Chuyên đề Chia đơn thức cho đơn thức đa thức cho đơn thức

CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC - ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A. Lý thuyết:
Cho A và B là hai đa thức, B  0 . Ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B nếu tìm được một
đa thức Q sao cho A  B.Q
Kí hiệu: Q  A : B hoặc Q 

A
B

1. Chia đơn thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B ) ta làm như sau:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B .
- Chia lũy thừa có từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B .
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
2. Chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho
đơn thức B ), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
B. Các dạng bài tập:
Dạng 1: Chia đơn thức cho đơn thức
Phương pháp: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như sau:
Bước 1: Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B .
Bước 2: Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B .
Bước 3: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
Bài 1: Thực hiện phép tính
a) 10 x3 y : 2 xy

b) 6 x 2 y 2 z 2 : 3 xy

c)  4 x 3 y 3 : 2 x 2 y    5 x 2 y : 2 x 2 y 

d) 5 x 2 y 2  9 x 3 y 4 :  3 xy 2 
Giải

a) Ta có: 10 x3 y : 2 xy  5 x 2
b) Ta có: 6 x 2 y 2 z 2 : 3 xy  2 xyz 2
c) Ta có:  4 x3 y 3 : 2 x 2 y    5 x 2 y : 2 x 2 y   2 xy 2 

5
2

d) Ta có: 5 x 2 y 2  9 x3 y 4 :  3 xy 2   5 x 2 y 2  3x 2 y 2  2 x 2 y 2
Bài 2: Thực hiện phép tính
a) 2  x  y  :  x  y 
3

c)  x  y    y  x 
3

b) 3  x 2  y 2  :  x  y 

2

d) 6  x  y  z  : 3  x  y  z 

2

4

3

Giải
Trang 1


a) Ta có: 2  x  y  :  x  y   2  x  y 
3

2

b) Ta có: 3  x 2  y 2  :  x  y   3  x  y  x  y  :  x  y   3  x  y 
c) Ta có:  x  y  :  y  x    x  y  :  x  y    x  y 
3

2

3

2

d) Ta có: 6  x  y  z  : 3  x  y  z   2  x  y  z 
4

3

Dạng 2: Chia đa thức cho đơn thức
Phương pháp:
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta làm như sau: Chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết
quả với nhau.
Bài 1: Thực hiện phép tính
a)  2 xy 3  4 x 2 y 2  : xy

b)  3 x 2 y 2  x 3 y 2  5 x 2 y  :

xy
2

c)  5 x 4 y 2  x 3 y 2  2 x 2 y  :   x 2 y 
d)

 xy   3  xy 
3

2



z  2  xy  :  yx 
5

2

Giải
a) Ta có:

 2 xy

3

 4 x 2 y 2  : xy   2 xy 3 : xy    4 x 2 y 2 : xy   2 y 2  4 xy

b) Ta có:  3 x 2 y 2  x3 y 2  5 x 2 y  :

xy
2

xy  
xy  
xy 

  3 x 2 y 2 :    x 2 y 2 :    5 x3 y :   6 xy  2 x 2 y  10 x
2  
2  
2 


c) Ta có:  5 x 4 y 2  x 3 y 2  2 x 2 y  :   x 2 y 
 5 x 4 y 2 :   x 2 y   x 3 y 2 :   x 2 y   2 x 2 y :   x 2 y   5 x 2 y  xy  2

d) Ta có:

 xy 

3



 3  xy  z  2  xy  :  yx 
2

5

2

 xy   3  xy  z  2  xy   :  xy 
   xy  :  xy     3  xy  z :  xy     2  xy  :  xy  
3



3

2

5

2

2

 xy  3z  2  xy 

2

2

5

2

3

Bài 2: Thực hiện phép tính





a) 3  x  y   2  x  y  :  y  x 
2

3

2

Trang 2






b) 2  x  y    x 2  y 2  2 xy  :  x  y 
3

c) 4  x  3 y  :  3 x  9 y 
3

d)  x 3  27 y 3  :  3 y  x 
e) 18 x 4 y 3  24 x 3 y 4  12 x3 y 3  :  3 x 2 y 3 
5
3

