10 đề ôn thi học kì 2 môn toán lớp 9 có đáp án

ĐỀ SỐ 01

Bài 1:

Cho hai biểu thức
và
1) Khi
hãy tính giá trị của biểu thức

với

.

2) Rút gọn biểu thức
Bài 2

Bài 3

3) Với

tìm giá trị nhỏ nhất b của biểu thức

1. Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một đội xe cần vận chuyển
tấn gạo với khối lượng gạo mỗi xe chở bằng nhau.
Khi sắp khởi hành thì đội được bổ sung thêm xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định
lúc đầu tấn gạo (khối lượng gạo mỗi xe chở bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao
nhiêu chiếc?
2. Nón Huế là một hình nón có đường kính đáy bằng
, độ dài đường sinh là
. Người ta lát mặt xung quanh hình nón bằng ba lớp lá khơ. Tính diện tích lá cần

dùng đề tạo nên một chiếc nón Huế như vậy (làm trịn

1) Giải hệ phương trình

)

.

2) Cho phương trình
( là ẩn số).
a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi số thực
b/ Tìm

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

.

thỏa mãn

.

Bài 4.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp

. Các đường cao AK, BI của tam

giác ABC cắt nhau tại H. Các đường thẳng AK và BI cắt đường tròn
các điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:
1) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.

2) Chứng minh

và

lần lượt tại

.

3) Cho đường tròn
và dây AB cố định. Chứng minh rằng khi điểm C di chuyển
trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK ln khơng
đổi.
Bài 5:

Cho các số

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


.
Bài 1:

HƯỚNG DẪN GIẢI

(2,0 điểm)

Cho hai biểu thức
và
1) Khi
hãy tính giá trị của biểu thức

với

2) Rút gọn biểu thức
3) Với
1) Giá trị

Vậy khi
2) Với

tìm giá trị nhỏ nhất B của biểu thức
Lời giải:
thỏa mãn điều kiện

thì
ta có

:
Với
Vậy

,thay vào biểu thức

ta được:

.


3) Ta có:

vì
.
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si với 2 số khơng âm ta có:

. Dấu "=" xảy ra khi

Bài 2

Đối chiếu với điện ta thấy
thỏa mãn điều kiện
Vậy Min
(2,5 điểm):
1. Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một đội xe cần vận chuyển
tấn gạo với khối lượng gạo mỗi xe chở bằng nhau.
Khi sắp khởi hành thì đội được bổ sung thêm xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định
lúc đầu tấn gạo (khối lượng gạo mỗi xe chở bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao
nhiêu chiếc?
2. Nón Huế là một hình nón có đường kính đáy bằng
, độ dài đường sinh là
. Người ta lát mặt xung quanh hình nón bằng ba lớp lá khơ. Tính diện tích lá cần

dùng đề tạo nên một chiếc nón Huế như vậy (làm tròn
Lời giải
1) Gọi (xe) là số xe ban đầu của đội xe. (
).
Theo dự kiến số gạo mỗi xe định chở là:
Số xe thực tế là:
(xe).

)

(tấn).

Số gạo thực tế mỗi xe chở là:
(tấn).
Vì thực tế được bổ sung thêm 4 xe nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu là 2 tấn gạo.
Vậy ta có phương trình:

Vậy số xe ban đầu của đội xe là 4 xe.


2)Chiếc nón Huế là một hình nón có đường kính đáy

, nên bán kính đáy

Độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh của hình nón này là:
Vì người ta lợp nón bằng 3 lớp lá, nên diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón
Huế sẽ là:
Bài 3(2,0 điểm)

.

1) Giải hệ phương trình

.

2) Cho phương trình
( là ẩn số).

a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi số thực
b/ Tìm

để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Lời giải

1) Đặt
(Điều kiện
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành

.

thỏa mãn

.

)

(Thỏa mãn điều kiện)

.
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là
.
2)
a/ Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có
.
Phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi số thực

.

b/ Theo chứng minh ý a/ thì phương trình đã ln có hai nghiệm phân biệt

.


Theo yêu cầu đề bài
(điều kiện
Do đó, ta thực hiện
+) Tìm điều để phương trình đã cho có 2 nghiệm dương

).

(*)

+) Theo hệ thức Vi- et ta có

.

+) Giả thiết

(Thỏa
mãn).
Vậy

.

Bài 4.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp

. Các đường cao AK, BI của tam

giác ABC cắt nhau tại H. Các đường thẳng AK và BI cắt đường tròn
các điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:
1) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
2) Chứng minh

và

lần lượt tại

.

