Skkn ứng dụng toán học vào giải quyết một số bài toán tối ưu thực tế

SỞ GIÁO
DỤC
VÀVÀĐÀO
THANH
HOÁ
SỞ GIÁO
DỤC
ĐÀO TẠO
TẠO THANH
HOÁ

TRƯỜNG
THPT
ANH
TUẤN
TRƯỜNG
THPTMAI
MAI ANH
TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI
TOÁN TỐI ƯU THỰC TẾ.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG
TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Người thực hiện: Trần Văn Thành
Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

Người thực hiện: Đào Anh Tuấn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn
THANH HOÁ NĂM 2022

skkn


THANH HOÁ NĂM 2021

MỤC LỤC
1.Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài .............................................................................02
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………........02
1.3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………….......02
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………….........02
1.5. Những điểm mới của SKKN............................................................02
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.......................................03
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiêm....03
2.3. Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện...................................03
2.3.1. Một số kiến thức và ký hiệu áp dụng trong sáng kiến:...……...04
2.3.2. Một số dạng toán thường gặp:……..…………. ..………………05
Dạng 1. LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI …..… 05
Dạng 2. LIÊN QUAN ĐẾN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH……..08
Dạng 3.LIÊN QUAN ĐẾN SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG…………..11
2.4. Những kết quả đạt được.................................................................14
3. Kết luận..........................................................................................................15

3.1. Kết luận.............................................................................................15
3.2. Kiến nghị...........................................................................................16
(*)Tài liệu tham khảo..........................................................................................17

skkn


1.Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài :
Tốn học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn
luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế. Vì vậy
việc dạy học mơn Tốn là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó
giúp học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng
nó vào cuộc sống. Dạy học mơn Tốn người thầy khơng chỉ dạy cho học sinh
kiến thức tốn học ( những cơng thức, những định lý, định đề , tiên đề …) mà
người thầy còn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề
được nêu ra trong học tập và sau này.
Trong những năm gần đây khoa học càng ngày càng phát triển, con người
cần phải nắm bắt kiến thức hiện đại. Do đó việc đổi mới phương pháp dạy học là
vấn đề cấp thiết để học sinh nắm bắt được các kiến thức khoa học và có khả
năng vận dụng vào thực tiễn góp phần vào việc xây dựng và bảo vệ tổ quốc. Với
phương pháp dạy học hiện đại như hiện nay ngoài việc truyền thụ, cung cấp
kiến thức, kỹ năng cơ bản cần thiết cho học sinh, thầy giáo cần phải quan tâm
đến việc rèn luyện kỹ năng suy luận logic, biết tổng hợp, khái quát hóa các kiến
thức đã học một cách hệ thống để học sinh có khả năng vận dụng các kiến thức
đã học để tự giải quyết vấn đề một cách năng động sáng tạo.
Trong Chương trình tốn học sơ cấp THPT thì các bài tốn tối ưu thực tế
là một trong những dạng toán quen thuộc và gần gũi với mọi đối tượng học
sinh. Rất nhiều các bài toán khác từ những bài toán cổ trong thực tế đến những
bài toán phức tạp trong các bộ môn học khác đôi khi cũng cần áp dụng những

tính chất của bài tốn. Đặc biệt trong các kỳ thi HSG tỉnh cũng như HSG quốc gia
thì các bài tập về tốn thực tế ln là một chủ đề hay và khiến đại bộ phận học
sinh cảm thấy bế tắc trong quá trình định hướng đi tìm lời giải.
Trên thực tế hiện nay có rất ít các tài liệu tham khảo cũng như các bài
giảng về bài tốn thực tế tối ưu. Trong khi đó qua nghiên cứu về dạng toán này
trong mấy năm gần đây ở các kỳ thi tuyển sinh tôi nhận thấy các kiến thức hình
học,giải tích cần sử dụng để giải quyết những bài toán này khá đơn giản. Phần
lớn giả thiết của các bài toán đều gợi ý cho ta về mối liên hệ của các tính chất
nào đó của bài tốn. Trên cơ sở đó việc giải quyết các bài toán này trở nên
tương đối nhẹ nhàng với đại bộ phận học sinh.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT cũng như giảng dạy ở một số lớp
ôn thi đại học, ôn thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy

skkn


nhiều học sinh chưa có phương pháp giải quyết lớp bài tốn này, hoặc cịn lúng
túng nhầm lẫn trong q trình làm bài. Học sinh khơng biết vận dụng kiến thức
đã học để giải quyết vấn đề này vì những lý do sau: quên kiến thức đã học, chưa
hiểu đúng u cầu của bài tốn, ít rèn luyện nên dẫn đến khả năng phân tích,
tổng hợp các dạng bài cịn yếu, khơng nhận dạng được loại bài tốn.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Với những lý do nêu trên tôi chọn đề tài: “Ứng dụng toán học vào giải
quyết một số bài tốn tối ưu thực tế” với mong muốn dần hình thành cho học
sinh những tư duy và thuật toán cơ bản trong q trình tìm lời giải cho các bài
tốn về thực tế, để học sinh tham khảo và vận dụng trong q trình học tập.
Bên cạnh đó thơng qua những ví dụ và việc phân tích lời giải các bài tập nêu ra
trong đề tài nhằm giúp học sinh hình thành những tư duy và thuật tốn cơ bản
trong q trình tiếp cận với các bài tốn về các dạng bài tập về toán thực tế và
các mối liên hệ giữa hình học và các yếu tố giải tích có liên quan.

1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng mà tơi hướng đến là học sinh lớp 12 trong trường THPT Mai Anh
Tuấn và học sinh luyện thi THPT Quốc gia,thi học sinh giỏi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu để hình thành đề tài, tôi chủ yếu sử dụng các
phương pháp sau đây
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong giảng dạy.
Thực hành thông qua các tiết dạy ôn thi đại học cũng như ôn tập học sinh
giỏi mơn Tốn của nhà trường.
1.5. Những điểm mới của SKKN:
“Bài toán tối ưu’’ là chủ đề mới đối với học sinh phổ thông, đặc biệt là học
sinh khá, giỏi của trường THPT Mai Anh Tuấn vẫn còn là điều mới mẻ. Chính vì
thế, Sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tơi có thể giúp học sinh tiếp cận dễ
dàng với bài tốn thực tế. Bên cạnh đó, qua các bài tốn có kèm theo những
đánh giá, nhận xét, đó là tính mới trong sáng kiến của tơi.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến:
Trên quan điểm dạy học là làm thế nào để phát huy được năng lực trí tuệ,
phẩm chất của người học. Để làm được điều này người thầy phải tạo được hứng
thú học tập ở các em, đặc biệt là các em phải u thích mơn của mình dạy từ đó
mới tạo được sự hứng thú sự tìm tịi ở các em. Đối với một giáo viên tốn qua
nhiều năm cơng tác giảng dạy, tôi thấy để tạo được niềm đam mê học toán ở

skkn


các em ngoài kỹ năng sư phạm, cái tâm của người thầy thì người thầy phải ln
vững chắc về chun mơn, ln tìm ra các phương hướng để cùng giải quyết
vấn đề, tìm ra cách giải mới của bài tốn phù hợp. Từ đó mới ngây được sự
hứng thú, đam mê học tập ở các em.

Do vậy “Ứng dụng toán học vào một số bài toán tối ưu thực tế ’’là một cách
để giúp học sinh tìm hiểu sâu hơn về những dạng bài tốn thực tế, giúp các em
có được một mạch kiến thức liên thông và nắm rõ hơn được bản chất vấn đề
của toán thực tế.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:
Năm học 2016 – 2017, bộ GD – ĐT chuyển đổi hình thức thi THPTQG của
mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học
cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Toán thực tế được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh từ nhỏ và nó có
mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT- QG. Hiện nay với xu hướng thi trắc
nghiệm, tốn thực tế cịn được u cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy
linh hoạt hơn , từ đó nó cũng đã được đưa vào để yêu cầu học sinh làm. Mặc dù
đã được học kỹ các phương pháp, nhưng đứng trước yêu cầu về giải quyết một
số bài toán thực tế đa số các em cịn nhiều lúng túng và thậm chí là khơng định
hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này.
Chính vì vậy mà khi dạy học, giáo viên cần liên hệ nhiều đến những kiến
thức thực tế để tăng tính tập trung và để các em vận dụng kiến thức tốt hơn.
Người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế
bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tiễn.
2.3. Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện:
2 .3.1. Một số kiến thức và ký hiệu áp dụng trong sáng kiến:
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R).

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì

skkn

.
.


Lưu ý: Hàm số:

(1)

+ Hàm số (1) đồng biến trên [e;h ] thì GTLN trên [e, h] là

, GTNN

trên [e, h] là
+ Hàm số (1) nghịch biến trên [e;h ] thì GTLN trên [e, h] là

, GTNN

trên [e, h] là
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Loại 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Loại 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;
b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu
có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

M  max f (x)  max f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)
[a;b]

m min f (x)  min f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)
[a;b]

2.3.2. Một số dạng toán thường gặp:
DẠNG 1:LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI
Ví dụ 1: Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm
về một phía bờ sơng như hình vẽ. Khoảng cách từ A
và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một
người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B.
Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là:
A. 569,5 m
B. 671,4 m
C. 779,8 m
D. 741,2 m
Gải:
+ Gọi S là điểm trên bờ sông DC.

skkn


+ Tính được:

(m)

+ Đặt
với
+ Đoạn đường người đó cần đi để hồn thành cơng việc là:

+ Áp dụng đánh giá
xảy ra khi và chỉ khi

với

. Dấu "="

(quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

+ Khi đó:

.

