Skkn rèn luyện kỹ năng giải bài toán tìm đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho học sinh lớp 11 thông qua sự hỗ trợ của máy tính cầm tay kết hợp với phương pháp dạy học theo dự án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN TÌM ĐẠO HÀM
VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH LỚP 11 VỚI
SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY KẾT HỢP PHƯƠNG
PHÁP DẠY HỌC THEO DỰ ÁN

Người thực hiện: Lưu Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2022

skkn


MỤC LỤC
1. Mở đầu...............................................................................................................1
1.1 Lý do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2.Mục đích nghiên cứu.......................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.......................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................2
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề...................................................2
2.3.1. Một số nội dung về đạo hàm trong Đại số và Giải tích 11..........................2

2.3.2. Ứng dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số...........................................4
2.3.3. Vận dụng dạy học theo dự án đối với các bài toán ứng dụng của đạo
hàm......................................................................................................................9
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.........................................................................17
3. Kết luận, kiến nghị..........................................................................................18
3.1. Kết luận........................................................................................................18
3.2. Kiến nghị......................................................................................................18

skkn

0


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Những năm gần đây trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, mơn
tốn thi dưới hình thức đề trắc nghiệm. Số lượng câu hỏi nhiều, áp lực kiến thức
gia tăng, cần đẩy tốc độ làm bài nhanh nhất nên nếu học sinh không có hứng thú
học thì khi kiểm tra các em sẽ khoanh bừa.
Máy tính cầm tay (khơng có thẻ nhớ) là một công cụ hỗ trợ đắc lực và phổ
biến đối với học sinh và giáo viên bậc THPT, nó thực hiện các phép tốn nhanh
và chính xác nên rất phù hợp thi trắc nghiệm.
Hơn nữa, trên tinh thần không ngừng đổi mới phương pháp dạy học trong
chương trình giáo dục THPT hiện nay thì dạy học theo dự án là một hình thức
dạy học, trong đó người học thực hiện một nhiệm vụ học tập phức hợp, có sự kết
hợp giữa lý thuyết và thực hành, có tạo ra các sản phẩm có thể giới thiệu. Nhiệm
vụ này được người học thực hiện với tính tự lực cao trong tồn bộ q trình học
tập, từ việc xác định mục đích, lập kế họach, đến việc thực hiện dự án, kiểm tra,
điều chỉnh, đánh giá quá trình và kết quả thực hiện. Làm việc nhóm là hình thức

cơ bản của dạy học dự án. Người học tham gia tích cực và tự lực vào các giai
đoạn của quá trình dạy học, từ việc xác định mục đích, lập kế hoạch đến việc
thực hiện dự án, kiểm tra, điều chỉnh, đánh giá quá trình và kết quả thực hiện.
Giáo viên chủ yếu đóng vai trị tư vấn, hướng dẫn, giúp đỡ, khuyến khích tính
tích cực, tự lực, tính trách nhiệm, sự sáng tạo của người học. Người học không
chỉ tiếp thu kiến thức về các sự kiện mà còn áp dụng lý thuyết vào thực tế, rèn
luyện kĩ năng giải quyết vấn đề.
Chương trình mơn Tốn khối 11 tương đối dài và khó đối với nhiều học
sinh. Chương V- Đạo hàm trong Đại số và Giải tích 11 là nội dung cuối của sách
giáo khoa nên vừa có tính kế thừa, vừa là sự tiếp nối cho chương trình Giải tích
12. Đạo hàm có một ý nghĩa vơ cùng quan trọng trong thực tiễn cũng như trong
một số môn khoa học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học,…hoặc trong những
bài tốn kinh tế, bài tốn tối ưu,…
Vì vậy tơi đã áp dụng biện pháp: ‘‘Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tìm
đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho học sinh lớp 11 thơng qua sự hỗ trợ của
máy tính cầm tay kết hợp với phương pháp dạy học theo dự án’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nhằm nâng cao nghiệp vụ chun mơn, rút kinh nghiệm trong q trình
giảng dạy, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh học Tốn.
Từ thực tiễn kiến thức về đạo hàm, nó cũng dạng tốn có nhiều ứng dụng
trong hình học và vật lí. Vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này
với mục đích giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh yếu giải một cách
nhanh gọn một số bài tập đạo hàm. Giúp các em đạt hiệu quả cao trong các kỳ
thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Cách giải một số dạng tốn tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thi TPHT quốc gia theo nhiều
cách.

