Skkn chứng minh bất đẳng thức đối xứng bằng phương pháp hàm số

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn THPT, phần khó khăn nhất khi giáo viên giảng
dạy là phần bất đẳng thức các bài toán ở phần này đa dạng và rất khó, đa số học
sinh khi được hỏi về phần này khi thi thì đều trả lời là khó khơng định hướng
được cách làm, mặt khác tâm lý chung của các em đặc biệt là học sinh khi thi
đại học thì đều bỏ câu này vì quan niệm của các em đó là một trong những câu
khó nên các em có học lực khá khơng mặn mà cho lắm. Đứng trước một bất
đẳng thức, học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Nguyên nhân
là vì bất đẳng thức là bài tốn khó, địi hỏi phải tư duy sâu sắc và thường dùng
để phân loại học sinh mặt khác cách giải khá đa dạng, một số tài liệu đưa ra cách
giải mang tính thủ thuật, khơng tự nhiên làm cho học sinh khơng có cách nhìn
bao qt về nó. Sáng kiến kinh nghiệm của tơi đưa ra một kĩ thuật đơn giản (đó
là khai thác tính đối xứng của các biến) nhưng có hiệu quả khi giải quyết một
lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của một biểu thức. Điều quan trọng là học sinh có thể được định hướng
cách giải ngay từ đầu.
Qua nghiên cứu đề thi vào đại học, các đề thi học sinh giỏi, tơi thấy phần
lớn đều có bài về bất đẳng thức, hơn nữa nó cịn có dạng đối xứng đối với các
biến nên vấn đề khai thác triệt để tính đối xứng có vai trị quyết định đến lời giải
của bài tốn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy ở trường THPT, cùng
với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tơi đã tổng hợp, khai thác và hệ
thống hố lại các kiến thức thành một chuyên đề: “ Chứng minh bất đẳng thức
đối xứng bằng phương pháp hàm số’’
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh
phương pháp cơ bản chứng minh các bất đẳng thức đối xứng 2 biến, 3 biến và

1

skkn


một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được các tính chất của bất đẳng thức đối
xứng . Học sinh thơng hiểu và trình bày bài tốn đúng trình tự, đúng logic,
không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn
đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn tồn diện cũng như phương
pháp chứng minh bất đẳng thức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Sử dụng phương pháp hàm số trong các bài toán bất đẳng thức đối xứng
hai ẩn và ba ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình
giảng dạy.
- Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối và luyện thi tốt nghiệp
THPT trong năm học từ 2006 đến 2022
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thơng đặc biệt là bộ mơn tốn học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống
của con người. Mơn tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến
thức rộng, đa phần các em ngại học mơn này.

Muốn học tốt mơn tốn các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng
2

skkn


dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải
có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu mơn tốn học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thơng, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính
giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài
toán chứng minh bất đẳng thức. Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn
học sinh cách định hướng chứng minh bất đẳng thức đối xứng hai ẩn, ba ẩn bằng
phương pháp hàm số. Đề tài của tơi chỉ nghiên cứu một khía cạch rất nhỏ đó là
khai thác sử dụng các tính chất đối xứng để đưa về phương pháp hàm số. Điều
quan trọng là phương pháp này có tính tổng qt rất cao và có thể áp dụng cho
hầu hết các bài tốn có dạng: “Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn
. Chứng minh rằng

, trong đó

là một biểu

thức đối xứng đối với ba biến x, y và z”.
1) Đa thức

được gọi là đối xứng đối với x và y nếu

. Mọi đa thức đối xứng

qua cách đặt
2) Đa thức

đều biểu diễn được

và
được gọi là đối xứng với x,y,z nếu

[4]
3) Biểu thức

thuần nhất bậc n nếu

Do vậy, nếu k > 0 thì
và chọn k =

. Đặt
> 0 thì

và

.

3

skkn

Do đó đối với những bất đẳng thức thuần nhất ta có thể giả thiết thêm

(hoặc

nếu chọn

). Việc làm trên gọi là

chuẩn hóa.

