Skkn một số định hướng phát triển tư duy sáng tạo dành cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác bài toán thể tích khối chóp vào giải toán hình học

MỤC LỤC
Phần I. Mở đầu…………………………………………………………………1
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………….....1
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………..........2
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….....2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………...……………….2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………………………….2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……………………………........... 2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…………..3
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề………………………........3
2.3.1. Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về diện tích, thể tích, các kiến thức
và kĩ năng tính tốn liên quan…………………………………………................3
2.3.2. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng…………………………………………………………………………….3
2.3.3. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau……….8
2.3.4. Sử dụng thể tích để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai
mặt phẳng………………………………………………………………………11
2.3.5 Sử dụng thể tích để tính diện tích thiết diện……………………………...13
2.3.6. Sử dụng thể tích để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Hình Học….15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ……………………………………17
3. Kết luận, kiến nghị………………………………………………………….19
3.1. Kết luận……………………………………………………………………19
3.2. Kiến nghị…………………………………………………………………..19

skkn


Phần I. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây việc dạy học phát triển năng lực người học
được xem là cốt lõi của việc đổi mới phương pháp. Mơn Tốn là một mơn học đi

đầu trong việc phát triển tư duy nên càng cần được đặc biệt chú ý. Việc giải tốn
là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy,
tính sáng tạo [6]. Thơng qua hoạt động giải bài tập tốn giáo viên có thể tạo điều
kiện để thực hiện các mục đích dạy tốn ở trường phổ thơng. Dạy giải bài tập
tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy,
gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến
thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng
lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học
tối ưu. Giải Bài tốn hình học khơng gian đáp ứng cao những yêu cầu đó.
Bên cạnh đó đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi và
đề thi đánh giá năng lực không ngừng đổi mới liên tục và rất đa dạng, đòi hỏi
học sinh phải linh hoạt sáng tạo và ứng biến tốt. Trong các bài tốn hình học
khơng gian thì bài tốn thể tích khối chóp là phổ biến có nhiều câu ở mức cơ bản
nên học sinh rất có hứng thú. Bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng hoặc là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bài toán
nâng cao và thường dành cho học sinh khá giỏi. Các bài toán về đẳng thức và
bất đẳng thức hình học lại chủ yếu dành cho học sinh giỏi. Tuy là các chủ đề
khác nhau nhưng chúng cũng có mối liên hệ nhất định nếu chúng ta khai thác tốt
cơng thức thể tích và tỷ số thể tích.
Nói về bài tốn tính khoảng cách thì chúng ta có thể giải quyết theo nhiều
cách như: Sử dụng định nghĩa, so sánh khoảng cách, sử dụng tọa độ hoặc là giải
quyết bằng con đường gián tiếp thông qua sử dụng cơng thức thể tích. Tuy nhiên
thực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng
hay dựng đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau hoặc so sánh
khoảng cách là một việc làm không dễ đối với đại đa số học sinh, kể cả những
em học tương đối khá. Còn việc chuyển bài tốn sang bài tốn tọa độ thì khơng
phải là thuận lợi cho mọi bài tốn hình học khơng gian, nó chỉ thuận lợi với một
số bài tốn nhất định.
Đối với các bài tốn diện tích thiết diện, đẳng thức và bất đẳng thức hình
học thì hẳn là bài tốn khó mà những học sinh có tư duy tốt sẽ rất hứng thú. Có

nhiều con đường tùy theo từng bài tốn, nhưng việc khai thác thể tích khối chóp
và tỉ số thể tích thì tơi nhận thấy là rất hiệu quả và thú vị.
Qua nghiên cứu tài liệu và tham khảo các sáng kiến của đồng nghiệp, tôi
nhận thấy có nhiều ứng dụng hay của cơng thức thể tích khối chóp rất phù hợp
cho định hướng phát triển tư duy sáng tạo. Để giúp học sinh có những cách nhìn
mới và tư duy mới cho các bài tốn trên, bằng những kinh nghiệm thực tiễn dạy
học và nghiên cứu của bản thân tôi nhận thấy việc khai thác tốt bài tốn thể tích