2
2
f)  4  x  y   2  x  y   3  x  y   :  y  x 



Giải


 3 x  y 


 2 x  y  :  x  y

a) Ta có: 3  x  y   2  x  y  :  y  x 
2

2

3

2

3

2

 3 x  y  :  x  y   2  x  y  :  x  y   3  2  x  y 
2

2

3

2



 2 x  y   x  y  :  x  y

b) Ta có: 2  x  y    x 2  y 2  2 xy  :  x  y 
3

3

2

 2 x  y :  x  y   x  y :  x  y
3

2

 2 x  y   x  y
2

c) Ta có: 4  x  3 y  :  3x  9 y   4  x  3 y  : 3  x  3 y  
3

3

4
2
 x  3y
3

d) Ta có:  x 3  27 y 3  :  3 y  x    x  3 y   x 2  3xy  9 y 2  :  x  3 y 
  x 2  3xy  9 y 2 

e) Ta có: 18 x 4 y 3  24 x3 y 4  12 x 3 y 3  :  3 x 2 y 3 
 18 x 4 y 3 :  3 x 2 y 3   24 x3 y 4 :  3 x 2 y 3   12 x 3 y 3 : 3 x 2 y 3  6 x 2  8 xy  4 x
5
3
2
2
f) Ta có:  4  x  y   2  x  y   3  x  y   :  y  x 


5
3
2
2
 4  x  y   2  x  y   3  x  y   :  x  y 



 4  x  y  :  x  y   2 x  y  :  x  y   3 x  y  :  x  y 
5

2

3

2

2

2

 4 x  y  2 x  y  3
3

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Trang 3


Phiếu 1
Bài 1: Làm phép tính chia:
6
b)  
5

a)  18  : 9 4 ;
4

2

2

7
:  .

5

 1 
c)  
 4 

4

3

1
:  .
4

1
d)  
9

3

4

 1 
:  .
 3 

Bài 2: Làm phép tính chia:
a) x5 : x 3 .

b) 18 x 7 : 6 x 4 .

c) 8 x 6 y 7 z 2 : 4 x 4 y 7 .

d) 65 x 9 y 5 :  13 x 4 y 4  .

e)

27 3 5 9 2
x yz : xz .
15
5

f)  5  x  :  x  5  .
5

4

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
2
a) A  15 x5 y 3 :10 xy 2 tại x  3 và y  ;
3

b) B    x 3 y 5 z 2  :   x 2 y 3 z  tại x  1, y  1 và z  100.
3

a) C 

3
1
3

 x  2  :   2  x  tại x  3;
4
2

b) D   x  y  z  :   x  y  z  tại x  17, y  16 và z  1.
5

3

Bài 4: Khơng làm phép tính chia, hãy nhận xét đơn thức A có chia hết cho đơn thức B hay không?
a) A  15 x3 y 2 và B  5 x 2 y 3 .

b) A  x5 y 6 và B  x 4 y 2 z 3 .

1
c) A  3 x5 y 5 z 4 và B  2,5 x5 y 3 .
2

9
3
d) A   x12 y 4 z 3 và B  x8 y 2 z.
2
4

Bài 5:
a) Cho A  18 x10 y n và B  6 x 7 y 3 . Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B.
b) Cho A  12 x8 y 2 n z n 1 và B  2 x 4 y n z. Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B.
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và biểu thức B đồng thời chia hết cho biểu thức C
biết:
a) A  x 6 y 2 n  6 , B  2 x3 n y18 2 n

và C  x 2 y 4 ;

b) A  20 x n y 2 n 3 z 2 , B  21x 6 y 3 n t và C  22 x n 1 y 2 .
Bài tập tương tự:
Bài 7: Làm phép tính chia:
Trang 4


12

4

 5   5 
b)   :   .
 6   6 

a) 8 :  8  .
5

3

5
c)  
3

6

4

5
:  ;
3

9
d)  
7

9

3

 9 
:  .
 7 

Bài 8: Làm phép tính chia:
a) 15 x 2 y 2 : 5 xy 2 ;

b) x3 y 4 : x 3 y;

c) 5 x 2 y 4 :10 x 2 y;

d)