skkn

1


1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu là phương pháp thống kê, lựa chọn
những bài tốn hay, độc đáo, có cùng phương pháp giải sau đó phân tích, so
sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm nổi bật phương pháp rút ra kết luận.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dựa vào định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, ứng dụng của
đạo hàm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Năm học 2020 -2021 bản thân tôi là giáo viên thuộc đối tượng dôi dư được
điều động đến công tác tại trường THCS và THPT Như Xuân. Tơi được giao
nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn khối 11.
Trường THCS và THPT Như Xuân được đặt trên địa bàn thôn Ná Cà 2, xã
Thanh Quân, huyện Như Xuân từ năm học 2017 – 2018. Đây là một xã thuộc
vùng đặc biệt khó khăn. Khoảng 99% học sinh là người dân tộc thiểu số, đa
phần thuộc diện hộ nghèo và có hồn cảnh tương đối đặc biệt: bố mẹ đi làm ăn
xa, các em phải tự lực trong việc chăm sóc bản thân và học hành. Điều này ảnh
hưởng khơng nhỏ đến điều kiện sinh sống và học tập của các em.
Qua tìm hiểu về đối tượng học sinh mà mình giảng dạy tơi nhận thấy:
- Điểm đầu vào mơn toán của các em rất thấp: Năm 2019 là 1,8.
- Một bộ phận không nhỏ các em mất kiến thức cơ bản, kỹ năng tính tốn
q yếu. Nhiều học sinh không biết cộng trừ số âm, không biết cách giải phương
trình bậc nhất, bậc hai và đặc biệt rất hạn chế sử dụng máy tính cầm tay.
- Các em cịn lúng túng trong các bài tốn có nội dung thực tiễn, thường
bỏ qua những bài toán trong sách giáo khoa nếu nó mang nội dung thực tiễn.
- Học sinh ở trường rất ít em có MTCT và nếu có cũng chỉ để tính những

phép tốn thơng thường chứ chưa sử dụng các thuật tốn để giải tốn cũng như
tìm đáp số nhanh nhất.
Phân phối chương trình khơng có tiết hướng dẫn dùng MTCT, chưa cập
nhật với sự thay đổi hiện nay. Nên biện pháp này của tơi mong muốn góp một
phần giúp HS có thêm những cách làm về một số bài tốn liên quan đến đạo
hàm có sử dụng MTCT để đi đến kết quả nhanh và chính xác.
Những vấn đề trên địi hỏi bản thân tơi phải ln ln tìm tịi và đưa ra
hướng giải quyết khắc phục sao cho học sinh của mình đạt kết quả cao nhất
trong các kì thi và phải tìm ra được những cách giải phù hợp và nhanh cho từng
dạng toán cụ thể để truyền thụ cho học sinh. Bản thân tôi cũng mong muốn góp
phần phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng
dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt cũng như thích ứng với xu
hướng hiện nay, thực hiện quan điểm dạy học lấy học sinh làm trung tâm.
Thực trạng trên là những động lực giúp tôi nghiên cứu biện pháp này.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Một số nội dung về đạo hàm trong Đại số và Giải tích 11
a. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số

skkn

xác định trên

2


khoảng

và

Nếu tồn tại giới (hữu hạn)

giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm
(hoặc

thì

tại điểm

), tức là

và kí hiệu là
hoặc

(với
Lưu ý : Các hàm số ta xét trong bài luôn có đạo hàm.
b. Ý nghĩa của đạo hàm :
Ý nghĩa hình học :
+)

).

là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

+) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
là :
.
Ý nghĩa vật lý :

tại điểm
tại điểm

+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
thời điểm

là

tại

.

+ Cường độ tức thời của điện lượng

tại thời điểm

là

c. Qui tắc tính đạo hàm :
 Nếu hàm số
có đạo hàm theo x là
hàm theo u là
.
Bảng tóm tắt qui tắc tính
đạo hàm
Hàm số thường gặp
( : hằng số)

và hàm số

có đạo

Hàm số hợp

( hằng
số)

skkn

3


d. Đạo hàm của các hàm số lượng giác.