skkn


khối chóp là một lựa chọn phù hợp cho yêu cầu thực tiễn về phương pháp phát
triển năng lực tư duy, tìm tịi sáng tạo. Vì vậy tơi đã chọn nghiên cứu đề tài: “
Một số định hướng phát triển tư duy sáng tạo dành cho học sinh lớp 12 thơng
qua việc khai thác bài tốn thể tích khối chóp vào giải tốn hình học”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này sẽ hướng đến việc làm thế nào để nâng cao tính chủ động, sự tự
tin của học sinh lớp 12 khi giải các bài tốn hình học khơng gian, định hướng
phát triển tư duy sáng tạo thông qua việc khai thác bài tốn thể tích khối chóp.
Thấy được các khía cạnh, các góc nhìn một cơng thức và khai thác nó một cách
hiệu quả, linh hoạt.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Phân dạng các cách khai thác cơng thức thể tích vào các bài tốn thường
gặp. Khai thác các khía cạnh: cách tính thể tích và khai thác nó như thế nào cho
những bài tốn tính khoảng cách,tính diện tích, chứng minh và sáng tạo đẳng
thức, bất đẳng thức. Cách giải quyết vấn đề và các nhận xét quan trọng.
Học sinh các lớp 11 và 12 mà tôi trực tiếp giảng dạy, trong đó có lớp 12 là
12C7.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử

THPT.
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Tốn 11, 12 phần hình
học khơng gian).
- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý
kiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
- Thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướng
dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá.
-Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Sử dụng phiếu điều tra để
tìm hiểu nguyên nhân của việc học yếu và ngại học hình học khơng gian. Từ đó
đề ra những giải pháp phù hợp để nâng chất lượng học tập cho học sinh.
-Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Sử dụng phương pháp thống kê để
xử lý số liệu, so sánh kết quả thu thập trước và sau khi tác động.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Có kỹ năng tốt trong tính thể tích, diện tích và khoảng cách là các mảng
kiến thức quan trọng, cốt lõi của hình học không gian thi THPT Quốc gia.
- Khai thác tốt công thức thể tích sẽ giúp định hướng tư duy sáng tạo của
học sinh, hình thành thói quen nhìn nhận vấn đề ở nhiều khía cạnh.

skkn


2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
- Thực trạng chung: Hầu hết học sinh sẽ mặc định ngay các bài toán
khoảng cách và bất đẳng thức hình học là khó và ít có tự tin xử lí tốt, thường
chấp nhận tâm lí gặp rồi thì hi vọng làm được, may rủi khi làm trắc nghiệm.
- Thực trạng đối với giáo viên: trình bày vấn đề khó khăn vì liên quan
nhiều kiến thức.
- Thực trạng đối với học sinh tại lớp 12 C7 : Hầu hết học sinh chưa có tâm
thế tốt, chưa nắm được cách khai thác, cách suy rộng một công thức. Chưa có

khả năng khái quát và tổng kết kinh nghiệm.
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về diện tích, thể tích, các kiến
thức và kĩ năng tính tốn liên quan như: Hệ thức lượng trong tam giác, các
cơng thức tính diện tích tam giác,cơng thức độ dài đường trung tuyến.
Việc làm này sẽ được tôi thực hiện trong các tiết học chính khóa và học
chun đề.
2.3.2. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
Giáo viên nêu vấn đề bằng cách đặt câu hỏi: Từ định nghĩa chiều cao của
một khối chóp cơng thức tính thể tích khối chóp ta có thể khai thác được những
gì? Học sinh sẽ dễ dàng suy ra cơng thức tính khoảng cách: d=
là các ví dụ minh họa:

. Sau đây

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đều ABC EFG có tất cả các cạnh bằng a. M, N, P lần lượt
là trung điểm của BF, EF và FG. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (AMP).
Nhận xét: Việc tính khoảng cách này rất khó khăn do mặt phẳng (AMN) không
thuận lợi cho việc dựng khoảng cách theo cách truyền thống. Giáo viên nên đưa
ví dụ này đầu tiên và phân tích kĩ để gây hứng thú cho học sinh.
Giải:
+)Trước hết ta tính thể tích khối chóp PAMN bằng việc so sánh thể tích:

skkn


+) Tính diện tích tam giác AMP:

Ta có tam giác AMP vng tại M nên

Herong và sử dụng máy tính cũng rất thuận lợi).

