Tóm tắt lý thuyết và bài tập Phép nhân các phân thức đại số

PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:
A C AC
.
.
. 
B D B.D

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện phép tính
Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết để thực hiện yêu cầu của
bài toán.
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)

8x 4 y 2
.
với x  0 và y  0;
15 y 3 x 2

9a 2 a 2  9
b)
với a  3 và a  0.
.
a  3 6a 3

Bài 2. Nhân các phân thức sau:
a)

4n 2  7 m 2 
. 
 với m  0 và n  0;
17 m 4  12n 

b)

3b  6 2b  18
với b  2 và b  9.
.
(b  9)3 (b  2) 2

Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau:
a)

2u 2  20u  50 2u 2  2
.
với u  5;
5u  5
4(u  5)3

b)

v  3 8  12v  6v 2  v 3
với v  3 và v  2.
.
v2  4
7 v  21

Bài 4. Làm tính nhân:

a)

1 1
3 x  1 25 x 2  10 x  1
với x   ;  ;0;
.
2
2
5 3
10 x  2 x
1 9x

p 3  27 p 2  4 p
.
b)
với p  4.
7 p  28 p 2  3 p  9


Dạng 2. Tính tốn sử dụng kết hợp các quy tắc đã học
Phương pháp giải: Sử dụng hợp lý 3 quy tắc đã học: quy tắc cộng, quy tắc trừ và quy tắc nhân để
tính tốn.
Chú ý:
- Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức
với nhau.
- Ưu tiên tính tốn đối với biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).
Bài 5. Rút gọn biểu thức:
a)

t 4  4t 2  8

t
3t 3  3
với t  1;
.
.
2t 3  2 12t 2  1 t 4  4t 2  8

y 1  2
y3 
b)
. y  y  1 
 với y  0 và y  1.
2y 
y 1 

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:
x 6  2 x3  3 3x
x2  x  1
a)
với x  1;
.
.
x3  1
x  1 x6  2 x3  3

b)

a3  2a 2  a  2  1
2
1 

.


 với a  5; 2; 1.
3a  15
 a 1 a 1 a  2 

Bài 7. Tính hợp lý biểu thức sau:
M

1
1
1
1
1
1
.
.
.
.
.
, với x  1.
2
4
8
1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x16

Bài 8. Rút gọn biểu thức: P  xy , biết (3a 3  3b 3 ) x  2b  2a với a  b và (4a  4b) y  9(a  b) 2
với a  b.
HƯỚNG DẪN

Bài 1.Thực hiện các phép tính sau:
a) Ta có

8 x 4 y 2 8 x.4 y 2
32
. 2 

3
3 2
15 y x
15 y .x 15 xy

b) Ta có

9a 2 a 2  9 9a 2 .(a  3)(a  3) 3( a  3)
.


a  3 6a 3
(a  3)6a 3
2a

Bài 2. Tương tự 1.


a) Kết quả ta có  
b) Kết quả 

7n
51m 2

6
(b  9) .(b  2)
2

Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau:
a) Ta có

2u 2  20u  50 2u 2  2 2(u  5) 2 2(u  1)(u  1)
u 1
.

.

3
3
5u  5
4(u  5)
5(u  1)
4(u  5)
5(u  5)

b) Ta có

v  3 8  12v  6v 2  v3
v3
(2  v)3
.
.


v2  4
7v  21
(v  2)(v  2) 7(v  3)



1
(v  2)3
(v  2) 2

.
(v  2)(v  2)
7
7(v  2)

Bài 4. Tương tự 3

3x  1 25 x 2  10 x  1
5x  1
.

a) Ta có
2
2
10 x  2 x
1 9x
2 x(3x  1)
b) Kết quả 

p.( p  3)

