Skkn hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường thpt lê lợi giải quyết các bài toán hình học tọa độ trong không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề mặt cầu

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tốn học là một trong những môn học ở trường phổ thơng rèn luyện cho
học sinh khả năng tính tốn logic, tính cẩn thận và đặc biệt đó là tư duy trừu
tượng. Một trong những nội dung phát huy khả năng tư duy trừu tượng của học
sinh là nội dung hình học giải tích trong khơng gian.
Thực tế cho thấy, trong những năm gần đây khi kì thi THPT nay chuyển
thành kì thi TN THPT chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm
đã làm học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tăng tốc độ tư duy trong các câu
hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Học sinh phải có khả năng tư duy hình
học khơng gian và các cơng thức giải tích, các mối quan hệ giữa các đối tượng.
Vì vậy, giáo viên cần xây dựng nội dung phù hợp theo mức độ và nền tảng vững
chắc.
Là Giáo viên giảng dạy mơn Tốn, tơi thật sự trăn trở với vấn đề này. Vì
vậy qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm của các đồng nghiệp, tôi quyết định
chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường THPT Lê Lợi giải
quyết các bài tốn hình học tọa độ trong khơng gian mức độ vận dụng, vận
dụng cao chủ đề Mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của mình. Với mong muốn
giúp học sinh có thể nắm vững các nội dung và giải quyết các bài toán từ các
kiến thức gốc, các bài tốn nền tảng từ đó rèn luyện khả năng tư duy.
2. MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Mục đích đầu tiên của tôi khi xây dựng sáng kiến này là nghiên cứu, tìm
hiểu những bài tốn gốc để xây dựng thành hệ thống có tính kế thừa, tính liên
tục. Điều này giúp học sinh dễ tiếp thu và làm nền tảng giải quyết các bài toán
khác.
Bên cạnh xây dựng hệ thống bài tập, tôi hướng dẫn học sinh cách phân
tích, định hướng bài tốn dựa trên các bài tập gốc. Từ đó xác định cách giải
quyết các bài tốn vận dụng, vận dụng cao
3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài hướng đến tác động học sinh lớp 12A2 (với 42 học sinh chọn làm

lớp thực nghiệm) và lớp 12A5 (với 42 học sinh chọn làm lớp đối chứng), khóa
học 2019 – 2022 Trường THPT Lê Lợi.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, xây dựng hệ thống bài tập nền tảng và định hướng cách
giải quyết các bài toán mức độ vận dụng, vận dụng cao.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
- Thu thập, nghiên cứu và hệ thống lại các tài liệu có liên quan đến đề tài, để làm
cơ sở minh chứng và nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm.
4.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành thu thập, sắp xếp và chuẩn hóa các nội dung chủ đề thành hệ thống
phù hợp. Từ đó khảo sát khả năng phù hợp, hiệu quả của nội dung trong việc
giúp học sinh khá, giỏi giải quyết bài toán.
1

skkn


4.3. Phương pháp điều tra, khảo sát, đánh giá kết quả, thống kê xử lí số liệu
- Xử lí các thông tin, số liệu thu thập được nhằm đánh giá kết quả thực nghiệm
khi áp dụng một số tình huống trong thực tiễn.
4.4. Phương pháp viết báo cáo khoa học
PHẦN 2. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.
1.1 Định nghĩa mặt cầu
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M
trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt
cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu:
1.2 Phương trình mặt cầu

A

Dạng 1: Phương trình chính tắc
Mặt cầu (S) có tâm
kính
, có pt

, bán

I R

B

Dạng 2: Phương trình tổng qt
(2)
Điều kiện để phương trình (2) là
phương
trình
mặt
cầu:
(S) có tâm

.

(S) có bán kính:
1.3 Vị trí tương đới của điểm, đường thẳng , mặt phẳng và mặt cầu.
1.3.1 Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu.

.

Cho mặt cầu S  O; R  và một điểm A bất kì, khi đó:

OA  R  A  S  O; R 

OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và
. Khi
đó 


OB là hai bán kính sao cho OA  OB thì đoạn thẳng AB gọi là một đường
kính của mặt cầu.
 Nếu OA  R  A nằm trong mặt cầu.
 Nếu OA  R  A nằm ngoài mặt cầu.

 Nếu

 Khối cầu S  O; R  là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM  R .

1.3.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng đối với mặt cầu.
2

skkn


S O; R 
mp P
Cho mặt cầu 
và một   . Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu

đến mp  P  và H là hình chiếu của O trên mp  P   d  OH .


mp P
S O; R 
Nếu d  R    cắt mặt cầu 
theo giao tuyến là đường tròn



Nếu

2
2
2
2
nằm trên mp  P  có tâm là H và bán kính r  HM  R  d  R  OH (hình
a).