( Có thể tính bằng cơng thức

+) Khoảng cách cần tính:
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
điểm M trên cạnh AD sao cho
. Tính theo
đến mp(AB’C) [2].

. Lấy
khoảng cách từ điểm M

Nhận xét:
+) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C) phải tính tốn qua bài toán so sánh
khoảng cách với điểm B và chọn góc nhìn phù hợp (đáy dưới nên đặt là (ABCD)
và B nên đặt phía bên trái). Việc làm này khá là khó khăn và học sinh cần phải
có kinh nghiệm giải tốn với hình lăng trụ.
+) Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) bằng độ dài đường cao kẻ từ M của
hình chóp M.AB’C.

skkn


Lời giải.
Ta có
.
.

Từ

.
Ta có

,

,

cân tại C. Lấy H là trung điểm của AB’, ta có
.

Vậy

(đvđd).

Để thấy ưu thế của phương pháp này so với phương pháp tính trực tiếp khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
. Cạnh bên SA vng góc với đáy và
. Gọi H là hình
chiếu vng góc của A trên SB. Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến
mp(SCD) [5].
Lời giải 1.

Ta có
cao

.
nên
.

skkn

vng tại A, có AH là đường


. Lấy I là trung điểm của AD tứ giác

là hình vng

vng tại C

mà

.
Tính được

,

.
S

. Do đó

.

Lời giải 2.
A

Gọi E là giao điểm của AB và CD.

H

F
D
N

Lấy M là trung điểm của EC, N là

J

trung điểm của SE, F là trung điểm
của AD

C

B

M

.
E

Ta có tứ giác ABCF là hình vng
.
có

vng tại C
, mà

.

MN là đường trung bình của
.
cân tại B
.
Kẻ

.

Ta có NB là đường trung bình của tam giác SAE
.
nên

, mà
(đvđd).

skkn

vng tại B có BJ là đường cao


So sánh hai lời giải ta thấy: Ở lời giải thứ nhất sau khi chuyển việc tính khoảng
cách
về tính khoảng cách
học sinh chỉ cần sử dụng
thuần túy tính tốn biến đổi để tính mà khơng cần phải đi dựng khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SCD) mà tôi cho rằng việc dựng này không hề đơn giản
cho đa số các học sinh.
*Kết luận.

Như vậy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hồn
tồn có thể sử dụng thơng qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời trong q
trình tính khoảng cách đó chúng ta cũng có thể sử dụng kết hợp với việc so sánh
khoảng cách để chuyển về tính khoảng cách thuận lợi hơn.
Sau khi học sinh đã phát hiện ra việc tính khoảng cách dựa vào thể tích,
giáo viên sẽ nêu một số câu hỏi lớn:
Câu hỏi 1: Nêu những cơng thức tính tứ diện mà chúng ta đã được học hoặc đã
xây dựng được?
Câu hỏi 2: Trong những cơng thức đó, cơng thức nào giúp cho ta có thể tính
khoảng cách và góc?
Câu hỏi 3: Hãy nêu các cơng thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc
giữa hai mặt phẳng mà em biết?
Học sinh sẽ đưa ra khá nhiều công thức, và giáo viên dẫn dắt để tập trung vào
bốn cơng thức có thể khai thác:
Cơng thức 1:
góc giữa AB và CD.

, với d là khoảng cách giữa AB và CD,

là

Từ công thức này học sinh sẽ suy ra được một cách tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau.
Cơng thức 2:
(BCD).

Với

là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và

Từ cơng thức này học sinh sẽ suy ra được một cách tính góc giữa hai mặt phẳng.

skkn


Cơng thức 3:

, với

là góc giữa SM và mặt phẳng (P), M

thuộc mặt phẳng (P). Và tổng quát hơn là:
là góc giữa MN và mặt phẳng (P).

, với

Từ cơng thức này học sinh sẽ suy ra được một cách tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng.

Cơng thức 4:
cũng có:
(SCB) [8].

. Và do vai trò như nhau của hai mặt phẳng ta
.Với

là góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng

Sau đây sẽ là khai thác các công thức trên kết hợp với thể tích cho việc tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và tính góc.