Dấu "=" xảy ra khi
+ Vậy đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là 779,8m
Chọn C.
Bình luận: Có thể xét hàm số
máy tính cầm tay:

để tìm ra GTNN của

Cụ thể:

với sự kết hợp của

, bằng chức năng SOLVE có

thể nhẩm được:

Ví dụ 2: Trong bài thực hành của môn huấn luyện qn sự có tình huống chiến sĩ
phải bơi qua một con sơng để tấn cơng một mục tiêu ở phía bờ bên kia sơng.
Biết rằng lịng sơng rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc
chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục
tiếu nhanh nhất, nếu như dịng sơng là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1 km
theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia sông 100m.
A.
Giải:

B.

C.

skkn

D.


+ Ký hiệu như hình vẽ A,B lần lượt là vị trí người chiến sĩ (CS) và mục tiêu tân
cơng; H, K nằm trên hai bờ sao cho AHBK là hình chữ nhật; M trên bờ HB để
người CS cần bơi đến để bắt đầu chạy bộ.
+ Ta có:
+ Đặt

; Gọi v (m/s) là vận tốc chạy bộ của người CS.

+ Khi đó: - Người CS phải bơi một đoạn bằng
⇒ Thời gian người CS bơi là:
- Sau khi bơi, người CS cần chạy bộ một đoạn

⇒ Thời gian người CS chạy bộ là:
+ Tổng thời gian người CS tấn cơng mục tiêu là:

+ Đặt
nhỏ nhất.

với

Để T nhỏ nhất thì

+ Ta có:
Từ đây suy ra được:

.

skkn

phải


+ Vậy người CS phải bơi một đoạn bằng
để đến mục
tiêu nhanh nhất.
Chọn A
Ví dụ 3:Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí
A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn
một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để
giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta
phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi
dây đó là ngắn nhất.

A. AM = 6m, BM = 18m
B. AM = 7m, BM = 17m
C. AM = 4m, BM = 20m
D. AM = 12m, BM = 12m
Giải:
+ Đặt
Suy ra:
+ Tổng độ dài sợi dây cần dùng bằng:

+ Ta có BĐT

Dấu “=” xảy ra

với

(quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

+ Khi đó:
Dấu "=" xảy ra
Dạng 2: LIÊN QUAN ĐẾN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH

skkn

Chọn A


skkn


Ví dụ 1: Cắt bỏ hình quạt trịn AOB từ một

mảnh các tơng hình trịn bán kính R rồi dán
hai bán kính OA và OB của hình quạt trịn cịn
lại với nhau để được một cái phễu có dạng
của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của
quạt trịn dùng làm phễu 0 < x < 2 . Tìm x để
hình nón có thể tích lớn nhất
A.

B.

C.

D.

Giải:+ Thế tích cái phễu là:
+ Ta có chu vi đáy bằng:
+ Lại có:
+ Khi đó:
+ Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:

Dấu "=" xảy ra khi
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho một tấm nhơm hình chữ
nhật ABCD có AD = 60cm và AB có
độ
dài khơng đổi. Ta gập tấm nhơm theo 2
cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB
và DC trùng nhau như hình vẽ bên để

skkn

được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ tạo thành
lớn nhất?
A.
B.
C.
D.
+ Ta có: AN = PD = x (cm, 0 < x < 30) ⇒ NP = 60 – 2x (cm)
+ Thể tích hình lăng trụ tạo thành bằng:

+ Trong đó AB khơng đổi nên ta chỉ cần tìm x sao cho
giá trị lớn nhất.

đạt

+ Xét hàm số
trên (15;30) ta được
(Hoặc có thể thay trực tiếp các đáp án A,B,C,D rồi chọn giá trị nào của x làm cho
f(x) lớn nhất)
Chọn A.
Ví dụ 3: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia gồm phần dạng
hình trụ (có tổng diện tích vải là
(có tổng diện tích vải là

) và phần dạng hình vành khăn

) với các kích thước như hình vẽ. Tính

tổng (r + d) sao cho biểu thức P =

(khơng kể viền, mép, phần thừa).
A. 28,2
B. 26,2
C. 30,8
D. 28,2
Lời giải
+ Ta có:

đạt giá trị lớn nhất

+ Diện tích vải để may phần dạng hình trụ là:
+ Diện tích vải để may phần dạng hình vành khăn là:
+ Khi đó, ta có:

Dấu "=" xảy ra khi
Chọn D.

skkn


Dạng 3.LIÊN QUAN ĐẾN SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG
Ví dụ 1: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu
sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích tồn phần của
hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1 dm 3 và diện tích tồn
phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.
D.
Giải:

+ Đặt bán kính đáy, chiều cao của lon sữa bị hình trụ lần lượt là r, h (đơn vị dm)
+ Theo đề ra ta có:
(dm)
+ Diện tích tồn phần của hình trụ nhỏ nhất khi:
+ Ta có:

nhỏ nhất.
.