S  O; R 

d  R  mp  P 

không cắt mặt cầu

S  O; R 

(hình b).

Nếu d  R  mp  P  có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu
tiếp xúc

mp  P 

. Do đó, điều kiện cần và đủ để

mp  P 

d O,  P    R
cầu S  O; R  là 
(hình c).

tiếp xúc với mặt

d

Hình a
Hình b
1.3.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S  O; R  và một đường thẳng . Gọi
đường thẳng
và
là khoảng cách từ tâm
thẳng  . Khi đó:




d=

Hình c
là hình chiếu của
trên
của mặt cầu đến đường

S O; R 
Nếu d  R   không cắt mặt cầu 
.

Nếu d  R   cắt mặt cầu S  O; R  tại hai điểm phân biệt.
Nếu d  R   và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó:

điều kiện cần và đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu là
Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S  O; R  thì:



.


Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu 
Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
S O; R


Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S  O; R  .
1.3.4 Vị trí tương đối của hai mặt cầu.
Cho hai mặt cầu

và
. Khi đó

Nếu hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là một đường trịn thì
.
CHƯƠNG 2. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.
3

skkn


2.1 Thực trạng q trình học mơn Tốn chủ đề mặt cầu trong hình học tọa
độ của học sinh
Đối với học sinh hiện nay, khi học theo hình thức trắc nghiệm, một số học
sinh không nắm được phần gốc của các bài tốn tức là khơng tìm hiểu cách giải
quyết bài toán bắt đầu từ đâu mà tập trung nhớ các cơng thức tính nhanh, cách
thử máy tính, cách giải quyết trong từng bài tốn. Vì vậy, q trình này làm
giảm khả năng suy luận, tư duy của học sinh.
Bên cạnh đó, nội dung hình học tọa độ trong khơng gian, chủ đề mặt cầu
với các bài tập mức độ vận dụng, vận dụng cao là một nội dung khó, kết hợp
giữa khả năng tư duy trừu tượng hình học khơng gian, các bài tốn cực trị cơ
bản phát triển lên bài tốn hình tọa độ khơng gian và các cơng thức hình tọa độ.
Điều này làm học sinh lúng túng, khơng có hướng giải quyết theo con đường
nào.
2.2 Thực trạng q trình học mơn Tốn chủ đề mặt cầu trong hình học tọa
độ của học sinh trường THPT Lê Lợi.
Trường THPT Lê Lợi là trường đóng ở thị trấn Thọ Xuân, có bề dày về
truyền thống dạy và học. Học sinh ở đây chủ yếu là con em vùng nơng thơn, cần
cù, chịu khó, hiếu học. Tuy nhiên, dưới tác động của nhiều hình thức học tập
trên internet, nhiều yếu tố khách quan một số học sinh đang có những biểu hiện

ngại học, ngại tư duy. Thích sử dụng các phương pháp giải quyết bài tốn mà
khơng hiểu bản chất. Điều này làm học sinh giảm dần khả năng tư duy và nhạy
bén, lười giải quyết các bài toán cần đến bản chất bài toán.
Phần lớn học sinh trường THPT Lê Lợi đều có ý thức xây dựng kiến thức
nền tảng, có sự u thích mơn học. Ngay từ những buổi đầu giáo viên đã định
hướng cho học sinh cách thức học, tiếp cận cách giải quyết hợp lí. Vì vậy học
sinh có kiến thức nền tảng nhất định.
Tuy nhiên, để học sinh tiếp cận chủ đề này một cách tốt nhất thì học sinh
cịn gặp khá nhiều khó khăn:
- Chưa nắm vững các bài toán cơ bản.
- Chưa hiểu rõ bản chất về mối quan hệ giữa các đối tượng.
- Chưa biết cách định hướng, nhận ra các dấu hiệu để lựa chọn cách giải
quyết phù hợp.
CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP GỐC, ĐỊNH
HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN.
1. Các bài tốn liên quan đến tiếp tuyến của mặt cầu.
Bài tốn 1. Cho mặt cầu
có tâm , bán kính . Gọi
là một điểm thuộc
mặt cầu. Khi đó, tất cả các tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm
đều thuộc mặt
phẳng

đi qua

và vng góc

Bài 1.1 Trong khơng gian

.

, cho mặt cầu

từ hai điểm
kẻ tiếp tuyến
là tiếp điểm. Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng
tiếp tuyến
thì tam giác
vng tại .
4

skkn

và
đến mặt cầu
,
, mà từ khi kẻ đường


A.
B.
Định hướng:
Vì
là tiếp điểm nên theo bài tốn 1,

C.