2.3.2. Ứng dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số
Để khắc phục tình trạng số máy tính trong lớp khơng nhiều, tơi đã trao
đổi, động viên một số phụ huynh có khả năng mua máy tính cho con mình, mặt
khác tơi cũng tự trang bị một số máy giúp một số em khơng có khả năng mua.
Tơi chia lớp thành nhiều nhóm, trong chia đều mỗi nhóm có các bạn có MTCT
và có kỹ năng dùng MTCT tốt để giúp đỡ các bạn còn lại.
MTCT sử dụng ở đây là Casio fx- 570 VN Plus là loại máy mà đa số các
em đang dùng, các chức năng cơ bản của máy xem ở tài liệu fx- 570VN PLUS
(bảng hướng dẫn sử dụng). Các máy tính khác có các chức năng tương tự đều có
thể vận dụng.
Các ví dụ lấy trong tài liệu này chủ yếu thuộc mức độ nhận biết và thông
hiểu để phù hợp với năng lực của học sinh.
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Bài tốn: Tính đạo hàm của hàm số số y = f(x) tại x = x0
Cú pháp:
- Nếu ta nhập sai hàm số f(x) khơng liên tục tại x 0 thì máy báo lỗi “ Math
ERROR”.
- Đối với phần lớn hàm số khi ta nhập sai hàm số f(x) liên tục tại x 0 mà khơng

có đạo hàm tại x0 thì máy thơng báo “Time Out”.
- Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị
radian).
- Nếu giá trị ở các phương án có số vơ tỉ thì cài đặt hiển thị ở chế độ fix- 9
(SHIFT MODE 6 9) và tính theo cách 2 (A được gán bởi các giá trị của mỗi
phương án ).
Thao tác bấm máy :
Bước 1 : Bấm tổ hợp phím
+
Bước 2: Nhập hàm số tại điểm x0 và ần bằng.
Ví dụ 1: Cho hàm số
. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 2.
Hướng dẫn giải

skkn

4


Bước 1 : Bấm tổ hợp phím

+

ta được:

Bước 2: Nhập hàm số

và x = 2 ta được

Nhấn “=” ta được kết quả cần tìm:

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của hàm số
Giải:
Phương pháp truyền thống
Đặt

Cách 1:
gia của đối số tại

. Giả sử

tại điểm

.
Dùng MTCT

là số

Cách 4:
Cú pháp
. Sau đó ấn
phím dấu = ta có kết quả bằng 4.
Vậy

Vậy
Cách 2 :

.
Cách 3: Ta có
Nhận xét: Nếu đề bài yêu cầu dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số thì ta
làm cách 1 hoặc cách 2. Sau khi học cơng thức tính đạo hàm của hàm số thường

gặp thì học sinh có làm thêm cách 3. Cách 4 cho biết đáp số nhanh mà chưa cần
phải biết công thức tính đạo hàm của hàm số thường gặp cũng như khơng phải
biến đổi gì.
Bài tập đề nghị
Câu 1: Với hàm số
A.

thì
C.

B.

skkn

bằng
D.
5


Câu 2 : Cho chuyển động được xác định bởi phương trình
,
trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển
động khi
là
A.
B.
C.
D.

4

x−1 tại điểm có hồnh độ x0 = -1

Câu 3: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) =
có hệ số góc là
A. -1.
B. -2.
C. 2.
D. 1.
Dạng 2: Xác định đạo hàm của một hàm số
Bài toán: Cho hàm số f(x) và các hàm số fi(x). Hãy xác định hàm số fi là đạo
hàm của hàm số f(x).
Cú pháp:
hoặc
.
- Trong đó f là hàm số cần xác định đạo hàm, i là các phương án đã cho.
- A được gán giá trị bất kì để kiểm tra (khơng nên nhập cho A giá trị lớn, khi
đó máy sẽ báo lỗi), nếu máy cho ít nhất một giá trị khác khơng thì loại phương
án đó, nếu máy ln cho giá trị bằng khơng với một dãy giá trị của A thì chọn
phương án đó. Để dễ đọc kết quả ta nên cài chế độ hiển thị fix- 9.
Lưu ý: Nếu không cài đặt chế độ hiển thị fix-9 máy không cho kết quả bằng
khơng mà cho kết quả có giá trị tuyệt đối vơ cùng bé.
Việc tính đạo hàm của hàm số thường là áp dụng cơng thức và các qui
tắc. Do đó ở phần này tôi yêu cầu các em phải nhớ và vận dụng thành thạo các
cơng thức về phép tốn đạo hàm.
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
.
b)
.
Hướng dẫn: Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu và 2 cơng thức

,
Giải.