7

Bài 5. Rút gọn biểu thức:
a) Ta có

t 4  4t 2  8
t
3t 3  3
.
.
2t 3  2 12t 2  1 t 4  4t 2  8

(t 4  4t 2  8).t.3(t 3  1)
3t
 3

2
4
2
2(t  1).(12t  1).(t  4t  8) 2(12t 2  1)
b) Ta có

y 1  2
y 3  y  1  y 31
y3  2 y3  1
. y  y  1 

.





y 1  2 y  y 1 y 1 
2y 
2y

Bài 6. Tương tự 5
a) Ta có

x 6  2 x3  3 3x
x2  x  1
3x
 2
.
.
3
6
3
x 1
x  1 x  2x  3 x 1

b) Gợi ý: a3 + 2a2 - a - 2 = (a - 1)(a + 1) (a + 2)
Thực hiện phép tính từ trái qua phải thu được: 
Bài 7. Áp dụng (a-b) (a + b) = a2 - b2. Ta có:

1
3


M



1
1
1
1
1
.
.
.
.
2
2
4
8
1  x 1  x 1  x 1  x 1  x16

1
1
1
.

16
16
1 x 1 x
1  x 32

2(a  b)
9( a  b) 2
;y 

Bài 8. Biến đổi được: x 
3(a 3  b3 )
4(a  b)
2(a  b) 9( a  b) 2
3( a  b)
.
 P  x. y 

3
3
3(a  b ) 4(a  b) 2( a 2  ab  b 2 )
PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 1
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)

8x 4 y2
.
với x  0 và y  0;
15 y 3 x 2

b)

9a 2 a 2  9
.
với a  3 và a  0.
a  3 6a 3

Bài 2. Nhân các phân thức sau:

4n 2  7 m 2 

. 
a)
 với m  0 và n  0;
17 m 4  12n 
b)

3b  6 2b  18
.
với b  2 và b  9.
(b  9)3 (b  2) 2

Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau:
a)

2u 2  20u  50 2u 2  2
.
với u  5;
5u  5
4(u  5)3

b)

v  3 8  12v  6v 2  v3
với v  3 và v  2.
.
v2  4
7v  21

Bài 4. Làm tính nhân:
3 x  1 25 x 2  10 x  1

1 1
a)
.
với x   ;  ; 0;
2
2
10 x  2 x
1 9x
5 3

p 3  27 p 2  4 p
.
b)
với p  4.
7 p  28 p 2  3 p  9
Bài 5. Rút gọn biểu thức:


a)

t 4  4t 2  8
t
3t 3  3
.
.
với t  1;
2t 3  2 12t 2  1 t 4  4t 2  8

b)

y 1  2
y3 
. y  y  1 
 với y  0 và y  1.
y 1 
2y 

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:
a)

x 6  2 x3  3 3x
x2  x  1
.
.
với x  1;
x3  1
x  1 x 6  2 x3  3

b)

a 3  2a 2  a  2  1
2
1 
.


 với a  5; 2; 1.
3a  15
 a 1 a 1 a  2 

Bài 7. Tính hợp lý biểu thức sau:
M 

1
1
1
1
1
1
.
.
.
.
.
, với x  1.
2
4
8
1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x16

Bài 8.Rút gọn biểu thức: P  xy , biết (3a 3  3b 3 ) x  2b  2a với a  b và (4a  4b) y  9(a  b) 2
với a  b.
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)

8x 4 y 2
32
. 2 
với x  0 và y  0;

3
15 y x
15 xy

9a 2 a 2  9 3.(a  3)
b)
.

với a  3 và a  0.
a  3 6a3
2a
Bài 2. Nhân các phân thức sau:
a)

4n 2  7m 2  7n
. 
với m  0 và n  0;

17m 4  12n  51m 2

b)

3b  6 2b  18
6

với b  2 và b  9.
.
3
2
2

(b  9) (b  2)
(b  9) .(b  2)

Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau:
a)

2u 2  20u  50 2u 2  2
u 1
.