D.
đều nằm trong cùng 1 mặt

phẳng. Vậy nên mặt phẳng chứa 3 tiếp tuyến trên là mặt phẳng
 Điểm

nên

phương trình


Từ các điều kiện trên ta đủ số phương trình tìm tọa độ điểm
Lời giải chi tiết
có tâm

Mặt cầu

.

.

.

Ta có

.

Gọi
điểm

là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến

, khi đó

cũng sẽ đi qua

.
.

Ta
Gọi

có

tam

giác

là vecto pháp tuyến của

vng
, ta có

Mặt phẳng

đi qua điểm

Mặt phẳng

tiếp xúc với mặt cầu

Vậy có hai điểm

tại

nên
.

có phương trình là:

nên:

thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài tốn 2. Cho mặt cầu
có tâm , bán kính . Gọi là điểm nằm ngồi
mặt cầu, , là hai tiếp điểm của mặt cầu kẻ từ ,
là chân đường cao của
tam giác
kẻ từ . Khi đó ta có các kết quả sau:




;
Tập hợp các tiếp điểm kẻ từ
nằm trên mặt phẳng
đi qua
và
vng góc .
Từ điểm vẽ các tiếp tuyến tới mặt cầu tạo thành hình nón đỉnh , đáy
là đường tròn tâm

và nằm trên mặt phẳng

5

skkn

.


Bài 2.1 Trong không gian
. Từ

, cho mặt cầu

và điểm

kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu

thuộc mặt phẳng
giá trị bằng
A. .
Phân tích:

. Biết các tiếp điểm ln

có phương trình

. Khi đó

B. .

nhận

C. .

D. .

 Ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
nên theo bài toán 2, cần
xác định tọa độ
, trong đó là hình chiếu của tiếp điểm lên .
 Xác định tọa độ dựa vào hệ thức
.
Lời giải chi tiết
Mặt cầu

có tâm

Có
điểm.

, bán kính

.

. Kẻ một tiếp tuyến

Ta có tam giác
Gọi

vng tại

đến mặt cầu

nên ta có

là chân đường cao kẻ từ

.

.

Từ suy ra được
Mặt phẳng

.
vng góc với đường thẳng

pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng
Vậy
Suy ra

là tiếp

.

của tam giác

Ta có:

, với

nên nhận

đi qua điểm

làm vectơ

.

có phương trình:
.

.

Bài 2.2 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

và có bán kính
số thực. Giả sử
Khi đó đoạn
thẳng .

, cho mặt cầu

. Xét đường thẳng
là mặt phẳng chứa

tiếp xúc với

ngắn nhất hãy tính khoảng cách từ điểm

6

skkn

có tâm

là tham
lần lượt tại

.

đến đường


A. .
Phân tích:

B.

* Xuất hiện hai điểm
mặt phẳng qua

D.

.

nên ta tìm cách đưa bài tốn về bài tốn 2. Gọi

là

và vng góc

tiếp tuyến của mặt cầu

.

C.

. Khi đó

cắt

.

tại

là các

.

* Gọi
lớn nhất .

, khi đó:
lớn nhất khi
bé nhất.

Mặt khác

di động nhưng luôn nằm trong mặt phẳng
. Dấu

và

, mà

ngắn nhất khi
nên

“=” xảy ra khi
Lời giải chi tiết

Ta thấy đường thẳng

đi qua

và điểm

nằm trong mặt phẳng

.
Gọi
Gọi

là mặt phẳng đi qua tâm
. Ta có:

và vng góc với

tại

.

.

Khi đó

.

Bài tốn 3. Cho mặt cầu
cầu. Gọi

có tâm

là mặt phẳng đi qua

, bán kính

nằm ngồi mặt

, khi đó:



Nếu
khơng cắt mặt cầu
mặt cầu .



Nếu
cắt
theo giao tuyến là đường tròn
được đúng 2 tiếp tuyến đến mặt cầu.

Bài 3.1 Trong khơng gian

và điểm

thì từ

có thể kẻ được vơ số tiếp tuyến đến

, cho mặt cầu

, khi đó từ điểm

kẻ
,

đường thẳng
. Điểm M thuộc trục 0y. Từ M kẻ được 2 tiếp
tuyến đến
, sao cho hai tiếp tuyến cùng vng góc với d. Giá trị nguyên lớn
nhất của tung độ điểm M để
bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.

D.
Phân tích:
7

skkn


*Vì qua

kẻ 2 đường thẳng cùng vng góc với

phẳng qua

và có

* Vì

và từ

cắt mặt cầu

nên nằm trong cùng mặt

kẻ được 2 tiếp tuyến đến mặt cầu nên theo bài toán 3

và điểm

nằm ngoài mặt cầu.
Lời giải chi tiết

Giả sử
(1)
Gọi

là hai tiếp tuyến kẻ từ M tới

mà cùng vng góc với d.

