Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (508.31 KB, 21 trang )
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề
11
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG
Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
a , b 0, thì: a b 2 a.b . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b.
a , b , c 0, thì: a b c 3. 3 a.b.c . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b c.
2
Nhiều trường hợp đánh giá dạng:
ab
3
ab
ab
abc
a.b
và a.b.c
2
3
2
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
a , b, x , y , thì: ( a.x b.y)2 ( a2 b2 )( x 2 y 2 ) . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi:
a b
x y
a , b, c , x , y , z , thì: ( a.x b.y c.z)2 ( a2 b2 c 2 )( x2 y 2 z 2 ) .
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
x y z
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x b.y ( a 2 b2 )( x2 y 2 ).
Hệ quả. Nếu a , b, c là các số thực và x , y , z là các số dương thì:
a2 b2 ( a b)2
a 2 b 2 c 2 ( a b c )2
và
: bất đẳng thức cộng mẫu số.
x
y
xy
x
y
z
x y z
Bất đẳng thức véctơ
Xét các véctơ: u ( a; b), v ( x; y) . Ta ln có: u v u v
a2 b2 x 2 y 2 ( a x)2 ( b y)2 . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng hướng.
Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp
x 3 y 3 ( x y)3 3xy( x y).
x 3 y 3 z 3 ( x y z) 3 3( x y)( y z)( z x).
x 3 y 3 z 3 3xyz ( x y z) x2 y 2 z 2 ( xy yz zx) .
( a b)( b c)(c a) ab 2 bc 2 ca 2 (a 2 b b2 c c 2 a).
x 2 y 2 z 2 ( x y z )2 2( xy yz zx).
(a b)(b c)(c a) (a b c)( ab bc ca) abc.
( a b)2 ( b c )2 ( c a)2 2( a 2 b2 c 2 ab bc ca)
2( a 3 b3 c 3 ) 6 abc
abc
( a b)3 (b c) 3 ( c a)3 3( a b)(b c)(c a).
2
2
( a b )2 ( a 2 b 2 )
( a b )2
( a b)2 và ab
4
2
2
Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ
Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại)
.( a2 b2 ) .ab
suy ra
a. x; y; z 0
x 2 y 2 z 2 xy yz zx.
suy ra
b. x; y; z 0
( x y)( y z)( z x) 8 xyz.
suy ra
3( x2 y 2 z 2 ) ( x y z)2 .
c. x; y; z
suy ra
d. x; y; z 0
( x y z)( x 2 y 2 z 2 ) 3( x 2 y y 2 z z 2 x).
suy ra
e. x; y; z 0
( x y z )2 3( xy yz zx).
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
Page - 256 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
suy ra
f. x; y; z 0
x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 xyz( x y z).
suy ra
g. x; y; z 0
( xy yz zx)2 3xyz( x y z ).
suy ra
3( x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 ) ( xy yz zx) 2 .
h. x; y; z
9
suy ra
i. x; y; z
( x y z )( xy yz zx) ( x y)( y z )( z x).
8
Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)
1
suy ra
x 3 y 3 ( x y )3 .
j. x; y 0
4
1
1
2
1
1
2
suy ra
suy ra
k. xy 1
và xy 1
2
2
2
2
1 xy
1 xy
1 x
1 y
1 x
1 y
suy ra
Suy ra: xy 1
suy ra
l. x; y 1
1
1
2
1
1
2
suy ra
và xy 1
1 x 1 y 1 xy
1 x 1 y 1 xy
1
1
1
2
2
1 xy
(1 x) (1 y)
suy ra
m. x; y 0;1
1
1 x
2
1
1 y
2
2
1 xy
2
x , y 0
2
1
1
suy ra
n.
1 1
1
x
y
x y 1
xy
Chứng minh các đánh giá cơ bản
a. Chứng minh: x; y; z 0
x 2 y 2 z 2 xy yz zx.
suy ra
x 2 y 2 2 x2 y 2 2 xy
Áp dụng BĐT Cauchy: y 2 z 2 2 y 2 z 2 2 yz x2 y 2 z 2 xy yz zx. Dấu " " khi x y z.
2
2
2 2
z x 2 z x 2 zx
suy ra
b. Chứng minh: x; y; z 0
( x y)( y z)( z x) 8 xyz.
x y 2 xy
nhân
Áp dụng BĐT Cauchy y z 2 yz ( x y)( y z )( z x ) x 2 y 2 z 2 8 xyz. Dấu " " khi x y z.
z x 2 zx
suy ra
3( x2 y 2 z 2 ) ( x y z)2 .
c. Chứng minh: x; y; z
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số, ta được:
x2 y2 z2
x 2 y 2 z 2 ( x2 y 2 z 2 )
3( x2 y 2 z 2 ) ( x y z )2 . Dấu " " khi x y z.
1
1
1
3
suy ra
d. Chứng minh: x; y; z 0
( x y z)( x 2 y 2 z 2 ) 3( x 2 y y 2 z z 2 x).
Ta có: ( x y z)(x 2 y 2 z 2 ) ( x3 xy 2 ) ( y 3 yz 2 ) ( z 3 zx2 ) x 2 y y 2 z z 2 x
Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (…) ta được:
( x y z)( x2 y 2 z 2 ) 2 x2 y 2 y 2 z z 2 x x2 y y 2 z z 2 x 3( x 2 y y 2 z z 2 x ). Dấu " " khi x y z.
suy ra
e. Chứng minh: x; y; z 0
( x y z )2 3( xy yz zx).
Ta có: ( x y z)2 x2 y 2 z 2 2( xy yz zx) 3( xy yz zx). Dấu " " khi x y z.
suy ra
f. Chứng minh: x; y; z 0
x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 xyz( x y z).
Đặt: a xy; b yz ; c zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
a2 b2 c 2 ab bc ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.)
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
Page - 257 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Dấu đẳng thức khi x y z hoặc y z 0 hoặc x y 0 hoặc z x 0.
suy ra
g. Chứng minh: x; y; z 0
( xy yz zx)2 3xyz( x y z ).
Đặt: a xy; b yz ; c zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
( a b c) 2 3( ab bc ca) : luôn đúng theo BĐT e.
Dấu đẳng thức khi x y z hoặc y z 0 hoặc x y 0 hoặc z x 0.
suy ra
h. Chứng minh: x; y; z
3( x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 ) ( xy yz zx) 2 .
( xy )2 ( yz )2 ( zx)2 Cauchy Schwarz
Ta có: 3( x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 ) 3
( xy yz zx)2 .
1
1
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z.
9
suy ra
( x y z )( xy yz zx) ( x y)( y z )( z x).
i. Chứng minh: x; y; z
8
Cauchy
Ta có: ( x y)( y z)( z x) 2 xy . yz . zx 8 xyz.