.

a)

b
=
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
. b)
. c)
. d)
Hướng dẫn: Sử dụng qui tắc và công thức đạọ hàm thường gặp.

.

Giải. a)
b)

skkn

6


c)
d)
Bài tập đề nghị
A. Bài tập tự luận. Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) y =

b)

e)
;
B. Câu hỏi trắc nghiệm

c)
f)

;

Câu 1 : Hàm số

;

g) y = (x² – 2)

.

có đạo hàm là

A.
C.

; d)

.

B.

.

.

D.

Câu 2 : Đạo hàm của hàm số
A.

là

B.

C.

Câu 3 : Đạo hàm của hàm số
B.

D.

.

là
C.

D.

A.

Dạng 3 : Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Sau phần qui tắc tính đạo hàm thì đối với hàm số lượng giác tôi cũng sẽ yêu cầu
học sinh áp dụng các cơng thức tìm đạo hàm rồi mới “tung’’ câu hỏi trắc
nghiệm.
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = 3sinx + 5cos x.
b) y = xcotx.
c)
Hướng dẫn: Sử dụng công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản.
Giải. a) y’ = (3sinx)’ + (5cosx)’= 3cosx- 5 sinx.

.

b) y’ = x’cotx+x cotx =
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)

. b)

.

skkn

7


c)
. d)
Hướng dẫn: Sử dụng công thức đạo hàm của các hàm số hợp
Giải.

a)
b)
c)
d)

Ví dụ 3: Đạo hàm của các hàm số
A.
C.
Giải.
Phương pháp truyền thống

là
B.
D.
Dùng MTCT

Bấm phím = kết quả bằng 2,666 …, loại A

Bấm phím = kết quả bằng -8998, 766... Loại B
Chọn ln đáp án C

Bấm
phím = kết quả bằng 0 chọn C.
Chú ý: Ở MTCT khơng có cơng thức cot nên để có cot2x ta bấm
.
Nhận xét: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác tan, cot cho kết quả là sin, cos
thì em nào nhớ được công thức nên làm theo cách 2. Tuy nhiên phần đa là học

skkn

8


sinh khơng cịn nhớ cơng thức nên sẽ khoanh bừa, thay vào đó các em nên dùng
MTCT, thời gian thử lâu nhưng được đáp án đúng.
Bài tập đề nghị
A. Bài tập tự luận
π
π
cos x
f ' (0 ); f ' (π ) ; f ' ; f '
f ( x )=
2
4 .
1+sin x . Tính
Câu 1: a) Cho hàm số

() ()

2

cos x
y=f ( x ) =
1+sin 2 x . Chứng minh:
b) Cho hàm số
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y = sin³ (π/3 – x). b) tan (2x + π/4). c) y =
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Đạo hàm của hàm số:

A.

.

. d) y =

.

là

B.

C.
D.
Câu 2: Đạo hàm của hàm số: y = tg3x bằng
A.

.

B.

.

C. -

.

D.

.

Câu 3: Đạo hàm của hàm số
là
A.
. B.
. C.
. D.
.
2.3.3. Vận dụng dạy học theo dự án đối với các bài toán ứng dụng của đạo
hàm
a. Những bài học kinh nghiệm để dạy học dự án thành công
- Việc phân chia các bước trong dạy học dự án chỉ có tính tương đối. Trong thực
tế chúng có thể xen kẽ và thâm nhập lẫn nhau.
- Giáo viên phải phác họa trước các ý tưởng cơ bản của dự án. Nếu không bám
sát vào mục tiêu dạy học, mục đích của dự án sẽ mơ hồ và kết quả học tập có thể
bị hiểu sai.
- Hãy để cho nội dung định hướng việc lựa chọn và thiết kế dự án. Dựa vào mục
đích, mục tiêu và chuẩn kiến thức, kĩ năng; giáo viên sẽ lựa chọn các bài học cần
ưu tiên trong chương trình. Khi thiết kế dự án, phải chắc chắn rằng việc lập kế
hoạch hành động sẽ giúp cho người học xác định được mục tiêu học tập dự kiến.
- Giáo viên chỉ là người hướng dẫn và hỗ trợ, không làm thay mà là tạo điều
kiện cho HS làm việc.
- Giáo viên cần đặt câu hỏi cho người học suy nghĩ và thử thách họ. Nên lựa
chọn những câu hỏi định hướng một cách cẩn thận để người học tiếp thu được
những kiến thức cần thiết trong chương trình.
- Hãy nhớ kiểm tra những kỹ năng cần thiết, kiểm tra tư duy của học sinh. Việc
kiểm tra và tự kiểm tra, điều chỉnh cần được thực hiện kịp thời trong tất cả giai
đoạn của dự án.

