Tóm tắt lý thuyết và bài tập Phép cộng các phân thức đại số

PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên
mẫu thức.
2. Quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Cộng xác phân thức đại số thông thường
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số nêu trong phần Tóm
tắt lý thuyết.
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)

x2
4x  4
với x  2;

6 x  12 6 x  12

b)

3a  7 2a  2
với a  0 và b  0 .

5a 2 b
5a 2 b

Bài 2. Cộng các phân thức sau:

a)

1
11 y  6 3 y  6
với y   ;
 2
2
2
4 y 1 4 y 1

b)

mn  3n 7 mn  3n
với m  0 và n  0 .

2m 2 n3
2m 2 n 3

Bài 3. Thực hiện phép cộng các phân thức sau:

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


a)

u  10 u  18 u  2
1
với u   ;

 2

u2 u2 u 4
2

b)

2  x 5 2y x  7
với x  0 và y  0 .


2 x 2 y 2 8 x3 y 2 4 x3 y

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)

1
x2
x 1
với x  1;
 2
 2
x 1 x 1 x  2x 1

b)

1
p
q
với q  2 p.

 3

2
2
2p  q 4p  q
8 p  q3

Dạng 2. Cộng các phân thức đại số có sử dụng quy tắc đối dấu
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước
Bước 1. Áp dụng Quy tắc đổi dấu phân thức:

A A

;
B B

Bước 2. Thưc hiện tương tự Dạng 1.
Bài 5. Sử dụng quy tắc đổi dấu để thực hiện các phép tính sau:
a)

3x2  x x  2 3  2 x2
với x  1;


x 1
1 x
x 1

b)

2
4

5y  2
với y  2.


y  2 y  2 4  y2

Bài 6. Thực hiện phép cộng các phân thức sau:
a)

2  a 2 a  2 a 2 7  5a
với a  3;


a 3
3a
a3

b)

3  3b 3b  1 11b  5
1
với b  0 và b  .


2
2b
2b  1 2b  4b
2

Bài 7. Cộng các phân thức sau:

a)

1
1
v
và v  4;

 2
2
v  8v  16 8v  v  16 v  16
2

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


b)

m
m
4mn
với m  2n;

 2
m  2n m  2 n 4 n  m 2

Bài 8. Thực hiện các phép tính sau.
a)

x2  2
3

1
với x  1;
 2

3
x 1 x  x 1 1 x

b)

r 1
32r 2
1 r
với r  0 và r   s.

 2
2
2
2
r  rs s  r
r  rs

Dạng 3. Tính giá trị biểu thức tổng các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Thực hiện phép cộng các phân thức đại số tương tự Dạng 1 và Dạng 2
Bước 2.Thay giá trị của biến vào phân thức và tính
Bài 9. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

2  x  5 50  5x
x2
tại x = -2



5x  25
x
x  x  5
2

2

4x

với x  0 và x  1 .
Bài 10. Cho biểu thức A 


x2  x  1 x 2  x 1  x3
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức tại x = 2.
Dạng 4. Giải toán đố có sử dụng phép cộng các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Thiết lập các biểu thức theo yêu cầu của đề bài;
Bước 2. Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết.
Bài 11. Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600 m 3
đất. Giai đoạn đầu cịn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình x m 3/
3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


ngày và đội đào được 5000m3. Sau đó cơng việc ổn định hơn, năng xuất của máy tăng 25 m 3/
ngày.
a) Hãy biểu diễn:

* Thời gian xúc 5000 m3 đầu tiên;
* Thời gian làm nốt phần việc còn lại;
* Thời gian làm việc để hồn thành cơng việc.
b) Tính thời gian làm việc để hồn thành cơng việc với x = 250 m 3/ngày.
Bài 12. Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó, nó nghỉ lại
tại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70 km. Vận
tốc của dịng nước là 5 km/h. Vận tốc riêng của con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng)
là x km/h.
a) Hãy biểu diễn qua x:
* Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì;
* Thời gian xi từ Việt Trì về Hà Nội;
* Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc
ngược dòng của con tàu là 20 km/h.
HƯỚNG DẪN

Bài 1.
a) Ta được:

( x  2) 2 x  2

;
6( x  2)
6

Bài 2.

