Bài 8: Tìm Q , biết: 4
a  2a 2 b 2  b 4
a  b2
Lời giải
Ta có:

a4  b4
a 2  b2
:
Q

a 4  2a 2 b 2  b 4
a 2  b2

2
2
2
2
a4  b4
a 2  b 2  a  b  a  b  a 2  b 2
Q 4
:

. 2

1
2
2
2 2
a  2a 2 b 2  b 4 a 2  b 2
a
b

a
b




Bài 9: Tìm Q , biết:
a)

x y
x 2  2 xy  y 2
Q

.
.
x3  y 3
x 2  xy  y 2

b)
Lời giải

x y

3x 2  3 xy
Q
.

x3  y 3
x 2  xy  y 2


x y
x 2  2 xy  y 2
.Q  2
a) 3
x  y3
x  xy  y 2
2
 x  y   x 2  xy  y 2 
x  y

x 2  2 xy  y 2 x  y
: 3
.
Q 2
 2
  x  y  x  y   x 2  y 2
2
3
2
x  xy  y
x y
x  xy  y

x y

x y
3x 2  3 xy
b) 3
.Q  2
x  y3
x  xy  y 2
Q

2
2
3 x  x  y   x  y   x  xy  y 
3 x 2  3 xy
x y
:
.

 3x  x  y 
x 2  xy  y 2 x3  y 3 x 2  xy  y 2
 x  y

Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 10: Thực hiện các phép tính sau:
m 2  5m  6 m 2  6m  9
a) 2
:
m  7 m  12 m 2  4m
u 2  4uv  4v 2
4u  8v

: 3
b)
2
2
2u  2uv  2v 6u  6v 3
Bài 11: Rút gọn các biểu thức
a)

x 1 x  2 x  3
:
:
x  2 x  3 x 1

b)

x 1  x  2 x  3 
:
:

x  2  x  3 x 1 

Lời giải
x  1 x  2 x  3 x  1 x  3 x  1  x  1


.
:
:
.
.

x  2 x  3 x  1 x  2 x  2 x  3  x  2 2
2

a)

b)

x 1  x  2 x  3  x 1  x  2 x 1  x 1  x  2 x 1 
:
:
:
.
:
.



x  2  x  3 x 1  x  2  x  3 x  3  x  2  x  3 x  3 

 x  3
 x  3 .
x  1  x  2  .  x  1 x  1



:
.
2
x2
x  2  x  2  .  x  1  x  2 2

 x  3
2

2

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========