3
1
3
 xy  :  x 2 y 2  .
4

 2


Bài 9: Tính giá trị biểu thức:
a) A    x 3 y  :   x12 y 2  tại x  2 và y  
5

b) B  84  x 2 y 4  :14 x 2 y 6 tại x 
2

1
2

3
và y  4.
4

c) C  54  a  b  1 : 18 1  a  b  tại a  21 và b  10;
2

b) D   2  2m  :  m  1 tại m  11.
6

3

Bài 10: Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B:
a) A  35 x9 y n và B  7 x 7 y 2

b) A  28 x8 y 2 n và B  4 x 5 y 2 .

Bài 11: Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và B đồng thời chia hết cho biểu thức C:
a) A  5 x3 y 3n 1 , B  2 x3n y 5 và C  x n y 4
b) A  18 x 2 n y12 3 n z 2 , B  32 x3 y 7 và C  3 x 3 y 4 .
HƯỚNG DẪN
Bài 1: a) 16.

b)

36
.
49

c)

Bài 2: a) x5 : x 3  x 2 .
c) 8 x 6 y 7 z 2 : 4 x 4 y 7  2 x 2 z 2 .
e)

27 3 5 9 2
x yz : xz  x 2 yz 2 .
15
5

1
.
4

d)

1

.
9

b) 18 x 7 : 6 x 4  3x 3 .
d) 65 x 9 y 5 :  13 x 4 y 4   5 x 5 y .
f)  5  x  :  x  5   5  x .
5

4

Bài 3:
a) A 

3 4
2
x y. Thay x  3; y  vào A ta tìm được A  81.
2
3

b) B  yz . Thay x  1; y  1; z  100 vào B ta được B  100 .
Trang 5


c) C 

3
2
3
x  2  , thay x  3 tính được C  .


2
2
2

d) D    x  y  z  , thay x  17; y  16; z  1 tính được D  4.
Bài 4: a) A không chia hết cho B vì số mũ của y trong B lớn hơn mũ của y trong A .
b) A không chia hết cho B vì trong B có biến z mà trong A khơng có.
c) A chia hết cho B vì mỗi biến của B đều là một biến của A với số mũ của nó nhỏ hơn số mũ trong A.
d) A chia hết cho B vì mỗi biến của B đều là một biến của A với số mũ của nó nhỏ hơn số mũ trong A.
n  
Bài 5: A B  
n  3

n  
n  
b) A B  
.

n  1  1 n  2



n  
n  
2n  6  4
n  5
AC
n  
Bài 6: a) 
 

 
 
.
B C
3n  2
n  1
11  n  5




18  2n  4
n  11





n  

n  n  1

AC
n  
b) 
 2n  3  2  
B C

5  n  0


6  n  1

3  n  2
12

5

6

4

8

9

3

6
 9   9  9
d)   :    6
 7   7  7

25
5 5
c)   :   
9
3 3

Bài 8: a) 15x 2 y 2 : 5xy 2  3x.
c) 5x 2 y 4 : 10x 2 y 

4

 5   5   5 
b)   :      .
 6   6   6 

Bài 7: a) 83 :  8   88 .

b) x 3 y 4 : x 3 y  y 3 .

1 3
y .
2

d)

3
3
xy 

4

 1
 3
:   x2 y2  
xy.
 2
 2

5
1
Bài 9: a) A    x3 y  :   x12 y 2   x3 y 3 . Thay x  2 và y   vào A ta được A  1.
2

b) B  84  x 2 y 4  :14 x 2 y 6  6 x 2 y 2 . Thay x 
2

3
và y  4 vào B ta được B  54.
4

c) C  3  x  y  1 , thay x  21, y  10 tính được C  90.
3

d) D  64  x  1 , thay x  11 tính được D  64000.
n  
Bài 10: a) A B  
n  2

n  
b) A B  
n  1
Trang 6


Bài 11:
n  
n  




AC
n  
3n

n  3


a) 
 n  1; 2;3 .

