Skkn một số phương pháp giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11

Người thực hiện: Phan Văn Ngà
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2022
1

skkn


MỤC LỤC

Trang

1. MỞ ĐẦU

3

1.1. Lý do chọn đề tài

3

1.2. Mục đích nghiên cứu

3

1.3. Đối tượng nghiên cứu

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

4

2.1. Cơ sở lý luận

4

2.2. Thực trạng của đề tài

4

2.3. Các giải pháp tổ chức thực hiện

4

2.3.1. Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

5

2.3.2. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

10

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

18

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

19

3.1. Kết luận

19

3.2. Kiến nghị

19

TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Từ đầu lớp 11 về trước: học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn là các hình trong
phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng
và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy. Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều

được biểu diễn một cách trực quan . Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ là những
hình phẳng không thể phản ánh trung thành. Các quan hệ như quan hệ vng góc, quan hệ
bằng nhau... của các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn đối với học sinh.
- Sau khi giới thiệu 2 quan hệ: quan hệ song song, quan hệ vng góc trong khơng gian,
sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra hai khái niệm quan trọng là: “Khoảng cách” và
“góc” trong đó có các bài tốn liên quan đến hai khái niệm này được khai thác rất nhiều
trong các kì thi như kì thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. Ngồi ra việc giải quyết được
các bài tốn về khoảng cách cịn giúp ta giải quyết được các bài tốn về thể tích khối đa diện
ở lớp 12.
- Trong bài “Khoảng cách”: Do yêu cầu về thời lượng chương trình sgk hình học lớp 11
mới chỉ đưa ra các khái niệm về khoảng cách và nêu lên mối liên hệ giữa các khái niệm đó
bằng một chú ý ở cuối chương và hai ví dụ cơ bản về khoảng cách.Do đó khi đứng trước
2

skkn


một bài tốn u cầu về khoảng cách. Từ đó dẫn đến học sinh khó tư duy về hình học không
gian, rồi âm thầm bỏ không học phần này.
Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm trong quá trình dạy học, tôi xin mạnh dạn đưa
ra đề tài: “ Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học khơng
gian lớp 11”. Thơng qua nội dung của đề tài tôi muốn cung cấp cho học sinh một cái nhìn
tổng quan hơn về phương pháp giải, từ đó có định hướng tốt để tìm ra các lời giải về khoảng
cách. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ làm cho học sinh u mơn hình học khơng gian hơn và giúp
đồng nghiệp có thêm một tư liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy của mình.

1.2. Mục đích nghiên cứu
- Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng , mắc nhiều sai lầm và thậm chí là
khơng có định hướng về lời giải trong việc tính các bài tốn về khoảng cách.
- Góp phần gây hứng thú học tập phần khoảng cách đối cho học sinh, giúp các em

có thể giải được một trong các phần được coi là khó của đề thi, địi hỏi phải có tư duy
cao .
- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then chốt
cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.
- Nâng cao chất lượng bộ mơn tốn theo từng chuyên đề khác nhau góp phần nâng
cao chất lượng dạy học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu Trong chương trình phổ thơng để giải một bài tốn về khoảng
cách cịn có một cách: “Giải hệ trục tọa độ trong không gian” sau đó sử dụng tọa độ trong
khơng gian để làm việc nhưng do khuôn khổ không cho phép nên trong đề tài này tơi chỉ
khai thác vấn đề dưới góc độ nghiên cứu hình học khơng gian một cách thuần túy.

1.4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm
và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ
thống theo từng mức độ từ dễ đến khó.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
-Trong nghiên cứu khoa học việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một
vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một
lớp các bài tốn tương tự nhau. Trong dạy học, giáo viên có vai trị thiết kế và điều khiển
sao cho học sinh thực hiện và luyện tập nhưng hoạt động tương thích với nội dung dạy học
trong điều kiện được lợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và
có trải nghiệm thành cơng. Do vậy trang bị phương pháp cho học sinh là nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viên.
-Trong bài” Khoảng cách” sgk lớp 11 có đưa ra 4 khái niệm về khoảng cách:
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

“ Khoảng cách giữa hai điểm A,B chính là độ dài đoạn thẳng AB”. Khái niệm này các
em đã được giới thiệu và làm việc rất nhiều ở các cấp học dưới. Trên đây cũng là tất cả các
khoảng cách trong thực tế. Do đó nếu có được một hệ thống phương pháp giải các bài tốn.
Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
3

skkn


Bài tốn 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và hai mặt phẳng song song, khoảng
cách giữa hai mặt phẳng song song
Bài tốn 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Hầu hết các bài toán về khoảng cách sẽ được giải quyết, ngoài ra trong 4 bài toán trên.
‘’Trừ bài toán 1”, các bài toán đều quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Vì vậy tôi thấy việc đưa ra “một số phương pháp giải các bài tốn về khoảng cách
trong hình học khơng gian lớp 11” là một việc rất cần thiết và bổ ích cho việc dạy học của
giáo viên cũng như việc học hình khơng gian của học sinh.