2.3.3. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong những
bài tốn khó đối với học sinh. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau ta có ba con đường: sử dụng định nghĩa, tính bằng con đường gián tiếp,
hay sử dụng cơng thức của hình học tọa độ bằng cách chuyển bài tốn sang bài
tốn hình học tọa độ.
Như đã nói ở phần trên, việc chuyển bài tốn sang hình học tọa độ chỉ nên sử
dụng và sử dụng tốt cho một lớp các bài toán đặc trưng.
Tính bằng cách sử dụng định nghĩa là chúng ta đi dựng đoạn vng góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau rồi tính độ dài đoạn thẳng đó. Tuy nhiên bằng
kinh nghiệm bản thân và tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vng góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau chỉ được thực hiện khá dễ dàng khi hai
đường thẳng đó vng góc với nhau mà thơi. Chính vì vậy mà con đường này
chỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng chéo nhau đó là vng góc hoặc bài tốn
u cầu dựng.
Tính gián tiếp nghĩa là chúng ta khơng đi dựng đoạn vng góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau mà thay thế khoảng cách cần tính bởi một khoảng cách
tương đương khác rồi tính hoặc là sử dụng cơng thức thể tích. Một trong những
con đường gián tiếp đó là chuyển về tính khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng cịn lại mà song song với nó. Theo
cách này chúng ta sẽ phải đi dựng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
đây là công việc đã đơn giản hơn nhưng cũng không dễ đối với đa số học sinh

skkn


nhất là những em yếu khâu vẽ hình và dựng hình, hoặc sử dụng kỹ thuật tính
như mục 2.3.2. Ở đây, tơi muốn hướng học sinh tới một cách tính gián tiếp khác
nhờ ứng dụng của bài tốn tính thể tích tứ diện. Trước hết ta tiếp cận vấn đề
bằng một bài toán:

Bài toán. Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
CD,
[1].

là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng

Giải:
Dựng hình bình hành BCDE, ta có:

Do CD // BE nên CD // mp(ABE)
,
,
. Vậy
Điều đáng chú ý ở công thức trên là có xuất hiện cơng thức liên hệ giữa thể tích
tứ diện và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.Giáo viên tiếp tục nêu
câu hỏi : Em có thể rút ra điều gì ở cơng thức trong bài tốn trên ?
Học sinh sẽ đưa ra được câu trả lời mong muốn: Với AB và CD là hai đường
thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng được cho bởi công thức
.
Như vậy giáo viên kết luận : để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau AB và CD chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:
B1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
B2. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, CD và

B3. Áp dụng cơng thức
tính.

.

, ta có khoảng cách cần

Theo cách tính này thì học sinh sẽ tránh được việc phải dựng hình khó khăn.

skkn


Sau đây là các ví dụ minh họa.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a, SA = h và
vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng
sau:
a) SB và CD

b) SC và BD

c) SC và AB [5]

Lời giải.

Ta có

.

Từ giả thiết ta có SA là đường cao
của hình chóp S.ABCD.
.
Tam giác SAB vng tại A.
.
AB // CD
. Từ đó

(đvđd).

b) Ta có
,

.

Ta có
Vậy

.
(đvđd).

skkn


c) Ta có

.

.AB//CD

.

,
Ta

. Vậy

có

(đvđd).

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. M, N lần
lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN với MD. Biết SH
,
. Tính khoảng
cách giữa DM và SC theo a [5].
Lời giải.
Ta có
.
Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp SDCM.
Do ABCD là hình vng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD
(c-g-c)
.Ta có

,

,

,
Từ gt

.Vậy

(đvđd).

