Skkn phát hiện, khắc phục một số sai sót và hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỉ ở trường thcs nga thanh, huyện nga sơn, tỉnh thanh hóa

0

SỞ
SỞGIÁO
GIÁODỤC
DỤCVÀ
VÀĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠOTHANH
THANHHỐ
HỐ*

PHỊNG
GD&ĐT
THPT....)**
PHỊNG
GD....(TRƯỜNG
& ĐT NGA SƠN
(*Font Times New Roman, cỡ 16, đậm, CapsLock;
** Font Times New Roman, cỡ 15,CapsLock)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT HIỆN, KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI SÓT
VÀ HƯỚNG DẪN HỌC
LỚP 9 GIẢI PHƯƠNG
TÊNSINH
ĐỀ TÀI

TRÌNH VƠ(Font
TỈ Times
Ở TRƯỜNG
TRUNG
CƠ SỞ NGA
New Roman,
cỡ 16-18, HỌC
CapsLock)
THANH, HUYỆN NGA SƠN, TỈNH THANH HÓA

Người thực hiện: Nguyễn Văn A
Người
hiện:
Chức
vụ:thực
Giáo
viênTrần Thị Lan
Chức
vụ: Giáo
viên
Đơn
vị cơng
tác: Trường
THCS B
Đơn vị
cơnglĩnh
tác:mực
Trường
THCS
Nga Thanh

SKKN
thuộc
(mơn):
Tốn
(Font Times New Roman,
15, đậm,
mục ĐơnTốn
vị cơng tác chỉ ghi đối
SKKNcỡthuộc
lĩnhđứng;
vực (môn):

với các SKKN thuộc các bậc MN, cấp TH và THCS, các cấp/bậc khác khơng ghi)

THANH HỐ NĂM 2022
0

skkn


0

Mục lục:
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phát hiện một số sai sót mà học sinh thường mắc phải khi
giải phương trình vơ tỉ.
2.3.2. Giúp học sinh khắc phục những sai sót mà các em thường
mắc phải khi giải phương trình vơ tỉ.
2.3.3. Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình vơ tỉ
2.3.4. Một số bài tập tự luyện
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
3.1.Kết luận
3.2.Kiến nghị

Trang
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
6
11
17

17
18
18
18

0

skkn


1
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán THCS, học sinh được làm quen và giải rất
nhiều dạng phương trình, như: Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình
bậc hai một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,…Với những dạng phương trình này, thường
có phương pháp giải cụ thể và được trình bày trong các tiết dạy. Ngồi các
dạng phương trình trên, học sinh cịn bắt gặp một dạng phương trình nữa, đó
là phương trình vơ tỉ. Mặc dù trong chương trình sách giáo khoa khơng có
tiết dạy lý thuyết cho phần kiến thức này nhưng trong phần bài tập ở sách
giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo,…học sinh lại bắt gặp rất nhiều, đặc
biệt là trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh. Giải phương trình
vơ tỉ là một dạng tốn khó đối với học sinh nói chung và lại càng khó khăn
hơn đối với các em học sinh có lực học cịn hạn chế.
Được trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn 9, qua nhiều năm dẫn dắt các em,
bản thân nhận thấy: Khi giải các phương trình vơ tỉ học sinh rất lúng túng
khơng tìm ra cách giải. Các em thường chỉ quen với một phương pháp là
nâng lên luỹ thừa hai vế để làm mất dấu căn. Nhưng trong quá trình giải các
em đã mắc phải nhiều sai lầm. Những sai lầm đó đã dẫn đến việc kết luận

nghiệm của phương trình khơng chính xác (thừa hoặc thiếu nghiệm). Có một
số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao,
rất phức tạp, các em khơng tìm ra được cách giải. Số ít học sinh giỏi có thể
giải được một số phương trình vơ tỉ ở mức độ khơng q khó, nhưng cách
giải chưa tối ưu, các em chưa có sự sáng tạo trong việc sử dụng phương
pháp giải nào cho phù hợp.
Để giúp các em học sinh lớp 9 phát hiện, khắc phục một số sai sót và có
được những phương pháp để giải phương trình vơ tỉ, vận dụng các phương pháp
đó để giải các dạng phương trình vơ tỉ cơ bản, góp phần nâng cao trình độ kiến
thức cho học sinh, đặc biệt là bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi, bản thân
mạnh dạn chọn đề tài: “Phát hiện, khắc phục một số sai sót và hướng dẫn học
sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỉ ở trường THCS Nga Thanh, huyện Nga
Sơn, tỉnh Thanh Hóa”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh lớp 9 phát hiện và khắc phục một số sai sót khi giải phương
trình vơ tỉ.
- Nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn 9 trong nhà trường, đặc biệt là
năng lực dạy học sinh giải phương trình vô tỉ, đổi mới phương pháp dạy học
theo định hướng phát triển năng lực của học sinh.
- Nâng cao hiệu quả giờ dạy, tạo hứng thú học tập chủ động, sáng tạo cho
học sinh.
- Gắn kết bài giảng với các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi
1.3. Đối tượng nghiên cứu

skkn


2
- Học sinh lớp 9 trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa.

