Skkn một số kinh nghiệm dạy học chủ đề tổ hợp xác suất nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 ở trường thpt chuyên lam sơn

MỤC LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................2
3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................2
II. NỘI DUNG.......................................................................................................2
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................2
2. Thực trạng .....................................................................................................2
3. Một số kinh nghiệm nhằm rèn năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy
học chủ đề tổ hợp - xác suất………………………………………………..........3
3.1. Rèn luyện cho học sinh nắm vững
kiến thức cơ bản
………………………...........3
3.2. Rèn luyện cho học sinh biết "Quy lạ về quen", biết "Đặc biệt hóa", "Tương
tự hóa" và "Khái quát hóa"………………………................................................4
3.3. Rèn luyện cho học sinh năng lực thực hiện mối liên hệ với các bài toán khác
…………………………………………………………………………………...8
3.4. Rèn luyện cho học sinh khả năng giải toán bằng nhiều cách khác nhau và
khả năng sáng tạo trong giải toán ….…………………………………………..11
III. KẾT LUẬN CHƯƠNG.................................................................................14
1. Kết luận nghiên cứu........................................................................................14
2. Kết luận chung.................................................................................................14
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................
DANH MỤC ......................................................................................................
PHỤ LỤC............................................................................................................

skkn


I. PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, thống kê và xác suất được xác định là một trong 3
mạch kiến thức chính của chương trình giáo dục phổ thơng mới (hai mạch kiến
thức cịn lại là: Đại số và một số yếu tố giải tích; Hình học và đo lường).
Thêm nữa, xác suất và thống kê là một ngành tốn học có nhiều ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như: Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y
học, công nghệ thông tin và các ngành kinh tế. Việc vận dụng xác suất và thống
kê vào thực tế đời sống mang lại nhiều lợi ích thiết thực như: Thiết kế biển số
xe, số điện thoại, mã số ổ khóa, mã vạch, sêri sản phẩm, xác định được mức độ
an toàn của sản phẩm, … Lý thuyết xác suất được đưa vào chương trình Đại số
& Giải tích 11 và cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về ngành toán
học này. Hơn nữa, trong những năm gần đây thì dạng tốn này cịn có trong đề
thi tốt nghiệp THPT do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định.
Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành
tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn
học; năng lực giải quyết vấn đề tốn học; năng lực giao tiếp tốn học; năng
lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn (xem [1]).
Rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh góp phần hình thành và phát
triển năng lực tốn học nói chung có ý nghĩa vơ cùng quan trọng, vì việc làm đó
có tác dụng rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết tốt các bài toán trong
Toán học và xa hơn nữa là các vấn đề trong cuộc sống.
Qua thực tế giảng dạy chủ đề tổ hợp - xác suất cho học sinh lớp 11 tơi thường
gặp hai tình huống sau:
Thứ nhất, học sinh chưa hiểu sâu sắc các khái niệm cơ bản, hay nhầm lẫm giữa
kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, giữa khái niệm này với khái niệm kia
như: Quy tắc cộng và quy tắc nhân; chỉnh hợp và tổ hợp; biến cố xung khắc và
biến cố đối, …
Thứ hai, học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp
nào, khơng có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm trong việc giải dẫn đến kết
quả sai. Nguyên nhân là do các em chưa phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra

lời giải.
Từ hai nguyên nhân trên dẫn đến việc các em lĩnh hội kiến thức thụ động, chỉ
biết giải bài toán tổ hợp - xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số
chưa sử dụng linh hoạt các quy tắc để giải, còn khá lúng túng khi diễn đạt giải
dạng tốn này.
Xuất phát từ những lý do trên, tơi ln trăn trở, tìm tịi nghiên cứu, với
mục đích làm thế nào để học sinh khơng cịn lúng túng trong giải toán tổ hợp xác suất, tạo cho các em hứng thú trong giải tốn nói chung và giải tốn tổ hợp xác suất nói riêng. Đồng thời giúp các em có định hướng, có năng lực tiếp cận
1

skkn


thực tiễn và được luyện tập qua các dạng toán. Qua thực tiễn áp dụng các
phương pháp dạy học tích cực, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm được trình bày
trong sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Một số kinh nghiệm dạy học chủ đề
Tổ hợp - xác suất nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 ở
trường THPT chuyên Lam Sơn”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực giải toán tổ hợp - xác suất cho học sinh THPT.
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng tốn trong chương trình phổ thông.
3. Đối tượng nghiên cứu
HS lớp 11 Anh 1 và lớp 11 Hóa năm học 2021 -2022 ở trường THPT
chuyên Lam Sơn.
4. Phương pháp nghiên cứu
* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các loại tài liệu về lí luận và phương
pháp giảng dạy mơn Tốn, các tài liệu về Tâm lí, Giáo dục học, ... có liên quan
đến đề tài như năng lực, năng lực toán học, ...
* Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát
thực trạng dạy học của giáo viên và học sinh.
* Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính

khả thi và hiệu quả của đề tài.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
- Dựa trên các kiến thức về khái niệm, định nghĩa, định lí và các cơng thức
được chứng minh hoặc được thừa nhận trong chương trình tốn trung học phổ
thơng.
- Dựa trên đặc điểm phát triển năng lực nói chung và năng lực tốn nói riêng.
2. Thực trạng
* Ngun nhân khách quan
Năm học 2021 -2022, tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy hai lớp 11 là lớp
11 Anh1 và lớp 11Hóa, chất lượng đầu vào mơn Tốn của các em chưa cao
(nhất là lớp 11 Anh1). Thêm nữa, do tình hình dịch bệnh Covid phức tạp (nhiều
em phải nghỉ học cách ly, học Online ...) việc lĩnh hội kiến thức đối với các em
cịn khó khăn. Bên cạnh đó, do tâm sinh lý lứa tuổi ở học sinh lớp 11 còn chưa
ổn định nên ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt, chưa xác định được
động cơ học tập.
* Nguyên nhân chủ quan:
- Nội dung Tổ hợp – xác suất nhiều khái niệm mới, công thức mới, có tính
trừu tượng cao, khó nhớ, khó phân biệt và đặc biệt là cách suy luận cũng mới mẻ
hơn so với các suy luận toán học trước đây.
- Đây là nội dung mà học sinh cảm thấy khó, mới mẻ và rất hay mắc sai
lầm từ việc nắm ngữ nghĩa cú pháp đến việc áp dụng các công thức, quy tắc khi
giải bài tập.
2

skkn


- Khó khăn nữa đối với học sinh là cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố
của Lí thuyết xác suất là chưa có.

3. Một số kinh nghiệm nhằm rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh
thơng qua dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất
3.1. Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản
3.1.1. Dạy bài: Quy tắc đếm
Giáo viên cần yêu cầu học sinh phải phân biệt được sự giống nhau và khác nhau
của hai quy tắc này? Khi nào áp dụng quy tắc cộng, khi nào áp dụng quy tắc
nhân?
Một công việc có nhiều phương án thực hiện, các phương án này độc lập
với nhau, ta có thể lựa chọn thực hiện một trong các phương án đó (khơng cần
thực hiện các phương án cịn lại) mà cơng việc vẫn hồn thành thì dùng quy tắc
cộng. Cịn một cơng việc được thực hiện bởi nhiều bước, nếu bỏ qua một bước
nào đó thì cơng việc khơng thể hồn thành thì ta dùng quy tắc nhân.
Sau đó, giáo viên nên lấy ví dụ và phân tích cho học sinh một vài tình huống
thực tế, cụ thể áp dụng quy tắc đếm và một số bài tập trắc nghiệm nhanh nhằm
giúp học sinh nắm vững kiến thức.
Ví dụ 1.1: Trường THPT chuyên Lam Sơn có 385 học sinh khối 11, trong đó
150 học sinh nam và 235 học sinh nữ.
a) Đoàn trường cần chọn hai học sinh cùng giới ở khối 11 đi làm tình
nguyện tiếp sức kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Hỏi đồn trường có bao nhiêu cách
chọn?
b) Đồn trường cần chọn hai học sinh trong đó có một học sinh nam và
một học sinh nữ đi dự Đại hội Đồn. Hỏi đồn trường có bao nhiêu cách chọn?
Ở câu a) nhiệm vụ cơng việc là gì? (chọn hai học sinh nam hoặc hai
học sinh nữ). Như vậy, công việc này có hai phương án thực hiện, chọn một
phương án thì cơng việc có hồn thành được khơng? Áp dụng quy tắc nào?
Ở câu b) nhiệm vụ công việc là gì? (chọn ra hai học sinh, một nam và một
nữ). Như vậy, cơng việc muốn hồn thành ta cần thực hiện bao nhiêu bước liên
tiếp? Áp dụng quy tắc nào?
3.1.2. Dạy bài: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
a) Khi dạy định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên có thể giúp

học sinh lĩnh hội kiến thức bằng con đường diễn dịch hoặc quy nạp (tùy theo đối
tượng học sinh).
b) Giáo viên cần lưu ý học sinh phân biệt được mỗi hoán vị của n phần tử
với số hoán vị của n phần tử, mỗi chỉnh hợp chập k của n phân tử với số chỉnh
hợp k của n phân tử, mỗi tổ hợp chập k của n phân tử với số tổ hợp chập k của n
phần tử. Nắm vững các cơng thức: tính số các hốn vị của n phần tử
;
tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

, với

; tính số

3

skkn


các tổ hợp chập k của n phần tử

, với

và cách sử dụng

máy tính.
c) Dấu hiệu đặc trưng của hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Giáo viên cần lưu ý học sinh nhớ những dấu hiệu đặc trưng.
+) Để sử dụng hoán vị của n phần tử ta dựa vào dấu hiệu đặc trưng sau:
- Tất cả các phần tử đều phải có mặt.
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện đúng một lần.

- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
+) Để sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử ta dựa vào dấu hiệu đặc trưng
sau:
- Phải chọn ra k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
+) Để sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử ta dựa vào dấu hiệu đặc trưng sau:
- Phải chọn ra k phần tử từ n phần tử cho trước .
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Sau đó, giáo viên có thể đưa một vài ví dụ ở mức độ nhận biết – thơng hiểu, học
sinh có thể dựa vào dấu hiệu đặc trưng đưa ra cách làm.
Ví dụ 1.2: Một nhóm học sinh của lớp 11A có 5 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh đó ngồi vào một bàn có 5 chỗ ngồi?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn trong nhóm để làm trực nhật?
c) Có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn trong nhóm để làm lớp trưởng và lớp phó?
Đối với học sinh yếu, giáo viên có thể định hướng theo sự gợi ý :
Mỗi học sinh trong nhóm xuất hiện bao nhiêu lần? Có phân biệt thứ tự giữa các
học sinh đó khơng?
Câu a) cả 5 học sinh trong nhóm đều có mặt, mỗi em chỉ ngồi một vị trí
(xuất hiện một lần) và có phân biệt thứ tự giữa các vị trí (thay đổi vị trí thì được
một cách xếp mới).
Suy ra số cách xếp
Câu b) chỉ chọn hai học sinh trong 5 học sinh và không phân biệt thứ tự.
Suy ra số cách chọn
Câu c) chỉ chọn hai học sinh trong 5 học sinh và có phân biệt thứ tự.
Suy ra số cách chọn
3.2. Rèn luyện cho học sinh biết “Quy lạ về quen”, biết “Đặc biệt hóa”,
“Tương tự hóa” và “Khái quát hóa”
Việc giải quyết vấn đề không dừng lại ở ý thức mà yêu cầu chủ thể phải
hành động. Do đó giáo viên thường hay sử dụng các chiến lược nhận thức như:
Quy lạ về quen; Đặc biệt hóa; Tương tự hóa; Khái quát hóa; Xem xét những mối

liên hệ và phụ thuộc. Các hoạt động tư duy này được thực hiện nhiều lần cho
4

skkn


đến khi tìm được hướng giải quyết vấn đề phù hợp nhất, có thể điều chỉnh thậm
chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết.
Với việc sử dụng các chiến lược trên, giáo viên không chỉ giúp học sinh
đưa những bài toán mới về những bài toán quen thuộc, làm những bài tập tương
tự mà còn giúp học sinh hệ thống hóa các bài tập, đưa về các bài tốn gốc hoặc
tổng qt hóa bài tốn.
Ví dụ 2.1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 bạn học sinh vào một dãy ghế dài
có 10 chỗ ngồi.
Xếp 10 bạn vào 10 ghế ngồi bất kỳ thì học sinh dễ dàng có kết quả là phép
hoán vị 10 người vào 10 chỗ ngồi.
Cùng một bài tốn nhưng có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau. Mỗi
phương pháp giải khác nhau cần sử dụng kiến thức, kỹ năng khác nhau. Sử dụng
các kiến thức, kỹ năng tốn học tương thích để giải quyết vấn đề đặt ra thể hiện
được năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo của người học.
Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 2.2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 bạn học sinh (trong đó có hai bạn
Lam và Sơn) vào một dãy ghế dài có 10 chỗ ngồi sao cho 2 bạn Lam và Sơn
ngồi cạnh nhau.
Rõ ràng Ví dụ 2.2 khó hơn Ví dụ 2. 1 vì thêm điều kiện trong 10 học sinh đó
có Lam và Sơn ln ngồi cạnh nhau, đó là vấn đề học sinh cần giải quyết của bài
tốn.
Trong Ví dụ 2.2, chúng ta đã xác định tình huống có vấn đề là sắp xếp sao
cho Lam và Sơn ngồi cạnh nhau. Để giải quyết tình huống này học sinh có thể
sử dụng quy tắc đếm và thực hiện bởi 2 bước:

