Skkn giúp học sinh tư duy nhanh một số bài toán hàm hợp bằng phương pháp truy ngược

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH TƯ DUY NHANH MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÀM HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY
NGƯỢC

Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2022

skkn


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU.....................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.......................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu...............................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu..........................................................................1
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm...........................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...............................................1
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..................................................1
2.1.1. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp..................................................1
2.1.2. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số..................................................1

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................2
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề..............................................................................................................2
2.3.1. Đặc điểm bài tốn..................................................................................2
2.3.2. Bài tập khơng có hướng dẫn giải.........................................................13
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường...................................................................18
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.........................................................................18
3.1. Kết luận..................................................................................................18
3.2. Kiến nghị................................................................................................18

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong đề thi trắc nghiệm mơn Tốn THPT Quốc gia và đề thi chọn học
sinh giỏi có sự xuất hiện của những câu mức độ vận dụng, vận dụng cao về
hàm số, đặc biệt là những câu hàm số ẩn. Những câu này rất đa dạng và
phong phú, cần đỏi hỏi sự linh hoạt và hiểu sâu vấn đề của người học. Trong
thực tế khi giảng dạy, đa số học sinh rất lúng túng và khó chủ động khi gặp
những bài tốn về hàm ẩn, đặc biệt là các bài toán truy ngược hàm.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Các bài tốn về hàm số ẩn ở mức độ vận dụng cao rất phức tạp, điều đó
cần có một số bài tốn điển hình giúp học sinh có kỹ năng giải quyết các bài
tốn đó.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong nội dung của sáng kiến kinh nghiệm, cá nhân tôi tập một số bài
tập về loại tốn truy ngược hàm có liên quan đến tính đơn điệu của hàm số,
đây là một trong số dạng bài hàm số ẩn thuộc chương trình Tốn THPT.

1.4. Phương pháp nghiên cứu
Đưa ra một số cách giải quyết cụ thể cho những bài tập truy ngược hàm
liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nội dung của sáng kiến kinh nghiệm có đưa ra một số phương
pháp giải cho cùng một bài tập về loại tốn truy ngược hàm có liên quan đến
tính đơn điệu của hàm số.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số
hàm số

có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng
có đạo hàm tương ứng tại

có đạo hàm trên

và

thì hàm số hợp

và

2.1.2. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Giả sử hàm số
- Nếu

với mọi
thì hàm số

- Nếu

có đạo hàm trên khoảng
đồng biến trên

với mọi
thì hàm số

và

.

chỉ tại một số hữu hạn điểm của
.

và

nghịch biến trên

chỉ tại một số hữu hạn điểm của
.
Trang 1

skkn


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi học học sinh gặp bài tốn có liên quan đến tính đơn điệu như sau:
Câu 1: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

. Đồ thị hàm số

có đồ thị như hình vẽ

Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào sau đây

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lúc này, sẽ có vấn đề phát sinh là học sinh sẽ rất cần đồ thị của hàm số
, tuy nhiên đề bài lại cho đồ thị của hàm số
, điều
này sẽ gây khó khăn trong việc giải quyết bài toán.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề
2.3.1. Đặc điểm bài toán:
Cho hàm số

, biết dữ kiện của hàm số

hoặc

. Hỏi kết luận tính đơn điệu của hàm số
Thơng thường các bài toán dạng này đa số học sinh rất bối rối và dễ rơi
vào vòng luẩn quẩn khi giải quyết và tìm ra hướng giải quyết, đặc biệt rất dễ
nhầm lẫn.
Lưu ý đây không phải là "hàm ngược". Tên gọi truy ngược hàm cho dễ
hình dung, thực chất nó là bài tốn hàm hợp khi cho nhiều loại hàm hợp khác
nhau.
Câu 1: Cho hàm số
số

có đạo hàm liên tục trên

và có đồ thị hàm

như hình vẽ

Trang 2

skkn


Hàm số
A.

đồng biến trên khoảng
.

B.

.

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn B
Xét

ta có:

Từ đồ thị hàm số
là nghiệm bội chẵn.
Khi đó:

suy ra

, trong đó

, trong đó

là

nghiệm bội lẻ.

Dấu

Vậy hàm số đồng biến trên
Câu 2: Cho hàm số
số

và

có đạo hàm liên tục trên

.
và có đồ thị hàm

như hình vẽ sau

Trang 3

skkn


Hàm số
A.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
.

B.

.
C.

.
Hướng dẫn giải

D.

.

Chọn C
Nhận thấy đồ thị hàm số
có hồnh độ

cắt trục hồnh tại hai điểm

và

nên

.

Suy ra

.