với u  5;
3
5u  5
4(u  5)
5.(u  5)

b)

v  3 8  12v  6v 2  v3 (v  2)2
.

với v  3 và v  2.
7v  21
7.(v  2)
v2  4

Bài 4. Làm tính nhân:


a)

3x  1 25 x 2  10 x  1 (5 x  1)
1 1
.

với x   ;  ; 0;
2
2
10 x  2 x
1 9x
2 x.(1  3x)
5 3

b)

p 3  27 p 2  4 p
( p  3). p
. 2

với p  4.
7 p  28 p  3 p  9
7

Bài 5. Rút gọn biểu thức:
a)

t 4  4t 2  8
t
3t 3  3
3t

.
.

với t  1;
3
2
4
2
2t  2 12t  1 t  4t  8 2.(12t 2  1)

b)

y 1  2
y3 
2
. y  y  1 
  y với y  0 và y  1.
2y 
y 1 

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:
a)

x 6  2 x3  3 3x
x2  x  1
3x
 2
.
.
với x  1;

3
6
3
x 1
x  1 x  2x  3 x 1

b)

a 3  2a 2  a  2  1
2
1 
2
.


  a  a  2 với a  5; 2; 1.
3a  15
1
1
2
a
a
a






Bài 7. Tính hợp lý biểu thức sau:

M

1
1
1
1
1
1
1
.
.
.
.
.

với x  1.
2
4
8
16
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
1  x32

Bài 8.Ta có

(4a  4b) y  9(a  b) 2

(3a3  3b3 ) x  2b  2a
 x 

với a  b và
2.(a  b)
9.(a  b)2


y
3.(a  b).(a 2  ab  b2 )
4.(a  b)

P  xy 

2.( a  b)
9.( a  b) 2
3.(a  b)


2
2
3.( a  b).( a  ab  b ) 4.( a  b) 2.( a 2  ab  b 2 )

PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau
a)

14 x 2 y 3

5 y2 x2

b)

5 y 2  2x2 
 

7 y 2  10 y 

với a  b.


c)

x3  8
x2  4x
 2
5 x  20 x  2 x  4

 7z 
d) 3 x3 y 4 .  
 9 xy 5 



Bài 2. Thực hiện các phép tính sau
3x  9 5  2 x

a) 4 x  10 x  3

x 2  16 6

b) 2 x  5 4  x

Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

P

x 2  1 2 x  10

x  5 x 2  x với x  99

 x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2003
Bài 4. Cho K  
.



 x 1 x 1
x
x 2  1 


a) Rút gọn K.
b) Tìm số nguyên x để K nhận giá trị nguyên.
Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:
a) P 

12 x  5
4x  3
12 x  5
6  3x




x  9 360 x  150
x  9 360 x  150

b) Q 

x  3y 4x  2 y x  3y x  3y



3x  y x  y
3x  y x  y

Bài 6. Tìm biểu thức x biết:

x:

a2  a  1 a  1
 3 .
2a  2
a 1

Bài 7. Cho ab  bc  ca  1 , chứng minh rằng tích sau khơng phụ thuộc vào biến số

A

(a  b) 2 (b  c) 2 (c  a)2



.
1  a 2 1  b2 1  c 2

Bài 8. Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau
1 x x 1 x  2 x  3 x  4





  1.
x x 1 x  2 x  3 x  4 x  5


HƯỚNG DẪN
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau

14 x 2 y 3

a)
5 y2 x2

5 y 2  2x2 
b)
 

7 y 2  10 y 

x3  8
x2  4x


c)
5 x  20 x 2  2 x  4

 7z 
d) 3 x3 y 4 .  
 9 xy 5 



Lời giải:
a)

14 x 2 y 3 14 x.2 y3 28 xy3 28 y




;
5x
5 y 2 x2
5 y 2 .x 2 5 y 2 x 2





2
2
5 y 2  2 x 2  5 y . 2 x

10 y 2 x 2  x 2
b)
 


;

7y
7 y 2  10 y 
7 y 2 .10 y
7.10 y 3












x3  8 x 2  4 x
 x  2  x2  2 x  4 x( x  4)  x  2  x
x3  8
x2  4 x





c)
5 x  20 x 2  2 x  4  5 x  20  x 2  2 x  4
5
5  x  4  x2  2 x  4



 7 z  3 x 3 y 4  ( 7 z )
7 x2 z
d) 3 x y   
.