skkn

9


- Trong suốt dự án, nên tạo nhiều cơ hội để đánh giá và kiểm soát sự tiến bộ của
học sinh. Sau mỗi dự án cần đánh giá và rút kinh nghiệm nghiêm túc cho lần sau
có kết quả tốt hơn.
Trong dự án này GV chỉ yêu cầu HS thực hiện nhiệm vụ tìm hiểu, lĩnh hội
những dạng tốn thường gặp và sẽ gặp trong các đề thi THPT Quốc gia để biết
cách giải quyết nó. Đồng thời biết định hướng và đề xuất những bài toán tương
tự.
b. Áp dụng
GV chia lớp thành 4 nhóm, giao cho mỗi nhóm một đề tài chung là tìm hiểu
các dạng bài tốn chuyển động ứng dụng đạo hàm; lập phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số và đề xuất bài toán tương tự. Song các nhóm có u cầu khác
nhau:
-Nhóm I+II: Tính vận tốc hoặc gia tốc của vật trong thời điểm t;
-Nhóm III+IV: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
- Lập nhóm 4 nhóm zalo tương ứng.
- Trong thời gian thực hiện dự án, do ảnh hưởng của dịch Covid 19, các buổi
thảo luận riêng của các nhóm và việc giáo viên gặp gỡ các bạn cũng rất hạn chế.
Hơn nữa, cũng là để tập cho các em kĩ năng học online, ứng phó với dịch bệnh
khi cần thiết, tôi đã tiến hành trao đổi, kiểm tra tiến trình làm việc của các nhóm
thơng qua hình thức trực tuyến qua phần mềm Zoom và Google Meet.
- Sau khi kết thúc dự án, việc giao bài tập trên các nhóm vẫn được duy trì.
*Kế hoạch thực hiện
Bước 1: Chuẩn bị:
1.Những việc cần làm:
-Nhóm họp bàn phân cơng nhiệm vụ cho từng thành viên.
-Họp nhóm để đánh giá nguồn tư liệu.

2. Thời gian: 1 tuần.
3. Phương pháp tiến hành:
-Đọc sgk, sách tham khảo và các nguồn tư liệu khác.
Bước 2. Thực hiện dự án:
-Từng thành viên trong nhóm theo phân công để thực hiện.
-Thảo luận giữa đợt giữa các thành viên trong nhóm để giải quyết vấn đề khó
khăn và kiểm tra tiến độ.
-Thảo luận cuối đợt để xây dựng sản phẩm: tập hợp, kiểm duyệt các kết quả
thành một sản phẩm cuối cùng.
-Soạn bài để báo cáo.
Bước 3: Nhóm tự đánh giá:
+) Qua dự án đã học được gì? Hình thành được thái độ tích cực nào?
+) Nhóm có hài lịng về kết quả thu được hay khơng?
+) Khi thực hiện dự án gặp những khó khăn gì? Giải quyết bằng cách nào?
+) Những cảm nhận của cá nhân sau khi thực hiện xong 1 dự án.
-Các nhóm khác nhận xét đánh giá: mỗi nhóm hồn thành dự án in một bản cho
các nhóm khác cùng đọc để nhận xét, đánh giá. Các nhóm dựa vào các tiêu chí
đánh giá để đánh giá dự án của nhóm khác.
-Giáo viên đánh giá:

skkn

10


+Đánh giá về chất lượng sản phẩm, kết quả tự đánh giá của nhóm.
+Phương pháp làm việc của nhóm, thái độ làm việc của các thành viên trong
nhóm.
+Đánh giá trên cơ sở tiêu chí đánh giá.
2.2.4. Các dạng bài tập thơng qua hoạt động nhóm