Bước 1: Sắp xếp vị trí cho Lam và Sơn.
Bước 2: Sắp xếp vị trí cho các bạn cịn lại.
Liệu cịn có cách nào khác để giải bài tốn khơng? Đây là câu hỏi để thay
đổi cách tư duy bài toán.
Do Lam và Sơn ln ngồi cạnh nhau nên ta có thể xem hai người họ như là
một người hoặc họ sẽ ngồi trên 2 chiếc ghế đã được buộc lại với nhau. Khi đó,
dù sự sắp xếp có ngẫu nhiên thì họ vẫn luôn ngồi cạnh nhau. Vấn đề đã được
5

skkn


giải quyết theo hướng mới: sắp xếp 9 người vào 9 chiếc ghế thành một hàng
dọc.
Ta phân tích cách giải của Ví dụ 2.2 như sau
Phân tích: Nếu sử dụng phương pháp phân chia trường hợp để giải quyết
vấn đề thì học sinh có thể sử dụng quy tắc đếm hoặc kết hợp với hoán vị để giải
quyết bài toán.
Hướng giải 1: Xét các trường hợp sau
+ Trường hợp 1: Nếu Lam và Sơn ngồi 2 ghế đầu tiên (ghế số 1 và số 2) thì
có 2 cách sắp xếp, 8 bạn khác ngồi 8 ghế cịn lại có 8! cách sắp xếp.
LAM

SƠN

3

4

5

6

7

8

9

10

+ Trường hợp 2: Nếu Lam và Sơn ngồi 2 ghế đầu tiếp theo (ghế số 2, 3) thì có 2
cách sắp xếp, 8 bạn khác ngồi 8 ghế cịn lại có 8! cách sắp xếp.
1

LAM

SƠN

4

5

6

7

8

9

10

Tương tự cho các trường hợp Lam và Sơn ngồi 2 ghế 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8,
8-9.
+ Trường hợp 3: Nếu Lam và Sơn ngồi 2 ghế cuối cùng (ghế số 9,10) thì có 2
cách sắp xếp, 8 bạn khác ngồi 8 ghế cịn lại có 8! cách sắp xếp.
1

2

3

4

5

6

7

8

LAM

SƠN

Theo quy tắc cộng ta có kết quả:
Hướng giải 2: Cũng cách giải như trên nếu ta chia thành 3 bước:
Bước 1: Chọn 2 vị trí cạnh nhau (1-2, 2-3,…, 9-10) để xếp Lam và Sơn, có

9 cách.
Bước 2: Sắp xếp vị trí cho Lam và Sơn vào hai vị trí cạnh nhau đã chọn, có
2! Cách.
Bước 3: Ứng với mỗi cách sắp xếp vị trí cho Lam và Sơn ta có 8 vị trí sắp
xếp cho 8 người cịn lại, có 8! cách sắp xếp.
Theo quy tắc nhân suy ra số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
9.2!.8!.
Hướng giải 3: Nếu xem Lam và Sơn luôn ngồi cạnh nhau như ngồi trên 2
ghế được cột cố định vào nhau ta có thể đặc biệt hóa xem họ như 1 người. Khi
6

skkn


đó bài tốn trở thành sắp xếp 9 người vào 9 chiếc ghế xếp thành một dãy dài có
9! cách sắp xếp. Do Lam và Sơn có thể đổi chỗ cho nhau nên ứng với mỗi cách
sắp xếp trên có 2 cách sắp xếp chỗ cho Lam và Sơn. Suy ra số cách sắp xếp
thỏa mãn yêu cầu bài toán là 9!.2!.
Trong Ví dụ 2.2 ta đưa ra 3 hướng giải cho bài tốn.
Hướng giải 1: Có ưu điểm rất gần với “cuộc sống” nên học sinh trung bình
sẽ chọn cách giải này. Cách này học sinh hay mắc sai lầm khi phân chia trường
hợp khơng độc lập, điều đó dẫn đến đếm lặp hoặc đếm thiếu các trường hợp.
Hướng giải 2: Là sự quan sát phân tích hướng giải 1 để đưa ra cách trình
bày lời giải ngắn gọn hơn.
Hướng giải 3: Thể hiện sự sáng tạo, linh hoạt của người học. Đây là hướng
giải mà giáo viên cần khuyến khích để phát huy năng lực giải quyết vấn đề và
sáng tạo cho học sinh.
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tổng qt hóa bài tốn trong Ví dụ 2.2
như sau
Bài tốn tổng qt 2.1: Tìm số hốn vị của phần tử trong đó có hai

phần tử và ln đứng cạnh nhau.
Bài tốn tổng qt 2.2: Tìm số hốn vị của phần tử trong đó có hai
phần tử và không đứng cạnh nhau.
+) Học sinh cần nhận thấy số các hoán vị của n phần tử chứa ,
gồm
những hoán vị mà ,
đứng cạnh nhau và những hoán vị mà , không
đứng cạnh nhau.
+) Xem 2 phần tử và đứng cạnh nhau là một phần tử. Lúc này số các
phần tử sẽ là n – 1. Tuy nhiên
đứng bên trái
(tức là
)và
đứng bên
phải (tức là
) là khác nhau. Như vậy, sẽ có hai khả năng xảy ra.
Giải: Số hốn vị của n phần tử là:
Số hoán vị của n phần tử trong đó đứng cạnh bên trái ( đứng cạnh
bên phải ) là (n – 1)!. Do đó, số hốn vị của n phần tử mà , đứng cạnh
nhau là 2(n – 1)!. Vậy số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử
và
khơng đứng cạnh nhau là:
Từ đó, u cầu học sinh nắm cơng thức tính số hốn vị của n phần tử
trong đó có hai phần tử và không đứng cạnh nhau (
) và công thức tính số hốn vị của n phần tử trong
đó có hai phần tử và đứng cạnh nhau (
).
Trên cơ sở hai bài tốn gốc trên, giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm
các bài tập sau:
7