 9 xy 5  
3y
9 xy 5


3 4

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau
x 2  16 6

b) 2 x  5 4  x

3x  9 5  2 x

a) 4 x  10 x  3

Lời giải:

a)

b)

3 x  9 5  2 x 3  x  3 5  2 x 3




4 x  10 x  3 2  2 x  5  x  3
2

;

 x  4  x  4  6  6  x  4 
x 2  16 6


2 x  5 4  x  2 x  5  4  x 
2x  5

Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

P

x 2  1 2 x  10

x  5 x 2  x với x  99

Lời giải:






Rút gọn ta được P 

2( x  1)
.
x

Với x = 99 ta có P 

2  (99  1) 200
.

99
99

 x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2003
Bài 4. Cho K  
.


 
2
 x 1 x 1
x

1
x




a) Rút gọn K.
b) Tìm số nguyên x để K nhận giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Ta có
( x  1) 2  ( x  1) 2  x 2  4 x  1 x  2003
K

( x  1)( x  1)
x


x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  x 2  4 x  1 x  2003

x
( x  1)( x  1)

x 2  1 x  2003 x  2003
 2 

x
x
x 1
b) Điều kiện x  0; x  1; x  1 .
Ta có K  1 

2003
.
x

Để K   thì

2003
   x  U(2003) và x  1; x  1 .
x

Vậy x  {2003; 2003} thì K nhận giá trị nguyên.
Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:
a) P 

12 x  5
4x  3
12 x  5
6  3x



x  9 360 x  150
x  9 360 x  150

b) Q 

x  3y 4x  2 y x  3y x  3y




3x  y x  y
3x  y x  y

Lời giải:
a) Dùng tính chất phân phối ta có


P

12 x  5  4 x  3
6  3 x  12 x  5
x9
1



 .

x  9  360 x  150 360 x  150 
x  9 30(12 x  5) 30

b) Dùng tính chất phân phối ta có
Q

x  3 y  4 x  2 y x  3 y  x  3 y 3x  y x  3 y
.






3x  y  x  y
x  y  3x  y x  y
x y

Bài 6. Tìm biểu thức x biết:

x:

a2  a  1 a  1
 3 .
2a  2
a 1

Lời giải:

x:

a2  a 1 a  1
 3
2a  2
a 1

x

a  1 a2  a  1
a 1
a2  a  1
1

.




2(a  1)
a 3  1 2a  2
(a  1) a 2  a  1 2(a  1)





Bài 7. Cho ab  bc  ca  1 , chứng minh rằng tích sau không phụ thuộc vào biến số

(a  b) 2 (b  c) 2 (c  a)2
A
.


1  a 2 1  b2 1  c 2
Lời giải:
Ta có 1  a 2  ab  bc  ca  a 2  1  a 2  (a  b)(a  c)

(1)

Tương tự 1  b 2  (b  a)(b  c)

(2)

Và 1 + c^2=(c + a)(c + b)

(3)

( a  b) 2
(b  c ) 2
(c  a ) 2
Từ (1), (2), (3) ta có A 


 A  1.
(a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)
Vậy tích trên không phụ thuộc vào biến số.
Bài 8. Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau
1 x x 1 x  2 x  3 x  4





  1.
x x 1 x  2 x  3 x  4 x  5

Lời giải:


Tích của 6 phân thức đầu tiên là

1
.

x5

Vậy phân thức cần điền là x+5.
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========