[1]

2.2. Thực trạng của vấn đề
Có thể nói phần bất đẳng thức là phần khó nhất trong chương trình sách
giáo khoa ở THPT, đây là phần mà yêu cầu học sinh phải có tư duy nhạy bén, có
tố chất mới có thể làm được, mặt khác ngay cả trong đội ngũ các thầy cô giáo
trực tiếp giảng dạy cho học sinh thì cũng rất lúng túng khi phân loại và dạy cho
các em dạng này, điều này cũng dễ hiểu đối với các thầy cơ giáo dạy vì trong
chương trình sách giáo khoa lượng bài tập cho phần BĐT không nhiều mặt khác
bản thân học sinh không “ mặn mà” với phần này do để chứng minh được một
bài toán cần phải rất khéo léo trong các khâu để đưa bài toán chứng minh bất
đẳng thức thành quen thuộc. Qua nghiên cứu đề thi THPT Quốc Gia, các đề thi
học sinh giỏi, tơi thấy phần lớn đều có bài về bất đẳng thức, hơn nữa nó cịn có
dạng đối xứng đối với các biến nên vấn đề khai thác triệt để tính đối xứng có vai
trị quyết định đến lời giải của bài toán. Xuất phát từ những lí do nêu trên tơi viết
đề tài sáng kiến kinh nghiệm này với hy vọng cung cấp cho học sinh một
phương pháp có hiệu lực để chứng minh bất đẳng thức
2.3. Một số biện pháp
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của
đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh

với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kỹ năng
giải quyết với một số các bất đẳng thức có tính chất đối xứng đối với 2 biến, 3
biến
Bài toán 1: Cho hai số thực x; y thay đổi thõa mãn điều kiện

. Gọi

M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Khi đó giá trị M+ n bằng
4

skkn


A:

B.

C.

D. 1

Phân tích: Do tính chất đối xứng của x,y nên ta có thể đặt
Hướng dẫn.
Ta có
Đặt

. Từ giả thiết ta có

Ta có Khi đó biểu thức

. Xét hàm số
Khi đó GTLN

 ; GTNN

Bài Tốn 2: Cho

vậy M+n =

, chọn C.

thỏa mãn

.

Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Khi đó M.n bằng
B.

A.

C.

D. 1

Hướng dẫn

Đặt

từ giải thiết ta có

Sử dụng bất đẳng thức

nên ta có

vậy

Khi đó
Ta xét hàm số

với

Lập bảng biến thiên ta có
t

-2/3

0

2

5

skkn


f’(t)

f(t)

-

0

+

1/3

1/3
-1

Từ bảng biến thiên
GTNN P = M = -1 đạt được khi
GTLN P = n = 1/3 đạt được khi
Vậy M.n =

, vậy ta chọn B

Bài Toán 3
Cho

là hai số thực khác khơng thỏa mãn:

Tìm GTLN của biểu thức:

(KA: 2006)

Phân tích:

Do bất đẳng thức trên thỏa mãn đ/k bất đẳng thức đối xứng hai biến, nên ta đặt
sau đó biểu thị xy qua t để đưa bài toán tới xét hàm số theo t
Hướng dẫn
x  y  .xy  x 2  y 2  xy

( do
)

Ta có
đặt

x  y  .xy  x 2  y 2  xy
do 
nên ta có

, mặt khác ta có

6

skkn


nên ta có
này nghịch biến với

.Ta xét hàm số
nên

hàm số

vậy giá trị lớn nhất của A là 16

khi t=1 hay
Bài tốn 4.
Cho x; y là các số thực khơng âm thõa mãn
nhỏ nhất của biểu thức
A.

. Giá trị
là

B. 4

C.

D.

Hướng dẫn
Ta có

và

Khi đó
Đặt

khi đó

Từ

mà

nên ta có

vậy

. Xét hàm số

Dấu bằng sảy ra khi

với

; vậy P=

.GTLN

, chọn A.

7

skkn


Bài tốn 5. Cho

CMR

Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

Đặt

Ta có:

.
với:

;

hàm số nghịch iến trên

Suy ra:
. Dấu bằng xảy ra: x = y = z và
Mở rộng 1( Tổng quát)
Cho

Hay

là số dương

Chứng minh rằng:

(*)

Bài toán 6: Cho

CMR:

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức bunhacopxki ta có:

Tương tự sau đó cộng vế theo vế:

Áp dụng (*) với
Bài tốn 7 ( Khối A-2004)

. Suy ra điều phải chứng minh.