3) Cho đường tròn
và dây AB cố định. Chứng minh rằng khi điểm C di chuyển
trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK luôn không
đổi.
Lời giải:


A

E
I

M
N

H

O
B

P

K

C

D
1) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
Xét
có đường cao AK và BI ( giả thiết )
tại K và
tại I
và
Xét tứ giác
có:
( Chứng minh trên )
và là hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh AB dưới một góc bằng nhau
Tứ giác
nội tiếp ( Dấu hiệu nhận biết ) ( đpcm ).
2) Chứng minh

và

.

Tứ giác

nội tiếp ( Chứng minh trên )
cùng chắn cung nhỏ AI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
hay

( Do

(1)
Ta có :

trịn

) (2)

( Hai góc nội tiếp
)

)
( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AE của đường


Từ (1) và (2) suy ra
Mà

và

.

là cặp góc đồng vị nên suy ra

Tứ giác

( đpcm ).

nội tiếp ( Chứng minh trên )

( Hai góc nội tiếp

cùng chắn cung nhỏ KI của đường trịn ngoại tiếp tứ giác
( Do

) hay

)

Đường trịn
có:
( Chứng minh trên ). Mà
hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung nhỏ DC và cung nhỏ EC
(3)

(

Ta có:

là các cung nhỏ ) ( Hệ quả )
( Bán kính của

và

là

( Định lý )

)

(4)
Từ (3) và (4) suy ra OC là đường trung trực của đoạn DE
chất )

( Tính

Mà

( Chứng minh trên )
( Quan hệ từ vng góc đến song song ) ( đpcm ).
3) Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK ln khơng
đổi.
Gọi N là trung điểm của AB, P là trung điểm của HC, đường thẳng CH cắt
AB tại M
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác
có:
là đường kính
là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác
Ta có:

( Chứng minh trên )
( Do N là trung điểm của AB )

( Chứng minh trên )

hay

( Do

Xét tứ giác
có:
đối nhau nên tứ giác

)
. Mà
nội tiếp ( Dấu hiệu nhận biết )

và

ở vị trí

Mà
( Chứng minh trên )
là đường kính của đường trịn ngoại
tiếp tứ giác
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
( Do P là trung điểm của HC ) và
PC là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK.
Tam giác ABC có : AK và BI là đường cao và AK cắt BI tại H ( giả thiết )
nên suy ra CM cũng là đường cao của
( Tính chất )
hay
( Do

)(5)

Xét đường trịn
có dây AB và N là trung điểm của AB nên suy ra
tại N ( Quan hệ đường kính và dây cung )
(6)


Từ (5) và (6) suy ra
( Quan hệ từ vuông góc đến song song )
Đường trịn ngoại tiếp tứ giác
và đường tròn ngoại tiếp tứ giác
cắt nhau tại K và I. Mà N và P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
và tứ giác
( Chứng minh trên )
( Tính chất đường nối tâm )
(7)
Ta có:
( Chứng minh trên )
(8)
Từ (7) và (8) suy ra

( Quan hệ từ vng góc đến song song )

Xét tứ giác NOCP có:
( Chứng minh trên )
( Chứng minh trên )
Tứ giác NOCP là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết )
( Tính chất )
Xét
vng tại N ( Do

tại N ), áp dụng đinh lý Pytago ta có:

Mặt khác:

( Do N là trung điểm của AB )
( Do

Mà

)

( Chứng minh trên )

Vì
cố định và AB cố định nên R và AB không đổi
có giá trị khơng
đổi .
Mặt khác PC là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK ( Chứng minh
trên )
Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK ln khơng đổi và có giá
trị bằng
Bài 5:

Cho các số

( đpcm ).
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Ta có:

.


Dấu bằng xảy ra khi
Vậy :
ĐỀ SỐ 02
Câu 3.

(2,0 điểm).
Cho biểu thức:

và

với

;

.

Câu 4.

a) Tính giá trị của biểu thức

khi

b) Chứng minh rằng

.

.

c) Tìm nguyên để
đạt giá trị lớn nhất.
(2,0 điểm)
1)Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Qng đường Thanh Hóa - Hà Nội dài
nghỉ tại Thanh Hóa

giờ

km. Một ơ tơ từ Hà Nội đi vào Thanh Hóa,

phút, rồi trở về Hà Nội, hết tất cả

của ô tô lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về

Câu 5.