Mặt phẳng
chứa
nên phương trình có dạng:
Do M thuộc
nên ta có:
Suy ra: Phương trình mp (P) là:
Từ ycbt:

Từ (1) (2), ta có giá trị ngun lớn nhất của

Bài 3.2 Trong khơng gian
tham số thực

.

và đường thẳng

sao cho từ mọi điểm trên

cầu
A. .
Phân tích:

là

. Phương trình

.Có bao nhiêu giá trị của
đều vẽ được hai tiếp tuyến đến mặt

B. .

C.

D. .

*Từ giả thiết từ mọi điểm trên đều vẽ được hai tiếp tuyến đến mặt cầu
ta
định hướng đến bài tốn 3, có nghĩa đường thẳng thuộc một mặt phẳng luôn
cắt mặt cầu theo giao tuyến là 1 đường trịn.
* Vì mặt cầu chứa tham số, vậy nên ta kiểm tra mặt cầu có luôn cắt một mặt
phẳng cố định hay không?
Nhận thấy khi

thay đổi,

tuyến của

ln đi qua một đường trịn cố định, là giao
và

Vậy bài toán thỏa mãn khi

Lời giải chi tiết
8

skkn

.


* Với

,

, ta có:
là phương trình của một mặt cầu

Khi

thay đổi,

ln đi qua một đường trịn cố định, là giao tuyến của
và

có tâm

và bán kính

Đường trịn giao tuyến
* Từ mọi điểm trên

có tâm

ln vẽ được

* Phương trình giao điểm của

* Thử lại với

và

, ta có:

và bán kính
tiếp tuyến đến
:

đi qua

và

Xét
(thỏa mãn)
Vậy có một giá trị
thỏa u cầu bài tốn.
2. Các bài toán cực trị liên quan đến mặt cầu.
2.1 Các bài toán lên quan đến điểm và mặt cầu.
Bài toán 1. Tìm điểm
thuộc mặt cầu thỏa mãn các điều kiện.
a) Cho điểm

và mặt cầu

có tâm

. Khi đó

.

là điểm di động tên

.

b) Sử dụng bất đẳng thức tam giác
cố định.
Bài 1.1 Trong không gian tọa độ
và hai điểm
;
nhỏ nhất. Giá trị
A.
.
Định hướng:

, bán kính

hoặc

, khi

, cho mặt cầu

. Gọi

bằng
B.
.

9

skkn

là điểm thuộc
C.

sao cho
D.

.


Từ giả thiết
cố định ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức tam giác. Tuy
nhiên vì hệ số gắn với
không bằng nhau nên cần phải chuyển đổi điểm
về điểm khác sao cho
.
Lời giải chi tiết
Mặt cầu
có tâm
, bán kính
.
Vì
đều cố định và cần đánh giá

, tuy nhiên hệ số khơng bằng nhau
nên ta tìm cách đưa tổng cần đánh giá về tổng hai độ dài cùng hệ số.
Dựng điểm

sao cho

khi

Nhận thấy,
Từ đó ta thấy tam giác
lấy điểm
sao cho
chung và

thay đổi trên

.

nên
khi thay đổi trên
.
và
đồng dạng với nhau. Do đó trên đoạn
. Khi đó tam giác
và
đồng dạng vì góc

.

Ta tìm được

. Khi đó

.

Mặt khác, điểm

nằm ngồi mặt cầu

bằng xảy ra khi

là giao điểm của

Phương trình của

và điểm

nằm trong

và mặt cầu

.

, suy ra
và

Vì

nằm giữa

và

nên

,

của
A.

.

. Vậy

Bài 1.3 Trong khơng gian
điểm

.

, cho mặt cầu

. Điểm

và hai

di chuyển trên mặt cầu

. Giá trị lớn nhất

đạt được là
.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Ta có
Gọi

nên dấu

có tâm
,

và bán kính

,

là điểm thuộc đoạn

10

skkn

.
sao cho

.


.
Ta có

và

là hai tam giác đồng dạng vì

chung và
.

Mà

.

Vậy
. Dấu
xảy ra khi và chỉ khi
.
2.2 Các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu.
Bài toán 2. Cho mặt phẳng

và mặt cầu

cố định (

điểm chung). Xét điểm
trí của
để độ dài
Nhận thấy

và

khơng có

di động tên
và
di động trên
. Xác định vị
nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải
lớn nhất hoặc nhỏ nhất khi
thuộc đường thẳng đi qua tâm

và vng góc với

. Ta thấy:
.

11

skkn

Để tìm các điểm này, ta thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng
điểm


của

và

và tâm I, tính

;

.

mặt cầu

, cho mặt phẳng

. Gọi

lớn nhất, biết

sao cho

vng góc với

có độ dài

Lời giải

có độ dài lớn nhất khi

nằm trên đường thẳng qua

và nhận

làm vec tơ chỉ phương.