2.2. Thực trạng của đề tài
Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của
mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm địi hỏi phương pháp dạy và học
cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử của
các trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tìm cực trị của
hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài tốn có liên quan, đây là các
bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao. Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo
được cho các em có thêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tìm cực trị của hàm số
và nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi.
Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của

học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2021-2022 (thông qua các lớp trực tiếp
giảng dạy) về các bài tốn tính khoảng cách, đã thu được kết quả như sau:
Lớp Sĩ Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
số SL %
SL %
SL
%
SL
%
SL %
11C2 35 0
0% 6
17,1
16
45,7
10
28,4
3
8,8%
%
%
%
11C8 47 1
2,1
8
17,2

22
46,8
12
25,5
4
8,4%
%
%
%
%
Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng tốn này khơng nhiều, có rất nhiều em
chưa định hướng được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
Thực hiện đề tài này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tìm khoảng cách thơng
qua các phương pháp cụ thể và ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó. Cuối cùng là
bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết2.3.
Các giải pháp tổ chức thực hiện
Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành hai phần
Phần 1. Phương pháp tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phần 2. Phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Mỗi phần được thực hiện theo các bước:
- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài
- Nêu các ví dụ áp dụng
- Đưa ra các bài tập tương tự
Nội dung cụ thể:
2.3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng.
a. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
đến
đường thẳng
là khoảng cách

giữa hai điểm
và
trong đó
4

skkn


là hình chiếu của điểm
đường thẳng

trên

b. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm
đến mặt
phẳng
là khoảng cách giữa hai
điểm
và
trong đó
là hình
chiếu của điểm
trên mặt phẳng

2.3.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng
song song.
a. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng song song với
mặt phẳng

Khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng
là
khoảng cách từ một điểm bất kì của
đến mặt phẳng
Ki hiệu là
b. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách
từmột điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng vng góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp
có đáy là tam giác với
Cạnh
bên
vng góc với mp đáy. Khoảng cách từ điểm đến mp
bằng
A.
Lời giải.
Kẻ
Lại có
Từ
và

B.

(vì
suy ra

C.

).

Ta có
vng

nên
Tam giác

có

Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đều
đến mặt phẳng
bằng
A.

D.

B.

có tất cả các cạnh bằng
C.

D.

5

skkn

Khoảng cách từ điểm


Lời giải.
Gọi
đều cạnh

là trung điểm của
suy ra

Vì

là

Ta có

Do tam giác

và
lăng

trụ

đều

nên

nên

Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
có đáy là tam giác vng cân đỉnh
trung điểm của
hình chiếu vng góc
của trên mặt đáy
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
bằng
A.

B.

C.

Gọi là
thuộc đường thẳng

D.

Lời giải.
Dễ dàng tính được
Ta có
(do
).
Tam giác
vng cân đỉnh
suy ra
Từ
và
suy ra

nên
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật với
vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm đến mp
A.

B.

C.

Lời giải
Tính được
Kẻ
Lại có
(do
Từ
và
suy ra
Tam giác vng

bằng

D.

).
nên
có

Chọn C.

2. Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên
Ví dụ 5. Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh
với mặt phẳng đáy và
Khoảng cách từ đến mặt phẳng
A.

Cạnh bên

B.

C.

D.

6

skkn

Cạnh bên
bằng

vuông góc


Lời giải
Kẻ
Ta có:
Suy ra
Từ

(vì
(vì

là hình vng);
).

và

suy

Tam giác vng

ra

nên

có

Chọn B.
Ví dụ 6. Cho hình chóp
có đáy là hình thang vng tại
và
với
và
Cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy và
Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
bằng

A.
Lời giải
Gọi

B.

C.

là trung điểm

hình vng. Do đó

suy ra

là

nên tam gác

vng tại
Chứng minh được

Kẻ

D.

nên

Chọn C.
Ví dụ 7. Cho hình chóp
có đáy là hình thoi cạnh

và
Hai mặt
phẳng
và
cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng
và
bằng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
bằng
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Từ giả thiết suy ra tam giác
cạnh bằng
và
Gọi
là trung điểm của
Xác

đều
và

định

Kẻ

Chứng

được
minh

được
nên

Chọn C.
Ví dụ 8. Cho hình chóp đều
có đáy là hình vng tâm
hợp với mặt đáy một góc
Khoảng cách từ đến mặt phẳng
A.