Bảng xét dấu

Vậy

:

nghịch biến trên khoảng

Câu 3: Cho hàm số

.

có đạo hàm liên tục trên

. Hàm số

có bảng xét dấu như sau
1

0
0
Hàm số
A.

3

0

đồng biến trên khoảng nào dưới đây
.

B.

.
C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn D

Từ bảng xét dấu nhận thấy

. Từ đó:
Trang 4

skkn


.
Bảng xét dấu

:
0
0

0

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên
Câu 4: Cho hàm số
số

và

.

xác định và có đạo hàm liên tục trên

. Hàm

có bảng xét dấu như sau

0
Hàm số
A.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây
.

B.

.
C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn B
Từ bảng xét dấu nhận thấy

.

Ta có:

. Từ đó:

.
Bảng xét dấu

:
0

0

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số
khoảng
Câu 5: Cho hàm số

và

đồng biến trên các

.
có đạo hàm liên tục trên

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ

Trang 5

skkn


Hàm số
A.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
.

B.

.
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

.

Chọn B
Ta có:

.
.

Ta đặt

,

sao cho

trở thành

tức là:

.
Khi

đó

với

Suy ra

,

nên

.

Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số

0

như sau:
1

2

có
4
Trang 6

skkn


0

0

0

Từ đó suy ra hàm số

nghịch biến trên khoảng

.
Câu 6: Cho hàm số
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ

Giá trị nguyên lớn nhất của tham số
đồng biến trên khoảng
A. 3.
B. 5.

và hàm số

để hàm số

là
C. 9.
Hướng dẫn giải

D. 10.

Chọn B
Bảng biến thiên

Ta có

.

Hàm số

đồng biến trên

,

hay

,

khi
từ đó
.

Vậy

thoả mãn yêu cầu đề bài.

Câu 7: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên
có

. Biết hàm số

và có bảng biến thiên như hình vẽ
Trang 7

skkn


Hàm số
khoảng nào sau đây
A.

.

B.

đồng biến trên
.
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

.

Chọn D
Ta có:
Xét
Đặt

.
(*).
. Khi đó:

.
Đồ thị hàm số
sau:

và hàm số

như

Trang 8

skkn


Vậy hàm số
khoảng

đồng biến trên
.

Câu 8: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

. Đồ thị hàm số

có đồ thị như hình vẽ

Hàm số
A.

nghịch biến trên khoảng nào sau đây
.

B.

.
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

.

Chọn A
Ta có:

* Giải phương trình:

* Ta sẽ đặt

,

sao cho

trửo thành

, tức là:
(*)
Đồng nhất hai vế của (*) ta có
(1) trở thành
Đồ thị hàm số

, vậy chọn đặt

, khi đó

.
và đường thẳng

như sau:

Trang 9

skkn

Từ đồ thị ta có

Suy ra
* Bảng xét dấu của

như sau:
2

0
0

0

0

Từ đó suy ra hàm số

nghịch biến trên

Câu 9: Cho hàm số bậc ba

có bảng xét dấu như sau
3
2
0
0

0
Tổng các giá trị nguyên của

trên
A.
.

.

để

đồng biến

là
B.

.

C. .
Hướng dẫn giải

D.

.

Chọn D
Từ

bảng

xét

dấu

của

ta

có:

,
Trang 10

skkn


.
Đặt

, khi đó

Vậy

,

.

.

Mặt khác ta có

, mà hàm số
nên

đồng biến trên

Vì

.

ta có

nên
.

Xét hàm số

trên

, ta có bảng biến thiên sau:

Do đó
ngun nên
thoả mãn bằng
Câu 10: Cho hàm số

. Vì
, khi đó tổng các giá trị nguyên của
.
và

xác định và liên tục trên

, trong đó

có đồ thị như hình vẽ sau

Trang 11

skkn


Số giá trị nguyên của tham số

để hàm số

đồng biến trên khoảng
B. 5.
C. 4.
Hướng dẫn giải

A. 3.

Chọn C
Nhận xét: Nếu ta xem

là
D. 6.

thì từ đồ thị ta nhận được sự biến

thiên của hàm số
.

Vì thế ta giải như sau:
Đặt
, khi đó ta có:

Đặt

, trên khoảng

biến và

nghịch

, bài tốn trở thành

trên
Do

hàm số

nghịch biến

, từ đó
nguyên và

Câu 11: Cho hàm số

.
nên

có đạo hàm liên tục trên

.
. Đồ thị của hàm số

được cho như hình vẽ

Trang 12

skkn


Số giá trị nguyên của tham số
A. 2018.

để hàm số

nghịch biến trên khoảng
là
B. 2019.
C. 2020.
D. 2017.
Hướng dẫn giải

Chọn A
Nhận xét: Nếu ta xem

thì từ đồ thị ta nhận được sự biến

thiên của hàm số
.