2)Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy là
xung quanh của hình trụ.
(2,5 điểm)

km/h.

cm, chiều cao cm. Hãy tính diện tích

1)Giải hệ phương trình sau:
2)Cho phương trình

giờ. Tính vận tốc

(1)


a) Giải phương trình với
b) Tìm

.

để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

,

thỏa mãn

.
Câu 6.

(3,0 điểm)
Cho nửa đường trịn
(khơng trùng với
và

;

,

, đường kính
) và

Câu 7.

Với ,
thức:

,

là giao điểm của

.

.

là giao điểm của

đường tròn
(0,5 điểm)

và

. Gọi

nội tiếp.

b) Chứng minh:
c) Gọi

bất kì thuộc nửa đường trịn

là điểm chính giữa cung

là giao điểm của

a) Chứng minh: Tứ giác

. Lấy

và

. Chứng minh khi điểm

thì đường trịn ngoại tiếp
là các số dương thỏa mãn

 HẾT 

di chuyển trên nửa

luôn đi qua một điểm cố định.
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


LỜI GIẢI
Câu 1.

(2,0 điểm)
Cho biểu thức:

và

với

.
a) Tính giá trị của biểu thức

khi

b) Chứng minh rằng

.

c) Tìm

nguyên để

a) Ta thấy

.

đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải

thỏa mãn điều kiện xác định

Thay

vào biểu thức

Vậy khi

b) Với

thì giá trị của biểu thức là
;
. Ta có:

Vậy với
c) Với

;
;

thì
. Ta có:

, ta được:

.

.

;


Với

nguyên;
;
thì đạt giá trị lớn nhất khi
là số dương nhỏ nhất

là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện xác định
. Khi đó:

Vậy

thì biểu thức

đạt giá trị lớn nhất là

.

Câu 2. (2,0 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Qng đường Thanh Hóa - Hà Nội dài
nghỉ tại Thanh Hóa

giờ

km. Một ơ tơ từ Hà Nội đi vào Thanh Hóa,

phút, rồi trở về Hà Nội, hết tất cả

của ô tô lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về

giờ. Tính vận tốc
km/h.

2) Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy là cm, chiều cao cm. Hãy tính diện tích
xung quanh của hình trụ.
Lời giải

1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Đổi: giờ
phút
giờ.
Gọi vận tốc lúc về của ô tô (đi từ Thanh Hóa về Hà Nội) là:

(km/h) (Điều kiện:

)
Vận tốc của ơ tơ lúc đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa là:
Thời gian ơ tơ đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa là:
Thời gian ơ tơ đi từ Thanh Hóa về Hà Nội là:

(km/h)
(giờ)

(giờ)

Vì ơ tơ đi từ Hà Nội vào Thanh Hóa, nghỉ tại Thanh Hóa
giờ rồi trở về Hà Nội, hết tất cả

giờ

phút hay bằng

giờ nên ta có phương trình:

phương trình có hai nghiệm phân biệt:

(thỏa mãn);

(loại)


Vậy vận tốc lúc về của ô tô đi từ Thanh Hóa về Hà Nội là
2) Hình trụ có bán kính đáy:

(cm), chiều cao:

(cm)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

A

(km/h).
(cm2)

B

O
h

O'

B'

A'
Câu 3.

(2,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình sau:
2) Cho phương trình

(1)

a) Giải phương trình với
b) Tìm

.

để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

,

thỏa mãn

.
Lời giải

1) Ta có hệ phương trình:

Đặt

(Điều kiện:

(Điều kiện xác định:

)

). Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành:


(thỏa mãn điều kiện)

(thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là

.

2) Phương trình:
a) Thay

vào phương trình đã cho ta được phương trình:

Vì

phương trình có nghiệm

Vậy với

;

phương trình có tập nghiệm là

b) Ta có:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

;

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có:
Ta lại có:

Vì
mãn)

phương trình có nghiệm

Vậy với

thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

(loại);

(thỏa

thỏa mãn

.
Câu 4.

(3,0 điểm)
Cho nửa đường trịn
khơng trùng với
và

;

,

, đường kính
) và

b) Chứng minh:

bất kì thuộc nửa đường trịn (

là điểm chính giữa cung

là giao điểm của

a) Chứng minh: Tứ giác

. Lấy
và

nội tiếp.
.

.

. Gọi

là giao điểm của


c) Gọi

là giao điểm của

đường trịn

và

. Chứng minh khi điểm

thì đường trịn ngoại tiếp
Lời giải

a) Ta có:

ln đi qua một điểm cố định.

