Chapter 2a

LOGIC ỨNG DỤNG TRONG KINH DOANH

CHƯƠNG 2A: SUY LUẬN QUAN HỆ

Hà Bình Minh
Nguyễn Minh Tuấn
Phan Đình Phùng
—————
Trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

1 / 104


Nội dung bài giảng
1. Đồ thị
1.1. Cạnh và đỉnh
1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị
1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị
2. Tập hợp
2.1. Mô tả tập hợp
2.2. Các phép toán trên tập hợp
2.3. Mối quan hệ giữa tập hợp và suy luận logic
3. Hàm
3.1.
3.2.
3.3.

số
Định nghĩa và ví dụ

Đơn ánh, tồn ánh
Hàm hợp, hàm ngược

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

2 / 104


4. Quan hệ tương đương
4.1. Quan hệ là gì?
4.2. Đồ thị của quan hệ
4.3. Sự khác nhau giữa quan hệ và hàm số
4.4. Quan hệ tương đương
4.5. Một ví dụ: Phép đồng dư toán học
5. Quan hệ thứ tự
5.1. Định nghĩa và ví dụ
5.2. Đồ thị Hasse
5.3. Sự khác nhau giữa quan hệ và hàm số
5.4. Đẳng cấu
5.5. Đại số Boolean
6. Lý thuyết đồ thị căn bản
6.1. Định nghĩa đồ thị
6.2. Sự đẳng cấu giữa 2 đồ thị
6.3. Bậc của đỉnh
6.4. Đường Euler, mạch Euler
6.5. Đường Hamilton, mạch Hamilton
6.6. Cây
CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

3 / 104

1. Đồ thị

1.1. Cạnh và đỉnh

1. Đồ thị
1.1. Cạnh và đỉnh của đồ thị
Đồ thị là gì?
Đồ thị (graph) là một biểu đồ (diagram) gồm các đỉnh và cạnh nối giữa
các đỉnh này. Các cạnh của đồ thị có thể có hướng hoặc khơng có hướng.
Nếu các cạnh có hướng thì ta gọi đó là đồ thị có hướng (directed graph).
Nếu các cạnh khơng có hướng thì ta gọi đó là đồ thị vô hướng (undirected
graph).
LƯU Ý:
Trên đây chỉ là định nghĩa sơ đẳng về đồ thị
Định nghĩa đầy đủ về mặt toán học của đồ thị sẽ được đưa ra
trong phần sau của bài giảng
CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

4 / 104


1. Đồ thị

1.1. Cạnh và đỉnh

Ví dụ: Đồ thị vơ hướng và đồ thị có hướng

Ví dụ: Bài tốn 7 cây cầu Euler (nay ở Kaliningrad, Russia)

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

5 / 104


1. Đồ thị

1.1. Cạnh và đỉnh

Bài toán nổi tiếng về 7 cây cầu chính là bài tốn khai sinh ra lý thuyết
đồ thị, được Euler mô tả như sau:

“A problem was posed to me about an island in the city of
Kăonigsberg, surrounded by a river spanned by seven bridges, and I
was asked whether someone could traverse the separate bridges in
a connected walk in such a way that each bridge is crossed only
once. I was informed that hitherto no one had demonstrated the
possibility of doing this, or shown that it is impossible. This
question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that
geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient
to solve it.”
CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

6 / 104


1. Đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị
Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị
Bậc của một đỉnh (degree of a vertex) là tổng số các nhánh đi qua
đỉnh đó - khái niệm này áp dụng cho đồ thị vơ hướng và đồ thị có
hướng
Bậc trong của một đỉnh (indegree of a vertex) là tổng số các nhánh
đi vào đỉnh đó - khái niệm này chỉ áp dụng cho đồ thị có hướng
Bậc ngồi của một đỉnh (outdegree of a vertex) là tổng số các
nhánh đi ra khỏi đỉnh đó - khái niệm này chỉ áp dụng cho đồ thị có
hướng
Loop của một đỉnh (loop of a vertex) là tổng số các cạnh
cùng xuất phát và đi vào đỉnh đó - khái niệm này áp dụng cho đồ thị
vơ hướng và đồ thị có hướng
CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