Sau khi kết thúc dự án, tơi tổ chức một buổi luyện tập theo hình thức hoạt
động nhóm, bao gồm cả kỹ năng sử dụng MTCT và các kiến thức liên quan đến
ứng dụng của đạo hàm. Các kiến thức và dạng bài tập cần lưu ý như sau:
Dạng 1: Tính vận tốc tức thời hoặc gia tốc tức thời.
Để ghi nhớ cách tính bài tốn chuyển động HS cần nắm vững sơ đồ sau:
Nếu lần lượt lấy đạo hàm quãng đường của vật chuyển động thì được vận tốc
tức thời; lấy đạo hàm vận tốc tức thời được gia tốc.
Phương pháp: s’(t)=vtt ; a(t)= v’(t)=s’’(t).
Ví dụ 1: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động

, trong đó

và

tính bằng giây
. Vận tốc của vật tại thời điểm
bằng:
A.
B.
C.
D.
Ví dụ 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t 3 + 3t2 – 9t +
27,trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển
động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là
A.
B.
C.
D.
- Hướng dẫn:
v = S’ = 3t2 + 6t – 9 = 0

x= - 3 (loại) hoặc x = 1
a= v’ = 6t +6 = 6+6 = 12 (m/s2)
Ví dụ 3: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= t 3 - 3t2 + 4t,
trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm
lúc t = 2s bằng
A.
B.
C.
D.
’
’’
2
- Hướng dẫn: a (2) = v = S =6t - 6 = 6 m/s
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) với đồ thị hàm số
điểm có hồnh độ

tại

.

, ấn = đươc số k;

, ấn = đươc số m.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
a. Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) với đồ thị

của hàm số

tại điểm

Phương pháp:
* Tính

hệ số góc của tiếp tuyến tính

skkn

.

11


* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm

có phương trình

hay
Nếu biết hồnh độ tiếp điểm x=x0, thay vào y

(1).
.

Nếu biết tung độ tiếp điểm y0.: giải phương trình
Khi đó hệ số góc f’(x0)

pttt:

.

.

Ví dụ 1: Viết với đồ thị (C) của hàm số
a) Tại điểm A (-1; 7). b) Tại điểm có hồnh độ x = 2. c) Tại điểm có tung độ
y=5.
Phương pháp truyền thống
Dùng MTCT
a) Ta có
a) Nhập
bấm =
.
là pttt cần tìm.
Do đó pttt của (C) tại điểm A (-1; 7) là: được 0
hay y = 7.
b)
, bấm = được
b) Từ
.
9.
y’ (2) = 9. Do đó phương trình tiếp
bấm phím CALC
tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x =
với
, bấm phím = được -11
2 là:
Vậy pttt là :
.
c)
c)
MODE 5 4 nhập a, b, c, d giải

phương trình bậc 3 được

, bấm = được -3,
Di chuyển về biểu thức thay
bấm = được 6
Di chuyển về biểu thức thay
bấm = được 6
Vậy có 3 tiếp tuyến…
Nhận xét: Dùng MTCT chức năng MODE 5 hoặc SHIFT SOLVE ta có thể tìm
được nghiệm phương trình bậc ba hoặc một số phương trình khơng mẫu mực mà
phương pháp truyền thống phải tốn rất nhiều thời gian và không phải HS nào
cũng tìm được.

skkn

12


Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số

. Viết phương trình tiếp

tuyến với (C) tại điểm
có hồnh độ
Giải:
Kết hợp MTCT

.
Dùng MTCT
Cách 3

Nhập

bấm

= được 1.414213562
bấm CALC
X? =

bấm = được

Vậy pttt cần tìm

Ví dụ 3: Cho đồ thị (C)
điểm của (C) và trục tung là
A.
Giải:

.

B.

+

.

. Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao
.

C.

.

D.

.

Dùng MTCT
Cách 1: Phương pháp truyền thống
Khi
thì x0 = 0
.

Cách 3:
bấm= được -3
loại hai phương án C và D
-Dễ thấy
phương án B.

Nên pttt:

.

Vậy

,

chọn

Cách 4:

hay

. Vậy chọn phương án B.
x? bấm 0 được 2
Cách 2: Kết hợp MTCT
Nên pttt:
Với x0 = 0 thì

, bấm CALC
.

bấm = được -3

skkn

13


Nên pttt:

.

b. Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số
của nó
Phương pháp: +) Gọi

(C) khi biết trước hệ số góc

là tiếp điểm, giải phương trình
.