Mặt khác: ( x y z)( xy yz zx) xyz ( x y)( y z)( z x). Suy ra:
1
9
( x y z)( xy yz zx) 1 ( x y)( y z)( z x) ( x y)( y z)( z x).
8
8
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x y z.
Chứng minh các bất đẳng thức phụ
1
suy ra
j. Chứng minh: x; y 0
x 3 y 3 ( x y )3 .
4
2
( x y)3
x y
Ta có: x y ( x y) 3x.y( x y) ( x y ) 3.
Dấu " " khi x y.
.( x y)
4
2
1
1
2
1
1
2
suy ra
suy ra
k. Chứng mnh: xy 1
và xy 1
2
2
2
2
1 xy
1 xy
1 x
1 y
1 x
1 y
Cauchy
3
3
3
3
Chứng minh: xy 1
1
1
2
2
2
xy
1
1 x
1 y
(1)
1
1 1
1
Bất đẳng thức (1) tương đương với:
0
2
2
1 xy
1 x 1 xy 1 y
xy x2
(1 x )(1 xy)
2
( y x)
xy y 2
(1 y )(1 xy)
2
x(1 y 2 ) y(1 x 2 )
(1 x )(1 y )(1 xy)
2
2
( y x)2 ( xy 1)
(1 x 2 )(1 y 2 )(1 xy)
Chứng minh: xy 1
0
x( y x)
(1 x )(1 xy)
0 ( y x)
2
y( x y )
(1 y 2 )(1 xy )
( x y) xy(y x)
(1 x 2 )(1 y 2 )(1 xy)
0
0
0 : đúng xy 1. Dấu " " khi x y hoặc xy 1.
1
1
2
2
2
1 xy
1 x
1 y
(2)
Ta làm tương tự và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y hoặc xy 1.
Suy ra: xy 1
1
1
2
1
1
2
và xy 1
1 x 1 y 1 xy
1 x 1 y 1 xy
Mở rộng: x; y; z 1 thì
1
1
1
3
2
2
2
1
xyz
1 x
1 y
1 z
(3)
Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. Dấu " = " khi và chỉ khi: x y z 1.
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
Page - 258 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
suy ra
l. Chứng minh: x; y 1
1
1
1
2
2
1 xy
(1 x) (1 y)
2
1
1
1
1
1
2
1
Ta có:
0
2
2
1 xy
(1 x) (1 y)
1 x 1 y (1 x)(1 y) 1 xy
( y x) 2
1 xy x y
( y x) 2
( x 1)( y 1)
0
0 : đúng x , y 1.
(1 x)2 (1 y) 2 (1 x)(1 y)(1 xy)
(1 x)2 (1 y) 2 (1 x)(1 y)(1 xy)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1.
1
suy ra
m. Chứng minh: x; y 0;1
Ta có: 1.
1
1 x
2
1.
Cauchy Schwarz
1
1 y
Mặt khác x , y (0;1), thì
2
1 x
12 12 .
2
1
1 y
2
2
1 xy
1
1
1 x2 1 y2
(1)
1
1
2
1 x2 1 y 2 1 xy
(2)
1
xy x2
xy y 2
1 1
1
Thật vậy: (2)
0
0
2
1 xy 1 y 2 1 xy
(1 x2 )(1 xy) (1 y 2 )(1 xy)
1 x
x( y x)
(1 x 2 )(1 xy)
Từ (1), (2), suy ra:
y( x y)
(1 y 2 )(1 xy)
1
1 x2
0
1
1 y2
( y x)2 ( xy 1)
(1 x 2 )(1 y 2 )(1 xy)
2
1 xy
0 : đúng xy 1.
, x; y 0;1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi: x y.
2
x , y 0
2
1
1
suy ra
n. Chứng minh:
1 1
1
x
y
x y 1
xy
Ta có: BĐT
( x y )2
( x y )2
1 1 1
4
4
1
4
1 1
4
xy x y ( x y)2 x y
xy ( x y)2 x y x y
xy( x y)2 xy( x y)
( x y )2 (1 x y) 0 : đúng với mọi x y 1 và dấu " " khi và chỉ khi: x y.
§ 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
I. Bài tốn hai biến có tính đối xứng
VD 1.
(CĐ – 2008) Cho hai số x , y thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
min P 7 khi x y 1
ĐS:
13
1 3
1 3
khi x
; y
max P
2
2
2
VD 2. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y 1 3xy. Tìm giá trị lớn nhất
nhất của biểu thức: P 2( x3 y 3 ) 3 xy.
của biểu thức: P
VD 3.
3y
3x
1
1
2 2
y( x 1) x( y 1) x
y
ĐS: max P 1 khi x y 1.
(D – 2009) Cho x , y 0 thỏa mãn điều kiện: x y 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P (4 x2 3 y)(4 y 2 3x) 25 xy.
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
191
2 3
2 3
khi x
; y
min P
16
4
4
ĐS:
max P 25 khi x y 1
2
2
Page - 259 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
VD 4. Cho các số thực x , y thỏa:
2 x 3 2 y 3 x y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:
3
3
min P 2 8 5 khi x ; y
2
2
P 8 5 x y x 2 y 2 2( x 1)( y 1).
ĐS:
7
1
max P 34 khi x ; y
2
2
2
2
VD 5. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 x 2 y xy 1. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của: P 7( x4 y 4 ) 4 x 2 y 2 .
18
5
5
khi x
; y
min P
25
5
5
ĐS:
max P 70 khi xy 7 , x 2 y 2 20
33
33
33
VD 6. Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2 xy y 2 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P
x4 y 4 1
x y 1
2
2
ĐS: min P
11
và max P 6 2 6.
15
VD 7. (B – 2011) Cho a , b 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2( a 2 b 2 ) ab ( a b)( ab 2). Tìm giá trị
a 3 b3
a2 b2
nhỏ nhất của: P 4 3 3 9 2 2
a
a
b
b
ĐS: min P
a 2, b 1
23
khi
4
a 1, b 2
x 1 y 1
VD 8. (HSG – Hà Tĩnh – 2014) Cho các số thực dương x , y thỏa: x y 2 3
Hãy tìm
x
y
x2 y2 3
x 1
x 3
2596
giá trị nhỏ nhất của: P ( x y) 2 4 4 ĐS: min P
khi
hoặc
xy
81
x
y 3
y 1
y
II. Bài tốn hai biến có tính đẳng cấp
VD 9. Cho các số thực dương x và y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 0. Tìm giá trị lớn nhất
max P 1 khi x 0; y
ĐS:
3x 2 2 xy y 2
min P 0,5 khi x y 0
VD 10. (B – 2008) Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn hệ thức: x 2 y 2 1. Tìm giá trị lớn nhất
2 xy y 2
và giá trị nhỏ nhất của: P
x 3 y
ĐS: max P 3 khi 2
2
1 2 xy 2 y
x y 1
VD 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4 x2 2 xy y 2 3. Tìm giá trị lớn nhất và
và giá trị nhỏ nhất của: P
2( x 2 6 xy)
2
1
3
VD 12. (D – 2013) Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: xy y 1. Hãy tìm giá trị
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 2xy y 2 .
lớn nhất của: P
xy
x xy 3 y
2
2
x 2y
6( x y)
ĐS: min P 2 và max P
ĐS: max P
1
5 7
khi x ; y 2.