Cho
CMR :
Hướng dẫn: Bài toán TQ1 : Với a= -1; b=1 ; n=2 ; k= 2 ta có:

.

Mở rộng 2( Tổng quát)
Cho

là số dương
8

skkn


Chứng minh rằng:

(**)

Bài toán 8: : Cho x, y thỏa mãn

Tìm GTNN của biểu thức
( KB- 2009)

Hướng dẫn

Ta biến đổi biểu thức A như sau
Áp dụng bất đẳng thức

ta có
Lúc này ta đặt

Xuất phát từ giả thiết ta có

Ta lại có
Xét hàm số
GTLN A =

với
khi x= y= 1/2

Bài tốn 9 : Cho

là các số thực không âm thỏa mãn

của

. GTNN
- KB-2010

Hướng dẫn
Sử dụng BĐT

nên ta có
. Mặt khác

Vậy
Ta lại có
9

skkn


. Xét hàm số

Đặt t =

với
bằng xảy ra khi a=1; b = c = 0 và các hoán vị

. Dấu

Bài 10 (IMO 1964).
Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng
(1)
Giải.
Do BĐT là thuần nhất nên nhờ chuẩn hóa ta có thể giả thiết thêm
Thay
vào (1) ta được

Đặt

.

và xét

Ta có

.
Đẳng thức xảy ra

hoặc

và các hốn vị của nó.

Bài tốn 11: Cho x; y; z là các số thực dương. Tìm GTNN của
P=
A.

- KB-2017
B.

C.

D. 1

Phân tích:

10

skkn


Bài tốn đối xứng với điểm rơi x=y=z. Ta có

. Tử

; mẫu số là xyz nên ta đưa về đại lượng trung gian x+y+z và

số là

ta sử dụng dụng bất đẳng thức Bunhiacopxiki

và

Hướng dẫn

Áp dụng các bất đẳng thức

và

Ta có

Đặt
Xét hàm số
Lập

bảng biến thiên ta có

. GTLN của P =

khi

Bài toán 12
Cho các số thực dương

thỏa mãn

thức
A.

. GTLN của biểu

là
B.

C.

D. 11

Hướng dẫn :
11

skkn


Do

nên ta có hệ

và
Lấy (2) trừ (1) ta có

. Ta lại có

Ta có

. Nên ta có

. Đặt t = ab+bc+ca ta có

.

Ta xét hàm số
Vậy chọn C( dấu bằng xảy ra khi a=1;b=2; c= 3 và các
hốn vị của nó).
Bài toán 13: Cho a,b,c là các số thực dương và

. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức
Phấn tích :
Ta có
Lúc này đặt
Hướng dẫn
Ta có
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
Đặt

từ

áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

12

skkn

.

vậy

Xét hàm số
Vậy

. Vậy GTNN cuả M bằng

Bài toán 14. Cho

thỏa mãn

khi

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức
Hướng dẫn

Ta có

.
. Khi đó ta có

Vậy

. Đặt

.Hàm

đồng biến trên

vậy GTNN P = f(3) =

số

. Dấu bằng xảy ra khi

x=y=z=2.
CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Cho

và

.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2: Cho

thỏa mãn

. CMR:

13

skkn

2
3

 14
2
2
a + b + c ab  bc  ca
2

Bài 3: Cho

thõa mãn điều kiện

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 4: cho

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 5: Cho

thỏa mãn

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 6: Cho

Bài 7: Cho

thỏa mãn

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là các số dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng

(ĐH A.2005)
Bài 8: Cho

thỏa mãn

.Tìm giá trị nhỏ nhất của P=

( ĐH A.2011)
Bài 9: Cho

là các số dương thõa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của

14

skkn

Bài 10: Cho

là các số thực dương thỏa mãn

.Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Cho

. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là.