1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp tham khảo, thu thập tài liệu
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp kiểm tra kết quả chất lượng học sinh
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Phương trình vơ tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Đây là dạng tốn
khó đối với học sinh THCS nói chung và học sinh lớp 9 nói riêng.
Việc phát hiện, khắc phục những sai sót và hướng dẫn học sinh lớp 9 giải
một số dạng phương trình vô tỉ, nhằm :
- Giúp học sinh phát hiện những sai sót mà các em thường mắc phải khi giải
phương trình vơ tỉ.
- Giúp các em khắc phục được những sai sót mà các em thường mắc phải,
qua đó tạo động lực để các em biết vươn lên, không ngại khó khi phải giải
phương trình vơ tỉ.
- Củng cố cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến phương trình vơ tỉ
đặc biệt là các bước giải phương trình vơ tỉ.
- Cung cấp cho các em các phương pháp giải phương trình vơ tỉ, rèn luyện
kỹ năng giải phương trình vơ tỉ thơng qua các ví dụ cụ thể.
- Hướng dẫn các em giải một số dạng phương trình vơ tỉ đơn giản, thường gặp.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
* Thực trạng của việc dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ ở trường THCS
Nga Thanh – Nga Sơn - Thanh Hóa.
- Về phía giáo viên:
Trong sách giáo khoa tốn 9, phương trình vơ tỉ thường ẩn dưới dạng
tốn tìm x, chỉ một số bài yêu cầu rõ giải phương trình, nên đơi khi giáo
viên cịn chủ quan, coi đó khơng phải là kiến thức cơ bản, trọng tâm của
chương trình tốn 9. Việc dạy cho học sinh giải phương trình vô tỉ chưa
được giáo viên tổ chức dạy thành một chuyên đề riêng, mới chỉ dừng lại ở
việc lồng ghép trong phần bài tập ở các tiết luyện tập, các buổi học thêm,

bồi dưỡng học sinh giỏi. Những sai lầm mà học sinh mắc phải đôi khi cũng
chưa được giáo viên quan tâm, khắc phục kịp thời.
- Về phía học sinh:
Với các em học sinh, giải phương trình vơ tỉ khơng những là dạng tốn
khó mà cịn rất mới lạ đối với các em. Các em chưa được trang bị các phương
pháp, chưa có kỹ năng giải phương trình vơ tỉ nên khi giải phương trình vơ tỉ
cịn mắc phải nhiều sai sót. Các em ngại phải đối phó với các dạng tốn khó.
Ý thức tự giác của các em chưa cao, cịn ỷ lại, trơng chờ vào thầy cơ giáo.
Đứng trước những bài tốn khó đơi khi ngại làm, đi tìm lời giải trong các tài
liệu, rồi lần sau cũng dạng phương trình như thế nhưng nếu đổi đi một số yếu
tố thì các em lại bế tắc.
* Kết quả khi chưa thực hiện đề tài :

skkn


3
Để thấy rõ được thực trạng và những yếu kém của học sinh khi giải phương
trình vơ tỉ, đầu năm học 2021 – 2022 tôi đã tiến hành khảo sát ở 2 lớp 9, với đề tốn
sau:
Giải phương trình:
(Bài 9 – SGK Toán 9 tập 1 – Trang 11)
Kết quả thu được:
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Lớp

dự
SL %
SL % SL % SL %
SL
%
KT
9A
42
1
2,4
8 19,0 13 31,0 14 33,3 6
14,3
9B
37
2
5,4
7 18,9 10 27,1 13 35,1 5
13,5
Khối 9
79
3
3,8 15 19,0 23 29,1 27 34,2 11 13,9
Nhìn vào bảng kết quả trên, ta thấy mặc dù phương trình vơ tỉ ở đề bài cũng
khơng phải là q khó (là bài tập trong sách giáo khoa với cách hỏi khác là, tìm
x) nhưng số lượng học sinh đạt điểm giỏi rất ít, điểm yếu kém cịn nhiều.
Ngun nhân ở đây là do các em mắc phải sai lầm: Lấy thiếu nghiệm của
phương trình.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phát hiện một số sai sót mà học sinh thường mắc phải khi giải
phương trình vơ tỉ.

Khi dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ, bản thân thấy học sinh thường hay
mắc phải những sai sót sau:
2.3.1.1. Sai sót là khơng đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
Sai sót khi khơng đặt điều kiện xác định của phương trình, thường rơi vào
các trường hợp sau:
- Không đặt điều kiện để căn thức có nghĩa.
- Khơng đặt điều kiện để mẫu thức khác không.
- Đôi khi học sinh mắc cả hai sai lầm nói trên.
Ví dụ 1: Giải phương trình: ( x + 1) x − 2 = 0
- Lời giải sai mà học sinh đã mắc phải:
x + 1 = 0
 x = −1
( x + 1) x − 2 = 0  

x = 2
 x−2 =0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = -1 ; x2 = 2
- Phân tích, phát hiện những sai sót mà học sinh mắc phải:
Trong lời giải trên, các em đã sử dụng cách giải phương trình tích (được học
từ lớp 8) để giải phương trình đã cho mà quên đi việc đặt điều kiện để căn thức
có nghĩa (khơng đặt ĐKXĐ của phương trình). ĐKXĐ của phương trình ở đây
là biểu thức dưới dấu căn phải không âm.
Tức là x − 2  0  x  2
Do đó x = -1 khơng phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm là x = 2 .
- Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng:

skkn

4
ĐKXĐ: x – 2  0  x  2 (*)
x + 1 = 0
 x = −1
( x + 1) x − 2 = 0  

x = 2
 x−2 =0

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra phương trình đã cho có nghiệm x = 2
2.3.1.2. Sai sót khi kết luận nghiệm không đối chiếu với ĐKXĐ của
phương trình dẫn đến lấy thừa hoặc thiếu nghiệm.
Khi giải phương trình, học sinh có tìm ĐKXĐ cho phương trình nhưng khi
kết luận nghiệm, do thiếu tính cẩn thận học sinh đã khơng đối chiếu nghiệm vừa
tìm được có thỏa mãn ĐKXĐ hay không. Việc làm này đã dẫn đến một kết quả
khơng chính xác, phần lớn là lấy thừa nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 x + 1 = x − 1 (1)
- Lời giải sai mà học sinh đã mắc phải:
−1

2 x + 1  0
x 
ĐKXĐ: 

2  x  1 (*)
x − 1  0
 x  1

Bình phương hai vế phương trình (1) ta được : 2x + 1 = x - 1  x = −2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = -2
- Phân tích, phát hiện những sai sót mà học sinh mắc phải:
Sai lầm của học sinh ở đây là sau khi giải phương trình tìm được nghiệm x
= -2, các em không đối chiếu với điều kiện (*) mà kết luận luôn x = -2 là nghiệm
của phương trình đã cho.
Do x = -2 khơng thỏa mãn điều kiện (*) nên phương trình đã cho vơ nghiệm
- Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng:
−1

