Chapter 2b

LOGIC ỨNG DỤNG TRONG KINH DOANH

CHƯƠNG 2B: SUY LUẬN TRUY HỒI

Hà Bình Minh
Nguyễn Minh Tuấn
Phan Đình Phùng
—————
Trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

1 / 49


Nội dung bài giảng
1. Quan hệ truy hồi
1.1. Một ví dụ
1.2. Dãy Fibonacci
1.3. Mô tả mối quan hệ bằng công thức truy hồi
2. Định nghĩa truy hồi
2.1. Cách viết định nghĩa truy hồi
2.2. Hình học fractal
3. Phép chứng minh bằng quy nạp
3.1. Nguyên lý quy nạp
3.2. Các ví dụ
4. ỨNG DỤNG: Cấu trúc dữ liệu quy nạp
4.1. Danh sách
4.2. Hàm trên cây nhị phân

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

2 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.1. Một ví dụ

1. Quan hệ truy hồi
1.1. Một ví dụ
Ví dụ: Xét hàm số P : N → Z như sau:
P(n) =

n(n + 1)
2

Nhận xét: Hàm số P cũng cho bởi công thức sau:
n(n + 1)
= 1 + 2 + ··· + n
2
= [1 + 2 + · · · + (n − 1)] +n
|
{z
}

P(n) =

P(n−1)

= P(n − 1) + n

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

3 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.1. Một ví dụ

Định nghĩa truy hồi
Xét hàm số P : N → Z với P(n) =

n(n+1)
2

có thể được định nghĩa theo

cơng thức truy hồi như sau:

P(n) =

1,
n + P(n − 1),

nếu n = 1
nếu n > 1

Ví dụ: Sử dụng cơng thức truy hồi, tính P(5) =?
P(5) = 5 + P(4)
= 5 + 4 + P(3)

= 5 + 4 + 3 + P(2)
= 5 + 4 + 3 + 2 + P(1)
= 5+4+3+2+1
= 15
CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

4 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.2. Dãy Fibonacci

1.2. Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci (Fibonacci numbers) là dãy số được định nghĩa theo công
thức truy hồi như sau:

1,
F (n) =
F (n − 1) + F (n − 2),

nếu n = 1 hoặc n = 2
nếu n > 2

Nguồn gốc: Dãy Fibonacci bắt nguồn từ bài toán do nhà toán học
Leonardo Pisano Fibonacci đưa ra vào đầu thế kỷ 13:
“A certain man put a pair of rabbits in a place surrounded on all sides by
a wall. How many pairs of rabbits can be produced from that pair in a
year if it is supposed that every month each pair begets a new pair

which from the second month on becomes productive?”
CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

5 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.2. Dãy Fibonacci

Ví dụ: 12 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 6, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
Những con số Fibonacci trong tự nhiên:
Trong tự nhiên, có rất nhiều các con số trong dãy Fibonacci

Có F (6) = 8 hình xoắn ốc ngược chiều kim đồng hồ và F (7) = 13
hình xoắn ốc cùng chiều kim đồng hồ.

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

6 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.2. Dãy Fibonacci

Những con số Fibonacci: Vỏ ốc, âm nhạc, chứng khoán, . . .

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

7 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.2. Dãy Fibonacci

Những con số Fibonacci:

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

8 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.3. Mô tả mối quan hệ bằng công thức truy hồi

1.3. Mô tả mối quan hệ bằng công thức truy hồi
Mô tả mối quan hệ bằng công thức truy hồi thế nào?
Mối quan hệ được mô tả dựa trên 2 thành phần sau:
Điều kiện đầu (base case): mô tả tại thời điểm ban đầu đại lượng đó
như thế nào
Cơng thức truy hồi (recursive case): mơ tả sự phụ thuộc giữa giá trị
tương lai và giá trị trong quá khứ
Ví dụ: Một người mượn ngân hàng 500 triệu VNĐ, với lãi kép là 1%
mỗi tháng. Gọi M(n) là số tiền người đó phải trả ngân hàng (cả gốc
lẫn lãi) tháng thứ n. Hãy mô tả M(n) bởi công thức truy hồi?


M(n) =

500,
(1.01) · M(n − 1),

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

nếu n = 0
nếu n > 0

(điều kiện đầu)
(công thức truy hồi)
9 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.3. Mô tả mối quan hệ bằng cơng thức truy hồi

Ví dụ: Cơng thức truy hồi được sử dụng để tính tích phân sau:
Z
I (n) =

1

x n e x dx

0

Điều kiện đầu: I (0) = e − 1

Công thức truy hồi: Ở đây, ta sử dụng cơng thức tích phân từng
phần để tìm cơng thức truy hồi
Z 1
I (n) =
x n e x dx
0


1
n x


= x e
−n
0

Z

1

x n−1 e x dx

0

= e − n · I (n − 1)

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

10 / 49

1. Quan hệ truy hồi

1.3. Mô tả mối quan hệ bằng cơng thức truy hồi

Ví dụ: (sinh viên tự giải) Tìm f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) biết rằng
f (n) được định nghĩa theo công thức truy hồi sau: f (0) = 3 và
(a) f (n + 1) = 3f (n) + 7, với n = 0, 1, 2, . . .
(b) f (n + 1) = f (n)2 − 2f (n) + 2, với n = 0, 1, 2, . . .
(c) f (n + 1) = 3f (n)/3 , với n = 0, 1, 2, . . .
Giải: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

11 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.3. Mô tả mối quan hệ bằng cơng thức truy hồi