A. GTLN P = 4; GTNN P =

B. GTLN P = 1; GTNN P =

C. GTLN P =

; GTNN P = 4

D. GTLN P = 1; GTNN FP= 4

Bài 2: Cho

là các số thực thỏa mãn

và

. GTLN,

GTNN của
A. GTLN F =

; GTNN F =

B. GTLN F =

C. GTLN F =

; GTNN F =

D. GTLN F = 1; GTNN F =

Bài 3: Cho các số thực không âm
nhất

thoả mãn

2

; GTNN F =

2

2

x + y + z =3 . Giá trị lớn

.

của biểu thức

D. 5
2
Bài 4: Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x + y + z ≤xyz .
x
y
z
P= 2
+ 2
+ 2
x + yz y + zx z + xy .
Giá trị lớn nhất của biểu thức:
A.

B. 14

1
A. 2

B.
Bài 5: Cho x, y, z > 0 thoả mãn
P=
A.

C.

C.

2

2

D.
. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu

là
B.

C.

D.
15

skkn


Bài 6. Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+ b+ c= 1. Khi đó
Giá trị của m là
A. m= 20

B. m=30

Bài 7. Cho

C. m=40

. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

. Khi đó giá trị M+ n bằng

A: 4

B. 3

Bài 8. Cho

D. m=50

thỏa mãn

C. 2
.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.

A.

C.

D.

. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

. Khi đó M+ n bằng
B. 2-

Bài 10. Cho

A.

là

B. 4

Bài 9: Cho

D. 1

C. 2+

D. 1

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B.

C.

D.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy phần bất đẳng thức cho học sinh, khi vận dụng

sáng kiến này để giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là
cách sử dụng hàm số khi giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Học
sinh đã có thêm phương pháp tiếp cận các bài toán bất đẳng thức với một số các
bài tốn đối xứng. Qua đó các em có hứng thú hơn trong học tập
Với sáng kiến này thì việc dạy và học phần bất đẳng thức cũng có thêm một
phương pháp mới, cách tiếp cận đơn giản hơn cho các em học sinh mới làm

16

skkn


quen với phần bất đẳng thức, qua đó nâng cao hơn nữa đến chất lượng chuyên
môn của nhà trường.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1.Kết luận:
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình mơn tốn .
Nhưng đối với học sinh lại là một mảng rất khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô
giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12 và
đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp THPT được học sinh đồng tình và đạt được kết
quả, nâng cao khả năng sử dụng để giải quyết các bài toán CM bất đẳng thức
được các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học
sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh
biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này
vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng chứng minh tốt hơn tôi lấy kết quả
của Học sinh Khối 12 trong 2 năm gần đây.
Điểm 8 trở lên
Năm
học

Lớp

Tổng
số

Số
lượng

Tỷ lệ

Điểm từ 5 đến
8
Số
lượng

Điểm dưới 5
Số

Tỷ lệ

lượn

Tỷ lệ

g

2018

12A2

39

11

28 %

22

57 %

6

15 %

2019

12A3

42

9

21 %

23

55 %

10

24 %

12A8

45

10

22,22% 30

20202021

66,67% 5

11,11%

Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tơi khi dạy
phần chứng minh BĐT giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương
ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.

17

skkn


Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn cịn có nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tơi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tơi. Tơi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị :

Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.

XÁC NHẬN CỦA

Nghi Sơn, ngày 05 tháng 6 năm 2022

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề tài trên
là do bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện,
không sao chép nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN

Nguyễn Hữu Hòa

18

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Phạm Kim Hùng, Sách sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà Nội
[2]. Nguyễn Phú Khánh- Kiến thức ôn tập kinh nghiệm làm bài thi đạt điểm 10,
NXB Đại học sư phạm
[3]. Võ Bá Cẩn- Trần Quốc Anh. Bất đẳng thức và những lời giải hay, Nxb Hà

Nội
[4]. Nguyễn Hữu Điển, Giải toán bằng phương pháp đại lượng bất biến, Nxb
Giáo Dục
[5] Tạp chí tốn học tuổi trẻ số 356 năm 2013, Nxb Giáo Dục
[6] Đề thi đại học các năm
 

19

skkn


20

skkn