Skkn phân dạng bài tập giúp học sinh tiếp cận, định hướng giải nhanh phần nguyên hàm tích phân

1. Mở đầu
1.1.

Lí do chọn đề tài
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng chiếm vai trò quan trọng trong

chương trình Tốn THPT. Nội dung về Ngun hàm – Tích phân và ứng dụng
được trình bày trong tồn bộ chương 3 giải tích 12. Qua nhiều lần thay sách
với nhiều thay đổi song Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng là nội dung
luôn xuất hiện trong cấu trúc, ma trận đề thi Tốt nghiệp THPT. Đây là một
chủ đề có nhiều khó khăn trong việc dạy và học. Ngồi ra, việc trình bày các
kiến thức ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn
dàn trải và học sinh thường mất thời gian khi giải bài tập phần này. Đã có một
số đề tài nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy học tích cực hoặc xác
định những sai lầm thường gặp của học sinh trong giải tốn Ngun hàm –
Tích phân nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này. Tuy nhiên, rất ít đề
tài quan tâm nghiên cứu việc phân dạng bài tập giúp học sinh tiếp cận nhanh
cũng như xác định nhanh hướng giải.
Xuất phát từ những lý do trên, từ kinh nghiệm bản thân trong các năm
giảng dạy cũng như sự tìm tịi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Tốn và
trên internet, tơi lựa chọn đề tài: “Phân dạng bài tập giúp học sinh tiếp cận,
định hướng cách giải nhanh phần Nguyên hàm – Tích phân”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng;
- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính tốn. Từ đó bổ sung vào
hành trang kiến thức cho HS để bước vào kì thi Tốt nghiệp THPT;
- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu phân dạng các bài tốn Ngun hàm – Tích phân
để giải quyết các bài toán liên quan.

1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12;
1

skkn


- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

2

skkn


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1 Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số
nguyên hàm của hàm số
Định lí 1: Nếu

xác định trên K. Hàm số

trên K nếu

với mọi

là một nguyên hàm của hàm số

mỗi hằng số C, hàm số

được gọi là
.
trên K thì với

cũng là một ngun hàm của

trên

K.
Định lí 2: Nếu
nguyên hàm của

là một nguyên hàm của hàm số
trên K đều có dạng

trên K thì mọi

, với C là một hằng số.

2.1.2 Tính chất của nguyên hàm
TC1:
TC2:
TC3:
2.1.3 Bảng nguyên hàm từ định nghĩa:
Bảng nguyên hàm:

2.1.4 Bảng nguyên hàm bổ sung:
Định lí: Nếu

tục thì

và
.

Hệ quả: Với u = ax + b (a 0) ta có:
3

skkn

là hàm số có đạo hàm liên


Ví dụ:
a)

b)

c)

d)
Từ đó ta có bảng ngun hàm bổ sung:

Bảng nguyên hàm bổ sung: a 0

Chú ý: Vi phân:
Ví dụ:
a)

c)

b)

d)

2.1.5 Tích phân và tính chất
Định nghĩa: Cho
một nguyên hàm của

là hàm số liên tục trên đoạn
trên đoạn

. Hiệu số

tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn
TC1:
TC2:
TC3:
4

skkn

. Giả sử

là

được gọi là
của hàm số

.

2.2. Thực trạng của vấn đề.
Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT chuyển từ hình thức tự luận sang trắc
nghiệm các bài tốn ngun hàm, tích phân ln xuất hiện, chiếm khoảng
10% trong đề thi và chủ yếu là những câu thuộc mức độ nhận biết, thông hiểu.
Đối với đa số học sinh hiện nay nếu chưa nắm vững, nhận dạng được bài toán
gần như học sinh mất nhiều thời gian trong việc định hướng cách làm hoặc
trong quá trình làm thường mắc sai sót. Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có
các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải tốn thơng qua một
(hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong
đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân dạng bài toán
Nguyên hàm – Tích phân.
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thơng tin về khả năng nắm vững kiến
thức của học sinh.
- Trong mỗi bài toán yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất
cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán.
- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
* Cụ thể: Chia thành các dạng nguyên hàm như sau:
2.3.1 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Trong sách giáo viên (Ban cơ bản, trang 114) có nêu bảng nguyên hàm
ở dạng hàm số hợp f(u) với u = u(x). Tuy nhiên, qua thực tế cho thấy học sinh
khó nhớ được và khi vận dụng vào bài tập, khơng phải bài nào cũng có dạng
giống như cơng thức mà còn xuất hiện thêm các hệ số

mà học sinh khơng

vận dụng được cơng thức.
Ví dụ: Từ cơng thức
Nếu học sinh gặp bài tốn

, học sinh có thể nhận thấy

(2x2+1)’=4x, đối với những học sinh học trung bình – khá trở lên thì có thể áp
5

skkn


dụng được cơng thức. Nhưng khi gặp bài tốn

thì các em

không thể vận dụng.
Từ những lý do trên, để tạo điều kiện cho học sinh làm bài tập có hiệu
quả, tôi nêu lên đây một số trường hợp đổi biến thơng dụng trong bài tốn
tính ngun hàm bằng phương pháp đổi biến .
2.3.1.1.Một số trường hợp đổi biến thông dụng:
Dấu hiệu