3 30
2
VD 13. Cho x và y là các số thực dương thỏa: 2 y 2 (11x2 1) 8 x4 6 y 4 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
x2 y
( x2 y 2 )( y 4 x2 y 2 )
ĐS: min P
1
2 1
khi x ; y 1.
5
2
VD 14. Cho x và y là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P
xy x4 9x 2 y 2
x2 8 y 2
3 2
khi x 6 2 và y 1.
4
VD 15. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y 2. Hãy tìm giá trị lớn nhất
ĐS: max P
của biểu thức: P 7( x 2 y ) 4 x 2 2 xy 8 y 2 .
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
4
2
ĐS: max P 8 khi x ; y
3
3
Page - 260 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
III. Bài tốn có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau
VD 16. (D – 2012) Cho các số thực dương x và y thỏa: ( x 4)2 ( y 4)2 2 xy 32. Hãy tìm giá trị nhỏ
17 5 5
1 5
khi x y
4
4
VD 17. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x , y 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
nhất của: P x 3 y 3 3( xy 1)( x y 2).
thức: P
x 3 y 3 x2 y 2
( x 1)( y 1)
ĐS: min P
ĐS: min P 8 khi x y 2.
VD 18. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
2
2
3
x 4 y 4 ( x y )2
ĐS: min P
13
khi x 5 1, y 5 1.
8
VD 19. Cho hai số thực dương a , b khác nhau và thỏa mãn điều kiện: a2 2b 12. Tìm giá trị nhỏ nhất
4
4
5
27
của biểu thức: P 4 4
ĐS: min P
khi a 2; b 4.
64
a
b
8( a b)2
VD 20. (B – 2006) Cho x , y . Tìm giá trị nhỏ nhất: P x2 y 2 2 x 1 x 2 y 2 2 x 1 y 2 .
ĐS: min P 2 3 khi x 0, y
3
3
3
và 6 xy x y. Tìm giá trị nhỏ nhất của
5
3y 1
3x 1
34
1
biểu thức: P 2
khi x y
2
(3x y )(3 y x). ĐS: min P
9
3
9 y 1 9x 1
VD 21. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: x; y
VD 22. Cho các số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y xy 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3
3
x 1
y 1
2
2
biểu thức: P 4
4
x y . ĐS: min P 64 2 khi x y 1.
y
x
VD 23. (D – 2014) Cho hai số thực dương thay đổi x và y thỏa: 1 x; y 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
x 2y
x2 3 y 5
y 2x
y 2 3x 5
1
4( x y 1)
ĐS: min P
7
khi x 1, y 2.
8
VD 24. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 x2 2 y 2 1 / xy 5. Tìm giá trị
lớn nhất của: P
3
3
4
2
2
1 2 xy
1 x
1 y
ĐS: max P
32
1
khi x y
15
2
1
2
2
3
?
Tìm giá trị lớn nhất: P
2
2
2ab
1 a
1 4b 1 4ab
VD 26. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: x 4 y 4 4 6 / xy. Tìm giá trị nhỏ nhất
VD 25. Cho a , b 0, thỏa: 2ab 2 a 4 16b4
của biểu thức: P
3 2 xy
1
1
1 2x 1 2y 5 x2 y2
ĐS: min P 1 khi x y 1.
VD 27. Cho x , y 0 thỏa mãn: x , y (0;1) và ( x3 y 3 )( x y) xy( x 1)( y 1) 0. Tìm giá trị lớn nhất
của: P
1
1 x
2
1
1 y
2
xy ( x y) 2 .
ĐS: max P
6
10
1
1
khi x y
9
3
VD 28. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: a2 b2 a b 4. Tìm giá trị nhỏ nhất
a2 1 b2 1
ab
2 5
của: P 2 2
2
ĐS: min P 4
khi a b 1.
2
5
( a b) 1
a a b b
VD 29. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: a4 b4 4
nhất của: P
a1
b1
ab
2 a 1 2b 1 a 2 b 2 1
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đồn
ĐS: min P
6
Hãy tìm giá trị nhỏ
ab
1
khi a b 1.
3
Page - 261 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1.
Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 x y. Tìm giá trị lớn nhất và giá
min P 0 khi x y 0
ĐS:
max P 4 khi x y 1
trị nhỏ nhất của: P x 3 y 3 x 2 y y 2 x.
BT 2.
Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
thức: P ( x 1) 1 ( y 1) 1
y
x
BT 3.
1
2
Cho x , y 0 thỏa: ( xy 1)(9 xy 2 xy) 7( x 2 y 2 ) 2 xy 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của: P xy xy
BT 4.
ĐS: min P 4 3 2 khi x y
min P 4 khi x y 1
x y 2
ĐS:
27
P
max
khi
1
x y
4
2
1
1
xy
xy
Cho các số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x 1, y 1 và 4 xy 3( x y). Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của: P x 3 y 3
65
3
min P 12 khi x y 2
ĐS:
x 1, y 3
max P 74 khi
3
x 3, y 1
3
3
2
2
x
y
BT 5.
Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy x 2 y 2 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá
BT 6.
min P 5 khi x y 1
ĐS:
max P 33 khi x y 3
Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x , y 1 và x y xy 8. Tìm giá trị lớn
trị nhỏ nhất của: P x4 y 4 4 xy x3 y 3 .
nhất và giá trị nhỏ nhất của: P x y x y .
2
BT 7.
1
2
min P 24 khi x y 2
ĐS:
51
7
khi x , y 1
max P
2
2
xy
min P 2 2 2 khi x 2, y 1
ĐS:
33 2 5
khi x 4, y 0
max P
2
9 x y ( x y) .
2
(A – 2006) Cho x , y là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện: ( x y).xy x 2 y 2 xy. Hãy
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P
BT 9.
2
Cho các số thực x và y thỏa: x y y 1 2 x 4 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của: P
BT 8.
2
1
1
3
3
x
y
ĐS: max P 16 khi x y
1
2
Cho các số không âm x và y thay đổi thỏa: x y xy 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của: P x 2 y 2
3
min P khi x y 1
ĐS:
2
max P 0 khi x 0, y 3
3y
xy
3x
y 1 x 1 x y
BT 10. Cho các số thực dương x , y. Hãy tìm giá trị lớn nhất của: P
x4 y 4 x2 y 2 5 xy
( x y) 4 ( x y) 2 x y
7
khi x y.