 
 
3n  1  4
n  1
1  n  3
B C







3n  n
n  0


n  


n  



AC

n  

3


 n  2;3 .
b) 
 2n  3
 n    3
B C


 n 3
2




13  3m  4
n  3

 2






Trang 7


PHIẾU 2
Bài 1: Làm phép tính chia:









a) 6.8 4  5.8 3  82 : 8 2 ;

b) 5.92  35  2.33 : 32

c)  2.34  32  7.33  : 32 .

d)  6.23  5.24  25  : 23 .

Bài 2: Làm phép tính chia:
a)  x 3  12 x 2  5 x  : x .

b)  3 x 4 y 3  9 x 2 y 2  15 xy 3  : xy 2 .

1

 1
c)  5 x5 y 4 z  x 4 y 2 z 3  2 xy 3 z 2  : xy 2 z
2

 4

1
3
d)  x  y   3  x  y   :  x  y  .

 3

e  8 x3  27 y 3  :  2 x  3 y  .

6
5
4
f) 5  x  2 y   6  x  2 y   : 2  x  2 y  .



Bài 3: Tính giá trị biểu thức:





a) A  15 x 5 y 3  10 x 3 y 2  20 x 4 y 4 : 5 x 2 y 2 tại x  1; y  2.





b) B   2 x 2 y  3 x4 y 3  6 x 3 y 2  :  xy  tại x  y  2.


2

2

2
1
c) C  2 x 2 y 2  4 xy  6 xy 3 : xy tại x  ; y  4.
3
2





1
2

d) D   x 2 y 5  x 5 y 2  : 2 x 2 y 2 tại x  3; y  3.
3
3


Bài 4: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:
a) A  x 2 y 4  2 x3 y 3 ; B  x n y 2 .
b) A  5 x8 y 4  9 x 2 n y 6 ; B   x 7 y n .
c) A  4 x 9 y 2 n 10 x10 y 5 z 2 ; B  2 x3 n y 4 .
Bài 5:
a)  2.104  6.103  102  :100 .





c) 7.55  8.54  125 : 5 3

b)  5.162  48  4.43  : 42 .





d) 3.4 2  8 2  3.16 2 : 2 3 ;

Bài 6: Làm phép tính chia:
a)  x 3  4 x 2  x  : x .

b)  8 x 7  4 x 6  12 x 3  : 4 x 3 .
Trang 8


c)  2 x 4 y 3  3 x 2 y 2  2 x 2 y 3  : x 2 y .

d)  x 2 y 4 z 3  5 xy 3 z 3  4 xy 2 z 2  : xy 2 z .

Bài 7: Tính giá trị biểu thức
a) A   20 x 5 y 4  10 x3 y 2  5 x 2 y 3  : 5 x 2 y tại x  1; y  1 .
1
1
b) B   2 x 2 y 2  xy 2  6 xy  : xy  6 xy  3 y  18 tại x   ; y  1 .
3
2

2
1

c) C   x 2 y 5  x5 y 4  : 2 x 2 y 2 tại x  5; y  10 .
5
5


d) D   7 x 5 y 4 z 3  3 x 4 z 2  2 x 2 y 2 z  : x 2 yz tại x  1; y  1; z  2 .
Bài 8: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B.
a) A  13 x17 y 2 n 3  22 x16 y7 ; B  7 x 3n1 y 6 .
b) A  20 x5 y 2 n  10 x4 y 3n  15x5 y 6 , B  3x 2 n y n1 .
Bài 9: Làm phép tính chia:
5
3
2
a) 16  x  y   12  x  y   : 4  x  y  .



1
4
2
2
b)  2  x  y  2 z   3  y  x  2 z   :  x  y  2 z  .