B.

C.

D.

Lời giải
7

skkn

cạnh bằng
bằng

Cạnh bên


Xác định được
Gọi
Kẻ

và

là trung điểm
suy ra
Chứng minh được

nên

Chọn D.
Ví dụ 9. Cho hình chóp
có đáy là tam giác vng tại và
bên
vng góc với mặt phẳng đáy và
Khoảng cách từ điểm
bằng
A.

B.

C.

Lời giải

Từ giả thiết ta có:

Cạnh
đến mặt phẳng

D.

đơi một vng

góc nên
Suy ra
Chọn D.
Ví dụ 10. Cho tứ diện
có
tam giác vng tại
Khoảng cách từ điểm
A.

B.

Các tam giác
đến mặt phẳng
bằng

C.

Lời giải
Ta có các tam giác
tam giác vng tại đỉnh
Do đó

đơi
một
vng
góc

là các

D.
là các
nên

Suy ra
Chọn A.
Ví dụ 11. Cho hình chóp đều
có đáy là hình vuông tâm
mặt bên và mặt đáy bằng
Khoảng cách từ đến mặt phẳng
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Từ giả thiết suy ra
Gọi

là trung điểm

Tính được

Khi đó
và

8

skkn

cạnh bằng
bằng

Góc giữa


Ta có

đơi một vng góc nên

Suy ra
Chọn D.
Ví dụ 12. Cho hình chóp
có đáy là hình thoi cạnh và
Cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy và
Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình thoi.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
bằng
A.

B.

C.

Lời giải
Gọi là trung điểm
Từ giả thiết suy ra tam giác
được

D.

suy ra
đều. Tính

và

và
Ta có

đơi một vng góc nên

Suy ra
Chọn D.
3. Quy tắc đổi điểm
Ví dụ 13. Cho hình chóp
có đáy là
hình chữ nhật tâm
Mệnh đề nào sau đây
sai?

A.
B.
C.
D.
Lời giải
Vì

nên

Do đó A đúng.

Ta có

và

Ta có

và

Ta có

và

nên

Do đó B đúng.

nên

Do đó C sai.

nên

Do đó D đúng.

Vậy C là mệnh đề sai.
Chọn C

9

skkn


Ví dụ 14. Cho hình chóp
hình chữ nhật tâm
Gọi
cạnh
Biết
nào sau đây đúng?
A.

B.

C.

D.

có đáy
là
là trung điểm của

Mệnh đề

Lời giải
Ta có

(vì

Lại có
Từ

và

(vì
và

và

).

).

suy ra

Chọn B.
Ví dụ 15. Cho hình chóp
có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường trịn đường kính
Cạnh bên
vng góc với mặt đáy. Biết
Mệnh đề nào sau
đây đúng?

A.

B.

Lời Giải
Trong mặt phẳng
Ta có

C.

D.

gọi
và

nên
Chọn C.
Dạng 2: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
2.1.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a. Định nghĩa
a) Đường thẳng
cắt hai đường thẳng
chéo nhau
và cùng vng góc với mỗi
đường thẳng ấy được gọi là đường vng
góc chung của và
b) Nếu đường vng góc chung
cắt hai
đường thẳng chéo nhau
lần lượt tại

thì độ dài đoạn thẳng
gọi là khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và
b. Cách tìm đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau và Gọi
là mặt phẳng chứa và song song với
là hình chiếu vng góc của trên mặ phẳng

10

skkn


Vì
nên
Do đó
và cắt nhau
tại một điểm. Gọi điểm này là
Gọi
là
mặt phẳng chứa và
là đường thẳng
đi qua
và vng góc với
Khi đó
vng góc với
Như vậy
nằm trong
nên cắt đường thẳng
tại

và cắt
đường thẳng
tại
đồng thời
cùng
vng góc với cả và Do đó là đường
thẳng vng góc chung của và
c. Nhận xét
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai
đường thẳng đó đến mặt phẳng song song
với nó và chứa đường thẳng còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
1. Hai đường thẳng chéo nhau – vng góc với nhau
Ví dụ 16. Cho tứ diện
có
đơi một vng góc và đều bằng
giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

C.

Khoảng cách

D.

Lời giải.
Kẻ
Từ giả thiết suy ra
Từ
và
suy ra
của
và

là đoạn vng góc chung

Do đó
Chọn C.
Ví dụ 17. Cho hình trụ đứng
có đáy là tam giác
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

C.

vuông tại

D.