2 x + 1  0
x 
ĐKXĐ : 

2  x  1 (*)
x − 1  0
 x  1

Bình phương hai vế phương trình (1) ta được : 2x + 1 = x - 1  x = −2
Kết hợp với điều kiện (*) suy ra phương trình đã cho vơ nghiệm
2.3.1.3. Sai sót khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn để khử căn ở hai vế của
phương trình mà khơng xét xem cả hai vế có khơng âm hay không.
Khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn để khử căn thức ở hai vế của phương trình
rất nhiều học sinh không chú ý đến việc đặt điều kiện để cả hai vế khơng âm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: x − 10 = −2
(Bài 34 - SBT Toán 9 tập 1- Trang 10)
- Lời giải sai mà học sinh đã mắc phải:
x − 10 = −2  x − 10 = (−2) 2  x − 10 = 4  x = 14 .
Vậy PT có nghiệm x = 14
- Phân tích, phát hiện những sai sót mà học sinh mắc phải:
Ở đây các em học sinh đã thực hiện bình phương 2 vế của phương trình đã

cho trong khi đó vế phải -2 < 0. Đây là một trong những sai sót mà rất nhiều học
sinh có thể mắc phải.
- Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng:

skkn


5
Vì x − 10  0 với x ; -2 < 0 nên phương trình đã cho vơ nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình: x + 3 = x + 1 (1)
- Lời giải sai mà học sinh đã mắc phải:
ĐKXĐ: x + 3  0  x  −3 (*)
Bình phương hai vế phương trình (1) ta được:
x = 1
x + 3 = x2 + 2x +1  x2 + x − 2 = 0  
 x = −2

Kết hợp với điều kiện (*), phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = -2
- Phân tích, phát hiện những sai sót mà học sinh mắc phải:
Để khử căn thức ở vế trái của phương trình, học sinh đã bình phương hai vế
mà khơng đặt điều kiện để vế phải khơng âm. Trong ví dụ này, ngồi điều kiện
x  −3 để căn thức có nghĩa, muốn bình phương 2 vế của phương trình phải cần
thêm điều kiện x + 1  0  x  −1 . Đây là điều kiện của phép biến đổi tương
đương.
Như vậy, với x  −1 thì x = -2 khơng thể là nghiệm của phương trình đã cho.
Tức là, phương trình này chỉ có một nghiệm x = 1
- Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng :
ĐKXĐ: x + 3  0  x  −3 (*)
 x  −1
x + 1  0

 x  −1

 2
  x = 1  x = 1
(1)  
2
x + 3 = x + 2x + 1
x + x − 2 = 0
 x = −2


Kết hợp với điều kiện (*) suy ra phương trình đã cho có nghiệm x = 1
2.3.1.4. Sai sót là đã sử dụng các phép biến đổi không tương đương:
Như chúng ta đã biết có 2 quy tắc cơ bản để biến đổi tương đương phương
trình đó là quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân (chia) với một số khác không
nhưng đôi khi học sinh vẫn mắc phải các sai sót sau:
- Chuyển vế nhưng không đổi dấu của số hạng.
- Nhân (chia) cả hai về của phương trình với cùng một số (hoặc một biếu
thức) mà khơng xét xem chúng có khác khơng hay khơng.
Ví dụ 5: Giải phương trình:

5
1
15 x − 15 x − 2 =
15 x
3
3

(Bài 74 - SGK toán 9 tập 1 – Trang 40)
- Lời giải sai mà học sinh đã mắc phải:

ĐKXĐ: x  0
5
1
5
1
4
15 x − 15 x − 2 =
15 x 
15 x − 15 x +
15 x = 2  15 x = 2  x =
3
3
3
3
15
4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
15

- Phân tích, phát hiện những sai sót mà học sinh mắc phải:
Sai sót ở đây là, học sinh chuyển
phương trình nhưng khơng đổi dấu.

skkn

1
15 x từ vế phải sang vế trái của
3

6
- Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng:
ĐKXĐ: x  0
5
1
15 x − 15 x − 2 =
15 x
3
3
5
1
1
12
(TMĐK)

15 x − 15x − 15 x = 2 
15 x = 2  15x = 36  x =
3
3
3
5
12
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
5

2.3.2. Giúp học sinh khắc phục những sai sót mà các em thường mắc phải
khi giải phương trình vơ tỉ.
Để khắc phục được những sai sót nói trên, khi dạy học sinh giải phương
trình vô tỉ, giáo viên nên tiến hành qua các bước sau:
2.3.2.1. Cung cấp, củng cố, khắc sâu cho học sinh các kiến thức có liên

quan đến phương trình vơ tỉ:
Trước khi dạy học sinh giải một phương trình vơ tỉ nào đó, giáo viên nên cung
cấp, hoặc thơng qua hệ thống câu hỏi củng cố cho các em những kiến thức cơ bản sau:
- Khái niệm phương trình vơ tỉ: Phương trình vơ tỉ là phương trình chứa ẩn
trong dấu căn.
- Cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn, phương trình tích, phương
trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, hệ phương
trình, bất phương trình.
- Các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn, luỹ thừa bậc lẻ.
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức.
- Các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng Cauchy, Bunhiacopski,...
- Các phép biến đổi về căn thức và một số công thức biến đổi quan trọng,
chẳng hạn như:
A2 = A ;

A + B = 0  A = B = 0;

A  0
;
A= B
A = B

B  0
A =B  
2
A = B

2.3.2.2. Hình thành cho học sinh các bước giải phương trình vơ tỉ
Để giải phương trình vơ tỉ (phương trình chứa ẩn trong dấu căn), thơng
thường ta thực hiện qua các bước sau :

*Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình :
Trong khi tìm ĐKXĐ cho phương trình, giáo viên cần khắc sâu để học sinh thấy rằng:
- Nếu phương trình chứa ẩn ở mẫu thì điều kiện là: Mẫu thức khác khơng.
- Nếu phương trình chứa ẩn trong dấu căn thì:
+ Điều kiện để căn bậc chẵn xác định là: Biểu thức dưới dấu căn phải không âm.
+ Điều kiện để căn bậc lẻ xác định là: Mọi giá trị của ẩn thuộc tập số thực R.
*Bước 2: Biến đổi, đưa phương trình về dạng đã học.
- Khi biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng đã học thì phải sử dụng
các phép biến đổi tương tương, chú ý hai quy tắc :
+ Quy tắc chuyển vế : Chuyển vế thì phải đổi dấu
+ Quy tắc nhân với một số: Số được nhân phải khác không

skkn


7
- Khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn ở cả hai vế của phương trình thì điều kiện
là: Cả hai vế của phương trình phải khơng âm.
*Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.
Phương trình vừa tìm được thường là phương trình quen thuộc mà học sinh
đã biết cách giải, ví dụ như: Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai
một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa ẩn
trong dấu giá trị tuyệt đối, ...
*Bước 4: So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm của phương trình.
Nghiệm của phương trình phải là những giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ của
phương trình.
2.3.2.3. Cung cấp cho học sinh một số phương pháp thường dùng để giải
phương trình vơ tỉ.
Khi gặp một phương trình vơ tỉ, đặc biệt là với những phương trình vơ tỉ
phức tạp, các em khơng thể giải ngay được nếu các em chưa được cung cấp các

phương pháp để giải chúng.
Có rất nhiều phương pháp để giải phương trình vơ tỉ, giáo viên cung cấp cho
học sinh tất cả các phương pháp hay chỉ lựa chọn một số phương pháp thường
sử dụng ? Điều đó cịn tùy thuộc vào khả năng tiếp thu của học sinh. Với đối
tượng học sinh khơng thực sự xuất sắc của mình, khi dạy học sinh giải phương
trình vơ tỉ, bản thân mới chỉ dừng lại ở các phương pháp sau:
* Phương pháp 1: Phương pháp nâng lên luỹ thừa.
- Đường lối chung: Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế của phương
trình lên luỹ thừa n. Phương pháp này thường được dùng khi 2 vế của phương
trình có luỹ thừa cùng bậc. Cần chú ý:
+ Nếu n lẻ thì khi nâng lên lũy thừa bậc n ta được phương trình mới tương
đương với phương trình đã cho.
+ Nếu n chẵn việc nâng lên lũy thừa bậc n chỉ thực hiện được khi cả vế của
phương trình khơng âm.
- Ví dụ 6: Giải phương trình: 2 x + 3 = 1 + 2 (1)
(Bài 77- SBT toán 9 tập 1 – Trang 17)
Giải:
ĐKXĐ: x 

−3
(*)
2

Vì cả hai vế của (1) khơng âm nên bình phương hai vế ta được :
2 x + 3 = (1 + 2 ) 2  2 x + 3 = 1 + 2 2 + 2  2 x = 2 2  x = 2

Kết hợp với điều kiện (*), phương trình đã cho có nghiệm x = 2
* Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuyệt đối.
- Đường lối chung: Nếu gặp phương trình mà biểu thức trong dấu căn có thể

viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức
A 2 = A để làm mất dấu căn, đưa phương trình về dạng phương trình đơn giản.
- Ví dụ 7: Giải phương trình: x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 8 x + 16 = 5 (1)

skkn


8
Giải:
ĐKXĐ: x  R
(1)  ( x − 2) 2 + ( x − 4) 2 = 5  x − 2 + x − 4 = 5 (2)
Lập bảng xét dấu :
x
2
4
x-2
0
+
x-4
0
Ta xét các khoảng :

+
+

1
(thoả mãn x < 2)
2
+ Nếu 2  x < 4  (2)  x – 2 + 4 – x = 5  2 = 5 (vơ lí)  PT vơ nghiệm
11

+ Nếu x  4  (2)  x - 2 + x - 4 = 5  2x – 6 =5  x = (thoả mãn x  4 )
2
1
11
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = và x2 =
2
2

+ Nếu x < 2  (2)  2 – x + 4 – x = 5  6 - 2x =5  x =

* Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Đường lối chung: Đặt ẩn phụ một cách thích hợp để chuyển phương trình
vơ tỉ đã cho về một phương trình hay một hệ phương trình đại số đã có cách giải
quen thuộc.
Phương pháp này nói chung khơng làm phức tạp thêm bài tốn. Cách đặt ẩn
phụ cịn tuỳ thuộc vào bài tốn cụ thể và cần có tư duy linh hoạt, đơi khi phải qua
một số bước biến đổi rồi mới đặt được ẩn phụ. Ta có thể đặt một hay nhiều ẩn phụ.
- Ví dụ 8: Giải phương trình: 2( x 2 + 3x + 2) + x 2 + 3x + 2 = 1 (1)
Giải:
 x  −2
(*)
 x  −1

ĐKXĐ : x2 + 3x + 2  0  ( x+1) (x+2)  0  
Đặt: x 2 + 3x + 2 = y

(**)

( ĐK: y  0 )

 y = −1
(1)  2 y + y = 1  2 y + y − 1 = 0   1
y =
2

1
Kết hợp ĐK: y  0  y = , thay vào (**) ta được:
2
2

2


−3+ 2
x=

1
1
2
x 2 + 3 x + 2 =  x2 + 3x +2 =  4x2 + 12x +7= 0  
2
4

−3− 2
x =
2


Kết hợp ĐK (*), phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 =

−3+ 2
−3− 2
; x2 =
2
2

* Phương pháp 4: Phương pháp đưa về phương trình tích:
- Đường lối chung: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, dùng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phối hợp với các phép biến đổi

skkn


9
tương đương phương trình để đưa phương trình đã cho về dạng tích A(x).B(x) = 0
Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình:
A(x) = 0; B( x) = 0;… thuộc tập xác định.
- Ví dụ 9: Giải phương trình: x + 10 x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 - 6 (1)
Giải:
ĐKXĐ: x  -3
Phương trình (1)  ( x + 3)( x + 7) - 3 x + 3 - 2 x + 7 + 6 = 0
 x + 3 ( x + 7 − 3) - 2( x + 7 − 3) ) = 0
 ( x + 7 − 3) ( x + 3 − 2 ) = 0
 x+7 −3= 0


 x + 3 − 2 = 0

x + 7 = 9
x + 3 = 4 



x = 2
 x = 1 (thỏa mãn x  −3 )


Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = 2
* Phương pháp 5: Phương pháp bất đẳng thức.
- Đường lối chung: Để giải phương trình vơ tỉ bằng phương pháp bất đẳng
thức, ta thường sử dụng các cách sau:
+ Cách 1: Chứng tỏ tập giá trị ở 2 vế của phương trình là rời nhau, khi đó
phương trình vơ nghiệm.
Chẳng hạn, ta chứng tỏ vế trái của phương trình ln ln lớn hơn (hoặc bé hơn)
vế phải, suy ra phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 10: Giải phương trình: x 2 + 4 + x 2 + 9 = 3
Giải:
ĐKXĐ: x  R
Vì x2 > 0, xR nên x 2 + 4  2 và x 2 + 9  3 => x 2 + 4 + x 2 + 9  5
Vế trái lớn hơn hoặc bằng 5 mà vế phải bằng 3.Vậy PT đã cho vô nghiệm.
+ Cách 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Với phương pháp này ta thực hiện qua 2 bước sau:
+ Bước 1: Thử nhẩm tìm nghiệm của phương trình
+ Bước 2: Chứng minh nghiệm là duy nhất
Ví dụ 11: Giải phương trình: 3 2 x − 1 + 3 x − 1 = 1
Giải:
ĐKXĐ: x  R .Ta thấy:
+ Với x = 1 thì VT = 3 2.1 − 1 + 3 1 − 1 = 1 + 0 = 1 = VP  x = 1 là nghiệm của
phương trình.
+ Với x > 1 thì VT = 3 2 x − 1 + 3 x − 1  3 2.1 − 1 + 3 1 − 1 = 1 + 0 = 1
VT >1, VP = 1  phương trình vơ nghiệm

+ Với x < 1 thì VT = 3 2 x − 1 + 3 x − 1  3 2.1 − 1 + 3 1 − 1 = 1 + 0 = 1
VT <1, VP = 1  phương trình vơ nghiệm
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1
+ Cách 3: Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức khơng chặt
(tính đối nghịch ở hai vế của phương trình).

skkn


10
36

Ví dụ 12: Giải phương trình:

x−2

+

4
y −1

= 28 − 4 x − 2 − y − 1 (1)

Giải:
x − 2  0
x  2

y −1  0
y  1

ĐKXĐ: 



(*)
 

9

4



+ x − 2  + 
+ y − 1  = 28 (2)
Phương trình (1)  4. 

 x−2
  y − 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta có:

9
x−2

4
y −1


9

+ x−2  2

+ y −1  2
 

9
x−2

4
y−2

. x − 2 = 2.3 = 6 ;

. y − 2 = 2.2 = 4

4



+ x − 2  + 
+ y − 1   4.6 + 4 = 28
=> 4. 
(3)


 x−2
  y−4

Để phương trình (2) có nghiệm thì (3) phải lấy dấu “=” tức là có:

 9
 x−2 = x−2
x − 2 = 9
 x = 11



(Thỏa mãn điều kiện *)
 4
y
−
1
=
4
y
=
5



= y −1
 y − 1
 x = 11
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 
y = 5

* Phương pháp 6: Phương pháp đưa về dạng tổng của các đa thức không
âm bằng không.
- Đường lối chung: Phương pháp này thường áp dụng cho những phương

trình nhiều ẩn. Bằng cách tách, thêm bớt, sử dụng hằng đẳng thức ta đưa phương
trình vô tỉ về dạng: A 2 + B 2 + C 2 = 0 .
- Ví dụ 13: Giải phương trình:
x + y + z + 4 = 2 x − 2 + 4 y − 3 + 6 z − 5 (1)
(Bài 592 - Sách 1001 bài toán sơ cấp)
Giải:
ĐKXĐ: x > 2 ; y > 3 ; z > 5 (*)
(1)  (x - 2 - 2 x − 2 + 1) + ( y − 3 − 4 y − 3 + 4) + ( z − 5 − 6 z − 5 + 9) = 0
 ( x − 2 − 1) 2 + ( y − 3 − 2) 2 + ( z − 5 − 3) 2 = 0
x − 2 −1 = 0
x-2=1
x=3
x −3 −2 = 0



y-3=4
y=7
z −5 −3 = 0
z -5 = 9
z = 14
Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phương trình (1) là: x = 3; y = 7; z = 14
2.3.3. Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình vơ tỉ

skkn


11
Sau khi học sinh đã nắm vững được các phương pháp để giải phương trình
vơ tỉ, có kỹ năng biến đổi, giáo viên nên hướng dẫn các em vận dụng linh hoạt

các phương pháp đó để giải các dạng phương trình vơ tỉ thường gặp. Tuy nhiên
khi trình bày lời giải, khơng nhất thiết là phải trình bày theo 4 bước nêu trên.
Giáo viên có thể dẫn dắt các em trình bày ngắn gọn theo một sơ đồ lược giải
nhất định.
Trong chương trình tốn THCS cũng có rất nhiều dạng phương trình vơ tỉ,
dưới đây là một số dạng thường gặp và cách giải cơ bản nhất cho từng dạng để
học sinh có thể dễ nhớ, dễ áp dụng.
2.3.3.1. Phương trình vơ tỉ dạng 1: f ( x ) = g(x)
- Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo các bước sau:
+ Bước1: Tìm ĐKXĐ của phương trình: ĐKXĐ: f ( x)  0 (*)
+ Bước 2: Với điều kiện g ( x)  0 bình phương 2 vế, đưa phương trình đã
cho về dạng: f(x) = g2(x) (2)
+ Bước 3: Giải phương trình (2)
+ Bước 4: Đối chiếu nghiệm của phương trình (2) với điều kiện (*) để kết
luận nghiệm của phương trình đã cho.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:
 g ( x )  0
f ( x ) = g(x)  
2
 f ( x ) = g ( x )

