Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường THPT chuyên môn toán năm 2013 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng pdf

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2013 – 2014
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi
Bài 1. (2.0 điểm)
a) Cho
3 7 10 7
:
2 2 4 8 2 4
x x x x
A
x x x x x x x
 
− + +
= − −
 ÷
− + + − + +
 
. Tìm
x
sao cho
2A <
.
b) Tìm
m
để phương trình
( )
2

2 4 3 2 0x m x m− + + + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa
mãn
2 1
2 3x x= +
.
Bài 2. (2.0 điểm)
a) Giải phương trình
7
5 1 3 13
3
x
x x
−
− − + =
.
b) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 3 2
3
x xy y y
x y

+ = − +



− =


.
Bài 3. (3.0 điểm)
Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính
AB sao cho
AC BC
>
. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB
ở E. Hạ AH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh rằng
. .AD CE CH DE
=
.
b) Chứng minh rằng
.OD BC
là một hằng số.
c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là
trung điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là một điểm cố định.
Bài 4. (1.0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu
1x y≥ ≥
thì
1 1
x y
x y
+ ≥ +
.
b) Cho

1 , , 2a b c≤ ≤
. Chứng minh rằng
( )
1 1 1
10a b c
a b c
 
+ + + + ≤
 ÷
 
.
Bài 5. (2.0 điểm)
a) Cho
,a b
là hai số nguyên dương thỏa mãn
20a +
và
13b +
cùng chia hết cho 21. Tìm số
dư của phép chia
4 9
a b
A a b= + + +
cho 21.
b) Có thể phủ kín bảng
20 13
×
ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới (có
thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát) sao cho các miếng lát không chờm lên
nhau không?

Hết
Họ tên thí sinh:……………….………………….Số báo danh: …………
Họ tên giám thị 1:……….……… … Họ tên giám thị 2: ……… ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
HẢI PHÒNG Năm học 2013 - 2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài Đáp án Điểm
1
(2.0 điểm)
a) (1.0 điểm)
ĐKXĐ:
0x ≥
và
4x ≠
. 0.25
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 4 3 2 7 10
7
:
2 4
2 2 4
x x x x x x
x
A
x x

x x x
+ + − − − − +
+
=
+ +
− + +
( )
( ) ( )
( )
4 2
4 4
7
: .
2 4 7
2 2 4
x
x
x
x x x
x x x
+
−
+
= =
+ + +
− + +
0.25
( )
2 2 2 7 3 9.A x x x x< ⇔ + < + ⇔ < ⇔ <
0.25

Kết hợp với điều kiện ta có
0 9
4
x
x
≤ <


≠

. 0.25
b) (1.0 điểm)
( ) ( )
2
2
2
1 7
' 2 3 2 2 0
2 4
m m m m m m
 
∆ = + − + = + + = + + > ∀
 ÷
 
.
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
0.25
Theo đề bài và định lý Viét ta có:
1
1 2

2 1
2
2 1
2 4
3
2 3 4 11
3
m
x
x x m
x x m
x
+

=

+ = +


⇔
 
= + +


=


0.25
2 1 4 11
3 2

3 3
m m
m
+ +
⇒ × = +
0.25
2
1
8 7 0
7
8
m
m m
m
=


⇔ − − = ⇔

= −

. 0.25
2
(2.0 điểm)
a) (1.0 điểm)
ĐKXĐ:
1
5
x ≥
. 0.25

( ) ( )
1
5 1 3 13 5 1 3 13 5 1 3 13
6
PT x x x x x x⇔ − − + = − − + − + +
. 0.25
*
5 1 3 13 0x x− − + =

⇔
5 1 3 13x x− = +

⇔
5 1 3 13x x− = +

⇔
7x =
(thỏa mãn). 0.25
*
5 1 3 13 6x x− + + =
(1)
Nếu
1x >
thì VT (1) >
4 16+ =
6; còn nếu
1x <
thì VT (1) <
4 16+ =
6.