Qua các ví dụ trên ta thấy đây là một hướng giải tốt cho bài tốn tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đối với đại đa số học sinh thì cách giải
quyết này dễ sử dụng hơn cách dựng hình, với bài tốn trắc nghiệm và phương
tiện máy tính như hiện nay việc tính tốn sẽ tiết kiệm khá nhiều thời gian cho

học sinh.
*Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.

skkn


2.3.4. Sử dụng thể tích để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc
giữa hai mặt phẳng.
Bài tốn tính góc rất khó thường là các bài tốn với hình lăng trụ. Các mặt
phẳng khơng thuận lợi về vị trí sẽ khơng thể dựng được góc. Vì vậy nếu chủ
động được trong các tình huống này, học sinh sẽ thấy ưu thế của việc khai thác
thể tích. Sau đây là một ví dụ điển hình:
Ví dụ 6. Cho lăng trụ đều ABC EFG có tất cả các cạnh bằng a. M, N, P lần lượt
là trung điểm của BF, EF và FG.
a)Tính sin góc giữa AN và mặt phẳng (MNP)
b)

Tính

sin

góc

giữa

hai

mặt

phẳng

(AMP)

và

(MNP).

Đây là bài tốn được phát triển từ ví dụ 1. Một số kết quả tính tốn ở ví dụ 1:

a) Ta có

skkn


b) Ta có
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có
sin góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (ABC).

. Tính

Hướng dẫn: Ta dễ dàng chứng minh được mặt phẳng (ABE) vuông góc với CD
và tính được thể tích tứ diện:
.

Gọi

là góc cần tính, ta có

Việc tính diện tích các tam giác là rất đơn giản khi sử dụng công thức

Herong. Cách làm trên quả thật rất thuận lợi và gần như chiếm ưu thế khi mà
hình tứ diện là khơng hề đặc biệt, hoặc ngay cả khi nó đặc biệt thì việc dựng góc
hoặc làm bằng phương pháp tọa độ cũng vơ cùng khó khăn vì thời gian là rất
hạn chế.
2.3.5. Sử dụng thể tích để tính diện tích thiết diện

skkn


Để tính diện tích thiết diện sau khi đã dựng được thiết diện chúng ta có thể thực
hiện theo một trong các con đường sau:
+) Xác định thiết diện là các đa giác đặc biệt như đa giác đều hoặc các tam giác
hoặc tứ giác đặc biệt và tính diện tích thiết diện đó.
+) Chia thiết diện cần tính thành các đa giác đặc biệt tính được diện tích.
+) Sử dụng phương pháp thêm bớt, nghĩa là chúng ta thêm vào thiết diện cần
tính các đa giác thích hợp để được đa giác lớn hơn tính được diện tích rồi trừ đi
diện tích các đa giác thêm vào sẽ được diện tích cần tính.
+) Sử dụng cơng thức hình chiếu:
, trong đó S và S’ lần lượt là diện
tích của thiết diện và diện tích hình chiếu của thiết diện trên mặt phẳng chiếu,
là góc giữa mặt phẳng chứa thiết diện và mặt phẳng chiếu.
+) Sử dụng công thức thể tích khối chóp.
Cơ sở của vấn đề này là chúng ta gắn thiết diện cần tính vào đáy của một khối
chóp nào đó đã biết hoặc tính được thể tích và chiều cao, khi đó diện tích thiết
diện cần tính được bởi công thức:
. Trong đề tài này tôi sử dụng cơng
thức thể tích để giải các bài tốn về tính diện tích thiết diện.
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a. chiều cao SO =

.
Dựng thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vng góc với SC. Tính diện
tích thiết diện vừa dựng [4].
Lời giải.

Ta

có

S

H

.
N

(P) là mặt phẳng qua A và
song song với BD.

E

Trong tam giác SAC kẻ AH
 SC, AH cắt SO tại E.
Qua E kẻ đường thẳng song
song với BD cắt SD, SB tại

M
C

B

O

A

D

skkn


M, N. Nối AM, AN, MH, NH được thiết diện là tứ giác AMHN.
nên tam giác SAC đều
trọng tâm tam giác SAC
Ta có:

H là trung điểm của SC nên E là

.
,

,

,
.

Vậy

(đvdt).