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

b) Ta được:

5a  9
.
5a 2b


a) Ta được:

14 y
;
4 y2 1

b) Ta được:

8mn
4

.
2 3
2m n
mn 2

Bài 3.
a) Gợi ý: u2 – 4 = (u – 2)(u + 2).
b) Mẫu chung = 8x3y2.
Rút gọn thu được

4x 2  8 x  12 y  2xy  5
.
8x 3 y 2

Bài 4.
a) Gợi ý: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1); x2 – 2x + 1 = (x – 1)2;
Mẫu chung = (x + 1)(x – 1)2;
Rút gọn thu được

3x 2  x  2
.
( x  1)( x  1) 2

b) Gợi ý: 4p2 – q = (2p – q)(2p + q);
8p3 + q3 = (2p + q)(4p2 – 2pq + q2);
Mẫu chung = (2p – q)(4p2 – 2pq + q2);
Rút gọn thu được

4 p 3  q 3  6 p 2 q  3 pq 2  2 pq  q 2
.
(2 p  q)(2 p  q)(4 p 2  2 pq  q 2 )

Bài 5.
a) Gợi ý:

( x  1) 2
x  2 x  2
 x  1;

 Rút gọn thu được
1 x
x 1
x 1

b) Gợi ý: y2 – 4 = (y – 2)(y + 2) và

Rút gọn được

5 y  2 5 y  2
 2
;
y 4
4  y2

y2
1

.
( y  2).( y  2) y  2

Bài 6.
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


a) Gợi ý:

a  2a 2 2a 2  a

;
3 a
a 3

(a  3) 2

 a  3.
Rút gọn thu được
a 3
b) Gợi ý: 2b – 4b2 = 2b(1 – 2b);

Rút gọn được:

11b  5
5  11b

;
2
2b  4b
2b(2b  1)

4b  2
1
 .
2b(2b  1)
b

Bài 7.
a) Gợi ý: v2 + 8v + 16 = (v + 4)2;
8v – v2 – 16 = -(v – 4)2
v2 – 16 = (v – 4)(v + 4);
Rút gọn được

v3  32v
.
(v 2  16)2

b) Gợi ý 4n2 – m2 = (2n – m)(2n + m);
Rút gọn được

2m(m  2n)
2m

.
(2n  m)(2n  m) n  2n

Bài 8.
a) Gợi ý: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1);

Rút gọn được

b) Gợi ý:

1
1

;
1 x
x 1

2x  2
2
 2
.
2
( x  1)( x  x  1) x  x  1

32r 2
32r 2


; MC  r (r  s )( r  s );
s2  r 2
r 2  s2

Rút gọn được

r (32r 2  2s  2) 32r 2  2s  2

.
r (r  s)(r  s )
(r  s )(r  s)

6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


Bài 9. Rút gọn được

x3  10x 2  25x x( x  5) 2 x  5


.
5x( x  5)
5x( x  5)
5

Thay x = -2 thu được giá trị biểu thức là 0,6.
Bài 10.
a) Rút gọn được

2
.
x( x  1)( x 2  x  1)

b) Thay x = 2 vào biểu thức thu gọn được giá trị

1
.
7

Bài 11.
a) Gợi ý công thức
Khối lượng công việc = thời gian làm việc x năng suất
Các biểu thức thu được là
*

5000
(ngày);
x

* Thời gian làm phần còn lại = (khối lượng cơng việc cịn lại) / (năng suất mới), được biểu
thức