.
qua

Vậy phương trình đường thẳng

Ta có

và

. Tính

Theo bài tốn 2,

Gọi

, xác định giao

.

Bài 2.1 Trong khơng gian với hệ tọa độ

Đường thẳng

và vng góc

.

Xác định bán kính



qua

là giao điểm của

và

. Tọa độ điểm

, theo bài tốn 1, điểm

thỏa mãn:

12

skkn

có tọa độ là

và

Vậy
Bài 2.2 Trong không gian vơi hệ tọa độ

, cho mặt phẳng

và mặt cầu

. Gọi điểm

thuộc

và

chỉ phương
A. .

thuộc

sao cho

và

song song với đường thẳng

có độ dài lớn nhất. Tính độ dài
B.
.
C.

có vectơ

?
D.

.

Định hướng:
* Ta thấy bài toán này
bị ràng buộc theo phương của đường thẳng chứ
không phải là các điểm tùy ý. Vì vậy cần tìm mối liên hệ giữa đường thẳng
và đường thẳng đi qua tâm và vng góc
.
*Ta thấy
, nên độ dài
phụ thuộc
Lời giải chi tiết
Gọi

là góc giữa đường thẳng

Gọi

là hình chiếu của

Suy ra,

lớn nhất khi

của mặt phẳng

, đưa về bài tốn 2.

.

lên mặt phẳng

, khi đó

nên

lớn nhất.

Theo bài toán 2,
Vậy
Bài toán 3. Cho mặt phẳng
cắt mặt cầu

và mặt cầu

cố định có tâm

theo giao tuyến là một đường trịn . Gọi

bán kính

,

là hình chiếu của

trên

. Khi đó đường trịn
có tâm
và bán kính
.
Các bài tốn phát triển thường quy về tính min, max của diện tích đường trịn
.
Cách giải
Bước 1: Xác định đối tượng cần tính GTLN, GTNN.
13

skkn


Bước 2: Thiết lập biểu thức diện tích, thể tích theo một biến và các yếu tố có
sẵn.
Bước 3: Sử dụng BĐT hoặc hàm số khảo sát tính min, max và kết luận.
Bài 3.1 Trong khơng gian
,
trịn

. Xét mặt phẳng

và mặt cầu

đi qua A cắt

. Khi khối nón có đỉnh

bán kính của
A.

, cho điểm

có tâm

theo giao tuyến là đường

, đường trịn đáy là

có thể tích lớn nhất thì

bằng

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

I

A

H

Định hướng:
Đối tượng cần xác định biểu thức là khối nón đỉnh
Vì

, đường cao

;

nên
Lời giải chi tiết

Ta có

có tâm

. Khi đó thể tích của khối nón có

đỉnh I và đường trịn đáy là

là

với

.

14

skkn

.


Do đó VMax khi và chỉ khi

h

5
5 6
 r  R2  h2 
3 .
3

Bài 3.2 Trong không gian

Oxyz ,

cho hai điểm

5 3 7 3 
A 
;
;3 
2
2


,

 5 3 7 3 
B 
;
;3 
2
2
2
2
 2
 và mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  6 . Xét mặt phẳng
( P ) : ax  by  cz  d  0  a, b, c, d   , a  0, d  4 

,

là mặt phẳng thay đổi ln đi qua
hai điểm
Gọi
là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường
tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P) và ( S ) . Khi thiết diện qua trục của
A, B .

(N )

T  abcd
hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất, giá trị của
bằng
A. T  4 .
B. T  6 .

C. T  2 .
Lời giải

D.

I

R
B

h

r
A

Mặt cầu ( S ) có tâm I  1; 2;3 , bán kính R  6 .
Có IA  IB  6 nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) .
5 7 



M  ; ;3 
AB   3 a với a  (1; 1;0) ,
 2 2  là trung điểm của đoạn AB .

Gọi n  (a; b; c) với
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P)
7
5
d  6a  3c

 M  ( P)
 a  b  3c  d  0
 2

 *
2
 
ab
a.n  0




a  b  0
Vì A, B  ( P) nên có
.

Gọi

h  d  I , ( P)  (C )  ( P )  ( S ) r
,
, là bán kính đường tròn (C ) .

r  R 2  h2  6  h2 .

Diện tích thiết diện qua trục của hình nón ( N ) .
1
h2  6  h2
2
S  .h.2r  h. 6  h 

3
2
2
. (Theo bất đẳng thức Cô si)
2
2
max S  3 khi h  6  h  h  3 .
h  d  I , ( P)   3 

a  2b  3c  d
a b c
2

2

2

 3
15

skkn

3a
2a 2  c 2 (Do có (*))

T  12 .


a  c
 a2  c2  

 a  c .