- Giáo viên chỉ ra cho học sinh một số điểm cần lưu ý khi giải dạng
phương trình trên:
Trong phép biến đổi trên, ta khơng cần điều kiện f ( x)  0 vì f ( x) = g 2 ( x) mà
g 2 ( x)  0 nên f(x)  0
- Đưa ra ví dụ minh họa:
Ví dụ 14: Giải phương trình: x − 5 = x − 7
Giải:
x  7
x  7

x − 7  0

x−5 = x – 7  
 2
  x = 6  x = 9
2
 x − 15 x + 54 = 0
( x − 5) = ( x − 7)
 x = 9


Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9
2.3.3.2. Phương trình vơ tỉ dạng 2: f ( x ) = g( x )
- Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo các bước sau:
 f ( x)  0
 g ( x)  0

+ Bước1: Tìm ĐKXĐ của phương trình: ĐKXĐ: 

(*)

+ Bước 2: Bình phương 2 vế đưa phương trình đã cho về dạng:
f(x) = g(x) (2)
+ Bước 3: Giải phương trình (2)
+ Bước 4: Đối chiếu nghiệm của phương trình (2) với điều kiện (*) để kết
luận nghiệm của phương trình đã cho.

skkn

12
- Giáo viên hướng dẫn các em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:

 f ( x )  0( g( x )  0)
f( x ) = g( x )  

 f ( x ) = g( x )

- Giáo viên chỉ ra cho học sinh một số điểm cần lưu ý khi giải dạng
phương trình trên:.
Với dạng phương trình này, trong phép biến đổi tương đương trên ta chỉ cần
đặt điều kiện f(x)  0 hoặc g(x)  0 , không cần đặt đồng thời cả g(x)  0 và f(x)
 0 vì f(x) = g(x
- Đưa ra ví dụ minh họa:
Ví dụ 15: Giải phương trình: 2 x + 5 = x + 3
Giải:
2x + 5 =

−5
−5


x 
x 
x+3 

2
2  x = −2
2 x + 5 = x + 3
 x = −2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -2
f ( x ) + g ( x ) = h( x )
2.3.3.3. Phương trình vơ tỉ dạng 3:
- Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo các bước sau:
 f ( x)  0
 g ( x)  0

+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình: ĐKXĐ: 

(*)

+ Bước 2: Bình phương 2 vế đưa phương trình đã cho về dạng:
f ( x).g ( x) =

[h( x)] 2 − f ( x) − g ( x)
(2)
2

+ Bước 3: Giải phương trình (2) bằng cách tiếp tục bình phương 2 vế.
+ Bước 4: Đối chiếu nghiệm của phương trình (2) với điều kiện (*) để kết
luận nghiệm của phương trình đã cho.
- Giáo viên hướng dẫn các em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:
 f ( x)  0
 f ( x)  0
 g ( x)  0
 g ( x)  0


 h ( x )  0

f ( x ) + g ( x ) = h( x )  
h( x )  0


2
 f ( x) + g ( x) + 2 f ( x) g ( x) = h( x)2
 f ( x) g ( x) = h( x) − f ( x) − g ( x)


2

- Giáo viên chỉ ra cho học sinh một số điểm cần lưu ý khi giải dạng
phương trình trên:
Với dạng phương trình này, trong phép biến đổi tương đương phải sử dụng
đúng hằng đẳng thức (A +B)2 = A2 +2AB + B2
- Đưa ra ví dụ minh họa:
Ví dụ 16: Giải phương trình: 1 − x + 4 + x = 3
(Đề thi HSG toán 9 huyện Nga Sơn năm học 2010 - 2011)
Giải:

skkn


13
1 − x  0
− 4  x  1

1 − x + 4 + x = 3  x + 4  0

 (1 − x)(4 + x) = 2


1
−
x
+
4
+
x
+
2
(
1
−
x
)(
4
+
x
)
=
9

− 4  x  1
− 4  x  1
− 4  x  1
x = 0


 2
  x = 0


(1 − x)(4 + x) = 4
 x = −3
− x − 3 x = 0
 x = −3


Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 0 ; x2 = -3
2.3.3.4. Phương trình vơ tỉ dạng 4: f ( x) + g ( x) = h( x)
- Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình:
 f ( x)  0
ĐKXĐ:  g ( x)  0
h ( x )  0


(*)

+ Bước 2: Bình phương 2 vế đưa phương trình đã cho về dạng :
f ( x) g ( x) =

h( x ) − f ( x ) − g ( x )
(2)
2

+ Bước 3: Giải phương trình (2) (giải giống như phương trình dạng 1)
+ Bước 4: Đối chiếu nghiệm của phương trình (2) với điều kiện (*) để kết
luận nghiệm của phương trình đã cho.
- Giáo viên hướng dẫn các em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:
 f ( x)  0

 f ( x)  0
 g ( x)  0
 g ( x)  0


f ( x ) + g ( x ) = h( x )  
 h ( x )  0
h( x )  0


 f ( x ) + g ( x ) + 2 f ( x ) g ( x ) = h( x )
 f ( x ) g ( x ) = h( x ) − f ( x ) − g ( x )


2

- Giáo viên chỉ ra cho học sinh một số điểm cần lưu ý khi giải dạng
phương trình trên:
Với dạng phương trình này, trong phép biến đổi tương đương phải sử dụng
đúng hằng đẳng thức: (A +B)2 = A2 +2AB + B2
- Đưa ra ví dụ minh họa:
Ví dụ 17: Giải phương trình: 2 x − 1 + x − 2 = x + 1 (1)
(Bài 173 sách nâng cao và phát triển Toán 9 – Trang 71)
Giải:
2 x − 1  0
x − 2  0
 x  2