Lời giải.
Kẻ
Dễ dàng chứng minh được
là đoạn
vng góc chung của hai đường thẳng
và
nên

Chọn A.
Ví dụ 18. Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
Tam giác
là tam giác
đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
và
bằng
11

skkn


A.

B.

Lời giải.
Gọi

là trung điểm

C.

D.

Suy ra

Kẻ
Ta có
Từ

và

là đoạn vng góc chung của

và

Do đó
Chọn D.
Ví dụ 19. Cho hình chóp đều
có đáy là hình vng tâm
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

Lời giải.
Dễ dàng chứng minh

Kẻ
Khi đó
là đoạn vng chung của
Ta có

C.

cạnh bằng

Cạnh bên

D.

và

Suy ra
Chọn B.
Ví dụ 20. Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh Cạnh bên
mặt phẳng đáy và
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

C.

vng góc với

D.

Lời giải.
Gọi
kẻ
Chứng minh được
là đoạn vng góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau
và
Ta có
Vậy
Chọn C.
2. Hai đường thẳng chéo nhau trong đó có một đường nằm trong mặt phẳng vng
góc với đáy
Ví dụ 21. Cho hình hộp đứng
có đáy
là hình thoi cạnh và
Cạnh bên
Khoảng cách giữa hai đường
và
bằng
A.

B.

C.

D.

12

skkn


Lời giải.
Do

nên

Gọi

Dễ dàng chứng minh được

Vậy
Chọn C.
Ví dụ 22. Cho lăng trụ đứng
có
của
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
A.

B.

Lời giải.
Do

nên

Gọi

và

C.

là trung điểm

bằng
D.

Kẻ
Dễ dàng chứng minh được
Vậy
Chọn B.
Ví dụ 23. Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh
Hình chiếu vng góc
của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
và
bằng
A.
Lời giải.
Do

B.

C.

D.

nên

Ta có

nên

Vậy
Chọn B.
Ví dụ 24: Cho hình chóp đều
có đáy là hình vng cạnh
Gọi là điểm đối xứng
của
qua trung điểm của
là trung điểm của
là trung điểm của
Khoảng
cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

C.

D.

13

skkn


Lời giải.
Gọi là trung điểm
Suy ra
là đường trung bình
của tam giác
nên
song
song và bằng một nửa
Do
đó tứ giác
là hình hình
hành.
Suy ra
Do đó

Ta có

nên

Vậy
Chọn A.
Ví dụ 25. Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh
Tam giác

đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

C.

D.

Lời giải.
Gọi là trung điểm của
Từ giả thiết suy ra
Gọi là trung điểm của
suy ra
nên
Gọi
Dễ dàng tính được
nên ta có
Từ đó suy ra
Xét hình chóp

ta tính được

Chọn C.
Ví dụ 26. Cho tứ diện

có
Gọi
là trung điểm của
bằng
A.
Lời giải.
Gọi
suy ra
Khi đó
Ta có:

B.
là điểm đối xứng với

đơi một vng góc với nhau và có
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
C.

D.

qua

đơi một vng góc nên

14

skkn

Suy ra
Chọn C.
Ví dụ 27. Cho hình chóp tứ giác đều
góc
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
A.

B.

Lời giải.
Gọi

là tâm hình vng

có đáy bằng
và
bằng

C.

Cạnh bên

tạo với đáy một

D.

Từ giả thiết suy ra

Xác định được
Do

nên

Tính được
Ta có:

đơi một vng góc nên

Suy ra
Chọn A.
Ví dụ 28. Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh
tâm
Cạnh bên
góc với mặt phẳng đáy và
Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.
Lời giải.
Gọi
Do
Ta có:

B.
Dễ thấy

C.

vng
và

D.

là trung điểm

nên
đơi một vng góc nên

Suy ra
Chọn A.
Ví dụ 29. Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật với
vng góc với mặt đáy và
Gọi
là trung điểm của
sao cho
Khoảng cách giữa hai đường
và
bằng
A.

B.

C.

D.

15

skkn

Cạnh bên
là điểm trên cạnh


Lời giải.
suy ra
Khi đó

Lấy
trên
sao cho
là hình bình hành nên

Ta có:

đơi một vng góc nên

Suy ra

Chọn D.

Ví dụ 30. Cho hình chóp
với mặt phẳng đáy và
giữa hai đường thẳng
và

A.
B.
Lời giải.
Gọi là trung điểm

Gọi
Ta có:

và

có đáy là hình vng cạnh bằng
Cạnh bện
vng góc
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
Khoảng cách
bằng
C. 5
D. 10
và

Suy ra

Tính được
đơi một vng góc nên

nên ta có

và

Suy ra
Chọn A.
Ví dụ 31. Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh
Tam giác
đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

Lời giải.
Gọi là trung điểm
Do
nên ta có

C.