7 / 104


1. Đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị

Ví dụ: Xét đồ thị có hướng G và đồ thị vô hướng H như sau

Đỉnh x của đồ thị H có bậc là 5, có loop là 1
Đỉnh c của đồ thị G có bậc là 5, có loop là 1
Đỉnh c của đồ thị G có bậc trong là 2, bậc ngoài là 3
Đỉnh a của đồ thị G có bậc trong là 1, bậc ngồi là 2

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

8 / 104


1. Đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị

Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị
Một đường trong đồ thị (a path in graph) là một dãy các đỉnh và
các cạnh
v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , . . . , vn−1 , en , vn ,
trong đó vi là các đỉnh và ei là các cạnh nối đỉnh vi−1 với vi .
Một mạch trong đồ thị (a circuit in graph) là một đường có điểm
đầu trùng với điểm cuối, tức là v0 = vn .
Đồ thị vô hướng là liên thông (connected) nếu luôn tồn tại đường
nối hai đỉnh bất kỳ
Đồ thị có hướng là liên thơng (connected) nếu đồ thị vơ hướng
tương ứng với nó là liên thơng

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

9 / 104


1. Đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị

Ví dụ: Xét đồ thị có hướng G và đồ thị vô hướng H như sau

Đồ thị H là liên thơng, do đó G là liên thơng.
Có một mạch trong đồ thị H đi qua các đỉnh: v − w − x − y − v .
Mạch tương ứng với nó trong đồ thị G là: a → b → c → d → a.
Có một mạch trong đồ thị H đi qua các đỉnh: v − w − x − z − v .
Tuy nhiên, mạch này không có mạch tương ứng với nó trong đồ
thị G .
CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

10 / 104


1. Đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị

Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị
Đường Euler (Euler path) là một đường trong đồ thị đi qua tất cả
các cạnh đúng một lần
Mạch Euler (Euler circuit) là một mạch trong đồ thị đi qua tất cả
các cạnh đúng một lần
Ví dụ: Trở lại Bài tốn 7 cây cầu Euler: liệu có hay khơng một đường
đi qua tất cả các cây cầu đúng một lần? Theo ngôn ngữ đồ thị, câu
hỏi này là: Liệu có tồn tại một đường Euler cho đồ thị phía bên phải?

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

11 / 104

1. Đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị

Lời giải của Euler
Tổng số bậc của các đỉnh luôn gấp đôi số cạnh trong một đồ thị bất
kỳ
Nếu đồ thị có nhiều hơn 2 đỉnh có bậc lẻ, thì sẽ khơng tồn tại đường
Euler cho đồ thị đó
Nếu đồ thị liên thơng có chính xác 2 đỉnh có bậc lẻ v và w , thì sẽ tồn
tại một đường Euler đi từ v đến w
Nếu đồ thị liên thơng có các đỉnh đều bậc chẵn, thì sẽ tồn tại một
mạch Euler cho đồ thị đó

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

12 / 104


1. Đồ thị

1.2. Một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị

Ví dụ: Trở lại Bài tốn 7 cây cầu Euler

Do đồ thị có 4 đỉnh có bậc lẻ là A, B, C, D, nên không thể tồn tại
đường Euler cho đồ thị đó. Hay nói cách khác, khơng có đường nào có
thể đi qua tất cả các cây cầu đúng một lần.

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

13 / 104


1. Đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị
Tại sao lại cần đến đồ thị?
Trực quan: đồ thị giúp cho việc trực quan được dễ dàng
Cô đọng thông tin: nhiều thông tin được mô tả dưới dạng text có
thể được biểu diễn bởi một đồ thị đơn giản
Ngồi ra, có thể bổ sung thêm nhiều lớp thơng tin trên đồ thị để mô
tả nhiều đối tượng khác nhau
Lý thuyết đồ thị giúp giải quyết nhiều bài toán trong thực tế