(1)  


x +1  0
 (2 x − 1)( x − 2) = 2 − x

2 x − 1 + x − 2 + 2 (2 x − 1)( x − 2) = x + 1


skkn


14


x  2
x  2
x  2



 2 − x  0
 x  2
 x  2  x = 2
(2 x − 1)( x − 2) = (2 − x) 2
x 2 − x − 2 = 0
 x = −1



 x = 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

2.3.3.5. Phương trình vơ tỉ dạng 5: f ( x) + g ( x) = h( x) + p( x)
- Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo các bước sau:
 f ( x)  0
 g ( x)  0
+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình: ĐKXĐ : 
h ( x )  0
 p ( x)  0

(*)

+ Bước 2: Bình phương 2 vế đưa phương trình đã cho về dạng đã biết cách
giải.
+ Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.
+ Bước 4: Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện (*) để kết luận
nghiệm của phương trình đã cho.
- Giáo viên hướng dẫn các em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:
 f ( x)  0

 g ( x)  0

f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + p ( x )  h ( x )  0
 p( x)  0

 f ( x) + g ( x) + 2 f ( x) g ( x) = h( x) + p ( x) + 2 h( x) p( x)

- Giáo viên chỉ ra cho học sinh một số điểm cần lưu ý khi giải dạng
phương trình trên:
Với dạng phương trình này, trong phép biến đổi tương đương, khi bình
phương 2 vế của phương trình phải sử dụng đúng hằng đẳng thức :
(A +B)2 = A2 +2AB + B2

- Đưa ra ví dụ minh họa:
Ví dụ 18: Giải phương trình: x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5
Giải:
x + 1 + x + 10 =

x+2 + x+5

x + 1  0

 x + 10  0

 x + 2  0
x + 5  0

 x + 1 + x + 10 + 2 ( x + 1)( x + 10) = x + 2 + x + 5 + 2 ( x + 2)( x + 5)

skkn


15
 x  −1

4 + 2 ( x + 1)( x + 10) = 2 ( x + 2)( x + 5)
 x  −1

16 + 4( x + 1)( x + 10) + 16 ( x + 1)( x + 10) = 4( x + 2)( x + 5)
 x  −1
 x  −1



  x  −1
 x = −1
 ( x + 1)( x + 10) = − x − 1
( x + 1)( x + 10) = x 2 + 2 x + 1


Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 1
2.3.3.6. Phương trình vơ tỉ dạng 6:
3 f ( x) = a
(1) hoặc 3 f ( x) + 3 g ( x) = a (2)
- Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình:
ĐKXĐ: x  R (Căn thức bậc lẻ xác đinh với x  R )
+ Bước 2: Lập phương 2 vế đưa phương trình đã cho về dạng:
F ( x).G ( x) = 0 (2)
+ Bước 3: Giải phương trình (2)
+ Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
- Giáo viên hướng dẫn các em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:
1) 3 f ( x) = a  f ( x) = a 3
2) 3 f ( x) + 3 g ( x) = a  f ( x) + 3(3 f ( x) ) 2 .3 g ( x) + 3.3 f ( x) .(3 g ( x) ) 2 + g ( x) = a 3
 f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) (3 f ( x) + 3 g ( x) ) = a 3  f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) .a = a 3
 3 f ( x).g ( x) =

a 3 − f ( x) − g ( x)
a 3 − f ( x) − g ( x) 3
 f ( x).g ( x) = (
)
3a
3a

- Giáo viên chỉ ra cho học sinh một số điểm cần lưu ý khi giải dạng
phương trình trên:
Với dạng phương trình (2), trong phép biến đổi tương đương, khi lập
phương 2 vế của phương trình phải sử dụng đúng hằng đẳng thức:
(A + B)3 = A3 +3A2B + 3AB2 + B3
- Đưa ra ví dụ minh họa:
Ví dụ 19: Giải phương trình: 3 x − 5 = 0,9 (1)
(Bài 89 SBT toán 9 tập 1 – Trang 20)
Giải:
ĐKXĐ: x  R
3

x − 5 = 0,9  x − 5 = 0,9 3  x − 5 = 0,729  x = 5 + 0,729  x = 5,729

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5,729
Ví dụ 20: Giải phương trình: 3 x + 1 + 3 7 − x = 2
Giải:
ĐKXĐ: x  R
3
x +1 + 3 7 − x = 2

skkn

(1)


16
 x +1+ 7 − x + 3

(

3

)

2

x + 1 . 3 7 − x + 3 x + 1.

 x + 1 + 7 − x + 3 3 (x + 1)(7 − x).
 8 + 33 ( x + 1)(7 − x) .2 = 8

(

3

(vì Vì

(

3

7−x

)

)

2

=8

x +1 + 3 7 − x = 8
3

x +1 + 3 7 − x = 2)

 x = −1
 3 ( x + 1)(7 − x) = 0  ( x + 1)(7 − x) = 0  
x = 7

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = -1; x2 = 7
2.3.3.7. Phương trình vơ tỉ dạng 7: 3 f (x) + 3 g(x) = 3 h(x)
- Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình:
ĐKXĐ: x  R (Căn thức bậc lẻ xác đinh với x  R )
+ Bước 2: Lập phương 2 vế đưa phương trình đã cho về dạng:
F ( x).G ( x) = 0 (2)
+ Bước 3: Giải phương trình (2)
+ Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
- Giáo viên hướng dẫn các em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:
3 f ( x ) + 3 g ( x ) = 3 h( x )
 f ( x) + 3(3 f ( x) ) 2 .3 g ( x) + 3.3 f ( x) .(3 g ( x) ) 2 + g ( x) = h( x)

 f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) (3 f ( x) + 3 g ( x) ) = h( x)
 f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) .3 h( x) = h( x)  f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x)h( x) = h( x)
 3 f ( x).g ( x).h( x) =