skkn


Bài tập 2.3: Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9
chữ số khác nhau sao cho:
a) Số 1 và số 2 luôn đứng cạnh nhau.
b) Số 1 và số 2 không đứng cạnh nhau.
Bài tập 2.4: Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
10 chữ số khác nhau sao cho:
a) Số 1 và số 2 luôn đứng cạnh nhau.
b) Số 1 và số 2 không đứng cạnh nhau.
c) Số 0 và số 1 luôn đứng cạnh nhau.
d) Số 0 và số 1 không đứng cạnh nhau.
3.3. Rèn luyện cho học sinh năng lực thực hiện mối liên hệ với các bài toán
khác
Ta xét bài toán nổi tiếng trong Lý thuyết tổ hợp, đó là bài tốn chia kẹo của Ơ-le
(Euler). Với những học sinh chun Tốn thì đây là bài tốn quen thuộc và có
nhiều ứng dụng. Dưới đây là một cách tiếp cận bài toán chia kẹo của Euler cho
học sinh THCS để thấy rằng các bài toán đếm nói riêng và các bài tốn tổ hợp
nói chung ln là những bài tốn mà lời giải của nó chứa đựng sự hồn nhiên và
ngây thơ.
Trước hết, giáo viên hãy xét bài toán trong trường hợp cụ thể, đơn giản hơn để
từ đó định hướng đưa ra lời giải cho bài tốn tổng qt.
Ví dụ 3.1. Có bao nhiêu cách chia 5 cái kẹo giống hệt nhau cho 3 em bé? Biết
rằng mỗi em có ít nhất 1 cái kẹo.
Hướng dẫn:
Cách 1 (Học sinh THCS có thể hiểu được):

Nhận thấy rằng, vì mỗi em có ít nhất một cái kẹo nên số kẹo của em thứ nhất
nhận được ít nhất là 1 và nhiều nhất là 3. Xét các trường hợp sau
Trường hợp 1. Em thứ nhất nhận được 1 cái kẹo, thì số kẹo của em thứ hai có
thể là 
hoặc , em thứ ba nhận số kẹo cịn lại sau khi chia cho em thứ nhất và
em thứ hai xong, nghĩa là trong trường hợp này có 3 cách chia kẹo.
Trường hợp 2. Em thứ nhất nhận được 2 cái kẹo, khi đó số kẹo của em thứ hai
có thể là   hoặc
em thứ ba nhận số kẹo còn lại, nghĩa là trong trường hợp này
có 2 cách chia kẹo.
Trường hợp 3. Em thứ nhất nhận được 3 cái kẹo, khi đó số kẹo của em thứ hai
là 1 và em thứ ba là 1.
Như vậy, số cách chia 5 cái kẹo cho 3 em bé sao cho em nào cũng có kẹo là
.
Cách 2 (Học sinh THPT): Ta xem 5 cái kẹo là 5 chấm, để chia cho 3 người ta
dùng 2 gạch đứng chia kẹo.
Xen giữa 5 cái kẹo có 4 khoảng trống, số cách chia kẹo chính là số cách chọn 2
khoảng trống (2 gạch chia q) trong 4 khoảng trống này:
Ví dụ 3.2. Có bao nhiêu cách chia 5 cái kẹo giống hệt nhau cho 3 em bé? Biết
rằng số kẹo mỗi em nhận được là một số nguyên không âm.
8

skkn


Hướng dẫn:
Cách 1 (Học sinh THCS có thể hiểu được):
Nhận thấy rằng, số kẹo của em thứ nhất nhận được ít nhất là 0 và nhiều nhất
là 5. Xét các trường hợp sau
Trường hợp 1. Em thứ nhất nhận được 0 cái kẹo, thì số kẹo của em thứ hai có