2
BT 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy 0 và x y 0. Hãy tìm giá trị lớn
ĐS: max P
nhất và giá trị nhỏ nhất của: P
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
x2 y 4y 3
x3 8y3
min P 0,5 khi x 0, y 0
ĐS:
1
max P khi x 4 y
6
Page - 262 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
BT 12. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 3 y 2 1 y(3 x 2). Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: P
x 2y
x2 2 y 2
2 x2 xy 8 y 2
2 xy y 2
BT 13. Cho x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2 xy y 2 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: P x2 2 xy 7 y 2 .
Đáp số: min P 16 khi x
7
7
8
2
2
, y 3
và max P khi x 5
; y
2
2
21
21
3
BT 14. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 3 y 2 xy 2 và y 0. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức: P x2 xy 2 y 2 .
BT 15. Cho x , y 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
x(4 x2 3) y(4 y 2 3)
x y 4 xy
Đáp số: min P 2 khi x y 0,5.
BT 16. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3xy 3 x 4 y 4
trị lớn nhất của biểu thức: P
16
x2 y 2 .
2
x y 2
2
ĐS: max P
2
Hãy tìm giá
xy
20
khi x y 2.
3
BT 17. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 y y 2 x x y 3xy. Tìm giá trị
nhỏ nhất của: P x2 y 2
(1 2 xy)2 3
2 xy
ĐS: min P
71
khi x y 2.
4
BT 18. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 y xy 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P
y2
x2
4 8y 1 x
ĐS: min P
8
khi x 4, y 2.
5
BT 19. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y x 1 2 y 2. Hãy tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2 y 2 2( x 1)( y 1) 8 4 x y .
Đáp số: min P 18 khi x 1, y 1 và max P 25 khi x 2, y 1.
BT 20. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 3 y 2 y 3 x2 3. Tìm giá trị lớn
3
2
BT 21. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: ( x2 y 2 1)2 3x 2 y 2 1 4 x2 5 y 2 . Tìm
nhất của: P xy ( x y )3 12( x 1)( y 1).
ĐS: max P 10 khi x y
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
Đáp số: min P 1 khi x 0; y 1 và max P
x2 2 y 2 3x 2 y 2
x2 y 2 1
4
khi x 0; y 2.
3
x y 1 1
BT 22. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3 x y 2. Tìm
y x x y
2
x4 y 4
1 1
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2 2 3xy
x
y
y x
BT 23. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 5( x y)( xy 3) 6( x 2 y 2 ) 20 xy.
x4 y4
x3 y 3
x2 y 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 9 4 4 16 3 3 25 2 2
x
x
x
y
y
y
14156
khi a 1, b 3 hoặc a 3, b 1.
Đáp số: min P
27
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
Page - 263 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
BT 24. Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn điều kiện: ( a 2 2b2 )2 3a2 b2 2( a2 b2 )(a 2 2b 2 ). Tìm
2
2
2
2
2
2
a 3 b3 8b 3 ( a b) 2 a 5b ( a b) 2a 5b
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
3
b3
a
ab( a 2 b 2 )
Đáp số: min P 97
khi a b c 1.
3
BT 25. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 4 y 2 4 xy x 2 y 2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P 4 x 8 y 6 xy 1.
ĐS: max P 12 khi x 1; y 0,5.
BT 26. Cho hai số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x y 2 x 2 y 1 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá
2(1 xy x y )
y
x
trị nhỏ nhất của biểu thức: P ( x y ) ( y x)
2
2
xy
BT 27. Cho x , y là hai số thực dương thay đổi thỏa: 3x2 8 y 3 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
4
4
1
2
2
x
y ( x y )2
ĐS: min P 6 khi x 2, y 1.
BT 28. (B – 2009) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa: ( x y)3 4 xy 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P 3( x 4 y 4 x2 y 2 ) 2( x 2 y 2 ) 1.
ĐS: min P 9
khi x y 1
16
2
BT 29. Cho x và y là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4( x2 y 2 xy) 1 2( x y).
3
1
khi x y
4
2
1
1
BT 30. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 1 y 1 4. Tìm giá trị
y
x
Tìm giá trị lớn nhất của: P xy x y x 2 y 2 . ĐS: min P
nhỏ nhất của: P xy 1 x2 1 y 2 .
ĐS: min P 9 2 10 khi x y 3.
BT 31. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y 2 x 2 3 y 2014 2012. Tìm
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: P ( x 1)2 ( y 1)2
Đáp số: min P 4044122
2015 2 xy x y 1
x y 1
x 2
x 2
2015
khi
và max P 4096577
khi
2013
2026
y 2023
y 2014
2015
BT 32. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: x 2 9 y 2 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
4 t x 3 y 1
HD: f ( t ) t ,
t t 1 2;1 2
BT 33. Cho x và y thỏa mãn điều kiện: x 4 16 y 4 (2 xy 1)2 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
biểu thức: P
( x 1)2 3(2 xy 1) (3 y 1)2
x 3y 1
nhất của biểu thức: P x( x2 3) 2 y(4 y 2 3).
HD: Bài toán đối xứng theo x , 2 y.
BT 34. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3
lớn nhất của biểu thức: P
16
x2 y2 .
2
x y 2
ĐS: min P
2
BT 35. Cho x , y 0 thỏa: x y xy 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P
3 x3 y 3
2
2 2 Tìm giá trị
xy y
x xy
20
khi x y 2.
3
4y
4x
2xy 7 3xy .
y 1 x1
Đáp số: min P 6 khi x y 1.
BT 36. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn điều kiện: x 2 xy y 2 ( x y )( xy 1). Tìm giá trị nhỏ
nhất của: P ( x 2 y 2 )
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
xy
xy 2
2
4( xy 1) 2 y
3( x y) x
ĐS: min P 55.
Page - 264 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
§ 3. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ
I. Ba biến đối xứng
1. Đặt ẩn phụ trực tiếp
VD 30. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P 2xy 2 yz 2 zx
1
xyz
ĐS: max P 2
3
3
khi x y z
3
3
VD 31. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P x 2 y 2 z 2
xy yz zx
x y z 3
2
2
2
ĐS: min P
7
khi x y z 1.
2
VD 32. Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P ( xy yz 2 zx)2
8
( x y z ) xy yz 2
2
VD 33. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện:
của biểu thức: P
4xyz 3 3 xyz
1 4( x y z )
2
2
2
1 16xyz
x2 y 2 z 2 . Tìm giá trị lớn nhất
4
ĐS: max P
2
, y 0.
2
ĐS: min P 3 khi x z
13
1
khi x y z
28
4
VD 34. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 2xyz 1. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P
1
x (1 y 2 )(1 z 2 ) y (1 z 2 )(1 x 2 ) z (1 x 2 )(1 y 2 ).