h( x ) − f ( x ) − g ( x )
h( x ) − f ( x ) − g ( x ) 3

 f ( x).g ( x).h( x) = (
)
3
3

- Giáo viên chỉ ra cho học sinh một số điểm cần lưu ý khi giải dạng
phương trình trên:
Với dạng phương trình (2), trong phép biến đổi tương đương, khi lập
phương 2 vế của phương trình phải sử dụng đúng hằng đẳng thức:
(A + B)3 = A3 +3A2B + 3AB2 + B3
- Đưa ra ví dụ minh họa:
Ví dụ 21: Giải phương trình: 3 x + 1 + 3 x − 1 = 3 5 x (1)
Giải:
ĐKXĐ: x  R
3
x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x
 x + 1 + x − 1 + 33 ( x + 1)( x − 1) .(3 x + 1 + 3 x − 1) = 5 x
 2 x + 33 ( x + 1)( x − 1) .3 5 x = 5 x  2 x + 33 ( x + 1)( x − 1).5 x = 5 x
 33 ( x + 1)( x − 1).5 x = 3x  3 ( x + 1)( x − 1).5 x = x
 ( x + 1)( x − 1).5 x = x 3  5 x 3 − 5 x = x 3  4 x 3 − 5 x = 0  x(4 x 2 − 5) = 0

skkn


17
x = 0

x =  5

2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x1 = 0; x2;3 = 
2.3.4. Một số bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1) x - 1 = x – 3
3) x 2 − 6 x + 9 + x 2 + 10 x + 25 = 8
5) 2 x − 2 + 2 2 x − 3 + 2 x + 13 + 8 2 x − 3 = 5 9
7) x − 2 − x + 1 = 2 x − 1 − x + 3
9) 3 2 x − 1 + 3 2 x + 1 = 3 10 x

2)

5
2

2x 2 − 1 = 3x − 8
4) x − 2 + 3x + 4 = 4 x + 1

6) 3 2 x + 1 + 3 3 − 2 x = 4
8) x 2 + x + 2006 = 2006
10) 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2 x − 3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đơí với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi áp dụng đề tài này trong việc dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ
bản thân đã thu được những kết quả bước đầu đáng phấn khởi.
- Về phía giáo viên: Phần nào giáo viên cũng vững vàng hơn về mặt kiến
thức, có thêm kinh nghiệm trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và
hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ nói riêng.
- Về phía học sinh: Được cung cấp những kiến thức cơ bản về phương trình

vơ tỉ, các dạng phương trình vơ tỉ, các phương pháp giải phương trình vơ tỉ, cách
phát hiện và khắc phục những sai sót khi giải phương trình vơ tỉ các em đã:
+ Trách được những sai sót đáng tiếc khi giải phương trình vơ tỉ.
+ Có kỹ năng vận dụng thành thạo các phương pháp để giải phương trình vơ tỉ.
+ Nắm vững được các dạng phương trình vơ tỉ cơ bản và cách giải của từng dạng.
+ Có hứng thú, khơng ngại khó khi phải giải phương trình vơ tỉ. Đặc biệt với
học sinh yếu kém, trung bình các em đã có thêm những vốn kiến thức cơ bản,
biết giải các dạng phương trình vô tỉ đơn giản.
- Kết quả: Để kiểm tra khả năng tiếp thu và lĩnh hội kiến thức của học sinh,
sau khi áp dụng đề tài này tôi đã ra một đề tốn:
Giải phương trình: x + 3 + x - 2 = 5 và đã thu được kết quả như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Số HS
Lớp
dự KT SL %
SL % SL % SL %
SL
%
9A
42
10 23,8 12 28,6 18 42,8 2
4,8
0
0
9B
37

9 24,3 13 35,2 14 37,8 1
2,7
0
0
Khối 9
79
19 24,1 25 31,6 32 40,5 3
3,8
0
0
Nhìn vào bảng kết quả trên ta thấy, tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu kém giảm
đáng kể (từ 48,1% giảm xuống cịn 3,8 %), đặc biệt khơng cịn học sinh bị điểm
kém, tỉ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi tăng lên rõ rệt (từ 22,8% tăng lên 55,7 %).

skkn


18
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Trên đây là một số sai sót mà học sinh thường mắc phải khi giải phương
trình vơ tỉ. Để khắc phục những sai sót đó, tơi đã cung cấp cho các em những
kiến thức cơ bản có liên quan đến phương trình vơ tỉ, hình thành cho các em một
số phương pháp giải phương trình vơ tỉ nói chung, cách giải một số dạng
phương trình vơ tỉ nói riêng. Qua đó, tạo ra cho các em niềm say mê trong học
tập, khơng ngại khó khi phải giải phương trình vơ tỉ.Tuy nhiên để kết quả đạt
được như mong muốn đòi hỏi giáo viên phải biết phân luồng học sinh, tác động
vào từng đối tượng với mức độ, dạng bài tập khác nhau, đi từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp. Giáo viên nên lồng ghép chuyên đề này trong các buổi học
thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi. Đây là một vấn đề hồn tồn mới mẻ và hết sức

khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, yếu kém, vì vậy giáo viên nên cho các
em làm quen dần từ những bài trong sách giáo khoa, sách bài tập. Giáo viên cần
chú ý phát huy tích tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh.
3.2. Kiến nghị:
Với một chút kinh nghiệm sau nhiều năm giảng dạy mơn tốn 9 nói chung,
dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ nói riêng, bản thân đã đúc rút và trình bày
trong sáng kiến kinh nghiệm: “Phát hiện, khắc phục một số sai sót và hướng
dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỉ ở trường THCS Nga Thanh, huyện
Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa”. Trong bài viết này, chắc chắn không thể trách khỏi
những hạn chế, khiếm khuyết, bản thân rất mong nhận được sự góp ý của đồng
nghiệp. Xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 19 tháng 5 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Trần Thị Lan

skkn