+) Phương trình tiếp tuyến:
Các dạng biểu diễn hệ số góc k:

.

*) Cho trực tiếp :
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = ax + b. Khi đó hệ số góc
k = a.
*) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) : y = ax + b

.

Ví dụ 1 : Cho hàm số
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải :
Dùng MTCT
Cách 1: Phương pháp truyền thống
Cách 3
MODE 5 3 (a=3, b=-6, c=3 =
Ta có:
Được X=1.
Gọi
là tiếp điểm Tiếp tuyến
Bấm CALC
X ? = 1 được 1.
tại M có hệ số góc
.
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k

= - 3 nên:
Vậy pttt :
.
Vì
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
.
Cách 2 : Kết hợp MTCT
= -3.
Dùng MTCT giải phương trình bậc 2
được X=1 hay
.
bấm = được -3
Nên pttt:

.

skkn

14


Ví dụ 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(C). Biết
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Hướng dẫn : Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = 9x + 6. Khi đó hệ
số góc k = 9.
Làm tương tự ví dụ 1 được 2 phương trình
Nhận

(loại).

.

Ví dụ 3: Cho hàm số

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng

.

Hướng dẫn : Do tiếp tuyến của (C) vng góc với đường thẳng
số góc của tiếp tuyến k = 9.
Làm tương tự ví dụ 1 được 2 phương trình là :
Bài tập đề nghị
A. Bài tập tự luận.
Câu 1: Cho hàm số
đồ thị (C)

nên hệ

và

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với

1. Tại điểm
.
2. Tại điểm có hồnh độ
3. Tại điểm có tung độ

4. Tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung.
5. Tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hồnh.
6. Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
7. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
8. Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Xét hàm số

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hồnh độ
A.

là

B.

C.

Câu 2: Đồ thị hàm số
?
A. 2.

.

D.
có bao nhiêu tiếp tuyến có tung độ

B. 1.

C.3.

Câu 3: Pttt của đồ thị hàm số

D.4.

có hệ số góc k = - 9 là

skkn

15


A.

B.

C.

D.

skkn

16


skkn

17

Một số hình ảnh trong một buổi học nhóm thu hoạch sản phẩm.

skkn

18


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Tôi đã áp dụng các biện pháp này cho học sinh trong năm học 2020-2021
và thu được những kết quả khả quan. Học sinh có hứng thú học tập hơn, tích cực
hoạt động trong các giờ học, đồng thời cũng rất linh hoạt trong từng bài tập cụ
thể. Khơng khí học tập sơi nổi, nhẹ nhàng. Học sinh có cơ hội để khẳng định
mình, khơng cịn lúng túng, lo ngại khi gặp bài tập phần này vì nội dung biện
pháp có thể áp dụng cho tất cả các bài tốn phần này.
Các biện pháp này đã được áp dụng cho học sinh lớp 11A, 11B - Trường
THCS và THPT Như Xuân, năm học 2020 – 2021, có chất lượng tương đối đều
nhau.
Lớp thực nghiệm: Lớp 11B có 41 học sinh.
Lớp đối chứng: Lớp 11A có 39 học sinh.
- Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo
lịch trình dạy thêm của nhà trường cùng một thời gian, cùng một chủ đề.
- Kết thúc chương trình dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm
tra cùng đề bài với lớp đối chứng.
Kết quả thu được như sau:
Điểm
Lớp
Thực nghiệm
Đối chứng

3

4

5

6

7

8

9

10

Tổng số bài

2

6

8

8

8

7

2

0

41

4

13

5

10

4

3

0

0

39

Lớp thực nghiệm có 33/41 (80%) đạt trung bình trở lên, trong đó có
17/41(41%) khá giỏi. Có 2 em đạt điểm 9, khơng có em nào đạt điểm tuyệt đối.
Lớp đối chứng có 22/39 (56 %) đạt trung bình trở lên, trong đó có 7/39 (18%)
đạt khá giỏi, khơng có em đạt điểm 9 và khơng có em nào đạt điểm tuyệt đối.
Đặc biệt tốc độ làm bài ở hai lớp có sự chênh lệch rõ ràng: ở lớp thực nghiệm

