Skkn một số dạng tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU………………………………………………...................

2

1.1. Lí do chọn đề tài……………………………………...................
.
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………....................

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................

2

1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm ............................

2

2. NỘI DUNG ……………………………………………………….....

3

2.1. Một số bài toán thường gặp……………………………………….

3

2.2. Các ví dụ minh họa………………………………………………..

3

2.3. Hiệu quả của đề tài…………………………………………………

21

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..........................................................

21

3.1. Kết luận...........................................................................................

21

3.2. Kiến nghị.........................................................................................

21

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1

skkn

2


Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh

chuẩn bị thi TN THPT quốc gia thường gặp bài toán vận dụng, vận dụng cao liên
quan đến các bài tốn tính tích phân hàm ẩn. Khi giảm tải chương trình thì các dạng
tốn này chưa được đề cập đầy đủ, do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này.
Với việc sử dụng các phép đổi biến linh hoạt cho từng dạng cụ thể, học sinh sẽ
được phát triển một cách phong phú và được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn
gọn và dễ hiểu các dạng tốn này. Đó là lí do để tơi chọn đề tài :
“ Một số dạng bài tập tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến”.
1.2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh
trung học phổ thơng khi ơn thi TN THPT quốc gia có cái nhìn tồn diện hơn về
cách tiếp cận các bài tốn tính tích phân hàm ẩn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng tốn về tính tích
phân hàm ẩn .
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số, giải tích và hình học
của chương trình trung học phổ thơng .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về tính tích phân
bằng phương pháp đổi biến số . Thơng qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn
giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng
các kiến thức trên từ đó rèn luyện tư duy và kĩ năng để học sinh giải quyết tốt các
bài tập vận dụng cao. Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu
tham khảo và các đề thi THPT quốc gia các năm gần đây .
1.5. Những điểm mới
Với đề tài này có thể giúp giáo viên định hướng và xây dựng hệ thống bài tập
vận dụng,vận dụng cao với số lượng lớn mà chỉ xuất phát từ các các bài toán đơn
giản.

2. NỘI DUNG
2.1. MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP

2

skkn


2.1.1. ĐỔI BIẾN DẠNG 1.
Biết tích phân

. Tính tích phân

.

Đối với dạng này ta chỉ cần đổi biến bằng cách đặt
Ví dụ 1. Cho
A. .

. Khi đó
B. .

Chọn D
Đặt
Đổi cận:

.

bằng
C.
Lời giải

;

.

D. .

.

Khi đó:

.

Ví dụ 2. Cho hàm số

liên tục trên

và

. Tích phân

bằng:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn D

đổi cận:
Khi đó
Ví dụ 3.

. Đặt
;

;
.

. Vậy
.
(THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)

. Giá trị của
A. 2.

B.

bằng
.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C
Đặt
Đổi cận:

.
;

Cho

.

Khi đó:

.
3

skkn

.


Ví dụ 4. Cho hàm số

liên tục trên

và có

. Tính

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Có

Tính

.Đặt

Tính

. Đổi cận:

. Đặt

Vậy

.

. Đổi cận:

.

.

Ví dụ 5. Cho tích phân
A.
.

B.

. Tính tích phân
C.
.
Lời giải:

.

Đặt

.
D.

.

Đổi cận:

(Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)
Chọn C
Ví dụ 6. Cho hàm số

A.

.

liên tục trên

thỏa mãn

. Giá trị của tích phân
B.
.

bằng bao nhiêu?
C.
.
Lời giải

4

skkn

,

. Biết rằng

D.

.


Chọn A
Xét tích phân
Với

, đặt
.

,

.

Ta có

.

Mặt khác, ta có
.

Ví dụ 7. Cho hàm số

liên tục và có đạo hàm trên

. Tính tích phân
.
B.

A.

thỏa mãn

;

.
.
Lời giải

C.

.

D.

;

.

.

Chọn A
Đặt

, ta có:

và

. Khi
.

Đặt

ta được:

;

.