thể là 
hoặc , em thứ ba nhận số kẹo còn lại sau khi chia cho em thứ
nhất và em thứ hai xong, nghĩa là trong trường hợp này có 6 cách chia kẹo.
Trường hợp 2. Em thứ nhất nhận được 1 cái kẹo, khi đó số kẹo của em thứ hai
có thể là 
 hoặc
em thứ ba nhận số kẹo cịn lại, nghĩa là trong trường
hợp này có 5 cách chia kẹo.
Trường hợp 3. Em thứ nhất nhận được 2 cái kẹo, khi đó số kẹo của em thứ hai
là
hoặc , em thứ ba nhận số kẹo cịn lại, nghĩa là trong trường hợp này
có 4 cách chia kẹo.
…
Lập luận hoàn toàn tương tự cho các trường hợp cịn lại, ta có số cách chia 5 cái
kẹo cho 3 em bé là
.
Cách 2:
Ta xem 5 cái kẹo là là 5 chấm, để chia cho 3 người ta dùng 2 gạch đứng chia
kẹo, biểu diễn mỗi chấm và mỗi gạch đứng bằng một gạch ngang, tổng cộng là 7
gạch ngang. Số cách chia kẹo chính là số cách chọn 2 gạch ngang (gạch đứng
chia quà) trong 7 gạch ngang:
Bài toán chia kẹo của Ơ -le: 
Bài tốn tổng qt 3.1: Có  cái kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có
bao nhiêu cách chia sao cho em nào cũng có kẹo?
Hướng dẫn giải
Nếu
thì chỉ có 1 cách chia kẹo
Nếu
ta trải
chiếc kẹo thành dàn hàng ngang, tiếp theo ta dùng

chiếc thước đặt vào
khoảng trống giữa các viên kẹo để nó chia thành
phần. Như vậy có tất cả
cách.
Cả 2 trường hợp ta đều có
cách chia kẹo.
Bài tốn tổng qt 3.2: Có  cái kẹo (giống nhau) chia cho em bé, hỏi có
bao nhiêu cách chia biết rằng số kẹo mỗi em nhận là một số không âm?
Hướng dẫn giải
Ta xem cái kẹo là là chấm, để chia cho người ta dùng
gạch đứng
chia kẹo, biểu diễn mỗi chấm và mỗi gạch đứng bằng một gạch ngang, tổng
cộng là
gạch ngang. Số cách chia kẹo chính là số cách chọn
gạch
ngang (gạch đứng chia quà) trong
gạch ngang:
Chú ý rằng ta có thể giải bài toán tổng quát 3.1 nhờ bài toán bài toán tổng
quát 3.2 như sau
Đầu tiên chia cho mỗi em bé một cái kẹo, còn lại
cái kẹo chia cho hộp
chia người. Theo bài tốn tổng qt 3.2, ta có:
9

skkn


Trên đây là lời giải tổng quát của bài toán chia kẹo Ơ-le. Bài toán này nổi tiếng
với nhiều ứng dụng trong các bài toán đếm khác. Sau đây là một số bài tập áp
dụng.

Bài tập 3.3. Có bao nhiêu cách phân phát 10 phần quà giống nhau cho 6 học
sinh, sao cho mỗi học sinh có ít nhất một phần quà?
A. 210
B.126
C.360
D.120
Hướng dẫn: Phân phát n quà giống nhau cho k học sinh mỗi học sinh có ít nhất
mổ phần quà là
. Áp dụng vào là
(theo đề mội học sinh đều
có ít nhất một phần q nên; ta phát lần lượt đều cho 6 học sinh là 6 phần quà;
còn lại 4 phần ta phát cho 6 học sinh).
Chọn B.
Bài tập 3.4. Có 20 cái kẹo (giống nhau) chia cho 3 em bé, hỏi có bao nhiêu cách
chia sao cho
a) Mỗi em có ít nhất 1 cái kẹo.
b) Mỗi em có ít nhất 2 cái kẹo.
c) Em thứ nhất có ít nhất 1 cái kẹo, em thứ hai có ít nhất 2 cái kẹo và em thứ ba
có nhiều nhất 3 cái kẹo.
Sau đây, chúng tơi giới thiệu một số bài tốn gốc cơ bản và một số bài toán đếm
dạng ứng dụng mà nếu đếm theo cách thông thường sẽ rất khó khăn, nhưng khi
hiểu theo các đếm của bài tốn Ơ-le thì bài tốn lại trở thành đơn giản.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một ứng dụng rất lớn trong việc đếm số nghiệm
ngun của phương trình.
Bài tốn 3.5. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm ngun

dương?
Coi

là phần kẹo của em nhỏ thứ trong bài tốn chia kẹo thì số nghiệm của
phương trình chính là số cách chia n chiếc kẹo cho k em nhỏ. Vậy phương trình
có
nghiệm ngun dương.
Bài tốn 3.6. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm ngun khơng

âm?
Ta có
Đặt
thì
là các số ngun dương.
Áp dụng bài tốn gốc ta có tất cả
nghiệm ngun khơng âm của phương
trình
Bài tốn 3.7. Bất phương trình

có bao nhiêu nghiệm

nguyên dương?
10

skkn


Ta ln có

. Vậy có tất cả

nghiệm ngun

dương của phương trình.
Bài tốn 3.8. Bất phương trình

có bao nhiêu nghiệm ngun

dương?
Ta có
Áp dụng bài tốn Euler ta có

nghiệm.