tốc độ nhanh hơn hẳn.
Qua quan sát hoạt động dạy, học ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, tôi
thấy:
- Ở lớp thực nghiệm, học sinh tích cực hoạt động, chịu khó suy nghĩ, tìm
tịi và phát huy tư duy độc lập, sáng tạo hơn ở lớp đối chứng. Hơn nữa, tâm lý
học sinh ở lớp thực nghiệm thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, cởi mở giữa
thầy và trò.
- Năng lực giải quyết vấn đề trong tiết học của lớp thực nghiệm tốt hơn so
với lớp đối chứng. Các em biết huy động kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan
để giải các bài tập Tốn khơng chỉ ở dạng đạo hàm ở chương trình lớp 11.
- Bài kiểm tra cho thấy kết quả đạt được của lớp thực nghiệm cao hơn lớp
đối chứng, đặc biệt là loại bài đạt khá, giỏi cao hơn hẳn.
Sau đó tơi cũng tiến hành các biện pháp tương tự cho 2 lớp 11 còn lại và kết
quả thu được rất khả quan.
Cụ thể chất lượng bài kiểm tra học kì 2 được nâng lên rõ rệt so với kết quả
khảo sát học kì 1:

skkn

19


 Lớp 11A:
Điểm
Học kì 1
Học kì 2
 Lớp 11B:
Điểm
Học kì 1
Học kì 2

 Lớp 11 C
Điểm
Lớp
Học kì 1
Học kì 2

<
4
4
2
<
4
5
2
<
4
6
3

4
8
5
4
7
6
4
6
5

5

6

10
6

13
7

5

6

7

11
7

12
6

4
11

5

6

7

8
7

14
8

7

8
3
9

9
1
8

8

9
2
7

8
2
9

0
2

0

2
9

0
3

0
1

10

Tổng số bài

0
0

39
39

10

Tổng số bài

0
0

41
41

10

Tổng số bài

0
0

36
36

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có hiệu quả th́ ì các em sẽ tự
tin hơn trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự. Tuy nhiên mỗi
bài tốn có nhiều cách giải, phương pháp giải này có thể dài hơn các phương
pháp khác nhưng nó lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận hơn các
phương pháp khác. Hoặc là tiền đề cho ta sáng tạo một dạng bài tập khác. Từ
vấn đề học sinh quá phụ thuộc máy tính khi giải tốn tơi đã tìm ra giải pháp để
các em có cái nhìn tồn diện vấn đề hơn. Đó chính là cái hay, cái đẹp của tốn
học, khiến người ta say mê tốn học.
Tơi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá trình dạy và
học đối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với học
sinh trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia hiện hành. Theo tơi khi
dạy phần tốn ngun hàm, tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các dạng
toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
3.2. Kiến nghị
- Tích cực trau dồi chun mơn nghiệp vụ, trao đổi kinh nghiệm, kiến
thức, phương pháp không chỉ ở trong trường mà mở rộng ra cụm trường trong
tỉnh và các tỉnh xung quanh, càng trao đổi nhiều thì mình càng thu được nhiều.
- Rất mong các thầy cơ giáo quan tâm, dựa vào trình độ của khối lớp để
có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức,

giúp cho các em quen dần với phương pháp này, góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học.
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng
học tập.

skkn

20


XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 – 05 – 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết SKKN

Lưu Thị Hương

skkn

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1]. Sách giáo khoa giải tích 11 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục.
[3]. Tài liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. Các bài giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất bản giáo dục.
[5]. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên (môn Toán học), Bộ giáo dục và đào tạo, Nxb
Giáo dục.
[6]. Đề thi ĐH mơn tốn các năm và đề thi minh họa năm 2021 của bộ GD và
ĐT.
[7]. Các bài tốn ngun hàm, tích phân của Đặng Việt Đơng

skkn

22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP
LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lưu Thị Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Lê Viết Tạo
TT
1.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh

Kết quả

Năm học

giá xếp loại

đánh giá

đánh giá xếp

xếp loại

loại

C

2015-2016

C

2016 - 2017

Rèn luyện kĩ năng và tư duy Tỉnh
sáng tạo cho học sinh khi sử
dụng tính đơn điệu của hàm
số để giải hệ phương trình.

2.

Rèn luyện kĩ năng và tư duy

Tỉnh

sáng tạo cho học sinh THPT
thông qua việc xây dựng một
số bài tốn tính ngun hàm
khơng sử dụng máy tính cầm
tay.

skkn

23