Nếu a  c thì b  a; d  9a và ( P) : ax  ay  az  9a  0  x  y  z  9  0 (loại).
Nếu a  c thì b  a; d  3a và ( P) : ax  ay  az  3a  0  x  y  z  3  0 (nhận).
Vậy T  a  b  c  d  2 .
2.3. Các bài toán liên quan đến 2 mặt cầu.
2.3.1. Các kiến thức liên quan
* Cho hai mặt cầu
. Nếu
nhau theo giao tuyến là 1 đường trịn .

thì 2 mặt cầu cắt

Đường tròn thuộc mặt phẳng
được xác định bởi
* Các giả thiết dưới dạng hình học được quy về khái niệm mặt cầu:
-

cố định, khi đó

-

,

mặt cầu tâm

,

và mặt phẳng

có tâm

bán kính

. Gọi

để

 Nếu

khác phía so với

 Nếu

cùng phía, lấy

b) Xác định vị trí

để

thuộc

.
; mặt cầu

có tâm

bán

lần lượt là các điểm bất kỳ thuộc

. Xác định vị trí của điểm
GTNN.
a) Xác định vị trí

.

cố định, khi đó

thỏa mãn

Bài tốn 4. Cho mặt cầu
kính

thuộc mặt cầu đường kính

để

đạt GTLN,

đạt giá trị nhỏ nhất.
:

.

đối xứng

qua

đạt giá trị lớn nhất.

16

skkn

đưa về bài toán trên.


 Nếu

cùng phía so với

:

 Nếu
khác phía so với
bài tốn trên.

2.3.2. Bài tập
Bài
4.1
Trong

, lấy lấy

không

đối xứng

gian

cho

qua

hai

đưa về

mặt

cầu

và mặt phẳng
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc
. Tính giá trị nhỏ nhất của .
A.

.

Mặt cầu

B.
có tâm

.
Lời giải
và

, mặt cầu

.
Ta có

suy ra

cắt

C.

.

17

skkn

và

.

D.
có tâm

. Đặt

.
và


cùng phía đối với

nên

và

;

cùng thuộc một miền khơng gian có bờ là mp

Gọi mặt cầu
Gọi
Dấu

,

đối xứng với mặt cầu

là điểm đối xứng của
xảy ra khi và chỉ khi

qua

Khi đó

nhỏ nhất khi và chỉ khi

Suy ra

.

qua mặt phẳng

.

,suy ra
thẳng hàng.

.

thuộc đoạn

Phương trình đường thẳng

.

,

Khi đó giao điểm của đường thẳng
. Suy ra

với

. Vậy

Bài 4.2. Cho điểm

.

là điểm
.

, hai mặt cầu

và điểm
di động thuộc cả hai mặt cầu. Gọi
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
. Tính giá trị của biểu thức
A.
B.
Định hướng:
Điểm
thuộc hai mặt cầu nên
mặt cầu
Gọi

có tâm

thuộc đường trịn là giao tuyến chung của 2

, bán kính

; mặt cầu

có tâm

, bán

.
hai mặt cầu cắt nhau theo một đường trịn, kí

hiệu là đường trịn

có tâm

, bán kính .

Phương trình mặt phẳng chứa đường trịn
Bán kính đường trịn
Ta có

.

là hình chiếu của lên mặt phẳng
. Khi đó :
đạt GTLN, GTNN phụ thuộc
, đưa về bài toán 1 (mục 2.1)
Lời giải chi tiết

Ta có

Gọi

D.

, đường trịn thuộc mặt phẳng

Mặt cầu
kính

C.

là hình chiếu của

là:

bằng

.

trên mặt phẳng

là hình chiếu của

.

trên mặt phẳng
18

skkn

.


Mặt phẳng

Suy ra

có vectơ pháp tuyến

nằm ngồi đường trịn

Khi đó giá trị lớn nhất của
Giá trị nhỏ nhất của

bằng

đến

Từ giả thiết
mãn là trung điểm

.
cho hai điểm

. Gọi
và khoảng cách từ
A. .
Định hướng:

.

bằng

Bài 4.3. Trong không gian

Vậy
điểm

,

và mặt phẳng

là điểm thỏa mãn biểu thức
lớn nhất. Khi đó giá trị
B. .
C. .
, ta thấy điểm

bằng:
D.

thuộc mặt cầu

có tâm

.
thỏa

.

thuộc đường thẳng qua
thỏa mãn.

và vng góc mặt phẳng

. Từ đó xác định

Lời giải chi tiết
Gọi

là trung điểm

Do đó

,

thuộc mặt cầu

cầu có tâm

.

mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.
Gọi

là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ
19

skkn

đến

nhỏ nhất.


thuộc đường thẳng

Tọa độ

vng đi qua

và vng góc với

:

là nghiệm của hệ:

Với

(thỏa mãn)

Vậy
3. Bài tập tự luyện.