Bài tốn 3.9. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm ngun thỏa mãn

đồng thời 2 điều kiện

?

Đặt

Đặt

.

thì theo bài tốn chia kẹo, phương trình có

nghiệm.

3.4. Rèn luyện cho học sinh khả năng giải toán bằng nhiều cách khác nhau
và khả năng sáng tạo trong giải tốn
Ví dụ 1: Xuất phát từ bài toán trong SGK ( Đại số và giải tích lớp 11):
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp
thành hai dãy đối diện. Có bao nhiêu cách xếp để nam, nữ ngồi đối diện nhau?
Bằng tư duy cụ thể học sinh có thể phân chia các trường hợp và tìm ra kết quả
Nếu mở rộng bài tốn cho 6 đối tượng :Hai dãy ghế đối diện, mỗi dãy 6
ghế. Muốn xếp 6 học sinh trường A, 6 học sinh trường B. Có bao nhiêu cách xếp
để hai học sinh ngồi đối diện phải khác trường .Thì nhiều học sinh gặp vấn đề
lúng túng không đi đến kết quả đúng do xét thiếu trường hợp.
Hướng 1: Đánh số thứ tự chỗ ngồi cho hai dãy ghế như sau:
D1

D2

D3

D4

D5

D6

C1

C2

C3

C4

C5

C6

* Xảy ra trường hợp D1 là học ra trường A ( D1 có bao nhiêu cách chọn HS?)
+) D1 có 6 cách. Khi đó C1 có bao nhiêu cách xếp?( C1 có 6 cách vì C1 phải là
HS trường B).
+)D2 có bao nhiêu cách?( D2 có thể là HS trường A hoặc trường B nên có 10
cách vì có 12 HS nhưng đã xếp 2 HS vào 2 vị trí D1 và C1)
Tương tự HS tìm được số cách xếp các vị trí cịn lại
11

skkn


+)D3 có 8 cách; C3 có 4 cách
+)D4 có 6 cách; C4 có 3 cách
+)D5 có 4 cách; C5 có 2 cách
+)D6 có 2 cách; C3 có 1 cách
Do đó có 6.6.10.5.8.4.3.4.2.2.1=16588800 cách xếp
* Trường hợp D1 là HS trường B cũng có 16588800 cách xếp
Vậy số cách xếp là 2.16588800 = 33177600 cách xếp
Hướng 2: Xếp 6 HS trường A vào một dãy có 6! Cách.
Xếp 6 HS trường B vào một dãy có 6! Cách.
Đổi chỗ mỗi cặp hai HS ngồi đối diện nhau có
cách.
Vậy tất cả có .6!.6! = 33177600 cách.
Khái quát hóa: Tiếp tục mở rộng số đối tượngbài toán tăng lên n học sinh

trường A và n học sinh trường B có bao nhiêu cáh xếp để hai học sinh ngồi đối
diện nhau phải khác trường?( Bài tốn mở rộng có
cách).
Ví dụ 2: Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé
vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất sao cho đứa bé ngồi giữa hai
người đàn bà là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố xếp
được đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà.
Hướng 1: Hướng dẫn học sinh liệt kê, các khả năng xảy ra khi xếp người
vào ghế đã đánh số. Với cách này học sinh dễ hiểu nhưng máy móc, thiếu tổng
quát.
Đánh thứ tự các ghế là 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ta có các trường hợp để xếp đứa bé ngồi
giữa hai người đàn bà là hai người đàn bà ngồi ở các cặp vị trí
Ở mỗi trường hợp ta có số cách sắp xếp là
Do đó số phần tử của A là
Xác suất của biến cố A là
Hướng 2: Ở hướng này giúp học sinh có cái nhìn bao qt, dễ dàng làm
các bài toán tương tự khi tăng số người.
Xếp đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà xem như một vị trí cịn ba người đàn ơng
chiếm ba vị trí cịn lại. Như vậy có 4 vị trí, có
cách xếp, hai người đàn bà có
cách xếp. Do đó số phần tử của A là
Xác suất của biến cố A là
Tương tự (theo đề minh họa lần 2 của BGD năm 2020): Có 6 chiếc ghế
được kê thành một hàng ngang, xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp
A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế
12

skkn

có đúng 1 học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B
bằng

A.

.

B.

C.

.

D.

.

Hướng 1: Hướng dẫn học sinh liệt kê
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh trên 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang có
cách. Để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B ta có các trường hợp
TH1: Xét học sinh C ngồi ở vị trí đầu tiên:

Ta có

C B
cách xếp chỗ.

TH2: Xét học sinh C ngồi ở vị trí thứ 2:

Ta có

B C B
cách xếp chỗ.