6600
(ngày)
x  25

* Tổng thời gian

5000 6600
(ngày); (3)

x
x  25

b) Thay x = 250 vào biểu thức (3) được 44 ngày.
Bài 12.
a) Công thức chuyển động: s = v.t
(s: quãng đường; v: vận tốc; t: thời gian).
Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng + vận tốc dòng;
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dịng;
7. TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


Các biểu thức thu được lần lượt là:
*

70
(giờ).
x 5

*

70
(giờ).
x5

*

70
70
+
+ 2 (giờ). (*)
x 5
x5

b)

47
giờ = 7 giờ 50 phút.
6

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)

x  4 10  8 x

14
14

b)

7 x  2 2  8 xy

24 xy

24 xy

c)

3x  y 6 x  4 y

3x  y 3x  y

b)

x 2  2 xy 3 y 2  xy 2 y 2  3 xy


x y
yx
x y

d)

3 xy  4 7  12 x 4 x  3


25 xy 25 xy 25 xy

Bài 2: Thực hiện phép tính:
a)

3
2a  2


5  2 a 2a  5

x2  2
x2
d) 3
 2
2
x  2 x  x 2 x  x3  x

6b  3 2bx  2ax  6a  3
c) 2 2 
a b
b2  a 2

Bài 3: Thực hiện phép tính:
2 x 2ax  3 x
a)

3
3a

3x  2 y 2 2
a  2b  2 x
1
b)
c)
 

ab  ax
x b

xy
x y

3
2 3 x 2  xy  x
d)


y 1 x
x 2  y  1

Bài 4: Thực hiện phép tính:
a)

5
7  2x
 2
x2 x 4

b)

2x  9
2

2
9  4x
2x  3

c)

4y
x
 2
2 y  xy x  2 xy
2

d)

1
2x  5
 2
x  x 2x  2
2

Bài 5: Tìm x biết:
a)

2
3
 2
 0 (với x  3 )
x3 x 9

b)

1
2
3x
2
(với x   )



2
2
3
9x  6x 1 1  9x
1  3x  3x  1
2

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


Bài 6: Thực hiện phép tính:
a)

2
x 1
3
 2

x2 x 4 x2

b)

a 2  b 2  2a  b
a

a  2  2b  ab b  1

c)

1
22  7 x
5


2
9 x  18 72  18 x 12 x  24

b)

5 2 x  3 4 x2  3


2x 2x  1 8x2  4x

c)

x2  2 x
2x
1
 2

3
x 1 x  x 1 x 1

Bài 7: Thực hiện phép tính:
a)

5b  3 a  1 4a  2



9a 2b 5ab3 15a 3b

Bài 8: Thực hiện phép tính:
a)

1
1
x

 2
2
2
x  6 x  9 6x  x  9 x  9

b)

2x 1
32 x 2
1  2x

 2
2
2
2x  x 1  4x 2x  x

c)

x4

 x3  x 2  x  1
1 x

Bài 9: Thực hiện phép tính:
a)

4



3

3



 y  x  z  x   y  x  y  z   y  z  x  z 

1
2
3
 2
 2
x  3 x  2 x  12 x  35 x  7 x  10

b)

2

Bài 10: Cho ba số a; b; c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ

thuộc vào a; b; c :

bc
ac
ab


 a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b 
Bài 11: Tìm các số A; B; C để:

2 x 2  3 x  12

 x  3

3



A

 x  3

3



B

 x  3

2



C
x3

Lời giải
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)

x  4 10  8 x x  4  10  8 x 7 x  14 7   x  2   x  2





14
14
14
14
14
2

b)

7 x  2 2  8 xy 7 x  2  2  8 xy 7 x  8 xy x  7  8 y  7  8 y






24 xy
24 xy
24 xy
24 xy
24 xy
24 y

c)

3x  y 6 x  4 y 3x  y  6 x  4 y 9 x  3 y 3  3x  y 




3
3x  y 3x  y
3x  y
3x  y
3x  y

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


d)