Vì thế ta giải như sau:
Đặt
, khi đó ta có:

Đặt

,

trên

khoảng

nghịch biến và
thành

đồng

biến

trên

hàm

số

, bài tốn trở
,

từ

đó

.
Do

ngun và

nên

.
Trang 13

skkn


2.3.2. Bài tập khơng có hướng dẫn giải
Bài tập 1: Cho hàm số
như hình vẽ

xác định và liên tục trên

Hàm số
đây

có đồ thị

nghịch biến trên các khoảng nào dưới

A.

.

B.

.

Bài tập 2: Cho hàm số

C.

.

xác định trên

D.

.

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

Hàm số
A.

đồng biến trên các khoảng nào dưới đây
.

B.

.

Bài tập 3: Cho hàm số

C.
xác định trên

.

D.

.

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

Trang 14

skkn


Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
A. 14.

đồng biến trên
C. 15.

B. 16.

Bài tập 4: Cho hàm số

xác định trên

để hàm số
bằng
D. 13.

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

Có bao nhiêu giá tri ngun của tham số
đồng biến trên khoảng
B. 4.
C. 2.

A. 1.
Bài tập 5: Cho hàm số

liên tục trên

để hàm số
D. 3.

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

Khi đó hàm số

A.

.

đồng biến trên khoảng
B.

.

Bài tập 6: Cho hàm số

C.
liên tục trên

.

D.

.

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ
Trang 15

skkn


Hàm số
A.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây
.

B.

.

C.

Bài tập 7: Cho hàm số

.

D.

liên tục trên

.

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

Số giá trị nguyên của tham số
đồng biến trên khoảng
A. 4.
B. 0.
Bài tập 8: Cho hàm số
0

Hàm số
A.

để hàm số

là
C. 3.

D. 5.

có bảng xét dấu của
0
1
0
0

như sau
2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
.

Bài tập 9: Cho hàm số
vẽ

B.

.

C.

có đồ thị hàm số

.

D.

.
như hình

Trang 16

skkn


Hàm số
A.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây
.

B.

.

C.

Bài tập 10: Cho hàm số
sau

.

liên tục trên

Hàm số

D.

.

và có đồ thị như hình vẽ

đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A.

.

B.

.

Bài tập 11: Cho hàm số

C.

,

.

D.

.

liên tục và có đạo hàm trên

,

là hàm số bậc ba có đồ thị như hình

trong đó hàm số

vẽ

Hàm số
nào dưới đây
A.

nghịch biến trên khoảng

.

B.

.

Bài tập 12: Cho hàm số

C.

.

D.

có đạo hàm liên tục trên

.
. Đồ thị

như hình vẽ

Trang 17

skkn


Có bao nhiêu số nguyên
biến trên
A. 9.

để

đồng

.
B. 13.

C. 14.

Bài tập 13: Cho hàm số

D. 8.

có đạo hàm liên tục trên

. Đồ thị hàm số

như hình vẽ

Hàm số
sau đây
A.

nghịch biến trên khoảng nào
.

B.

.

Bài tập 14: Cho hàm số

liên tục trên

Hàm số
A.

C.

.

D.

.

và có đồ thị như hình vẽ

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
.

B.

.

C.

.

D.

.
Trang 18

skkn


Bài tập 15: Cho hàm số đa thức

Hàm số

có đồ thị như hình vẽ

đồng biến trên khoảng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Việc đưa ra một số bài tốn hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu như
trên giúp cho học sinh có một góc nhìn mới mẻ về loại bài tốn này, nó làm
tăng tính phản xạ của học sinh khi giải tốn. Ngồi ra, chúng ta có thể tạo ra
một số bài tập tương tự và phát triển các bài tập đó lên mức vận dụng cao.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Với những bài tập hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu có tác động
tích cực đến sự hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Thể hiện rõ một
số bài tốn hàm hợp có liên quan đến tính đơn điệu của hàm số. Từ đó giúp
học sinh tự tin hơn khi giải quyết lớp bài tập này.
3.2. Kiến nghị
Sáng kiến kinh nghiệm là một tài liệu tiếp cận tốt về kiến thức, tôi
muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng nghiệp một số kinh nghiệm mà bản thân
đã tích lũy được trong nhiều năm giảng dạy. Hy vọng qua sáng kiến kinh
nghiệm này quý thầy cô giảng dạy sẽ lồng ghép sử dụng vào bài giảng của
mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ hiểu hơn cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trang 19

skkn


Nguyễn Minh Thế

Trang 20

skkn


Tài liệu tham khảo
[1]. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet
- Nguồn: />- Nguồn: />[2]. Đề thi thử của một số trường trong nước.

skkn