Nhận xét: Những bài tốn trên đây về tính diện tích thiết diện thuộc loại thiết diện
qua một điểm và vng góc với một đường thẳng. Khi vận dụng cách tính thể tích

khối chóp để tính diện tích chúng ta nên lựa chọn áp dụng cho những bài tập mà
đường cao, ứng với đáy là thiết diện cần tính, tính được một cách dễ dàng, nếu
không con đường này sẽ trở nên phức tạp.
Kết luận: Có thể sử dụng thể tích khối chóp để tính diện tích thiết diện.
2.3.6. Sử dụng thể tích để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Hình Học
Để sử dụng việc tính thể tích khối chóp vào việc chứng minh đẳng thức, bất
đẳng thức Hình học ta dựa trên cơ sở các kết quả sau:
+) Hai khối chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số hai đường cao bằng tỉ số thể tích
của hai khối chóp.
+) Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số hai diện tích đáy bằng tỉ số
thể tích của hai khối chóp đó.
+) Hai khối chóp S.ABC và S.A’B’C’ có A’, B’, C’ lần lượt nằm trên ba đoạn
thẳng SA, SB, SC. Ta có

.

Đây là dạng tốn khó, tơi trình bày trong đề tài với mong muốn phát triển tư
duy và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác BCD.
Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của O trên các mặt phẳng (ACD),
(ABD), (ABC) .
Chứng minh rằng:

a)

b)

skkn

.


(Trong đó

tương ứng là đường cao kẻ từ B, C, D của tứ diện ABCD;

tương ứng là diện tích các mặt đối
diện với các đỉnh B, C, D; V là thể tích khối
tứ diện ABCD) [6].
Lời giải.
a)Ta có

.
b) Ta có

(đpcm).
Ví dụ 10. Cho tứ diện đều ABCD cạnh

, h là độ dài đường cao của tứ diện, O

là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác BCD. Gọi
lần lượt là hình chiếu
vng góc của O trên các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC).
a) Chứng minh rằng:

.

b) Tìm vị trí của điểm O trong tam giác
BCD sao cho tứ diện

lớn nhất [6].

có thể tích

Lời giải. Khi ABCD là tứ diện đều cạnh
ta có

.
Từ đó ta có
là góc tạo bởi các mặt của tứ diện ABCD, H là hình chiếu vng góc
Gọi

skkn


của

trên mp

. Ta có

.
(do

). Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy ta có

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
O là trọng tâm tam giác BCD.

hay

Sau khi chứng minh được các đẳng thức trên, bằng cách vận dụng kết hợp các
BĐT cổ điển như Cauchy, Bunhiacopxki chúng ta sẽ có được một hệ thống các
bài tập về BĐT Hình học thú vị mà để giải quyết chúng thì chúng ta có thể vận
dụng cơng thức tính thể tích khối chóp để chứng minh đẳng thức rồi từ đó mới
chứng minh BĐT. Chẳng hạn, ta có bài tốn:
Cho tứ diện ABCD. O là môt điểm nằm trong tứ diện.
. Chứng minh rằng:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

.

9)
10)
[4].
Do phạm vi của Đề tài không cho phép nên tơi khơng trình bày lời giải của bài

tập này mà chỉ định hướng gợi mở để các học sinh giỏi tiếp tục có cơ hội khai
thác.

skkn


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Với cách làm trên tôi đã tiến hành thực nghiệm giảng dạy tại lớp 12C7
trường THPT Nguyễn Quán Nho, năm học 2021-2022. Đây là lớp học ban A
học nâng cao các mơn tốn, lý, hóa và cũng là các lớp tơi đã giảng dạy năm lớp
11. Các em có lực học chủ yếu là trung bình và khá, cũng có một số ít em có lực
học giỏi như vậy là rất phù hợp với việc thực nghiệm đề tài này.
Với đối tượng học sinh trung bình và khá, tơi nhấn mạnh việc sử dụng
cơng thức thể tích để tính khoảng cách, diện tích, các bài toán ở mức độ vận
dụng thấp, phù hợp với năng lực nên các em đã tỏ ra rất hào hứng vì giải quyết
tốt các bài tốn ở mức này. Các em không chỉ dừng lại ở việc giải đúng mà còn
giải khá nhanh.
Với học sinh giỏi, sau khi đã chắc phần cơ bản như trên tôi định hướng
áp dụng cho bài toán nâng cao là chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức và các
em đã tự tin giải tốt hầu hết các bài toán được xem là khó của hình học khơng
gian.
Tơi nhận thấy, với việc truyền thụ theo hướng khai thác thể tích làm cho
học sinh rất hứng thú. Tơi nhìn thấy rất rõ sự tự tin, háo hức chinh phục câu hình
khơng gian nâng cao ở những học sinh khá giỏi. Nhiều học sinh đã thật sự ngạc
nhiên vì giải nhanh được nhiều bài tốn trắc nghiệm khoảng cách mà không cần
phải dựng khoảng cách chi tiết, đặc biệt trong bài tốn tính khoảng cách ở hình
lăng trụ và hình hộp, và đối với các cặp đường thẳng không quen dạng vẫn giải
quyết tốt với cách làm này. Tuy đây không phải là phương pháp có ưu thế tuyệt
đối nhưng nó là một hướng giải rất thú vị.
Trong một số lần thao giảng và sinh hoạt chuyên môn của tổ, lớp 12C6