 2
HƯỚNG DẪN
Bài 1: a) 6.8 2  5.8  1  345





b) 5.9 2  3 5  2.3 3 : 32  66
c)  2.34  32  7.33  : 32  2.32  1  7.3  2.
d)  6.23  5.24  25  : 23  6  5.2  22  0 .
Bài 2: a)  x 3  12 x 2  5 x  : x  x 2  12 x  5.
b)  3 x 4 y 3  9 x 2 y 2  25 xy 3  : xy 2  3 x3 y  9 x  25 y
1

 1
c)  5 x5 y 4 z  x 4 y 2 z 3  2 xy 3 z 2  : xy 2 z  20 x 4 y 2  2 x 3 z 2  8 yz
2

 4

Trang 9

1
3
2
d)  x  y   3  x  y   :  x  y   3  x  y   9

 3
e)  8 x 3  27 y 3  :  2 x  3 y    2 x  3 y   4 x 2  6 xy  9 y 2  :  2 x  3 y   4 x 2  6 xy  9 y 2
5
6
5
4
2
f) 5  x  2 y   6  x  2 y   : 2  x  2 y    x  2 y   3  x  2 y 


2

Bài 3: a) A  3x3 y  2x  4x 2 y 2 .
Thay x  1; y  2 vào biểu thức tính được kết quả A  12 .
b) B  4x2  3x2 y  6x
Thay x  y  2 vào biểu thức tính được kết quả B  4 .

2
c) C  2 x 2 y 2  4 xy  6 xy 3 : xy  3xy  6  9 y 2
3



Thay x 



1
; y  4. vào biểu thức tính được kết quả C  144
2

 1 2 5 2 5 2 
1 3 1 3
2 2

d) D   x y  x y  : 2x y  y  x
3
6
3
3

Thay x  3; y  3. vào biểu thức tính được kết quả D 

27
2

Bài 4: a) A B  2  n  n  2 mà n    n  0;1; 2 .
4  n
7
b) A B  
  n  4 mà n    n  4 .
2
2n  7
 2n  4
10

c) A B  
 2  n  , mà n    n  2;3 .
3
10  3n
Bài 5: a)  2.104  6.103  102  :100  2.10 2  6  1  205 .
b)  5.162  48  4.43  : 44  5  4 4  1  260 .









c) 7.55  8.5 4  125 : 53  7.25  8.5  1  136
d) 3.4 2  8 2  3.16 2 : 2 3  110
Bài 6:

Trang 10


a)  x 3  4 x 2  x  : x  x 2  4 x  1 .
b)  8 x 7  4 x 6  12 x 3  : 4 x 3  2 x 4  x 3  12 .
c)  2 x 4 y 3  3 x 2 y 2  2 x 2 y 3  : x 2 y  2 x 2 y 2  3 y  2 y 2 .
d)  x 2 y 4 z 3  5 xy 3 z 3  4 xy 2 z 2  : xy 2 z  xy 2 z 2  5 yz 2  4 z .
Bài 7:
a) A   20 x 5 y 4  10 x 3 y 2  5 x 2 y 3  : 5 x 2 y 2  4 x3 y 2  2 x  y
Thay x  1; y  1 vào A ta được A  7 .
1

1
b) B   2 x 2 y 2  xy 2  6 xy  : xy  6 xy  3 y  18 . Thay x   ; y  1 vào B ta được B  12 .
3
2

2
1 3 1 3 2
1

b) C   x 2 y 5  x 5 y 4  : 2 x 2 y 2 
y  x y . Thay x  5; y  10 vào C ta được C  2600 .
5
10
5
5


c) D   7 x 5 y 4 z 3  3 x 4 z 2  2 x 2 y 2 z  : x 2 yz  7 x 3 y 3 z 2  3 x 2 z  2 y . Thay x  1; y  1; z  2 vào D ta được
D  32 .

Bài 8:
a) A  B  2n  3  6 và 16  3n  1 . Giải ra được n  5 .
b) A  B  4  2n; 2n  n  1 và 6  n  1 . Giải ra được n  1 .
Bài 9:
5
3
2
3
a) 16  x  y   12  x  y   : 4  x  y   4  x  y   3  x  y  .




1
4
2
2
2
b)  2  x  y  2 z   3  y  x  2 z   :  x  y  2 z   4  x  y  2 z   6 .

 2
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Trang 11