Khi đó:

Ví dụ 8. Cho hàm số

.

liên tục trên

Tính tích phân
A.
.

thỏa mãn

B.

.

C.

Chọn B

, đặt
;
.



.

.
Lời giải

Xét
Đổi cận:

và

, đặt
5

skkn

.

D.

.


Đổi cận:

;

Vậy

.

Ví dụ 9. Cho hàm

liên tục trên
. Tính

A. .

thỏa mãn

và

.
B. .

C. .
Lời giải

D. .

Chọn A
.
Đặt

suy ra

.
.

=3.
Vậy

.

Ví dụ 10. Cho hàm số

liên tục trên

A. .

bằng
B. .

thỏa

. Khi đó tích phân

C. .

D. .

Lời giải
Chọn B

Xét
Đặt

.
. Đổi cận:

Suy ra

;
.

6

skkn

.


Ví dụ 11. Cho hàm số

liên tục trên

. Tính

A.

.

và thỏa mãn

. Biết

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
Cho

hàm

số

liên

tục

trên

và

thỏa

mãn

điều

kiện

. Khi đó
Chứng minh:
Đặt

, với

. Đổi cận: khi

; khi

Ta có

.
Áp dụng tính chất trên với
liên tục trên

,

.

và thỏa mãn

.

Khi đó
Cách 2: Đổi biến trực tiếp:
Đặt

, với

.

.

Ta có
.
Ví dụ 12. Cho hàm số

liên tục trên đoạn

, có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường

trịn như hình vẽ. Tính giá trị

.

7

skkn


A.

.

B.

.
C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D

Ta có

.

.

Tính
Đặt

.

Đổi cận: Khi

thì

; khi

thì

.

.

Vậy

.
Ví dụ 13. (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số
,
A.

.

B.

.

. Tích phân
C.
Lời giải

liên tục trên

và thỏa mãn

bằng
.

D.

.

Chọn C
Đặt

suy ra

Đổi cận:
Ta có:

.

Suy ra

8

skkn


.

2.1.2. ĐỔI BIẾN DẠNG 2.
Cho hàm số

thỏa mãn :

+) Với

thì

.

+) Với
thì
.
Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số
Nếu

liên tục trên

Ví dụ 1. Cho hàm số

A.

thì

.

liên tục trên

.

.

B.

thỏa mãn

.

C.

. Tính

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng cơng thức)
Biến đổi

.

với

,

điều

kiện

Áp dụng cơng thức ta có:
.
Cách 2: (Dùng cơng thức biến đổi – nếu khơng nhớ cơng thức)
Từ
Đặt

; Với

và

Khi đó

.

thay vào

, ta được:
.

Ví dụ 2. Xét

hàm

số

liên

tục

. Tích phân
9

skkn

trên

và
bằng

thỏa

mãn


A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C
Từ
+) Đặt

; Với

Khi đó
+) Đặt

; Với

và

.

và

.

Khi đó
Thay

vào

ta được:
.

Ví dụ 3. Cho hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn điều kiện

giá trị của tích phân
A.

.

. Tính

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Cách 1: (Dùng cơng thức)
Với

ta có

;

, suy ra:

.
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ
Đặt

; Với

(*)
.

và

Suy ra

.

Thay vào (*), ta được

Ví dụ 4. Xét hàm số
phân
A.

.

liên tục trên đoạn

và thỏa mãn

. Tích

bằng
.

B.

.

C.
10

skkn

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Đặt

.

Suy ra
.
Suy ra

.

Chú ý: Ta có thể dùng cơng thức
Từ

. Khi đó:

suy ra:
.

Ví dụ 5. Xét

hàm

số

liên

tục

trên

và

thỏa

. Tính giá trị của tích phân
A.

.

B.

.

C.

.

.

D.

Lời giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng cơng thức – Dạng 2)
Với:

. Ta có:

và
Khi đó áp dụng cơng thức có:

thỏa mãn

.

.
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu khơng nhớ cơng thức)
Từ

+) Đặt
Khi đó
+) Đặt

.

; với

và

; Với

và

Khi đó
11

skkn

mãn

.