2
2
x y z
2
ĐS: max P 2 khi x y z.
2. Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau
3
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
2
15
1
ĐS: min P
khi x y z
2
2
VD 35. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z
biểu thức: P
2
x2 y
z2 1 1 1
y
z
x x y z
VD 36. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P 8 3 xyz 3
x3 y3 z3
3
ĐS: max P 9 khi x y z 1.
VD 37. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
3
3
1 x y z
1
P ( x y z )2
xyz
xy yz zx
2
ĐS: min P 4 khi x y z
1
3
VD 38. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa: x y z và x 2 y 2 z 2 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
ĐS: max P 4 khi x 2; y 1; z 0.
thức: P ( x y )( y z )( x z )( xy yz zx).
VD 39. Cho x , y , z không âm thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P 3( x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 ) 3( xy yz zx ) x 2 y 2 z 2 . ĐS: min P 1 khi ( x; y; z) (1; 0; 0).
VD 40. (B – 2010) Cho a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a b c 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:
P 3( a 2 b 2 b2 c 2 c 2 a 2 ) 3( ab bc ca) 2 a 2 b2 c 2 . ĐS: min P 2 khi ( a; b; c ) (1; 0; 0).
VD 41. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P x 2 y 2 z 2
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
xy yz zx
x y y2 z z2 x
2
ĐS: min P 4 khi x y z 1.
Page - 265 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
VD 42. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
( x y z 1)2
x yy zz x
2
2
2
1 1 1
x y z
ĐS: min P
13
khi x y z 1.
3
VD 43. (HSG Bình Phước 2014) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của
1
biểu thức: P
x y z 1
2
2
2
2
( x 1)( y 1)( z 1)
ĐS: max P
1
khi x y z 1.
4
VD 44. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 1, y 0, z 0. Tìm giá trị lớn nhất của
1
biểu thức: P
x y z 2x 2
2
2
2
2
x( y 1)( z 1)
ĐS: max P
1
khi y z 1, x 2.
4
VD 45. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P
9
16
( x 2 z)( y 2 z) xy
x y 2 z2 1
2
ĐS: min P 5 khi x y z 1.
VD 46. (B – 2013) Cho a , b, c là các số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P
4
a b c 4
2
2
2
9
( a b) ( a 2c)(b 2c)
ĐS: max P
5
khi a b c 2.
8
VD 47. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P
8 xyz
( x y)( y z)( z x)
x y z
2
y z x
ĐS: min P 2 khi x y z.
VD 48. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x 2 y 2 z 2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
16
x y y z z x 1
2
2
2
2
2
2
xy yz zx 1
xyz
ĐS: min P
28
khi x y z 1.
3
VD 49. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
72
x y z 1
( x y)( y z)( z x).
ĐS: min P 44 khi x y z 1.
VD 50. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xyz 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
y3
x3
z3
1
y( z 2) z( x 2) x( y 2) 2 x y z 3
ĐS: min P
12 6
khi x y z 1.
12
VD 51. Cho các số thực dương x , y , z thỏa: x 2 y 2 z 2 xy yz zx 6. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
3
x3 y
z3
54
9 ln( x y z ).
y 2 z 2 x2 xy yz zx 6
ĐS: min P 9 9 ln 3 khi x y z 1.
VD 52. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 2( y 1). Hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P
1
2 xy 2 yz .
x y z1
ĐS: max P
21
khi x z 1; y 2.
5
VD 53. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P
x2 y
z
3
y2 z
x
3
13 xyz
z2 x
3
2
y
3( xy yz 2 zx 2 )
ĐS: min P
40
khi x y z.
9
VD 54. Cho a , b , c 0 thỏa điều kiện: 3( a4 b4 c 4 ) 7( a 2 b2 c 2 ) 12 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a2
b2
c2
ĐS: min P 1 khi a b c.
b 2 c c 2 a a 2b
VD 55. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: 3( x y z ) x2 y 2 z 2 2 xy. Tìm giá trị nhỏ
biểu thức: P
nhất của biểu thức: P
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
20
xz
20
y2
x y z.
ĐS: min P 26 khi x 1; y 2; z 3.
Page - 266 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
VD 56. (HSG Hà Nội 2014) Cho a 0, b 0, 0 c 1 và a2 b2 c 2 3. Tìm GTLN và GTNN của biểu
min P 2 3 khi a 3 , b c 0
ĐS:
max P 10 khi a b c 1.
VD 57. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
thức: P 2ab 3bc 3ca
P
24
6
abc
13x 12 xy 16 yz
3
x y z
ĐS: min P
3
16
khi x 4 y 16z
2
21
VD 58. (HSG Nghệ An 2013) Cho a , b, c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2
3
3
16
thức: P
ĐS: min P khi a 4b 16c
3
2
21
a ab abc
abc
VD 59. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
1
2 x y 8 yz
8
2 y 2 2( x z )2 3
ĐS: min P
3
1
1
khi y ; x z
2
2
4
VD 60. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
4( xy yz 3 xyz ) 8 x 3 y
1 ( x y z)
2
ĐS: max P
14
16
khi x 4 y 16z
3
21
1
x 1 và y; z 1, sao cho xyz 1. Hãy tìm giá trị nhỏ
4
1
1
1
22
1
nhất của biểu thức: P
ĐS: min P
khi x ; y z 2.
1 x 1 y 1 z
15
4
VD 61. Cho các số thực dương x , y , z thỏa:
VD 62. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
xy yz zx
1
2
3
2
2
4
( x 1)
( y 1) ( z 1)2
ĐS: min P
9
khi x y z 1.
4
VD 63. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P
1
1
1
xyz.
3
3
1 x
1 y
1 z3
ĐS: min P 3 khi x y z 0.
II. Ba biến mà có hai biến đối xứng
VD 64. Cho các số thực dương a , b, c thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
1
biểu thức: P
1
2 3
1 c
ĐS: min P
8 3
3
1
khi x y
; z
3
2
2
ĐS: min P
3
khi x y z.
2
a2 ab
b2 ab
VD 65. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P
y2
x2
4z3
( x y )2 ( y z )2 3( z x)3
VD 66. (A – 2011) Cho các số thực x , y , z thuộc đoạn 1; 4 thỏa điều kiện: x y; x z. Tìm giá trị
y
x
z
34
nhỏ nhất của biểu thức: P
ĐS: min P
khi x 4 y 2 z 4.
2x 3y y z z x
33
VD 67. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P
x
x y
2
2
y
y z
2
2
z
zx
ĐS: max P 5 khi x 2 y 4 z.
VD 68. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
y
z
x2
x y y z 8 z.( xz z)
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
ĐS: min P 4 khi x 2 y 4 z.