D.

Từ giả thiết suy ra

16

skkn

Kẻ

Chứng

minh

được

nên
Ta

có

Suy

ra

Chọn C.
Ví dụ 32. Cho hình chóp
có đáy là hình vng tâm
cạnh bằng
Cạnh bên
Hình chiếu vng góc của đỉnh trên mặt phẳng
là trung điểm của
của
đoạn thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

B.

C.

D.

Lời giải.
Do
Kẻ
được
Tính được

nên
và kẻ
nên

Chứng minh

Khi đó
Vậy
Chọn A.
Ví dụ 33. Cho khối chóp
có đáy là tam giác với
và
Hai mặt phẳng
và
cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi
điểm
Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và
bằng
A.

B.

Lời giải.
Từ giả thiết suy ra
Gọi
là trung điểm
suy ra
có
Kẻ

Chứng minh được

C.

Cạnh bên
là trung

D.

và tam giác
nên ta

vng cân tại

nên

Tính được
Vậy
Chọn B.
Ví dụ 34. Cho hình chóp
mặt phẳng đáy và
Gọi
và
bằng

có đáy là hình vng cạnh Cạnh bên
vng góc với
là trung điểm
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
17

skkn


A.

B.

Lời giải.
Do

nên ta có

Kẻ

C.

Chứng minh được

Tam giác vng

nên

có

Chọn A.
Ví dụ 35. Cho hình chóp
mặt phẳng đáy, góc giữa
giữa hai đường thẳng
và
A.

D.

có đáy là hình vng cạnh Cạnh bên
và
bằng
Gọi
là trung điểm của
bằng

B.

C.

D.

Lời giải.
Xác định được
Gọi là trung điểm
Khi đó
Gọi
Kẻ
nên

vng góc với
Khoảng cách

Suy ra
suy ra

suy ra

là trung điểm
suy ra
Chứng minh được

Chọn C.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Nông Cống I năm học 2021-2022, tôi
được nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 11C2, 11C8 . Sau khi thử nghiệm dạy nội
dung này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy
học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng học toán
được nâng lên rõ rệt.
Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả như sau:

Lớp

Sĩ Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
số SL %
SL %
SL
%
SL
%
SL
%
11C2 35 11 31,4
15 42,8
6
17,3
3
8,5%
%
%
%
11C8 47 12 25,5
21 44,9
10
21% 3
6,5% 1

2,1%
%
%
Như vậy qua kết quả trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu tôi nhận thấy
chất lượng học tập mơn tốn của học sinh được nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh
khá giỏi tăng lên nhiều.
Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận và rút
kinh nghiệm. Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu
18

skkn


quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về vấn
đề tính khoảng cách, cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Dạy Tốn ở trường THPT là một q trình sáng tạo. Mỗi giáo viên đều tự hình
thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạt được
mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương lai của đất
nước. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo
và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Như vậy với đề
tài “một số phương pháp giải các bài tốn về khoảng cách trong hình học khơng gian lớp
11” đã giúp học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt hơn trong việc định hướng
biến đổi và có kinh nghiệm trong việc tìm khoảng cách nói chung. Từ đó góp phần
nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong dạy học.
Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng nghiệp
song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý , bổ sung
của các đồng nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị

3.2.1. Đối với tổ chun mơn :
Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tìm cực trị
của hàm số. Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập tốn liên quan đến những dạng
bài tập trong bài giảng.
3.2.2. Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thơng qua đó các học sinh bổ trợ
nhau về kiến thức.Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài
giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải tốn.
3.2.3. Đối với sở giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau
mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội bộ để
gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 9 tháng 5 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do
chính bản thân mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.

Phan Văn Ngà

19

skkn


4. Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh
( Tổng chủ biên) – Văn Như Cương( Chủ biên) .
[2]. Sách bài tập Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Văn Như Cương

( Chủ biên) .
[3]. Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG của các trường
trên cả nước.
Danh mục
Sáng kiến kinh nghiệm đã được Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh và các
cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên
Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại
đánh giá
TT Tên đề tài SKKN
(Ngành GD cấp xếp loại
huyện/tỉnh;
(A,
B,
Tỉnh…)
hoặc C)
1
Phương pháp tính ngun hàm Ngành GD cấp C
và các bài tốn nguyên hàm tỉnh
đặc biệt
2
Bất Đẳng thức và bất đẳng Ngành GD cấp C
thức của các sắp xếp
tỉnh

20

skkn

Năm

học
đánh giá xếp
loại
2018
2020