Ví dụ: (sinh viên tự giải) Tìm f (2), f (3), f (4), f (5) biết rằng f (n)
được định nghĩa theo công thức truy hồi sau: f (0) = −1, f (1) = 2 và
(a) f (n + 1) = f (n) + 3f (n − 1), với n = 1, 2, 3, . . .
(b) f (n + 1) = 3f (n)2 − 4f (n − 1)2 , với n = 1, 2, 3, . . .
(c) f (n + 1) = f (n − 1)/f (n), với n = 1, 2, 3, . . .
Giải: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

12 / 49


1. Quan hệ truy hồi

1.3. Mô tả mối quan hệ bằng cơng thức truy hồi

Ví dụ: (sinh viên tự giải) Cho A(m, n) là hàm số được định nghĩa
theo công thức truy hồi như sau:

Tính
(a) A(1, 0)
(b) A(0, 1)
(c) A(1, 1)
(d) A(2, 2)
Giải: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...................................................................
...................................................................

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

13 / 49


2. Định nghĩa truy hồi

2.1. Cách viết định nghĩa truy hồi

2. Định nghĩa truy hồi
2.1. Cách viết định nghĩa truy hồi
Cách viết định nghĩa truy hồi
Để mô tả một đối tượng nào đó dưới dạng định nghĩa truy hồi, ta sẽ viết
định nghĩa thành 2 phần
Điều kiện đầu (base case): mô tả đối tượng đơn giản nhất
Công thức truy hồi (recursive case): mô tả đối tượng phức tạp dưới
dạng đối đơn giản hơn

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

14 / 49

2. Định nghĩa truy hồi

2.1. Cách viết định nghĩa truy hồi

Ví dụ: Trong một số ngơn ngữ lập trình, ta làm việc với một loại dữ
liệu gọi là được chuỗi ký tự (hay còn gọi là xâu, string). Ta định nghĩa
chuỗi ký tự được tạo nên từ một danh sách các ký tự a1 , a2 , . . . , an là:
(B1.) chuỗi ký tự rỗng, ký hiệu là λ, hoặc
(B2.) ai , bất kỳ ký tự ai trong danh sách, hoặc
(R.) x y , là sự ghép nối giữa hai chuỗi ký tự x và y
Chẳng hạn, “examples” là một chuỗi ký tự được tạo nên từ một danh
sách các bảng chữ cái. Chuỗi ký tự rỗng λ khi ghép nỗi với các chuỗi
ký tự khác sẽ biến mất, chẳng hạn ‘examplesλ” = ‘examples”.

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

15 / 49


2. Định nghĩa truy hồi

2.1. Cách viết định nghĩa truy hồi

Ví dụ: Chuỗi ký tự được gọi là palindrome nếu:
(B1.) λ là một palindrome
(B2.) Bất kỳ ký tự a nào cũng là một palindrome
(R.) Nếu x và y là các palindrome thì y x y là palindrome
Chẳng hạn, “madam”, “racecar”, “HANNAH”,... là các palindrome.

Ví dụ: Gọi X là tập hợp các chuỗi nhị phân (là chỉ gồm các số 0 và
1) có số lượng 0 và 1 đều nhau. Tập hợp X được định nghĩa như sau:
(B.) λ thuộc X
(R1.) Nếu x thuộc X thì 1x0 và 0x1 thuộc X
(R2.) Nếu x, y thuộc X thì x y thuộc X

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

16 / 49


2. Định nghĩa truy hồi

2.1. Cách viết định nghĩa truy hồi

Ví dụ: Nếu s là một chuỗi ký tự, ta định nghĩa chuỗi ký tự đảo s R
như sau:
(B.) λR = λ
(R.) Nếu s là một chuỗi ký tự và s = ra, trong đó a là một ký tự
và r là một chuỗi ký tự (có thể là rỗng) thì s R = (ra)R = ar R

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

17 / 49


2. Định nghĩa truy hồi

2.1. Cách viết định nghĩa truy hồi

Ví dụ: (sinh viên tự giải) Hãy viết định nghĩa tập hợp các số lẻ
dưới dạng truy hồi.
Giải: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18. / 49
CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI


2. Định nghĩa truy hồi

2.2. Hình học fractal

2.2. Hình học fractal
Thế nào là hình học fractal
Hình học fractal là những đối tượng hình học được xây dựng dựa trên
định nghĩa truy hồi.
Ví dụ:

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

19 / 49


2. Định nghĩa truy hồi

2.2. Hình học fractal

Ví dụ: Ta định nghĩa hình bơng hoa tuyết (Koch snowflake) như sau:
(B.) K (1) là một tam giác đều
(R.) Với n > 1, K (n) được tạo bởi từ K (n − 1) bằng cách thay
mỗi đoạn thẳng trong K (n − 1)
bởi hình

với đỉnh nhọn nằm phía ngồi.
Hãy vẽ K (1), K (2), K (3)?

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

20 / 49


2. Định nghĩa truy hồi

2.2. Hình học fractal

Giải:

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

21 / 49


2. Định nghĩa truy hồi

2.2. Hình học fractal

Ví dụ: Ta định nghĩa hình Badda-Bing (trong Chương 1) như sau:
(B.) B(1) là một hình vng.
(R.) Với n > 1, B(n) được tạo bởi từ B(n − 1) bằng cách thêm
mỗi hình vuông nhỏ nối tiếp vào các đỉnh của B(n − 1). Những
hình vng nhỏ được thêm vào có cạnh bằng 1/2 cạnh hình
vng được thêm vào của B(n − 1).
Hãy vẽ B(1), B(2), B(3)?
Giải:

CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI

22 / 49