.

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ

từ điểm

ta kẻ các tiếp

tuyến đến mặt cầu (S) có tâm
Gọi
là một trong các tiếp
điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A.

.

B.

.

Bài 2. Trong không gian

C.

.

D.

, cho điểm

, mặt phẳng

và mặt cầu
phẳng đi qua

. Gọi

, vng góc với mặt phẳng

A.
.
B.
.
C.
.
Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ

và mặt cầu
cách từ

đến mặt phẳng

là mặt

đồng thời cắt mặt cầu

giao tuyến là một đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng
nào sau đây?

đi qua điểm

.

theo

đi qua điểm

D.
.
, cho hai điểm
. Mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt cầu

lớn nhất. Khi đó tổng
20

skkn

sao cho khoảng
có giá trị bằng


A.

.

B.

.

C.

.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai mặt cầu

,
Gọi
cầu
A.

;
là

và mặt phẳng
lần lượt là các điểm nằm mặt phẳng

sao cho
B.

.

là mặt cầu có đường kính
sao cho khối nón đỉnh

và mặt phẳng
A.

.

Bài 6. Từ điểm
. Gọi

D. .

cho hai điểm

Mặt phẳng

,

.

vng góc với đoạn

và đáy là hình trịn tâm

(giao của mặt cầu

) có thể tích lớn nhất, biết rằng mặt phẳng
với
Tính
B.
.
C.
.
bất kì thuộc đường thẳng

đến mặt cầu
trịn

, khi đó

C. .

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ
tại

và mặt

đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử

.

Gọi

D.

có phương trình
D.

.

, vẽ các tiếp tuyến

. Khi đó, các tiếp điểm thuộc đường
là hình nón có đỉnh

và đáy là hình trịn

. Biết thể tích

của khối nón
nhỏ hơn . Có bao nhiêu điểm có cao độ là số nguyên?
A. .
B. .
C. .
D. .
Bài 7. Trong hệ trục tọa độ
, có bao nhiêu điểm
trên trục hồnh có
hồnh độ ngun sao cho từ
kẻ được hai tiếp tuyến đến mặt cầu
và song song với

.
A.
B.
C.
D.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ

tâm , đường thẳng
số các tiếp tuyến tới
phẳng

và

di động trên

B.

đến mặt phẳng

.

C.

Bài 9. Cho hai mặt cầu

kẻ được vô

bằng
.

D. .

và
. Gọi

cầu trên và cách điểm

sao cho từ

. Biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn nằm trên mặt

. Khoảng cách lớn nhất từ

A. .

, cho mặt cầu

là đường thẳng tiếp xúc với cả hai mặt

một khoảng lớn nhất. Gọi
21

skkn

là giao


điểm của với mặt phẳng
bằng
A.

.

. Biểu thức
B.

.

C.

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ
.Gọi

có giá trị
.

.

. Xét hai điểm

B.

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất của

C.

.

D.

Bài 11. Trong không gian
,cho mặt cầu
và điểm
. Kẻ tiếp tuyến
đến mặt cầu
lớn nhất từ
A.

M

và

là mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu

là hai điểm bất kì thuộc
bằng

A.

.

, cho hai điểm

và
,

D.

đến đường thẳng

.

điểm

. Khoảng cách

bằng

B.

Bài 12. Trong không gian

.

.

C.

.

D.

cho mặt cầu

, hai

và đường thẳng

. Gọi

thuộc mặt cầu
sao cho
và khoảng cách từ điểm
thẳng ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức
A.
.
B.
.
C.
.
CHƯƠNG 4: HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

đến đường
D.

.

4.1. Kết quả thực nghiệm
Lớp thực nghiệm: 12A2 (42 học sinh).
Lớp đối chứng: 12A5 (42 học sinh).
Kết quả số học sinh được định hướng, hướng dẫn làm sản phẩm dự án, trả
lời tốt các câu hỏi vận dụng, vận dụng cao được thể hiện ở bảng số liệu và biểu
đồ sau:

Lớp

Tổng
số

HS

Lớp thực
nghiệm 12A2

42

Có
định hướng

Chưa
định hướng

Trả lời
ngẫu nhiên

Số
lượng
(HS)

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng
(HS)

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng
(HS)

Tỉ lệ
(%)