Page - 267 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
VD 69. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xy 1 và z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
y
x
z3 2
y 1 x 1 3( xy 1)
ĐS: min P
3
khi x y z 1.
2
VD 70. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xy yz zx 1. Tìm giá trị lớn nhất của
x y 10 3
ĐS: max P 10 khi
z 3
VD 71. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 3x y z 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
biểu thức: P
y
x
3z
2
2
1 x
1 y
1 z2
5
1
1
18
2 3x 1
ĐS: min P 15 khi x ; y ; z
1
3x y 2 z 1
3x 1 y
12
4
2
VD 72. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
thức: P
43 3
x y 2 3 3
khi
4
z 7 4 3
1 1
1
VD 73. Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
a
b
2c
P
xyz
y
x
x yz y zx z xy
biểu thức: P
ĐS: max P
a
b
c
2
bc ca
a b2 c2
ĐS: min P
4
13
khi a b 2c.
5 13
VD 74. (A – 2013) Cho các số thực dương a , b, c thỏa mãn: ( a c)( b c) 4c 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
32a 3
32b 3
a 2 b2
c
( b 3c ) 3 ( a 3c ) 3
ĐS: min P 1 2 khi a b c.
VD 75. Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện: x y z 0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
x3 y 3 16 z 3
( x y z)
3
ĐS: min P
16
khi x y 8 z 0.
81
VD 76. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: x y và ( x z)( y z) 1. Hãy tìm giá trị nhỏ
x z
ĐS: min P 20 khi
y z
VD 77. (B – 2014) Cho các số thực a , b, c không âm thỏa điều kiện: (a b)c 0. Tìm giá
1
6
12
nhất của biểu thức: P
( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x) 2
của biểu thức: P
a
b
c
bc
a c 2(a b)
ĐS: min P
2
1
2
trị nhỏ nhất
3
khi (a; b; c) (0; m; m 0).
2
VD 78. Cho a , b, c không âm thỏa điều kiện: ab bc ca 0; a b c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P 2
x 0; y z 0
ĐS: min P 4 khi
y 0; x z 0
b
c
a
3 3
ca
ab bc
VD 79. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
x3
3
x ( y z )3
y3
y ( z x)
3
3
7
2 z3 1
ĐS: min P khi x y z 1.
27
9
VD 80. (A – 2014) Cho x , y , z là các số không âm thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 2. Tìm giá trị lớn
nhất của: P
yz
1 yz
x2
2
1
9
x
y
z
x yz x 1
ĐS: min P
5
khi x y 1, z 0.
9
VD 81. Cho x , y , z là các số không âm thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
yz
x2
1
2
x yz x 1 x y z 1 xyz 3
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
ĐS: max P 1 khi x 0; y z 1.
Page - 268 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
VD 82. Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: abc 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
1
bc
4
thức: P 3
ĐS: min P khi a b c 1.
9
a c 3 1 a 3 b3 1 9 a
VD 83. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
x y z2
9 y2
9 x2
3
3
9
( y z )2 5 yz
( z x)2 5zx
ĐS: min P
7
khi x y z 1.
3
VD 84. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
y2
3( x y)2
x2
4
( y z) 2 5 yz ( z x)2 5zx
ĐS: min P
1
1
khi x y z
9
3
VD 85. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
y
( x y)2
2x 2y
x
z
2
2
yz zx x y
z
4z
ĐS: min P
3
khi x y z.
2
VD 86. Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
1
thức: P ( a 4 b4 c 4 ) 4 4 4
4b
c
4a
ĐS: min P
81
khi 2a 2b c.
8
VD 87. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
4 x3 3 y 3 2 z 3 3 y 2 z
( x y z )3
4
khi 2 x y z.
25
VD 88. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
( x y )2
1
biểu thức: P 2
ĐS: min P khi x y 1, z 2.
6
z 4( xy yz zx)
ĐS: min P
VD 89. Cho các số thực x , y , z phân biệt và thỏa mãn điều kiện: x , y , z 0; 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất
1
1
1
9
của biểu thức: P
ĐS: min P khi x 0; y 1; z 2.
4
( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x) 2
VD 90. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x 2 1
ĐS:
khi
min
P
2
( x y )( z 2 1) ( z 2 1) z 2 1
y 2 1, z 1
VD 91. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xyz x z y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
P
( z z xy )2
2z
2
2
4z
3z
2
x 1 y 1
z 2 1 ( z 2 1) z 2 1
2
ĐS: max P
2
1
2
khi x
; y 2; z
4
9
2
VD 92. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
y2
x2
4 z2
1 y 1 x 2 2 x2 2 y 2
x y 2 1
ĐS: min P 20 2 28 khi
z 3 2 2
VD 93. Cho ba số thực x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
1
27
2 2
2
32 x y z
( 2x 2 y 2 z 1) 3
2
1
1
khi x y ; z 1.
2
2
2
2
2
VD 94. Cho các số thực dương x , y , z thỏa: x y z 5( x y z) 2 xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của
ĐS: min P
1
3
x y z.
biểu thức: P 48
3
x 10
yz
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
ĐS: min P 58 khi x 2, y 3, z 5.
Page - 269 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
III. Phương pháp đồ thị
1. Bài tốn có giả thiết tổng các biến là hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c)
VD 95. Cho các số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c 1. Hãy tìm giá trị lớn
a
b
c
9
1
nhất của biểu thức: P 2
2
2
ĐS: max P
khi a b c
10
3
a 1 b 1 c 1
VD 96. Cho các số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c 3. Hãy tìm giá trị nhỏ
1
1
1
3
nhất của biểu thức: P 2
2
2
ĐS: min P khi a b c 1.
2
a 1 b 1 c 1
VD 97. Cho các số không âm a , b, c , d thỏa điều kiện: a b c d 4. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
a
b
c
d
1
1
ĐS: max P khi a b c d 1.
thức: P 2
2
3a 5 3b 2 5 3c 2 5 3d 2 5 2
VD 98. (France MO) Cho các số không âm a , b, c , d thỏa điều kiện: a b c d 1. Chứng minh rằng:
1
6( a3 b 3 c 3 d3 ) a 2 b 2 c 2 d2
8
VD 99. (China MO) Cho các số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c 3. Chứng
minh rằng:
a2 9
b2 9
c2 9
5.
2 a 2 ( b c ) 2 2b 2 ( c a ) 2 2 c 2 ( a b ) 2
VD 100. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
4 x 4 y 4 z
4x
4y
4z
ĐS: min P 5 khi x y z 1.
VD 101. Cho các số thực dương a , b, c , d thỏa mãn điều kiện: a b c d 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
1
1 a 1 b 1 c 1 d
ĐS: min P 8 khi a b c d
1a
1b
1c
1d
4
VD 102. Cho các số không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
của biểu thức: P
min P 3 khi x y z 1
ĐS:
max P 2 7 khi x 3; y z 0
VD 103. (USA MO) Cho các số thực dương a , b, c thay đổi. Chứng minh rằng:
nhất của: P x2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1.