được các giáo viên trong tổ đánh giá là học chắc kiến thức, hào hứng học tập và
kết qủa thi học kì và thi thử THPT Quốc gia là rất khả quan. Tôi cũng được các
đồng nghiệp tán thành và ủng hộ khi trình bày ý tưởng đề tài này trong những
lần sinh hoạt chuyên môn. Đề tài này cũng được đánh giá là có thể linh hoạt áp
dụng cho nhiều đối tượng học sinh.
Kết quả sau khi áp dụng sáng kiến được thể hiện rõ nét qua kết quả tổng
hợp kết quả đánh giá cùng nội dung của hai lớp có lực học tương đương như
sau:
Lớp thực nghiệm
Kết quả kiểm tra chuyên đề của học sinh lớp 12 C7 năm học 2021-2022.
Điểm

Giỏi

Khá

Trung bình Yếu

skkn

Kém


Số lượng

11

24

5

0

0

Tỉ lệ %

27,5%

60%

12,5%

0

0

Lớp đối chứng
Kết quả kiểm tra chuyên đề của học sinh lớp 12 C6 năm học 2021-2022.
Giỏi

Khá

Trung bình Yếu

Kém

Số lượng

5

17

13

5

0

Tỉ lệ %

12,5%

42,5%

32,5%

12,5%

0

Kết quả học tập có sự khác biệt rõ giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
có học lực tương đương.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy
tôi rút ra một số kêt luận sau:
- Người giáo viên có vai trị quyết định trong việc định hướng cho học sinh tìm
tịi, sáng tạo. Trong khi dạy học giáo viên phải chú ý đến việc tạo tâm thế hứng
thú học tập cho học sinh.

- Đề tài đã đưa ra hệ thống đầy đủ các ứng dụng của cơng thức thể tích khối
chóp và định hướng tốt cho học sinh việc áp dụng .
- Đề tài đã xây dựng được một hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng sử dụng và
vận dụng công thức thể tích khối chóp cho học sinh khi dạy học bài tập tính
khoảng cách, tính diện tích thiết diện và chứng minh các hệ thức hình học trong
hình học khơng gian.
- Tơi nhận thấy đề tài có thể áp dụng để giảng dạy phù hợp cho nhiều đối tượng
học sinh từ học sinh trung bình đến các em khá giỏi. Có thể vận dụng cho cả
việc dạy chính khóa và ngoại khóa trong các tiết luyện tập, đề tài cũng có thể sử
dụng để dạy và làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng,
thi Trung học phổ thông Quốc Gia và thi học sinh giỏi. Đó chính là tính ứng
dụng thực tiễn của đề tài. Tuy nhiên cũng cần lưu ý rằng khi áp dụng vào giảng
dạy tùy vào tiến độ chương trình chính khóa và đối tượng học sinh để giáo viên
lựa chọn hệ thống bài tập và phương pháp giải cho phù hợp. Đề tài áp dụng tôt
nhất khi học sinh đã được học xong thể tích khối chóp và khối lăng trụ.