3xy  4 7  12 x 4 x  3 3 xy  4  7  12 x  4 x  3 3 xy  8 x x  3 y  8 3 y  8 8  3 y








25 y
25 xy 25 xy 25 xy
25 xy
25 xy
25 xy
25 y

Bài 2: Thực hiện phép tính:
a)

3
2a  2
3
2  2a 3  2  2 a




1
5  2 a 2a  5 5  2 a 5  2 a
5  2a

b)

x 2  2 xy 3 y 2  xy 2 y 2  3 xy x 2  2 xy xy  3 y 2 2 y 2  3xy x 2  2 xy  xy  3 y 2  2 y 2  3xy







x y
yx
x y
x y
x y
x y
x y


x2  y 2
 x y
x y

c)

6b  3 2bx  2ax  6a  3 3  6b 2bx  2ax  6a  3 3  6b  2bx  2ax  6a  3

 2


a2  b2
b2  a 2
b  a2
b2  a 2

b2  a 2



 a  b  6  2 x   2 x  6

d)

b2  a 2

ab

1
x2  2
x2
x 2  2  2  x x  x  1




2
3
2
2
3
3
2
x  2 x  x 2 x  x  x x  2 x  x x  x  1
x 1

Bài 3: Thực hiện phép tính:
a)

2 x 2ax  3 x 2ax  2ax  3 x  x



3
3a
a
3a

b)

a  2b  2 x
1
a  2b  2 x  a 2



ab  ax
xb
a b  x 
a

c)

3x  2 y 2 2 3x  2 y  2 y  2 x 5
  


xy
x y
xy
y

2
2
2 3 x 2  xy  x 3x  2 x  y  1  3x  xy  x 2 xy  x
3
1 2 y



 2

d)
2
2
y 1 x
x  y  1
x  y  1
x  y  1 x  y  1

Bài 4: Thực hiện phép tính:
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


a)

5

7  2 x 5  x  2   7  2 x 3x  3
 2

 2
x2 x 4
x2  4
x 4

b)

2 x  9  2  2 x  3  2 x  3
2x  9
2
1


 2

2
2
9  4x
2x  3
4x  9
4x  9 2x  3

c)

x
4y
x

4y
x2  4 y2
x  2y
 2




2
2 y  xy x  2 xy y  2 y  x  x  x  2 y  xy  2 y  x 
xy

2  x  1  x  2 x  5  x 2  3x  2
1
2x  5
1
2x  5
d) 2





x  x 2 x 2  2 x  x  1 2  x 2  1
2 x  x 2  1
2 x  x 2  1
Bài 5: Tìm x biết:
a)

2

3
 2
 0 (với x  3 )
x3 x 9

Ta có:

2  x  3  3 2 x  3
2
3
 2

 2
x3 x 9
x2  9
x 9

Do đó

2
3
3
 2
 0  2 x  3  0  x  (thỏa mãn x  3 ).
x3 x 9
2

Vậy x 
b)

3
.
2

1
2
3x
2
(với x   )


2
2
3
9x  6x 1 1  9x
1  3x  3x  1
2

2 1  3 x   3x 1  3 x 
2
3x
2
3x
9 x 2  3x  2
Ta có:






2
2
9 x 2  6 x  1 1  9 x 2  3 x  12 1  3 x 1  3 x 
1  3x 1  3 x 
1  3x 1  3x 
Do đó:

2
3x
2
 9 x 2  3x  2  2  9 x 2  3x  0


2
2
9x  6x 1 1  9x
1  3x  3x  1
2

 3x  3x  1  0  x  0 hoặc x 
So sánh với điều kiện x  

1
3

1
ta suy ra x  0 .
3

Bài 6: Thực hiện phép tính:

11. TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


a)

2  x  2   x 1  3  x  2 6x  1
2
x 1
3
 2


 2
x2 x 4 x2
x2  4
x 4

b)
2
2
b 2  b
a 2  b 2  2a  b
a
a 2  b 2  2a  b a a  b  2a  b  a  a  2 
b







a  2  2b  ab b  1  a  2 1  b  1  b
 a  2 1  b 
 a  2 1  b  a  2

c)