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

14 / 104


1. Đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị

Ví dụ: Đồ thị dùng để biểu diễn sơ đồ thuật toán

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

15 / 104


1. Đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị

Ví dụ: Đồ thị dùng để ghi nhớ các từ vựng trong tiếng Anh

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

16 / 104


1. Đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị

Ví dụ: Đồ thị dùng để mơ tả một sơ đồ mạch điện

Ví dụ: Đồ thị dùng để mơ tả một phân tử hóa học

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

17 / 104


1. Đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị

Ví dụ: Đồ thị dùng để mơ tả một tác vụ trong lĩnh vực MIS

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

18 / 104


1. Đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị

Bài tập áp dụng
Xây dựng một đồ thị với các đỉnh là các thành phố, các cạnh là đường nối
giữa chúng (nếu có). Trên mỗi cạnh, ghi thơng tin về khoảng cách giữa 2
thành phố. Thông tin được cho trong bảng sau:

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

19 / 104


1. Đồ thị

1.3. Mô tả các mối quan hệ bằng đồ thị

Lời giải:

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

20 / 104


2. Tập hợp

2.1. Mô tả tập hợp

2. Tập hợp
2.1. Mô tả tập hợp
Tập hợp là gì?
Tập hợp là a collection of related objects. Think of the set S as a
container where an object x is something that S contains.

Ta viết x ∈ S có nghĩa là “x là phần tử của S”, hay “x nằm trong S”, “x
thuộc S”. Ngược lại, nếu ta viết x ∈
/ S thì có nghĩa là “x không là phần
tử của S”, “x không nằm trong S”, “x không thuộc S”.
CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

21 / 104


2. Tập hợp

2.1. Mô tả tập hợp

Mô tả tập hợp
Để biểu thị rằng tập S chứa các phần tử x1 , x2 ,. . . ,xn , ta viết như sau
S = {x1 , x2 , . . . , xn }

Tập hợp của những phần tử thuộc tập hợp S mà thỏa mãn một tính chất
nào đó thì được biểu diễn như sau
{x ∈ S | x có tính chất p}
Đôi khi, ta sử dụng sơ đồ Venn (Venn diagram) để biểu diễn tập hợp một
cách trực quan, chẳng hạn như sau

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

22 / 104


2. Tập hợp

2.1. Mơ tả tập hợp

Ví dụ: Giả sử A là tập hợp chứa các số tự nhiên từ 1 đến 8, ta viết
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Giả sử B là tập hợp các số tự nhiên lẻ thuộc tập hợp A, khi đó ta viết
B = {x ∈ A | x là số lẻ} = {1, 3, 5, 7}
Ví dụ:
Tập hợp các số nguyên (integer) được ký hiệu là Z
Tập hợp các số nguyên dương, hay còn gọi là tập các số tự nhiên
(natural number), được ký hiệu là N. Chú ý rằng 0 ∈ Z, nhưng
0∈
/ N.
Tập hợp các số hữu tỉ (rational number) được ký hiệu là Q
Tập hợp các số thực (real number) được ký hiệu là R

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

23 / 104


2. Tập hợp

2.2. Các phép toán trên tập hợp

2.2. Các phép toán trên tập hợp
Tập con, tập hợp bằng nhau, tập rỗng
Tập con: Ta nói rằng tập hợp A chứa trong tập hợp B, ký hiệu là
A ⊆ B , nếu mệnh đề sau là đúng:
(∀x)(x ∈ A → x ∈ B)
Cách gọi khác: “A là tập con của B”, “B chứa A”. Ta biểu diễn
A ⊆ B bởi sơ đồ Venn như sau:

Tập hợp bằng nhau: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, ký
hiệu là A = B , nếu A ⊆ B và B ⊆ A.
Tập rỗng: Ta gọi tập hợp rỗng, ký hiệu là ∅ , là tập hợp không chứa
một phần tử nào.
CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

24 / 104


2. Tập hợp

2.2. Các phép toán trên tập hợp

Hợp của hai tập hợp
Hợp (union) của hai tập A và B, ký hiệu là A ∪ B , là tập hợp sau:

A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Nói cách khác, mệnh đề sau là đúng:
(∀x)[(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
Sơ đồ Venn biểu diễn A ∪ B:

CHƯƠNG 2A - SUY LUẬN QUAN HỆ

25 / 104