.

.


Thay

vào

ta được:

Ví dụ 6. Cho hàm số

A.

.

và thỏa mãn
với
B.
.

.

. Tích phân

và

tối giản. Tính
C. .

D.

.

Lời giải
Chọn A
Cách 1: (Dùng cơng thức).
Biến

đổi

với

Áp dụng cơng thức ta có:

.

Đặt

; Với

và

.

Khi đó:

Suy ra
.
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ

Đặt

; Với

và

Khi đó

thay vào (*), ta được:

Đặt

; Với

Khi đó:

Suy ra

.

.
12

skkn

và

.


Ví dụ 7. Cho hàm số

liên tục trên đoạn

Biết
A.

và thõa mãn

, với
.

B.

.

. Tính giá trị của

.

C.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Cách 1: Dùng cơng thức
Với

ta

có

,

suy

ra

Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến nếu khơng nhớ cơng thức
Từ
Đặt
thay vào

ta được:

Đặt
Với

Khi đó:
.
2.1.3. ĐỔI BIẾN DẠNG 3.
Cách giải: Lần lượt đặt
ẩn
) để suy ra hàm số
Các kết quả đặc biệt:

và

để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có

(nếu

Cho

thì chỉ cần đặt một lần
với

(*)
+)Hệ quả 1 của (*):
13

skkn

)

).
khi

đó


+)Hệ quả 2 của (*):

Ví dụ 1. Cho hàm số
A.

.

với

liên tục trên
B.

và

.

là hàm số chẵn.

. Tính
C.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đặt,

khi đó điều kiện trở thành

Hay

, kết hợp với điều kiện

. Suy ra :

.
Chọn B
Ví dụ 2.

(Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số

liên tục trên

. Giá trị tích phân
A. .
Lờigiải
Chọn A

B.

+ Đặt

.

C.

.

.

+ Ta có
Suy ra:

.

.
Vậy

bằng

.

+ Đổi cận:

.

14

skkn

thỏa mãn

D.

.


Ví dụ 3. Cho hàm số

liên tục trên

Tính giá trị của
A.

.

và thỏa mãn

.

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng cơng thức)
Với

ta có

Suy ra
Cách 2:

Đáp án C

Áp dụng Hệ quả 2:
chẵn.

với

là hàm số

Ta có

Đáp án C
Ví dụ 4. Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

,

thỏa

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
điểm có hồnh độ bằng là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng kết quả

“Cho

(với

”.
Ta có

.

15

skkn

)

mãn
tại
.

khi

đó


Suy ra

, khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là:

Ví dụ 5. Cho

là hàm số chẵn, liên tục trên

hàm số liên tục trên

.

thỏa mãn

và

thỏa mãn

,

là

. Tính tích phân

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Áp dụng Hệ quả
với

là hàm số chẵn.

Ta có:

.

Kết hợp với điều kiện

là hàm số chẵn, ta có:
.

Chú ý: Nếu
Ví dụ 6.

Cho

là hàm số chẵn, liên tục trên
hàm

số

liên

tục

.

trên

đoạn

và

thỏa

mãn

.
Biết
A.

. Tính
.

B.

.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Gọi
Đặt
Đổi cận: Với

.
.
; Với

Ta được

.
.

Khi đó ta có:

.
16

skkn

Xét

. Đặt

Đổi cận: Với

;

.

Ta được

Vậy ta có
,
.
Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ
Đặt

; Với

Suy ra

và

thay vào

.

, ta được:

.
2.1.4. ĐỔI BIẾN DẠNG 4.
Dùng tích chất đặc biệt của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Ví dụ 2. Cho hàm số

là hàm lẻ và liên tục trên
. Tính

A.

.

biết

và

.
B.

.

C.

.

D.

Lời giải

Chọn B
Cách 1: Sử dụng cơng thức:

và tính chất

với
là hàm số lẻ trên đoạn
Áp dụng, ta có:

.



.


Suy ra:
.
17

skkn

.