1
22  7 x
5
1
22  7 x
5





2
2
9 x  18 72  18 x 12 x  24 9  x  2  18  4  x  12  x  2 

4  x  2   2  7 x  22   15  x  2 
36  x  4 
2



33 x  66
11

2
36  x  4  12  x  2 

Bài 7: Thực hiện phép tính:
2
2
2
5b  3 a  1 4a  2 5ab  5b  3   9a  a  1  3b  4a  2  25ab 3  9a 3  3ab 2  9a 2  6b 2
a)




9a 2b 5ab3 15a 3b
45a 3b3
45a 3b3

2
5 2 x  3 4 x 2  3 10  2 x  1  4 x  2 x  3  4 x  3 12 x 2  8 x  7




b)
2x 2x  1 8x2  4x
2 x  2 x  1
4 x  2 x  1



 6 x  7  2 x  1  6 x  7
4 x  2 x  1
4x

c)
x 2  2 x  2 x  x  1  x 2  x  1 4 x 2  5 x  1  x  1 4 x  1
x2  2 x
2x
1
4x 1





 2
3
2
3
3
3
x 1 x  x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
x  x 1

Bài 8: Thực hiện phép tính:
a)
x2  6x  9  x2  6 x  9  x  x2  9 
1
1
1
1
x
x






2
2
x 2  6 x  9 6 x  x 2  9 x 2  9  x  3 2  x  3 2 x 2  9
 x  3  x  3


x3  21x

 x  3  x  3
2

2

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

32 x 2
2x 1
32 x 2
1  2x
2x  1
1 2x





2
2
2
2x  x 1  4x
2 x  x x  2 x  1  2 x  1 2 x  1 x  2 x  1

b)

 2 x  1  32 x 2 .x   2 x  1

x  2 x  1 2 x  1
2

c)

2



8 x 1  4 x 2 
x  4 x 2  1

 8

4
2
2
2
x 4  x 2 1  x 1  x   1  x 1  x  x  x 1  x   1  x
x4
1
 x3  x 2  x  1 


1 x
1 x
1 x
1 x

Bài 9: Thực hiện phép tính:

4

a)



3



 y  x  z  x   y  x  y  z   y  z  x  z 



4  y  z   3 z  x   3 y  x 

 y  x  z  x  y  z 

yz
1

.
 y  x  z  x  y  z   y  x  z  x 

b)



3



1
2
3
1
2

3
 2
 2



x  3 x  2 x  12 x  35 x  7 x  10  x  1 x  2   x  5  x  7   x  2  x  5 
2

1
1
1
1
1
1
1
1
6








.
x  1 x  2 x  5 x  7 x  2 x  5 x  1 x  7  x  1 x  7 

Bài 10: Cho ba số a; b; c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ

thuộc vào a; b; c :

bc
ac
ab
bc
ac
ab





 a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b   a  b  a  c   a  b  b  c   a  c  b  c 


bc  b  c   ac  a  c   ab  a  b  bc  b  c   ac  a  b  b  c   ab  a  b 

 a  b  a  c  b  c 
 a  b  a  c  b  c 



 b  c  bc  ac    a  b  ab  ac    a  b  b  c  a  c   1
 a  b  a  c  b  c 
 a  b  a  c  b  c 

Bài 11: Tìm các số A; B; C để:

Xét vế phải:

A

 x  3

3



 x  3

3



A

 x  3

3



B

 x  3

2

2



C
x3

A  B  x  3  C  x  3
Cx 2   B  6C  x  A  3B  9C
C



2
2
x3
 x  3
 x  3
2

B

 x  3

2 x 2  3 x  12

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com


Do đó:

2 x 2  3 x  12

 x  3

3



A

 x  3

3



B

 x  3

2



C
x3

C  2
 A  39



  B  15 .
Khi  B  6C  3
C  2
 A  3B  9C  12


========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com