(các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Tứ giác

b) Xét
(g.g)

di chuyển trên nửa

và

có:

nội tiếp

chung;

c)

là hai đường cao của
là trực tâm của

tại
Tứ giác

nội tiếp

Tứ giác

nội tiếp
(do

tiếp cùng chắn
cung)

), mà
Tứ giác

, hai góc nội

(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một
nội tiếp

thuộc đường tròn ngoại tiếp


Vậy khi điểm

di chuyển trên nửa đường trịn

ln đi qua điểm

Câu 5.

cố định.

Chú ý: Kết quả của bài toán vẫn đúng khi
,
)
(0,5 điểm)
Với ,
thức:

,

thì đường trịn ngoại tiếp

là một điểm bất kì nằm trên

là các số dương thỏa mãn

,

,

là các số dương thỏa mãn

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Dấu

xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là khi
 HẾT 

ĐỀ SỐ 03
Câu 1.

(2 điểm)
Cho các biểu thức:
và
1) Tính giá trị của
2) Rút gọn biểu thức

khi

khác

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Lời giải
Với

(

Với

;


Câu 2.

3) So sánh với
(2 điểm)
1) Chiến nón do làng Chng (Thanh Oai – Hà Nội) sản xuất là hình nón có đường
sinh bằng
, đường kính bằng
xung quanh của nón.

. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt

2) Một người đi xe đạp từ địa điểm
về

Câu 3.

đến địa điểm

cách nhau

. Khi đi từ

người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ

đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là

là 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.
(2,0 điểm)

. Vì

nên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi

Cho phương trình
a) Giải phương trình khi
b) Tìm
Câu 4.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

;

sao cho

;

thỏa mãn:

(3,5 điểm)
Cho đường tròn
nằm giữa

và

và điểm

cố định ở ngoài

),

. Vẽ qua

là các tiếp tuyến với

nửa mặt phẳng bờ

có chứa

, gọi

cát tuyến

(

là trung điểm

(

và

thuộc

.

1) Chứng minh:
2) Chứng minh 5 điểm

Câu 5.

,

,

,

3) Đường thẳng qua

song song với

4) Khi cát tuyến
đường nào?
(0,5 điểm)

quay quanh

Cho

,

cùng thuộc một đường trịn.
cắt

thì trọng tâm

ở

. Chứng minh
của tam giác

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 HẾT 
Câu 1.

(2 điểm)
Cho các biểu thức:

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 03

chay trên

.


và
1) Tính giá trị của

với

;

khi

2) Rút gọn biểu thức
3) So sánh

với
Lời giải

1)

Khi

thỏa mãn ĐKXĐ nên thay vào

2)

với

3) So sánh

Ta có
với
Nên

với

=
;

ta có

;


Câu 2.

(2 điểm)
1) Chiến nón do làng Chng (Thanh Oai – Hà Nội) sản xuất là hình nón có đường
sinh bằng
, đường kính bằng
xung quanh của nón.
2) Một người đi xe đạp từ địa điểm
về

. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt
đến địa điểm

cách nhau

. Khi đi từ

người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ

đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là
là 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.

. Vì

nên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi

Lời giải
1) Minh họa hình nón như hình vẽ dưới đây.

Trong đó, đường sinh
Đường kính

.
Lớp lá phủ lên bề mặt xung quanh của chiếc nón chính là diện tích xung quanh của
hình nón

.

Vì người ta dùng 2 lớp lá để phủ lên mặt xung quanh của nón nên diện tích lá cần dùng
để làm một chiếc nón là:
Vậy diện tích lá cần dùng để làm một chiếc nón là
2) Một người đi xe đạp từ địa điểm
về

đến địa điểm

.
cách nhau

. Khi đi từ

người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ

đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là
là 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Gọi vận tốc lúc đi của xe đạp là

nên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi
,

.

Vận tốc lúc về của xe đạp là:
Chiều dài con đường lúc về là:

. Vì

.


Thời gian lúc đi từ

đến

Thời gian lúc về từ

về

là:

.

là:

.

phút
giờ.
Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 20 phút nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc lúc đi của xe đạp là
Câu 3.

.

(2,0 điểm) Cho phương trình
a) Giải phương trình khi
b) Tìm

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

;

sao cho

Lời giải
a) Với

thì ta có phương trình:

Xét
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

+ Khi đó, theo hệ thức Vi – ét ta có :

;

;

thỏa mãn: