Skkn một số kinh nghiệm giúp học sinh tìm tòi giải bài toán chứng minh hình học lớp 7 ở trường thcs hà ngọc

MỤC LỤC
Mục
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4
3
3.1
3.2

Tên mục
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Phân loại các dạng tốn chứng minh trong phân mơn hình
học 7
Hình thành phương pháp chung để chứng minh bài tốn
hình học
Một số kỹ năng khi giải tốn chứng minh
Các ví dụ minh hoạ
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận
Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang
2
2
2
3
3
3
3
5
6
6
6
8
8
18
19
19

20

1

skkn


1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Q trình dạy học ở trường THCS, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư
duy cho học sinh là những nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên. Vì lí do thời
lượng chương trình và phải đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học sinh
nên chương trình sách giáo khoa mới chỉ đáp ứng một phần kiến thức. Chính
điều này đã hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh khá giỏi. Vì vậy,
trong quá trình dạy học, người giáo viên phải quan tâm đến hai vấn đề là đáp
ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi. Thông thường,
các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp bài tốn mà chưa có
khả năng nhìn nhận bài tốn đó từ những góc độ khác nhau, mới giải quyết vấn
đề một cách rời rạc mà chưa có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành
một mảng kiến thức lớn. Chính vì thế, việc rèn luyện và phát triển tư duy khái
quát hóa, tương tự hóa là hết sức cần thiết đối với học sinh. Việc làm này giúp
các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận và phát
hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính logic và hệ thống cao.
Hình học đối với học sinh lớp 7 là một mơn học khó. Khó bởi tính trừu
tượng của hình học, mặc dù các em đã được tiếp cận với môn hình học từ cấp
tiểu học, song đến năm học lớp 6 vẫn mới chỉ là những kiến thức rất cơ bản và
chủ yếu học bằng phương pháp đo đạc và cơng nhận. Hình học lớp 7 đưa vào
với học sinh bước đầu yêu cầu học sinh phải biết vẽ hình một cách chính xác, với
một bài tốn ít giả thiết thì việc vẽ hình khơng khó khăn lắm, nhưng với một bài
tốn có nhiều giả thiết thì việc vẽ hình đúng và dễ nhìn là một vấn đề khó đối với

các em học sinh. Bên cạnh đó, phương pháp chứng minh hình học dựa vào suy
diễn bước đầu được đưa vào với học sinh. Nội dung này khó với học sinh bởi
tính trừu tượng và tư duy logic tốn học được thể hiện ở nội dung này. Nâng cao
hơn nữa các bài tốn tổng qt hóa, đặc biệt hố ..., đối với học sinh khá giỏi lại
là một vấn đề đáng được quan tâm, vì thơng qua những bài tốn này giúp học
sinh nhìn nhận tốn học một cách tổng quát hơn và cụ thể hơn.
Do vậy, việc dạy học giải tốn cho học sinh lớp 7 ở mơn hình học có tầm
quan trọng đặc biệt. Làm thế nào để học sinh yên tâm hơn, tự tin với môn học
này. Sau nhiều năm trăn trở, trực tiếp giảng dạy và trao đối với đồng nghiệp, tôi
mạnh dạn chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh tìm lời giải bài toán
2

skkn


chứng minh hình học lớp 7 ở trường THCS Hà Ngọc” để trình bày một vài kinh
nghiệm nhỏ trong mơn học này./.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Bản thân tơi ln cố gắng đúc rút, xâu chuỗi các kiến thức thu nhận được
thành một chủ đề với mong muốn có thể giải quyết được một lớp các bài tốn
điển hình về chứng minh hình học lớp 7. Cụ thể là nhằm mục đích nâng cao
lượng và hiệu quả của việc dạy học phần kiến thức chứng minh hình học 7, trao
đổi với giáo viên cùng bộ môn về phương pháp, giúp học sinh có thể lĩnh hội
một cách sâu sắc, triệt để nhất, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư duy cho
học sinh và giúp các em có thêm kiến thức trang bị cho những lớp học cao hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh khối 7 trường THCS Hà Ngọc năm học 2021 - 2022
- Các cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải các bài tập Hình học 7
- Các dạng bài tập cơ bản và các cách chứng minh thường gặp
- Trong đề tài này, tôi đưa ra cách chọn một số dạng bài tập mà học sinh có thể

vận dụng vào việc chứng minh, đồng thời rèn luyện các kĩ năng cần phải có khi
chứng minh hình học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp xúc,
trao đổi với nhiều học sinh, từ đó tơi đưa ra được lượng kiến thức để học sinh
dễ tiếp cận nhất.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước khi đi vào cách giải cụ thể, tôi
thường đưa ra những phân tích về loại bài tập đó. Từ đó có thể khái quát hay
tổng hợp lại các phương pháp giải.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu của các
tác giả có uy tín cũng như sử dụng các để kiểm tra ở những năm học trước.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ
tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh. Kết quả thu nhận
được giúp tôi điều chỉnh lượng kiến thức cũng như cách thức truyền đạt tới các
em sao cho hiệu quả cao nhất.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3

skkn


Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu
tượng. Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay khơng, có bền vững
hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủ thể.
Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người
lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. Ở lứa tuổi học
sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt
động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau . Tuy nhiên
nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình,

chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới. Vì vậy
cần có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy
cô.
Lý luận về phương pháp dạy học cho thấy: Trong mơn tốn sự thống nhất
giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được
bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toán trong hoạt
động và bằng hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh
chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong quá trình
chiếm lĩnh tri thức tốn học.
Dạy học tốn thơng qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư
duy. Quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc của học
sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái
qt hóa ... Trong đó phân tích tổng hợp có vai trị trung tâm. Phải cung cấp cho
học sinh cách thức để có thể tự tìm tịi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề,
dự đốn được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán,... Phát triển
khả năng tự học sau này.
Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học
tốn cho học sinh là một q trình lâu dài, thơng qua từng tiết học, thông qua
nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khố
cũng như ngoại khố.
Tốn học là một bộ mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính
logic đồng thời mơn tốn cịn là bộ mơn cơng cụ hỗ trợ cho các mơn học khác.
Với phân mơn hình học là bộ môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng
tính tốn, suy luận logic, phát triển tư duy sáng tạo. Nâng cao được năng lực tư
duy, tính độc lập, tính sáng tạo, linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập càng có ý
nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh không đơn thuần chỉ cung cấp cho
các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều
bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo. Đối với
4

skkn


phân mơn hình học càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và phán
đoán lo-gic.
Trong thực tiễn dạy học, các bài tập tính tốn, suy diễn, chứng minh thường
chiếm số lượng rất lớn. Hơn nữa, do đặc thù bộ môn, những bài tập dạng này lại
tập trung nhiều trong phân mơn hình học.
Trong chương trình Tốn THCS đối mới mơn Hình học có thể nói hình học 7
là phần cung cấp công cụ cơ bản nhất về:
- Phạm vi kiến thức
- Tư duy ban đầu
- Tình cảm bộ mơn
Hình học 7 với các em khơng gọi là mới nhưng cũng chỉ là bắt đầu bởi lẽ ở lớp 6
các em chỉ học 20 tiết, với 16 khái niệm tiên đề.
Vì vậy, việc bồi dưỡng tư duy hình để các em tiếp tục học lên lớp trên là
một trong những nhiệm vụ yêu cầu quan trọng đối với giáo viên dạy hình học 7.
Trong quá trình giảng dạy để học sinh lĩnh hội được các kiến thức mỗi giáo viên
đều vận dụng tổ hợp các phương pháp bộ môn trong từng tiết dạy.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Bản thân sau nhiều năm giảng dạy mơn tốn có rút ra nhận xét là khi gặp
các vấn đề tốn có cùng bản chất nhưng phát biểu ở dạng khác thì học sinh
thường tỏ ra lúng túng và bế tắc.
Làm thế nào để học sinh hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến
thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? Việc
trả lời cho các vấn đề này không phải dễ dàng.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng khơng có phương pháp chung cho việc
giải tốn hình học, mà tuỳ thuộc vào từng bài tốn cụ thể chúng ta có các cách
giải hợp lý để được đến những kết quả hay và độc đáo, hay nói cách khác đó là
một sự sáng tạo trong khi giải toán. Hơn nữa, đối với các em học sinh lớp 7 bước

đầu là quen với việc chứng minh hình học nên các em còn rất yếu trong các kĩ
năng giải tốn như kỹ năng vẽ hình, vận dụng định lý vào chứng minh, suy luận
để tìm hướng giải và trình bày một bài tốn chứng minh. Đặc biệt nhất là kỹ
năng suy luận và chứng minh.
Chính vì vậy việc hướng dẫn, rèn luyện các kỹ năng giải toán chứng minh
hình học cho các em là cơng việc cần thiết và quan trọng trong q trình giải
tốn hình học, tạo nền tảng khi học lên các lớp tiếp theo. Hơn thế nữa trong các
5

skkn


tiết luyện tập và ôn tập chương việc rèn luyện kỹ năng giải toán lại rất quan
trọng.
Khi giải toán chứng minh hình học với học sinh thường có tư tưởng hoang
mang, lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu. Gặp một bài tập là muốn chứng
minh ngay nếu gặp bài dễ thì chứng minh được nếu gặp bài khó thì đành chịu.
Bài khơng làm được có nhiều ngun nhân, nhưng nguyên nhân chủ yếu là bỏ
qua phần chuẩn bị cần thiết trong đó có khâu vẽ hình. Hơn nữa hình về phải
chính xác mới có thể giúp ta quan sát trong lúc suy diễn và gợi ý cho ta cách giải,
nếu vẽ tùy tiện khơng những chẳng có ích gì, mà đơi khi cịn giải sai, đó chỉ mới
là khâu chuẩn bị trước khi giải tốn. Cịn khi bắt tay vào chứng minh đa số các
em không biết bắt đầu từ đâu và làm như thế nào đặc biệt nhất là khâu trình
bày như thế nào cho đầy đủ và khoa học. Đối với các em học sinh lớp 7 bước
đầu giải tốn chứng minh hình học, nếu các em mắc phải một số sai lầm mà
không kịp thời sửa chữa thì sau một thời gian dài các em khó uốn nắn được và
khi đó sẽ thu được kết quả học tập khơng như ý muốn, thậm chí cịn hồn tồn
bó tay trước mơn học.
Đối với giáo viên vấn đề rèn luyện các kỹ năng giải toán chứng minh hình
học cho học sinh khơng phải ai cũng làm được tốt. Vậy muốn làm tốt điều này

yêu cầu người thầy phải có được những đúc rút kinh nghiệm cho riêng mình, từ
đó truyền cho học sinh những cách quan sát, phát hiện, dự đốn để có những
sáng tạo hợp lý. Bên cạnh đó người thầy phải ln tự học tự bồi dưỡng để trang
bị cho mình vốn kiến thức cần thiết.
Đây là một thực trạng mà người dạy toán và những người quan tâm đến
việc dạy và học mơn tốn ở trường THCS cần phải nhận thức rõ và làm tốt.
Sau khi tơi tìm hiểu và hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì khoảng
90% số học sinh được giao đã xác định được hướng giải quyết bài toán và có
khoảng 65% các em trình bày một cách chính xác, khoa học. Ngồi ra các em
cịn có khả năng áp dụng vào giải một số bài tập yêu cầu cao hơn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Phân loại các dạng toán chứng minh trong phân mơn hình học 7:
Các bài tốn chứng minh trong hình học 7 thường gồm:
- Chứng minh bằng nhau: Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tam giác bằng
nhau... Ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, chứng minh trung điểm của
đoạn thắng, tia phân giác của góc...
- Chứng minh song song.
6

skkn


- Chứng minh vng góc.
- Chứng minh thẳng hàng.
- Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
- Chứng minh các yếu tố cố định,....
2.3.2. Xây dựng các phương pháp chung để chứng minh một bài tốn hình học:
2.3.2.1. Tìm hiểu nội dung bài tốn:
+ Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng hệ thống các
kí hiệu như thế nào ?

+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ đề bài toán.
+ Dạng toán nào ?
+ Kiến thức cơ bản cần có là gì ?
u cầu:
- Làm cho học sinh nắm được nội dung, ý nghĩa của bài toán, giải nghĩa được các
từ, các thuật ngữ trong bài toán. Xác định được các u cầu cơ bản của bài tốn.
Có 3 yếu tố:
+ Dữ liệu
+Mối quan hệ
+ Ẩn số (cái phải tìm, phải chứng minh)
- Học sinh thể hiện được bài tốn dưới hình thức ngắn gọn, dễ hiểu, nắm được
khái quát nội dung bài toán. Bài toán thuộc loại chứng minh hay tính tốn, tìm
tịi. Nếu là loại chứng minh thì nêu giả thiết kết luận. Nếu là loại tính tốn phải
nêu được cho cái gì ? Tìm cái gì?
- Đặc biệt đối với bài tốn hình học u cầu học sinh phải vẽ hình, dùng ký hiệu
thích hợp để minh hoạ bài tốn. Hình vẽ phải chính xác, có tính trực quan.
2.3.2.2 Xây dựng chương trình giải:
Lập kế hoạch giải là xây dựng trình tự cho việc giải quyết những địi hỏi của
bài tốn, tức là dạy cách tìm ra hướng giải quyết của bài tốn.
- Phân tích nội dung giả thiết, kết luận, phân tích mối quan hệ giữa cái đã
cho, cái phải tìm, phải chứng minh từ đó tìm ra sự liên hệ của chúng, biết phân
tích bài tốn thành những phần hoặc những bài tốn đơn giản hơn nếu có thể.
7

skkn


- Xét xem đã gặp những bài toán tương tự chưa.
-Xét bài toán trong những trường hợp đặc biệt, từ đó tìm lời giải cho bài
tốn tổng qt hoặc ngược lại từ bài tốn tổng qt tìm lời giải cho bài tốn đặc

biệt.
- Bài tốn đã cho có liên quan đến khái niệm, quy tắc, định lý, định nghĩa,
công thức nào?. Có cần vẽ thêm đường phụ hay khơng ?
Từ các bước hướng dẫn trên giáo viên cho học sinh xây dựng chương trình
giải (học sinh có thể xây dựng được nhiều chương trình giải khác nhau tức là
nhiều cách giải khác nhau)
2.3.2.3. Thực hiện chương trình giải:
Trình bày bài làm theo các bước đã được chỉ ra. Chú ý các sai lầm thường
gặp trong tính tốn, biến đổi. Trên cơ sở các bước phân tích tổng hợp và suy
luận để xây dựng chương trình giải. Giáo viên hướng dẫn giúp học sinh trình bày
lời giải tuần tự theo các bước trong “chương trình giải” một cách rõ ràng, đầy
đủ, chính xác, khoa học và sáng tạo.
2.3.2.4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
- Xem xét có sai lầm khơng, có phải biện luận kết quả khơng
- Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,…
- Xét tính hợp lí của đáp số (nếu cần thiết)
- Khai thác và phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, từ đó rút ra
những kinh nghiệm cần thiết.
- Đề xuất ra những bài toán tương tự hoặc những bài tốn có tính chất đặc
biệt hóa, khái qt hố.
2.3.3. Một số kỹ năng khi giải toán chứng minh:
- Kỹ năng về hình.
- Kỹ năng suy luận và chứng minh.
- Kỹ năng vận dụng định lý.
- Kỹ năng đặc biệt hóa, tổng qt hóa, tương tự hóa
2.3.4. Các ví dụ minh hoạ
2.3.4.1 Một số ví dụ minh họa về các phương pháp chung khi giải tốn chứng
minh hình học lớp 7
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm trong tam giác đều đến

các cạnh của tam giác đó là một số khơng đổi. [1].
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
Hệ thống câu hỏi:
? Bài toán thuộc loại chứng minh hay tính tốn ?
8

skkn


? Khoảng cách từ một điểm O trong tam giác đến mỗi cạnh của tam giác
được xác định như thế nào?
? Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận một cách chính xác.
A

∆ABC (AB = AC = BC = a)
Điểm O nằm trong ∆ABC

N

GT OM,ON,OI lần lượt vng góc

M

với AB, AC, BC

O

OM = x, ON = y, OI = z
KL x+y+z khơng đổi

B

I

H

C

Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Hệ thống câu hỏi
?x+y+z=?
? Tổng x + y + z có phụ thuộc vào a không?
( với 2 câu hỏi này học sinh sẽ lúng túng)
Giáo viên sẽ hướng dẫn, gợi ý học sinh phân tích bài tốn theo các hướng sau:
Dựa theo tính chất của diện tích đa giác:
? Có nhận xét gì về diện tích của ∆ABC và tổng diện tích của ∆AOB, ∆AOC,
∆BOC ?
Gọi độ dài chiều cao AH = h ( AH  BC)
? So sánh x + y + z với h ?
? Tính độ dài của h theo a ?
Từ đó suy ra tổng x + y + z
Từ các bước phân tích suy luận trên học sinh xây dựng được chương trình
giải:
-Biểu diễn diện tích của tam giác:
∆ABC, ∆AOB, ∆AOC, ∆BOC theo a, x, y, z, h
-Từ biểu thức SABC = SAOB + SAOC + SBOC
Suy ra x + y + z = h
-Tính h theo a
-Từ đó suy ra x + y + z khơng đổi
Hoặc học sinh có thể xây dựng chương trình giải như sau

- Tính diện tích ∆ABC, ∆AOB, ∆AOC, ∆BOC theo a, x, y, z, h (1)
9

skkn


-Từ biểu thức: SABC = SAOB + SAOC + SBOC
(2)
Rút gọn 2 vế ta được: x + y + z = h
(3)
-Tính h theo a
(4)
-Từ (3) và (4) suy ra x + y + z khơng đổi
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
Giáo viên u cầu học sinh trình bày lời giải bài tốn theo trình tự các
bước trong “chương trình giải"
Kiểm tra tính chính xác, chặt chẽ, hợp lý, khoa học của bài giải để sửa
chữa cho phù hợp.
Bước 4: Đánh giả bài toán
Từ bài toán trên giáo viên yêu cầu học sinh ra để cho bài toán khác theo
hướng đặc biệt hoá, tương tự hoá hay khái quát hóa (nếu có thể) bằng cách thay
đổi một giả thiết nào đó và giữ nguyên các giả thiết khác.
Chẳng hạn giáo viên hỏi học sinh:
-Thay tam giác đều bằng tam giác cân hoặc tam giác thường có được
khơng? Thay tam giác đều bằng đa giác đều bất kỳ có được không?
-Điểm O thuộc một cạnh của tam giác đều hay đa giác đều có được
khơng?
-Theo hướng đó học sinh có thể tự ra đề bài và trình bày lời giải của một
số bài toán.
2.3.4.2. Minh họa về các kỹ năng học sinh cần phải có khi giải tốn chứng

minh hình học
2.3.4.2.1. Hướng dẫn học sinh vẽ hình
Hình vẽ đóng một vai trị quan trọng trong q trình giải tốn, hình vẽ
chính xác, rõ ràng sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải bài tốn. Một
số học sinh vẽ hình khơng chính xác cho bài tốn, bởi vậy tôi luôn chú ý đầu tiên
phải hướng dẫn giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vẽ hình.
Ví dụ 2:
Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau:
Vẽ góc xOy có số đo bằng 60°. Lấy điểm A trên tia Ox (A khác O) rồi vẽ đường
thẳng d1 vng góc với tia Ox tại A. Lấy điểm B trên tia Oy (B khác O) rồi vẽ
đường thẳng d2 vng góc với tia Oy tại B. Gọi giao điểm của d 1 và d2 là C. (Bài
14 sách bài tập toán 7 tập I trang 75) [3].
Phân tích: Bài tập này là u cầu học sinh vẽ góc 60° phải chính xác thơng
thường học sinh thường mắc các lỗi sau:
- Vẽ góc 60° khơng chính xác.
- Vẽ các đường thẳng vng góc khơng chính xác (rất nhiều học sinh gặp phải)
- Khơng xét hết các trường hợp có thể vẽ được.

10

skkn


Đối với bài tập này thì khơng thể vẽ chừng được và phải phân biệt giữa bài
tốn dựng hình và bài tốn vẽ hình để chứng minh, cần có độ chính xác khác
nhau, ngồi ra cần chú ý cho học sinh có nhiều hình vẽ khác nhau tùy theo vị trí
điểm A, B được chọn.

d1

d1

x

x

A

A
O

O

60

C

d2

B
B

d2
y

y

C

C

x
A

O

60

B

d1

d2

y

Ví dụ 3:
Cho ∆ABC có AH là đường cao, AM là trung tuyến. Trên tia đối của tia HA lấy
điểm E sao cho HE = HA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA. Nối
B với E, C với I. Chứng minh BE = CI. [4].
Phân tích: Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt: ∆ABC cân tại A thì lúc này
đường cao AH và trung tuyến AM sẽ trùng nhau. Dẫn đến việc giải bài toán rơi
vào trường hợp đặc biệt.
Do vậy, để giúp học sinh tránh được những sai lầm này trong dạy học tôi
luôn lưu ý nhắc nhở học sinh nếu bài tốn khơng cho hình đặc biệt thì ta khơng
11

skkn

nên vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác sẽ dễ quan sát,
giúp ích rất nhiều cho việc chứng minh.
A
A

B

H

E

B

C

M

H

M

C

I

2.3.4.2.2. Hướng dẫn học sinh suy luận và chứng minh.
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc
biệt và học sinh cần có kỹ năng này khơng chỉ khi giải tốn chứng minh
Khi dạy giải bài tập thì giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các tắc quy
suy luận. Trong q trình giải tốn ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc

quy nạp và quy tắc diễn dịch.
- Quy tắc quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến
tổng quát. Quy tắc quy nạp, thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết
các trường hợp có thể xảy ra.
- Quy tắc diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ
thể.
- Trong q trình giải tốn, nhiều khi phải phân chia ra các trường hợp có
thể xảy ra, các trường hợp riêng, nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường
hợp rồi đi đến kết luận hoặc có phân chia nhưng khơng đầy đủ các trường hợp.
Vì vậy trong q trình giảng dạy chúng ta cần chú ý cho học sinh năng lực phân
chia ra các trường hợp riêng.
Ví dụ 4
Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A,B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy
các điểm C,D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD
và BC. Chứng minh rằng: ∆EAB = ∆ECD. (Bài 43 SGK toán 7 tập 1 trang 125) [2]
Phân tích:
-Để chứng minh ∆EAB = ∆ECD
-Xét ∆EAB và ∆ECD đã có những yếu tố nào bằng nhau?
-Để kết luận ∆EAB = ∆ECD ta cần có thêm điều kiện gì?
-Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần ghép chúng vào các tam giác
nào?
Với việc phân tích trên được gọi là suy luận ngược. Từ kết luận của bài toán ta
suy luận đến khi cần điều kiện của giả thiết.
12

skkn


x
B

A

E
O
C
D

y

Ta có sơ đồ phân tích sau:
BAE = ^
DCE và ^B = ^
D , AB = CD  ∆AOD = ∆COB
∆EAB = ∆ECD  ^
Cụ thể:
Xét ∆AOD và ∆COB
OB = OD (gt)
^ chung
O
OA = OC (gt)
Suy ra: ∆AOD = ∆COB (c.g.c)
^ = OCB
^ (hai góc tương ứng)
D = ^B, OAD
^
BAE = ^
DCE  ∆EAB = ∆ECD (g.c.g)
^
Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh lớp 7 của chúng ta mới tập giải tốn
chứng minh. Do vậy khi dạy tơi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh xắp xếp các

luận cứ sao cho lơgic, chặt chẽ.
Như ở ví dụ trên tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh suy luận để dẫn đến việc
chứng minh ∆AOD = ∆COB
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CE, trên tia đối của tia BA lấy
điểm D sao cho DB = BA. Chứng minh DC = 2CE. [1].
A

E

B

C

F

D

Phân tích:
-Muốn chứng minh DC = 2CE
ta phải có 1 trong 2 điều kiện sau:
13

skkn


Điều kiện 1: 1/2 độ dài CD = độ dài CE.
Điều kiện 2: 2 lần độ dài CE = độ dài CD
- Nếu lấy điều kiện 1, để có 1/2CD = CE thì phải chia CD ở F sao cho DF = FC và
nghiên cứu xem có hợp với một trong hai điều kiện sau không:
Điều kiện 3: CF = CE

Điều kiện 4: DF = CF
- Nếu lấy điều kiện 3, để CF = CE ta cần phải có một trong những điều kiện sau:
Điều kiện 5: CF và CE là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
Điều kiện 6: CF và CE đều bằng một đoạn thẳng
- Nếu lấy điều kiện 5 thì phải nối BF và muốn chứng minh ∆BFC = ∆BEC lại cần
phải có 1 trong các điều kiện sau:
EBC = ^
FBC , BC cạnh chung (c.g.c)
Điều kiện 7: BE = BF; ^
EBC = ^
FBC , BC cạnh chung, ^
BCF = ^
BCE (g.c.g)
Điều kiện 8: ^
Nghiên cứu kĩ điều kiện 7 và điều kiện 8 ta thấy điều kiện 7 là phù hợp với
giả thiết BF là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh nên bằng ½ AC.
Theo giả thiết thì AB = AC, BE = ½ AB. Thay vào đó sẽ được BF = BE. Và vì BF //
^=^
FBC = ^
ACB (so le). Mà ∆ABC cân suy ra CBE
ACB suy ra
AC nên ^
^
^
CBE = FBC còn BC là cạnh chung. Cuối cùng ∆BCF = ∆BCE
suy ra CD = 2CE.
Ta có sơ đồ phân tích sau:
DC = 2CE  ½ CD = CE  DF = FC và CF = CE  ∆BFC = ∆BEC
^=^
FBC ; BC là cạnh chung.

 BE = BF; CBE
Với cách hướng dẫn như trên, học sinh có thể giải quyết bài toán bằng các
cách khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn các điều kiện. Vì vậy giáo viên khi
hướng dẫn học sinh lớp 7 cách suy luận tìm hướng chứng minh bài tốn, thơng
thường dùng phương pháp phân tích, khơng những các em chọn được phương
án thích hợp mà cịn có nhiều cách giải khác và củng cố kiến thức.
2.3.4.2.3. Kỹ năng nhận dạng và vận dụng các định lý.
*) Các định lý, tính chất mà học sinh cần nắm vững trong chương trình
hình học lớp 7:
- Ba định lý về quan hệ giữa tính song song và tính vng góc.
- Một số tính chất của tam giác: Các định lý về tổng các góc của tam giác, về góc
ngồi của tam giác.
- Tính chất và cách nhận biết một số dạng của tam giác đặc biệt: Tam giác cân,
tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân.
- Định lý Pytago áp dụng cho tam giác vuông.
- Ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
- Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông.
- Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.
- Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác - Bất đẳng thức tam giác.
- Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hinh chiếu.
- Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng.
14

skkn


- Tính chất các đường đồng quy trong tam giác: Ba đường trung tuyến, ba
đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao.
Ngoài ra đối với học sinh mũi nhọn (khá, giỏi) cần nắm thêm một số tính chất
sau:

- Tính chất đường trung bình của tam giác.
- Góc có cạnh tương ứng song song và tương ứng vng góc.
- Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một phần
hai cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 0 bằng một phần hai cạnh huyền.
*) Kỹ năng vận dụng các định lý cho học sinh:
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh cho học sinh nên bắt đầu
bằng việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lý và vận dụng
các định lí.
Nhận dạng một định lý là phát hiện xem một tình huống cho trước có
khớp với một định lý nào đó hay khơng, cịn vận dụng định lý là xét xem trong
bài toán đang giải có những tình huống nào ăn khớp với các định lí đã được học.
Ví dụ 6:
Cho ∆ABC qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh
đối diện, chúng cắt nhau tạo thành ∆DEF. Chứng minh rằng A là trung điểm của
EF. (Bài 81 SBT toán 7 tập 2 trang 33) [4].
F
A
E

B
C

D

Phân tích:
- Để chứng minh A là trung điểm của EF ta phải chứng minh AE = AF
- Ở bài này để có điều trên ta cần chứng minh AE=BC và AF = BC
- Muốn vậy ta có thể ghép ∆ABC với 2 tam giác đó là ∆CEA và ∆BAF.
- Để giải quyết được vấn đề này thì phải vận dụng định lý, tính chất nào ?

GV lập sơ đồ phân tích như sau:
A là trung điểm của EF

AE = AF

AE = BC và AF = BC

∆ABC = ∆CEA
15

skkn


và ∆ABC = ∆BAF

và
và
Cụ thể: ta có AC là cạnh chung

( 2 góc so le trong, AB // DE)
( 2 góc so le trong, BC // EF)
Do đó ∆ABC = ∆CEA (g.c.g)
Suy ra BC = AE
Chứng minh tương tự ta cũng có: BC = AF. Do đó A là trung điểm của EF
Như vậy học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với định lý về tính chất hai
đường thẳng song song và định lý về trường hợp bằng nhau c.g.c của hai tam
giác.
2.3.4.2.4. Kỹ năng đặc biệt hóa, tổng qt hố, tương tự hóa.
Trong q trình dạy học hình học ở phổ thơng, số giờ luyện tập là rất ít.
Nếu giáo viên khơng hướng dẫn cho học sinh cách khai thác bài tốn: Bằng

phương pháp đặc biệt hóa, khái qt hóa hay tương tự hố... mà chỉ đơn thuần
là học sinh trình bày bài giải thì học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập
khác. Vì các em khơng có đủ khả năng tư duy độc lập sáng tạo trong các bài tốn
mới. Vì vậy để học sinh có khả năng chứng minh hình học tốt giáo viên phải
hướng dẫn học sinh khai thác phân tích bài toán theo nhiều hướng: Đặc biệt
hoá, khái quát hoá, tương tự hóa để các em có thể chủ động sáng tạo khi giải bài
tập khác.
Đặc biệt hoá là chuyển từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang
trường hợp đặc biệt.
Ta thường đặc biệt hoá bài toán bằng cách:
- Thay biến số bởi hằng số, cho các số đo góc bằng các số cụ thể, chẳng hạn thay
góc α bởi α = 90⁰.
-Thay các điều kiện bài toán bởi các điều kiện hẹp hơn, chẳng hạn thay ∆ABC có
bởi ∆ABC có = 900
-Thay vị trí bất kỳ của một điểm, của một hình bằng vị trí đặc biệt của nó.
-Bổ sung thêm các quan hệ mới vào bài tốn, chẳng hạn trong các ∆ABC, xét
tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện AB = AC).
Ta biết rằng một tính chất đúng trong trường hợp chung thì cũng đúng
trong trường hợp đặc biệt, một tính chất sai trong trường hợp đặc biệt thì cũng
sai trong trường hợp chung. Do đó phương pháp đặc biệt hóa dùng để:
- Bác bỏ một mệnh đề
- Phát hiện một tính chất.
- Dự đoán một kết quả.
16

skkn


- Xét trường hợp đặc biệt trước rồi sử dụng kết quả đó để chứng minh đối với
các trường hợp cịn lại.

Tương tự hóa: Từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu ta rút ra kết
luận rằng hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy gọi
là tương tự. Kết luận rút ra từ những suy luận tương tự chỉ là một dự đoán, một
giả thiết. Trong hoạt động chứng minh hình học, sử dụng suy luận tương tự để
liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán đã giải, có thể giúp ta nhanh chóng tìm
ra được lời giải của bài toán.
Tổng quát hoá, tức là từ trường hợp đặc biệt chuyển sang trường hợp
tổng quát hơn. Ta thường tổng quát hoá bài toán bằng cách:
- Thay hằng số bởi biến số, chẳng hạn thay góc 120 0 bằng góc α.
-Thay điều kiện trong bài tốn bằng điều kiện “rộng hơn” (điều kiện cũ là trường
hợp riêng).
- Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kỳ của nó, chẳng
hạn thay trọng tâm của tam giác bởi một điểm bất kỳ nằm trong tam giác.
-Bỏ bớt một điều kiện của giả thiết để có bài tốn tổng qt hơn, chẳng hạn
thay một tam giác vuông bởi một tam giác bất kỳ.
Tác dụng của tổng quát hoá: Nếu bài toán tổng quát vẫn đúng, ta có bài
tốn “mạnh hơn" bài tốn ban đầu, đúng với một lớp đối tượng rộng hơn so với
bài toán ban đầu. Nhờ tổng qt hố mà ta có thể đi đến cơng thức tổng qt,
giải được bài tốn tương tự nhưng khó hơn. Hơn nữa khi tìm hướng giải của bài
toán ta xét trường hợp đặc biệt rồi suy ra cách giải của bài tốn.
Ví dụ 7:
Xét bài tốn “ Cho tam giác ABC có AC > AB. Các điểm P, Q theo thứ tự
nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BP = CQ. Chứng minh rằng P,Q thay đổi vị trí
nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện trên thì dường trung trực của PQ ln ln đi qua
một điểm cố định. [1]
-Để tìm được điểm cố định mà đường trung trực của PQ luôn luôn đi qua ta xét
hai vị trí đặc biệt của P và Q:
+ Nếu P ≡ B thì Q ≡ C
Suy ra đường trung trực của PQ là đường trung trực d 1 của BC.
+ Gọi E là điểm thuộc AC sao cho AB = CE

Nếu P ≡ A thì Q ≡ E

17

skkn


d1
d2
O

A
E
P

Q
B

C

Suy ra đường trung trực của PQ là đường trung trực d 2 của AE mà d1 cắt d2
tại O.
+ Nếu đường trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định thì điểm đó
phải là điểm O (vì d1 và d2 cố định nên điểm O là điểm cố định)
+Chứng minh trong trường hợp tổng quát thì O cũng nằm trên đường
trung trực của PQ tức là chứng minh OP = OQ.
Ta dễ dàng chứng minh được ∆ABO = ∆ECO (c.c.c)
Từ đó suy ra
hay
Suy ra ∆PBO = ∆QCO (c.g.c)

OP = OQ
O nằm trên đường trung trực của PQ mà O là điểm cố định nên suy ra đường
trung trực của PQ luôn đi qua điểm cố định O.
Vấn đề khó khăn nhất đối với học sinh khi giải bài tốn này là tìm ra điểm
O, và điểm O được xác định bằng phương pháp đặc biệt hóa.
Ví dụ 8:
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Chứng minh
rằng: BD < DC. (Bài tập 8 SBT toán 7 tập 2 trang 25) [4]
Phân tích:
Bài tốn này đối với học sinh đại trà thì khó tìm ra hướng chứng minh.
Nhưng nếu thay một dữ kiện của bài tốn là góc B = 900 (Hình 1) thì bài tốn sẽ
đơn giản và tìm ra cách giải ngay: Cho tam giác ABC có góc B = 900 .Tia phân
giác của góc A cắt BC ở D. Chứng minh rằng: BD < DC.
Cụ thể: Để có DC > DB ta phải vẽ một đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bằng DB và
có liên quan đến DC.
Vậy ta kẻ DE vng góc với AC là hợp lý.
Ta có ∆ADB = ∆AED suy ra DB = DE
Ta xét ∆EDC có DC > DE (cạnh huyền > cạnh góc vng)
18

skkn


A

A
E

E
B

D

B

D

C

C

x

(Hình 1)

(Hình 2)

Vậy trong bài tốn này (Hình 2)
Do AC > AB nên trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
Ta có ∆ADB = ∆AED (c.g.c) nên BD = DE và
.
Nhưng góc DBx > nên góc DEC >
Do đó DC > DE. Vậy BD < DC
Ví dụ 9:
Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong, gọi E, F là chân đường vng
góc hạ từ D đến các cạnh AB và AC
a. Tam giác DEF là tam giác gì?
b. Qua điểm C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M. Hỏi tam giác
ACM là tam giác gì ?
c. Nếu góc A = 1200 thì tam giác DEF, tam giác ACM là tam giác gì?
d. Nếu góc A = 900 thì tam giác DEF, tam giác ACM là tam giác gì? [1].

Những bài tương tự ví dụ này là những bài tập có tính chất khái quát mà
bài tập trong SGK là trường hợp riêng. Khi học sinh giải được bài tập này thì sẽ
giải được các bài tập trong SGK như bài 7 tr.66 hình 7.
Cho tam giác ABC , góc A = 120 0, AD là phân giác trong, gọi E và F là chân
đường vng góc hạ từ điểm D đến các cạnh AB và AC.
a. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều
b. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường AB tại M. Chứng minh tam
giác ACM là tam giác đều
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Những năm đầu khi dạy hình học, bản thân nhận thấy học sinh ngại học
hình học, vì khi làm bài tập hình các em thấy khó khăn, khơng biết phân tích bài
tốn nên khơng xây dựng được chương trình giải, khơng biết chứng minh bắt
đầu từ đâu. Hoặc khi chứng minh thì thường đưa ra những kết luận thiếu lý do,
hoặc lý do không xác đáng. Khi làm bài kiểm tra cũng như khi thi vào cấp 3 số
học sinh làm được trọn vẹn bài tập hình chưa cao.
19

skkn


Thấy rõ thực trạng và nguyên nhân, bản thân đã ra nhiều biện pháp thực
hiện và khắc phục. Kết quả gần đây cho thấy số lượng học sinh có hứng thú học
mơn hình tăng. Các em đã biết khai thác bài tốn theo nhiều hướng khác nhau,
biết tìm ra những cách giải hay, giải được nhiều bài tập khó. Kết quả trong các kỳ
thi cũng được cao hơn.
Cụ thể, phân tích kết quả đạt được qua bảng đối chứng sau:

Lớp

Trước khi áp dụng SKKN
Chưa
Biết
Thành
biết
chứng
thạo, có
chứng
minh
kĩ năng
minh và
nhưng
tốt
trình bày
chưa
ở câu hỏi
một
thành
tổng hợp
chứng
thạo ở
minh
câu hỏi
Hình học tổ hợp

Sau khi áp dụng SKKN
Chưa
Biết
Thành
biết

chứng
thạo, có
chứng
minh
kĩ năng
minh và
nhưng
tốt
trình bày
chưa
ở câu hỏi
một
thành
tổng hợp
chứng
thạo ở
minh
câu hỏi
Hình học
tổ hợp

7A

9/30
(30%)

12/30
(40%)

09/30

(30%)

4/30
(13,3%)

14/30
(46,7%)

12/30
(40%)

7B

8/30
(27%)

12/30
(40%)

10/30
(33%)

3/30
(10%)

14/30
(46,7%)

13/30
(43,3%)

Để học sinh học tốt mơn hình học quả là một q trình nan giải vì mơn
hình học này là môn học suy diễn bằng lý luận hết sức chặt chẽ. Khi chứng minh
bài tốn hình học mỗi khẳng định phải có lý do xác đáng, song lý do khơng phải
chỉ là giả thiết của bài tốn mà cịn được chọn lọc từ hệ thống định nghĩa, định
lý, hệ quả ... từ lớp 6 đến lớp 9. Muốn trình bày một bài tốn chứng minh hình
học chặt chẽ, chính xác, khoa học thì học sinh phải biết phân tích, so sánh, tổng
hợp từ giả thiết của bài toán, mối liên quan giữa giả thiết với điều phải chứng
minh, phải tìm. Liên hệ giữa bài toán cần giải với những bài toán tương tự đã
gặp...
Tuy nhiên nếu thực hiện tốt phương pháp giảng dạy của bộ môn, rèn
luyện uốn nắn từng bước, theo từng mức độ tiếp thu từ lớp 6 đến lớp 9 một
cách chặt chẽ, liên tục thì cũng thu được kết quả khả quan.

20

skkn