Cách đặt biến mới

Hàm số có chứa mẫu

u là mẫu

Hàm số có chứa căn

u là tồn bộ căn

Hàm số có chứa lũy thừa

u là lượng trong lũy thừa

Nhân tử và mẫu cho x
Đặt u = x

hoặc
2.3.1.2.Các ví dụ cụ thể cho mỗi dấu hiệu:
Ở mỗi ví dụ ta có thể cho bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
2.3.1.2.1 Hàm số có chứa mẫu:




. Đặt u = 1–x3

. Đặt u = 1+x2

du=-3x2dx

x2 = u-1

x2dx=

2xdx=du

du. Suy ra

xdx= du.

Suy ra


. Đặt u=cosx

du=-sinxdx

6

skkn

sinxdx = -du. Suy ra


. Đặt u=x2+2x+3



du=2(x+1)dx

(x+1)dx= du. Suy ra

2.3.1.2.2 Hàm số có chứa căn:


u2=x+1

. Đặt u =



u2 =4-x2

.Đặt u =

2udu=dx. Suy ra

x2=4-u2

xdx=-udu.

Suy ra


u3=1+3x8

. Đặt u=
x7dx=

x8 =

.

Suy ra


u2=cotx

. Đặt u=

-2udu=

dx. Suy ra

2.3.1.2.3 Hàm số có chứa lũy thừa:
. Đặt u = 4x2-5






. Đặt u = sinx

du=8xdx

du =cosxdx. Suy ra

. Đặt u=1+x2010

du=2010x2009dx

Suy ra

2.3.1.2.4.

. Đặt u=lnx

xdx= du. Suy ra

du= dx. Suy ra

:
7

skkn

x2009dx =

du.




. Đặt u = 3sinx



. Đặt u = lnx


Đặt u=


2.3.1.2.5.

du=cosxdx . Suy ra
du = dx. Suy ra
.

u2 =cos2x

2udu=-2sin2xdx

. Đặt u=1+3lnx

sin2xdx=-udu. Suy ra

du= dx. Suy ra

:



u2 =x2 -1

. Đặt u =

x2=u2+1

xdx= udu

Suy ra


u2 =x2 +1

. Đặt u =

ra
2.3.1.2.6.


và

:

. Đặt x =2sint (

)

dx =2costdt .

Suy ra


. Đặt x =

tant (

)

Suy ra
2.3.2 Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ:

8

skkn

dx=

dt.

udu =xdx. Suy


Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ rất phức tạp, nếu nghiên cứu sâu vào
hàm số này thì khơng phù hợp với yêu cầu của sách giáo khoa, do đó tơi chỉ
nghiên cứu hàm số hữu tỉ có dạng

với P(x) là một đa thức.

2.3.2.1.Hằng đẳng thức:

(*)

Ví dụ: a)
b)
2.3.2.2.Nguyên hàm của hàm số
2.3.2.2.1.P(x)=A (hằng số):
a)

: Đưa về dạng

(k là hằng số)

b) =0 : Đưa về dạng
c)

>0 : Đưa về dạng

(k là hằng số) hoặc đưa về dạng

áp dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ: Tính:

Đặt x+ =

.
tant

dx=

.

dt

Suy ra




=

9

skkn

và


2.3.2.2.2.P(x)=Ax+B: Ta biến đổi về dạng
Ví dụ: Tính

Để tính A1 ta đặt u=x2+x+1 và tính A2 thực hiện như phần 2.1

Để tính B1 ta đặt u=2x2-x-1 và tính B2 thực hiện như phần 2.1
2.3.2.2.3 P(x) có bậc lớn hơn 1: Ta chia P(x) cho ax2+bx+c để đưa về các
trường hợp nêu trên.
Ví dụ:

2.3.3 Ngun hàm của hàm số lượng giác:
Nói chung hàm số dưới dấu tích phân là hàm số lượng giác, ta cần biến
đổi để đưa về một trong các dạng đã nêu ở phần 2.3.2. Tuy nhiên đối với dạng
này, nhiều bài cũng rất phức tạp, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều. Do
vậy, tôi cũng chỉ đưa ra vài dạng mà tôi nghĩ học sinh thường hay gặp.
2.3.3.1. Dạng

:

Phương pháp: Đặt t=tan
Chú ý: Đặt t=tan
, cosx=

dt=

và biến đổi đưa về tích phân hàm số hữu tỉ theo t.
dx= (1+tan2 )dx

, tanx=

Ví dụ: Tính
a)

10

skkn

dx=

và sinx=


Đặt t=tan

dx=

.

Suy ra

b)
Đặt t=tanx

dx=

Suy ra

2.3.3.2. Dạng

(m, n Z):

Phương pháp: Xét các trường hợp:
Nếu m lẻ (hoặc n lẻ): Đặt u=cosx (hoặc u=sinx)
Nếu m và n đều chẵn và có ít nhất một trong hai số là số âm: Đặt t=tanx
Nếu m và n đều là số dương chẵn: Dùng công thức hạ bậc.
Ví dụ: Tính:
a)
Đặt u=cosx

du=-sinxdx

sinxdx=-du

Suy ra
b)
Đặt u=cosx

-du=sinxdx

Suy ra
c)
11

skkn

=
d)
Đặt u=tanx

du=

. Suy ra

2.3.3.3.Dạng

:

Phương pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
Ví dụ: Tính
a)

b)

c)

2.3.4 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Nếu u= u(x), v=v(x) là các hàm số xác định có đạo hàm liên tục trên K thì

Trong thực tế, việc vận dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
phải linh hoạt. Đơi khi phải có dự đốn khác thường. Do đó, tơi chỉ nêu ra hai
dạng mà học sinh thường gặp.
2.3.4.1.Dạng 1: Gọi P(x) là một đa thức.
: Đặt u=P(x), dv=amxdx
: Đặt u=P(x), dv=sinaxdx

: Đặt u=P(x), dv=cosaxdx
2.3.4.2. Dạng 2:
: Đặt u=logax, dv=P(x)dx
Qua hai dạng trên ta chú ý cho học sinh chỉ cần nhớ cách đặt của dạng
2 cịn dạng 1 thì ngược lại.
Ví dụ: Tính
a)

.

Đặt

12

skkn


Suy ra
b)
Đặt

Suy ra
c)
Đặt
Suy ra
d)
Đặt
Suy ra
Lại đặt
Suy ra

Do đó,

2D=ex(sinx-cosx)

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tơi tiếp tục
hồn thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng
dạy nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh.
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh
đã hứng thú hơn trong học tập mơn tốn, các em đã biết gắn các bài học lý
thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng cịn bị
động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Từ đó nâng cao
được chất lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để phụ huynh học
13

skkn


sinh cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào
nhà trường.
Trong năm học 2021 – 2022 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho
lớp 12C3, không áp dụng cho lớp 12C5. Sau khi kết thúc kỳ thi thử Tốt
nghiệp THPT do Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức kết quả làm bài cho thấy tại
lớp 12C3 có 95% học sinh giải được các bài tốn liên quan đến Nguyên hàm,
tích phân trong khi lớp 12C5 chỉ có 47,12%.
3. Kết luận – Kiến nghị.
3.1 Kết luận
Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu
tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống, phân dạng lại
các bài tốn Ngun hàm, tích phân và các ví dụ, cụ thể:



Bảng nguyên hàm mở rộng



Một số công thức đổi biến số thường gặp



Nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỉ



Nguyên hàm, tích phân của hàm số lượng giác



Phương pháp nguyên hàm từng phần và cách vận dụng

Từ việc phân dạng bài tập như trên chúng ta còn phải chú ý đối với học
sinh yếu kém, giáo viên nên coi trọng tính vững chắc của kiến thức, kĩ năng
hơn là chạy theo mục tiêu đề cao, mở rộng kiến thức. Do đó việc luyện tập
cần được đặc biệt chú ý. Khoảng cách giữa các bài tập liên tiếp không nên
quá xa, quá cao. Cần cho học sinh bước theo những bậc thang vừa với sức
mình, học sinh sẽ đỡ bị hẫng, bị hụt, bị ngã, có nhiều khả năng leo hết các nấc
thang dành cho họ để chiếm lĩnh được kiến thức, kĩ năng mà chương trình yêu
cầu. Những nấc thang đầu dù có thấp, những bước chuyển bậc dù có ngắn
nhưng khi học sinh thành cơng sẽ tạo nên một yếu tố tâm lí cực kì quan trọng:
các em sẽ tin vào bản thân, tin vào sức mình, từ đó có đủ nghị lực và quyết

tâm vượt qua các kỳ thi.
14

skkn


Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp
một phần cơng sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn, định hướng cách
giải giúp học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng các bài toán nguyên hàm tích phân cơ
bản. Đồng thời hình thành khả năng tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh tốn,
từ đó tạo hứng thú cho các em khi học toán. Tuy nhiên, do kinh nghiệm giảng
dạy chưa nhiều, trình độ bản thân cịn hạn chế nên tơi rất mong được sự đóng
góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp.
3.2 Kiến nghị
- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học;
Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn.
- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa
các buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi
kinh nghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở
phổ biến rộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong q trình dạy học.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2022

ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Thị Nga

15

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học
2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam
[2]. Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải tốn tích phân, Nxb
Hà Nội
[3]. Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm.
[4]. Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Nxb Giáo dục.
[5]. Trần Phương, Phương pháp giải tốn tích phân, Nxb ĐHQG Hà Nội
[6]. Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải tốn và
câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục.

16

skkn