Cách 2: Xét tích phân
Đặt
.
Đổi cận: khi

.

thì

; khi

thì

do đó

.
Do hàm số

là hàm số lẻ nên

.

Do đó
Xét

.
.

Đặt
Đổi cận: khi

.
thì

; khi

thì

do đó

.
Do
Ví dụ 3.

.

(Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn
Giá trị của
A. .

bằng:
B.

.

liên tục trên

C. .

và

.

D.

Lời giải
Chọn D
+) Ta có
Xét
Đặt

. (1)
:
. Đổi cận:

và

. Khi đó

.
Vì
Do đó

là hàm chẵn trên

nên

,
. Thay vào (1) thu được
18

skkn

.

.


.
.
2.1.4. ĐỔI BIẾN DẠNG 4.
“ Cho hàm số

thỏa mãn

biến hoặc nghịch biến) trên

và

là hàm đơn điệu ( ln đồng

.Hãy tính tích phân

“

Cách giải: Đặt

Đổi cận
Suy ra
Ví dụ 1 . Cho hàm số

A.

.

liên tục trên

B.

thỏa mãn

.

C.

. Tính

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Đặt
Đổi cận
Khi đó

đáp án D

Ví dụ 2. Cho hàm số

liên tục trên

Tính tích phân
A.

.

thỏa mãn

,

.

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Đặt
Đổi

.

cận:

với

và
.

Khi đó

.

19

skkn


2.1.5. ĐỔI BIẾN DẠNG 5
Bài toán: “ Cho
Chứng minh:

, khi đó

Đặt

và

;

Khi đó

.

.
.

Ví dụ 1. Cho hàm số

liên tục và nhận giá trị dương trên

. Biết

với

. Tính giá trí
A.

.

B.

.

C. .

D. .

Lời giải
Chọn B
Ta có:
Xét

Đặt

.
. Đổi cận:

;

.

Khi đó
Mặt khác

hay

Ví dụ 2. Cho hàm số

liên tục trên
. Tính tích phân

A.

.

B.

. Vậy

.

và thỏa mãn

. Biết

.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đặt

và

;

Khi đó:

.
.

20

skkn


Suy ra:

.

Ví dụ 3. Cho hàm số
Biết
A.

khi x  [0; a] (

có đạo hàm liên tục trên R và
, tính tích phân

.

B.

).

.

.

C.

.

D.

.

Lời giải:
(1) Đặt

Đổi cận:
(2) (Tích phân xác định

khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)

(1) + (2)

Chọn A

Ví dụ 3. Cho

Khi đó

là hàm liên tục trên đoạn

thỏa mãn

và

trong đó
, là hai số nguyên dương và
có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

B.

C.
Lời giải

Chọn B
Cách 1. Đặt
Đổi cận

Lúc đó
Suy ra
Do đó
Cách 2. Chọn

là một hàm thỏa các giả thiết.
21

skkn

là phân số tối giản.
D.


Dễ dàng tính được

2.2. Hiệu quả của đề tài.
Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinh
tiếp thu và vận dụng tốt. Khi sử dụng vào các đề ôn tập cho học sinh thì hệ thống

bài tập này đã nâng cao kĩ năng ứng dụng các đánh giá vào việc xử lý các bài tốn
tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua các dạng toán vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứng dụng các
phép đổi biến cơ bản vào hệ thống bài tập mới và đa dạng sử dụng cho học sinh ôn
thi TN THPT quốc gia.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời
kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiên trong q
trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết rất mong được sự đóng góp của
đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường.
Giúp các em học sinh có thêm hệ thống bài tập ôn luyện và đạt kết quả cao trong
kì thi TN THPT quốc gia.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2022

TRƯỞNG

CAM KẾT KHÔNG COPY
Giáo viên

Nguyễn Văn Chinh

22

skkn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2022.
2. Báo Toán học và tuổi trẻ.
3. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn-Tích phân .
Tác giả: Trần Phương-Lê Hồng Đức.
4. SGK, sách Bài tập giải tích lớp 12 – CB, NC.

23

skkn