22

52,38

10

23,81

10

23,81

22

skkn


Lớp đối
chứng 12A5

42

05

11,9

21

50

16

38,1

Qua bảng số liệu, chúng ta thấy rõ mức độ có định hướng của học sinh khi
gặp các bài tập ở mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề này. Từ đó có sự u
thích đối với chủ đề, tăng khả năng tư duy trừu tượng.
4.2. Phạm vi ảnh hưởng của đề tài
- Đối với các cấp quản lí: Giúp các cấp quản lí thực hiện nhiệm vụ, mục tiêu
giáo dục nhà trường, giáo dục toàn diện học sinh, rèn luyện tư duy trừu tượng,
khả năng tư duy logic và định hướng cho học sinh.
- Đối với giáo viên: Nội dung đề tài có thể làm tư liệu cho các giáo viên dạy
mơn Tốn, từ đó có thể xây dựng các hệ thống bài tập gốc và định hướng cho
học sinh ở các nội dung khác
- Đối với học sinh: Đề tài giúp học sinh có thể giải quyết vấn đề từ những kiến
thức nền tảng, biết cách tự tìm hướng giải quyết cho chính bản thân mình. Từ đó
khơi dậy niềm đam mê, u thích đối với môn học.
PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trong quá trình dạy và học hiện nay ở trường phổ thông , xu hướng nghề
nghiệp hiện tại ảnh hưởng không nhỏ tới tâm thế và tư tưởng đối với học sinh.
Với xu hướng thi theo hình thức trắc nghiệm có những lợi ích nhất định, giúp
học sinh thỏa sức sáng tạo để tìm ra các con đường giải quyết vấn đề, hiểu rõ

bản chất, tránh tình trạng học lệch, học tủ.Từ đó xây dựng các năng lực tư duy
logic, tư duy trừu tượng, rèn luyện tính cẩn thận, khả năng sáng tạo. Tuy nhiên
đó cũng là thách thức đối với học sinh khi trong thời gian ngắn phải giải quyết
nhiều lượng bài tập vận dung, vận dụng cao.
Bên cạnh số lượng học sinh thực sự nỗ lực, u thích mơn học, tìm hiểu
bản chất của vấn đề thì cũng khơng ít học sinh phụ thuộc vào máy tính, học
mẹo, học cơng thức tính nhanh....làm giảm khả năng tư duy logic, tư duy trừu
tượng. Đây cũng là một trong những thách thức khơng nhỏ đối với giáo viên
trong q trình dạy học.
Đề tài với mong muốn xây dựng hệ thống bài tập nền tảng và cách định
hướng vấn đề giúp học sinh tiếp cận, giải quyết bài tốn có định hướng rõ ràng.
Từ đó hình thành thói quen định hướng ở các chủ đề khác.
2. Kiến nghị
Qua quá trình nghiên cứu đề tài tơi có một số kiến nghị sau:
2.1 Với các cấp quản lí
Việc rèn luyện các năng lực cho học sinh là điều hết sức cần thiết đặc biệt
là các khả năng tư duy trừu tượng, tư duy logic, khả năng giải quyết. Tuy nhiên
23

skkn


muốn hình thành các khả năng đó cần có sự thay đổi tích cực của giáo viên. Vì
vậy tơi có kiến nghị như sau:
- Tổ chức nhiều buổi sinh hoạt chuyên đề cấp trường, cấp liên trường để giáo có
thể trao đổi học hỏi lẫn nhau.
- Xây dựng hệ thống các chuyên đề theo các tổ, bổ sung cập nhật thêm các tài
liệu tham khảo để có thể thống nhất việc phân chia nội dung dạy chủ đề một
cách hợp lí nhất.
2.2 Với giáo viên

- Xây dựng tình u của học sinh đối với môn học là môn nhiệm vụ quan trọng
của người giáo viên. Giáo viên cần khơi dậy niềm đam mê của học sinh, muốn
vậy giáo viên phải biết tạo các hệ thống bài tập hợp lí, nâng cấp độ, xây dựng hệ
thống các bài tập gốc để kiến thức có tính kế thừa.
- Muốn khơi dậy niềm đam mê cho học sinh thì một việc vơ cùng quan trọng là
định hướng học sinh giải quyết vấn đề, giáo viên cần hướng dẫn học sinh đâu là
mấu chốt, là chìa khóa giải quyết vấn đề. Từ đó giúp học sinh biết cách tìm con
đường đi cho từng vấn đề, từng bài toán và các vấn đề khác trong thực tế.
Trên đây là một số kinh nghiệm có thể áp dụng để học sinh có thể tiếp thu ,
giải quyết hiệu quả bài tập tọa độ trong không gian chủ đề mặt cầu trong quá trình
giảng dạy ở trường THPT Lê Lợi. Trong thực tế cịn có rất nhiều các kinh nghiệm từ
đồng nghiệp. Rất mong sự đóng góp chân thành của các q thầy, cơ để q trình
giảng dạy của bản thân tơi ngày càng hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA
HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 05 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Hoàng Thị Thúy

24

skkn


25

skkn