(2a b c)2
(2b c a) 2
(2c a b)2
8.
2 a 2 ( b c ) 2 2b 2 ( c a ) 2 2 c 2 ( a b ) 2
VD 104. (Crux Mathematicorum – Canada) Cho các số thực dương a , b, c thay đổi. Chứng minh rằng:
( b c a )2
( c a b) 2
( a b c )2 3
( b c) 2 a2 ( c a)2 b 2 ( a b)2 c 2 5
2. Bài toán có giả thiết tổng bình phương các biến bằng hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c)
VD 105. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
1 1 1
( x y z ).
x y z
ĐS: min P 2 3 khi x y z
3
3
VD 106. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
1 1 1
của biểu thức: P 3( x y z ) 2
x y z
VD 107. Cho các số thực dương x , y , z thỏa: x , y , z
của biểu thức: P
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
2
x2 1 y 1 z 2 1
x
y
z
ĐS: min P 15 khi x y z 1.
4
và x 2 y 2 z 2 12. Hãy tìm giá trị lớn nhất
3
15
ĐS: max P
khi x y z 2.
2
Page - 270 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
VD 108. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
y
x
z
2
1 x
1 y2 1 z2
ĐS: min P
3 2
3
khi x y z
2
3
VD 109. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
y
x
z
y 2 z 2 x 2 z 2 x2 y 2
ĐS: min P
3 2
3
khi x y z
2
3
VD 110. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
y
x
z
của biểu thức: P
ĐS: min P 1 khi ( x; y; z) (0; 0;1).
1 yz 1 zx 1 xy
VD 111. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
y
x
z
( y z ) 2 ( z x) 2 ( x y ) 2
ĐS: min P
3
khi x y z 1.
4
VD 112. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
1
1
1
1 x 1 y 1 z
ĐS: min P
1
3 39
khi x y z
2
3
VD 113. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của: P
4y
4x
4z
2
2
x 2x 5 y 2 y 5 z 2 z 5
2
ĐS: min P 3 khi x y z 1.
VD 114. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của:
P
5
3
x5 2 x3 x y 2 y y z 5 2 z 3 z
y 2 z2
z 2 x2
x2 y 2
ĐS: max P
1
2 3
khi x y z
3
3
VD 115. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P
x2 xy
5z
2
y 2 yz
5x
2
z 2 zx
5 y2
ĐS: max P
3
1
khi x y z
2
3
VD 116. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: 8 x 8 y 8 z 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
4x
4y
4z
3 4x 3 4 y 3 4x
ĐS: min P
3
khi x y z 0.
2
VD 117. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 4 y 4 z 4 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P
1
1
1
4 xy 4 yz 4 zx
ĐS: max P 1 khi x y z 1.
VD 118. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 3. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
30 3
2
2
13
a a1 b b1 c c 1
2
3. Bài tốn có giả thiết tích các biến là hằng số hoặc P có dạng P = f(a).f(b).f(c)
VD 119. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
x
1 x
y
1 y
z
1 z
ĐS: min P
3 2
khi x y z 1.
2
3
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
2
125
1
ĐS: min P
khi x y z
64
2
VD 120. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z
của biểu thức: P (1 x2 )(1 y 2 )(1 z 2 ).
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
Page - 271 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
VD 121. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
100
1
khi x y z
729
2
VD 122. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 4( x y z) 9. Hãy tìm giá trị lớn nhất
ĐS: min P
của biểu thức: P (1 x2 )(1 y 2 )(1 z 2 ).
3
4
VD 123. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 4( x y z) 9 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất
của: P ( x x2 1).( y y 2 1).( z z 2 1).
ĐS: max P 8 khi x y z
3
4
VD 124. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
của: P ( x x2 1) y .( y y 2 1) z .( z z 2 1)x .
ĐS: max P 4 4 2 khi x y z
a2
b2
c2
3
ĐS: min P khi x y z 1.
1 bc 1 ac 1 ab
2
VD 125. Cho các số thực dương a , b , c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
thức: P
P
a 3 b 3 b 3 c 3 c 3 a3
a 3 b b 3 c c 3a
ĐS: min P 0 khi a b c.
VD 126. Cho các số thực dương a , b , c. Chứng minh:
a4
b4
c4
a 3 b3 c 3
a 4b b 4 c c 4 a
5
IV. Đánh giá dồn về một biến f(a) hoặc f(b) hoặc f(c), rồi xét hàm
VD 127. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P 2( x2 y 2 z 2 ) 4xyz 9 x 2015.
ĐS: min P 2008 khi x 1; y z 0.
VD 128. Cho các số không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P x 2 y 2 z 2 2 xyz.
ĐS: min P
9
3
khi z 0; x y
2
2
VD 129. Cho x , y , z 0 thỏa mãn điều kiện: x y z và x 2 2 y 2 4 z 2 12. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P xy 2 4 yz 2 zx2 xyz y 2 3 y.
x 0
ĐS: max P 11 2 2 khi
y z 2
VD 130. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: 4 x 3y 4 z 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P x y z
1 2 3
3x y z
ĐS: min P
25
khi x 1, y 2, z 3.
3
VD 131. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
1
1
1
2
3 9 y 6 36 z
2(2 x 1)
ĐS: min P
3
1
1
1
khi x , y , z
8
2
3
6
VD 132. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; 4 và x y 2 z 8. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P x 3 y 3 5 z 3 .
ĐS: max P 137 khi x y 1, z 3.
VD 133. (B – 2012) Cho các số thực x , y , z thỏa điều kiện: x y z 0 và x 2 y 2 z 2 1. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức: P x 5 y 5 z 5 .
ĐS: max P
6
1
5 6
khi z
,x y
3
36
6
VD 134. (HSG Vĩnh Phúc 2013) Cho các số thực x , y , z thỏa: x 2 y 2 z 2 3. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P 3x 2 7 y 5 y 5z 7 z 3 x2 .
VD 135. Cho x , y , z 0 thỏa điều kiện:
thức: P 2 x 3 y 3 z 3 .
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
ĐS: max P 3 10 khi x y z 1.
1 x 2 1 2 y 1 2 z 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
x y 0, z 4
ĐS: max P 64 khi
x z 0, y 4
Page - 272 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
V. Xét hàm lần lượt từng biến và xét hàm đại diện cho ba biến
VD 136. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; 3 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
36 x 2 y z
biểu thức: P
ĐS: min P 7 khi x 1; y z 3.
yz
xz xy
VD 137. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1
1
3
biểu thức: P
ĐS: min P khi x y z 1.
x xy 4 y yz 4 z zx 4
4
VD 138. (A – 2011) Cho các số thực x , y , z 1; 4 thỏa điều kiện: x y; x z. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
y
x
z
2x 3y y z z x
ĐS: min P
34
khi x 4; y 1; z 2.