Dễ thấy
1x
=
là nghiệm phương trình (1).
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm
1
1x =
;
2
7x =
.
0.25
b) (1.0 điểm)
Hướng dẫn gồm 03 trang
ĐỀ CHÍNH THỨC
H
I
F
G
E
D
B
O
A
C
( )
2 2 2 2
2 3 2 3 2 2 0x xy y y y x y x+ = − + ⇔ − + + − =
.
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn

y
tham số
x
, ta có :
( )
( )
( )
2 2
2 2
3 4 2 2 9 6 1 3 1x x x x x∆ = + − − = + + = +
.
0.25
Suy ra
3 3 1
2 2
2
3 3 1
1
2
x x
y x
x x
y x
+ + +

= = +


+ − −


= = − +


. 0.25
( )
2
2 2
2 2
2 2
)
3 8 7 0 ' 5 0
3
y x
y x
x x
x y
= +
= +



− ⇔
 
+ + = ∆ = − <
− =



V« nghiÖm do
. 0.25

2 2
1
1 2
)
2 1
3
y x
y x x
x y
x y
= − +
= − + =

 
− ⇔ ⇔
  
= = −
− =
 

. 0.25
3
(3.0 điểm)
a) (1.0 điểm)
//
CH OA
OC AH
CE OE
⇒ =
. (1) 0.25

OD là phân giác của góc
·
OA AD
ADE
OE DE
⇒ =
. (2) 0.5
Từ (1) và (2) suy ra
. .
CH AD
AD CE CH DE
CE DE
= ⇒ =
. 0.25
b) (1.0 điểm)
Ta có
ABC
∆

DOA
∆
(g – g).
0.5
2
. .
2
BC AB AB
OD BC AB AO
AO OD
= ⇒ = =

. 0.5
c) (1.0 điểm)
2 2
2 .
EF EC EB EB EG
EF EG
AD CD BO AB AD
= = = = ⇒ =
0.25
2 2
2 . . 2 .EF EG EF EC EB EA EB EI⇒ = = = =
. 0.25
BEF⇒ ∆

( )
·
·
GEI c g c BFE GIE BF IG∆ − − ⇒ = ⇒ ⊥
.
0.25
Mà
BE FG IFG
⊥ ⇒ ∆
nhận B cố định là trực tâm. 0.25
4 a) (0.25 điểm)
( ) ( )
1
1 1
0
x y xy

x y
x y xy
− −
+ ≥ + ⇔ ≥
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x y=
.
0.25
b) (0.75 điểm)
Không mất tính tổng quát giả sử
1 2a b c≤ ≤ ≤ ≤
, ta có:
1 1 1
7 7
2
1, 1, 2
a b b c c a
VT VP x y xy
b a c b a c x y xy
b c
x y xy y
a b x
   
       
− = + + + + + − = + + + + + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
   

 
= ≥ = ≥ ≤ ⇒ ≤
 ÷
 
0.25
( ) ( )
3 1 2
1 2 1 3 3 9
2 7 0
2 2 2 2 2
x x
x x
x
x x x x
− −
     
≤ + + + + + − = + − = ≤
 ÷  ÷  ÷
     
. 0.25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1, 2
1, 2
a b c
a b c
= = =


= = =


và các hoán vị. 0.25
5
(2.0 điểm)
a) (1.0 điểm)
Từ giả thiết suy ra
1 (mod3)a ≡
,
3 1( )a k k= + ∈N
;
2 (mod 3)b ≡
,
3 2( )b q q= + ∈N
.
Suy ra
4 9 1 0 1 2 (mod 3)
a b
A a b= + + + ≡ + + +
hay
4 (mod 3)A ≡
. (1)
0.25
Lại có:
3 1
4 4 4.64 4 (mod 7)
a k k+
= = ≡

3 2 3 2
9 9 2 (mod 7)
b q q+ +

= ≡

⇒

9 4.8 4(mod 7)
b q
≡ ≡
.
0.25
Từ giả thiết ta còn suy ra
1 (mod7)a ≡
,
1 (mod 7)b ≡
.
Dẫn đến
4 9 4 4 1 1 (mod 7)
a b
A a b= + + + ≡ + + +
hay
10 (mod 7)A ≡
.
0.25
Từ (1) suy ra
10 (mod 3)A ≡
; mà 3 và 7 nguyên tố cùng nhau nên
10 (mod 21)A ≡
.
Vậy
A
chia cho 21 dư 10.

0.25
b) (1.0 điểm)
Tô màu các dòng của bảng ô vuông bằng hai màu đen trắng xen kẽ: dòng 1 đen, dòng 2
trắng, dòng 3 đen, dòng 4 trắng, …
0.25
Khi đó mỗi miếng lát sẽ luôn phủ đúng 3 ô đen 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô đen. 0.25
Trong bảng, số ô đen bằng số ô trắng nên số miếng lát phủ 3 ô đen 1 ô trắng bằng số
miếng lát phủ 3 ô trắng 1 ô đen, do đó phải có chẵn miếng lát.
0.25
Tuy nhiên trong bảng có 65 miếng lát, mâu thuẫn. Vậy không thể phủ được bảng thỏa
mãn.
0.25
Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì
cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.
- Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
- Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm.
- Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn
làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được.
- Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh
làm đúng thì chấm điểm ý đó.
- Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.