skkn


- Tính hiệu quả của đề tài được kiểm chứng trong phần thực nghiệm sư phạm.
3.2. Kiến nghị.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài, tôi đã nhận thấy khả năng
thay đổi quan niệm và tư duy học hình của học sinh nếu giáo viên tìm cách khai
thác các bài tốn, các cơng thức, tạo thói quen tìm tịi sáng tạo. Xuất phát từ việc
đặt mình vào vị trí người học và tìm hiểu tâm tư của học sinh một cách cởi mở,
tơi đã nhận ra bài tốn hình học khơng gian có rất nhiều cách giải sáng tạo, mỗi
phương pháp đều có vẻ đẹp riêng. Học sinh càng được trang bị nhiều phương
pháp giải toán càng tin ứng biến tốt khi đối mặt với đề thi trắc nghiệm có nhiều
đổi mới. Sẽ là rất khó khăn nếu các bài toán đều mơ hồ và học sinh bị mất
phương hướng. Vậy nên để tạo niềm tin cho học sinh, chúng ta hãy cho các em

sự tự tin bằng chính việc biết khai thác và sáng tạo từ kiến thức đã biết.
Hình học khơng gian cần có kiến thức nền tảng tốt. Ngồi tư duy hình học
thì kỹ năng tính tốn là rất quan trọng. Vì vậy tơi đề xuất trong chương trình
giảng dạy chính khóa và bồi dưỡng có một tài liệu trang bị về kiến thức cơ bản
hình học ở cấp hai phục vụ việc học hình ở cấp trung học phổ thơng. Có kiến
thức nền tảng cơ bản và đồng đều sẽ thuận lợi cho việc lĩnh hội kiến thức theo
định hướng của sáng kiến này .
Tơi rất mong sẽ được tổ chun mơn góp ý hồn thiện thêm cho sáng kiến
và có thể áp dụng rộng rãi hơn cho học sinh các lớp 11 và 12.
Tôi cũng kiến nghị Nhà trường tạo điều kiện để việc triển khai và rút kinh
nghiệm được tiến hành thuận lợi và khoa học. Kính mong nhà trường tạo điều
kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian hỗ trợ thực hiện sáng kiến như: có các
tổng hợp, đánh giá trong quá trình học, thi học kì, thi thử, có sự so sánh đối
chứng ở mức rộng hơn giữa các đối tượng, các lớp.
Trên đây tơi vừa trình bày sáng kiến: “Một số định hướng phát triển tư
duy sáng tạo dành cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác bài tốn thể
tích khối chóp vào giải tốn hình học”.Mặc dù đề tài là kết quả của thực tế
giảng dạy khá nhiều năm của tôi, dựa trên cơ sở tiếp cận nhiều đối tượng học
sinh, nhưng do kinh nghiệm tổng hợp và trình bày sáng kiến cịn hạn chế nên đề
tài có thể cịn thiếu sót. Hơn nữa học sinh nơi tôi giảng dạy là vùng quê nghèo,
điều kiện đầu tư thời gian và học nâng cao còn nhiều hạn chế, phần lớn các em
có nền tảng kiến thức chưa tốt nên một số kết quả sâu hơn chưa được khai thác
trong đề tài. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự quan tâm góp ý của các đồng
nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

skkn


Xác nhận của hiệu trưởng

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Ngô Thị Cảnh

skkn


Tài liệu tham khảo
[1]. Bài tập Hình học 12 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc
Ban - Tạ Mân, Nhà xuất bản Gáo dục.
[2]. Bài tập Hình học 12, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần
Đức Huyên, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3]. Các bài giảng luyện thi mơn Tốn, Tập 1, Phan Đức Chính - Vũ Dương
Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. SKKN các ứng dụng của cơng thức thể tích trong bài tốn hình học – Ngơ
Trí Thụ, THPT Diễn Châu 3 Nghệ An.
[5]. Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng từ năm 2010 đến 2017, Mơn Tốn.
[6]. Tài liệu tập huấn “Dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả học tập theo định
hướng phát triển năng lực học sinh- Mơn Tốn THPT”, Hà Nội 2018.
[7]. Các bài toán vận dụng, vận dụng cao Hình học khơng gian trong các đề thi
thử THPT Quốc gia năm 2020-2021-Toanmath.com.
[8]. SKKN “Nâng cao tính chủ động và hiệu quả giải tốn hình học khơng gian
dành cho học sinh lớp 12 thơng qua các mơ hình hình chóp thường gặp” -Ngơ
Thị Cảnh, THPT Nguyễn Qn Nho, Thanh Hóa.

skkn

skkn