33
VD 139. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
y
x 2y
x
10 y z x y z 2 x 3 y
ĐS: min P
6
khi z 2 x 4 y.
7
VD 140. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz x z y. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
2
2
3
2
2
x 1 y 1 z 1
ĐS: max P
2
10
2
2
khi x
, y 2, z
3
2
4
xy yz zx
1
VD 141. Cho x , y , z ;1 . Tìm giá trị lớn nhất của: P
z
x
y
2
1
1
32 2
khi x 1, y
, z
2
2
2
VD 142. Cho các số thực dương a , b, c thỏa mãn điều kiện: a , b, c 1; 2 . Tìm giá trị lớn nhất của
ĐS: max P
biểu thức: P
2 ab
( a b)c
2 bc
( b c )a
2 ca
( c a )b
ĐS: max P
3
khi a b c 1.
2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 37. Cho ba số thực không âm thỏa: x 2 y 2 z 2 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P xy yz zx
5
xyz
BT 38. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn: x 2 y 2 z 2 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P xy yz zx
4
xy yz zx 2
BT 39. Cho x , y , z 0 thỏa điều kiện: 2( x2 y 2 z 2 ) xy yz zx 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P x 2 y 2 z 2
1
x yz3
BT 40. Cho x , y , z 0 thỏa điều kiện: 3( x 2 y 2 z 2 ) xy yz zx 12. Tìm gía trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của: P
x2 y 2 z 2
xy yz zx.
x yz
BT 41. Cho các số thực x , y , z 0; 2 thỏa: x y z 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức: P
x2 y 2 z 2
xy yz zx.
xy yz zx
BT 42. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P x 2 y 2 z 2
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
xy yz zx
x y 2 z2 3
2
Page - 273 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
BT 43. Cho các số thực dương x , y , z. Hãy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P
2
x 2 y 2 z2 1
( x y z 3) 2
3( x 1)( y 1)( z 1)
BT 44. Cho các số thực x , y , z thỏa điều kiện: x 2 2 y 2 5z 2 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P ( xy yz zx) 1 4 ( x2 2 y 2 5z 2 )
BT 45. Cho các số thực dương x , y , z thỏa x y z 4 và xyz 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P x4 y 4 z 4 .
BT 46. Cho x , y , z 0. Chứng minh rằng: ( x y z)2 x yz y xz z xy 4 3xyz( x y z ).
BT 47. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 3 y 3 z 3 3xyz 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P x2 y 2 z 2 .
BT 48. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x( x y z) 3yz , ta có:
( x y) 3 ( x z )3 3( x y)( x z)( y z) 5( y z)3 .
BT 49. Cho các số thực dương x , y , z phân biệt thỏa: xy yz 2 z 2 và 2x z . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
y
x
z
xy yz zx
BT 50. Cho các số thực x , y , z (0;1) thỏa điều kiện: xyz (1 x)(1 y)(1 z ). Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P x2 y 2 z 2 .
BT 51. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xy yz zx 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P
324
( x2 y 2 z 2 )2 .
x yz
BT 52. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: y 2 xz và z 2 xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
y
x
2014 z
x y y z zx
BT 53. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P
1
x 6 xy 4 yz
1
xyz
BT 54. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P
xyz
6 xy z 7 xyz 3 8 zx y
xyz
9( x y z )
BT 55. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
2
1 x2 1 y
1 z2
1 y 2 1 z 2 1 x2
BT 56. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z (0;1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P
3
x3 3 y 3 z 3 3
y 2 2 z2 2 x 2 2
BT 57. Cho x , y , z 0 thỏa mãn điều kiện: x y z và 3xy 5yz 7 zx 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P
32
1
1
( x y ) 4 ( y z ) 4 ( z x) 4
BT 58. Cho các số không âm x , y , z phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1
1
1
P (x2 y2 z2 )
2
2
2
( x y ) ( y z ) ( z x)
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
Page - 274 -
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
BT 59. Cho các số dương x , y , z thỏa điều kiện: x 2 y 2 z 2 xy 2 yz 2 zx 0. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P
xy
z2
z2
2
2
2
xy
x y
( x y z)
BT 60. Cho các số thực phân biệt x , y , z thỏa điều kiện: x , y , z 0; 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
1
thức: P
( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x) 2
BT 61. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
18
1.
1
x
y
x y 2z
thức: P
BT 62. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
y3
x3
x 3 ( y z )2
y 3 ( z x) 3
1 2z 3
27
BT 63. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P
xyz
y
x
x yz y zx z xy
BT 64. Cho x , y , z 0 thỏa điều kiện: ( x y) 2 ( y z) 2 ( z x)2 18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
( x y z) 4
108
BT 65. Cho x , y , z 0 thỏa mãn điều kiện: 5( x 2 y 2 z 2 ) 6( xy yz zx). Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P 3 4 x 3 4 y 3 4 z
thức: P 2( x y z ) y 2 z 2 .
BT 66. Cho các số thực x , y , z 0; 4 thỏa mãn điều kiện: xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
1
1 x
2
1
1 y
2
1
1 z
BT 67. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa: x y z 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P ( x 2 xy y 2 )( y 2 yz z 2 )( z 2 zx x 2 ).
BT 68. Cho các số thực dương x , y , z 1; thỏa điều kiện: x y z 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P ( x 2 2)( y 2 2)( z 2 2).
BT 69. Cho các số thực x , y , z. Chứng minh: 6( x y z )( x2 y 2 z 2 ) 27 xyz 10 ( x2 y 2 z 2 )3 .
3
BT 70. Cho x , y , z 0;1 thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn nhất của: P x2 y 2 z 2 .
2
2
2
2
BT 71. Cho các số thực x , y , z thỏa: x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P ( x 2)( y 2)( z 2).
BT 72. Cho các số thực x , y , z 1; 3 thỏa: x y 2 z 6. Tìm giá trị lớn nhất của: P x 3 y 3 5 z 3 .
BT 73. Cho x , y , z 0 thay đổi thỏa: 5( x 2 y 2 z 2 ) 6( xy yz zx). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
1 1 1
nhất của biểu thức: P ( x y z )
x y z
BT 74. Cho x , y , z 0 thỏa: x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3( x 2 y 2 z 2 ) 4 xyz.
BT 75. Cho x , y , z 0 thỏa đồng thời các điều kiện: x y z 4 và xy yz zx 5. Tìm giá trị nhỏ
1 1 1
nhất của biểu thức: P ( x3 y 3 z 3 )
x y z
BT 76. Cho x , y , z 0 thỏa: ( x y z)3 32 xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
x4 y 4 z 4
( x y z) 4
Page - 275 -