TH3: Xét học sinh C ngồi ở vị trí thứ 3:

Ta có

B C
cách xếp chỗ.

B

TH4: Xét học sinh C ngồi ở vị trí thứ 4:

Ta có

B
cách xếp chỗ.

C

B

B

C

B

B

C

TH5: Xét học sinh C ngồi ở vị trí thứ 5:

Ta có

cách xếp chỗ.

TH6: Xét học sinh C ngồi ở vị trí cuối cùng:

Ta có
cách xếp chỗ.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn là

cách.

Vậy xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng
Hướng 2:
Số phần tử của không gian mẫu
..Gọi là biến cố “ Học sinh lớp C
chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”
TH1: Học sinh lớp C ngồi đầu hàng: Có 2 cách chọn vị trí cho học sinh lớp C
Mỗi cách xếp học sinh lớp C có 2 cách chọn học sinh lớp B ngồi cạnh và có
cách xếp học sinh còn lại.Như vậy trong trường hợp này có
cách xếp.
TH2: Học sinh lớp C khơng ngồi đầu hàng, khi đó học sinh lớp C phải ngồi giữa

học sinh lớp B, tức là cách ngồi có dạng BCB, có cách xếp học sinh lớp B.
Xếp BCB và học sinh lớp A có cách xếp. Trong trường hợp này có
cách
xếp. Vậy

. Khi đó

.

Nhiều bài tốn cụ thể có những cách làm tối ưu, ngắn gọn thậm chí có
những cách thủ công, liệt kê cho ta đáp số nhưng hãy khuyến khích học sinh
nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ, có thể khai thác bài toán ở dạng tổng quát theo
các làm chung được không. Gợi cho HS sự sáng tạo, phát triển tư duy biện
chứng, trong cái chung có cái riêng và từ cái riêng phát triển thành cái chung,
cái tổng quát.
13

skkn


C. KẾT LUẬN CHƯƠNG
1. Kết quả nghiên cứu
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp, lớp 11A1 có trình độ yếu hơn 11 Hóa. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra và thu được kết quả như sau:

Điểm
Lớp

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số
lượng
bài

TN (11Anh1)

0

0

0

0

4

6

8

12

4

2

35

ĐC (11A7)

0

0

0

1

5

10

6

8

2

1

33

Lớp thực nghiệm (TN) là lớp chun Anh có trình độ mơn Tốn yếu hơn
nhưng có 100% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 51.5 % khá giỏi. Có 2
em đạt điểm tuyệt đối.
Lớp đối chứng (ĐC) là lớp chuyên Hóa có trình độ mơn Tốn tốt hơn
nhưng chỉ có 96,6% điểm trung bình trở lên, trong đó có 33,3% điểm khá giỏi,
có 1 HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao
hơn lớp đối chứng nhất là bài đạt trung bình - khá. Một ngun nhân khơng thể
phủ định là lớp thực nghiệm HS thường xuyên được rèn luyện các kỹ năng giải
tốn, có năng lực giải tốn và đặc biệt các em tỏ ra hứng thú khi gặp các bài toán
chủ đề tổ hợp xác suất, …
2. Kết luận chung
Với thực tế giảng dạy bộ mơn Tốn ở trường phổ thơng nói chung, khơng
thể khơng chú trọng đến việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.
Bằng hình thức dẫn dắt học sinh theo hướng tích cực hóa hoạt động của
người học, kết hợp với các phương pháp dạy học nhằm thực hiện hóa các giải
pháp đã đưa ra khi dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất như đưa ra một số ví dụ
điển hình dẫn dắt hướng dẫn học sinh phân tích và giải bài tốn, rèn năng lực
giải tốn cho học sinh thơng qua các bài tập nâng cao. Gợi mở cho học sinh
những hướng phát triển và mở rộng bài toán, tạo hứng thú học tập và đem lại kết
quả khả quan khi học chủ đề này.

Mặc dù đã cố gắng nhưng khơng tránh khỏi những sai sót. Rất mong được
q thầy cơ góp ý, bổ sung để nội dung được hồn thiện và mang lại hiệu quả
cao trong dạy học.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2022
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
14

skkn


người khác.

Đỗ Thế Sơn

15

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trang web của Bộ giáo dục và Đào tạo: .
2. Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Tốn – Nguyễn Thái Hịe
Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Giải tốn giải tích 11 (Dùng cho học sinh lớp chuyên) –Võ Anh Dũng
(Tổng chủ biên) & Trần Đức Huyên (Chủ biên); Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Bài tập xác suất – Đặng Hùng Thắng, Nhà xuất bản Giáo dục.
5. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn lớp 11, Nhà xuất bản Giáo dục.

6. Giải toán tổ hợp và xác suất – Trần Đức Huyên & Đặng Phương Thảo
Nhà xuất bản Giáo dục.

16

skkn