Dấu "=" xảy ra khi:
(dm)
Chọn B.
Ví dụ 2: Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, các nhà sinh học thấy rằng: Nếu trên
mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một
vụ có cân nặng P = 960 - 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị
diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
Giải:
+ Cân nặng của cả bầy cá sau một vụ thu hoạch là: N = P.n = (960 – 20n)n (gam)
+ Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ⇔ Ta cần tìm giá trị của n sao
cho N đạt giá trị lớn nhất
+ Áp dụng BĐT AM - GM (Cauchy) cho 2 số dương ta có:

Dấu "=" xảy ra khi
Chọn B.
Ví dụ 3:Công ty mỹ phẩm cho ra một mẫu sản phẩm dưỡng trắng da chống lão
hóa mới mang tên Sakura với thiết kế là một khối cầu như một viên bi khổng lồ,

bên trong là một khối trụ nằm phần nữa để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ).
Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R =
(cm). Tìm
thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn
nhất (nhằm thu hút khách hàng).

skkn


A.
B.
Giải: + Các ký hiệu như hình vẽ bên
+ Ta có:

C.

D.

+ Thể tích khối trụ bằng:
+ Để thể tích V lớn nhất
+ Ta có:

lớn nhất.

(Áp dụng BĐT
Cauchy)
Dấu “=” xảy ra khi
+ Từ đó suy ra:
Chọn C.
2.4. Những kết quả đạt được, những kinh nghiệm rút ra, những sản phẩm chính

của đề tài:
- Qua thời gian thực nghiệm, học sinh đã nắm được những kĩ năng cơ bản
nhất của việc nhìn nhận các bài toán “tối ưu thực tế”.
- Kinh nghiệm cho thấy, những kiến thức cơ bản nhất phải được trang bị,
bồi dưỡng cho các em ngay từ năm lớp 10. Không để đến gần thi cuối cấp mới
dạy, lúc đó các em tiếp cận rất hạn chế.
- Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm chính tơi thu được là niềm
đam mê học tốn của thầy và trị, những kĩ năng được trang bị làm cho tư duy
người học ngày một phát triển.

skkn


Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng rộng rãi trong
toàn bộ học sinh khối 12. Đặc biệt, có thể dùng để ơn thi học sinh giỏi và luyện
thi THPT Quốc gia.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận.
Qua một thời gian giảng dạy, nghiên cứu về tổ hợp, những vướng mắt của
học sinh do thiếu kĩ năng cơ bản về các phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận. Có
thể nói sáng kiến kinh nghiệm của tơi thật sự cần thiết và hữu ích cho giáo viên
và học sinh. Đặc biệt là giáo viên trẻ mới ra trường, cịn non kinh nghiệm.
Một lần nữa, tơi có thể khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm này là
kết quả mà Tôi thu được sau một thời gian học tập, rèn luyện và nghiên
cứu về tích phân. Đồng thời, tích lũy những kinh nghiệm qua quá trình
dạy học với đối tượng học sinh. Đó là sự kết tinh kiến thức đã qua nhiều
thế hệ và là sự giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp. Một số bài tốn có nêu
lời giải đầy đủ, cịn có một số bài chỉ vạch ra hướng giải.Hầu hết qua các
bài tập đều có nhận xét để học sinh hoặc người đọc có thể cảm nhận
sâu sắc hơn về bài toán. Do yếu tố thời gian, cũng như kiến thức và cách

trình bày cịn nhiều hạn chế. Rất mong được sự nhận xét, góp ý của quý
đồng nghiệp và các em học sinh, để sáng kiến này được hoàn thiện hơn.
Hy vọng rằng, tài liệu này có thể giúp ích cho q đồng nghiệp và các
em học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập.
Trong thời gian tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hơn,
nhằm từng bước hoàn thiện kĩ năng cho bản thân và tạo mũi nhọn cho
nhà trường.
3.2.Kiến nghị:
Có thể dùng sáng kiến của tôi cho các em học sinh giỏi,các giáo viên
có niềm đam mê về tốn học một cách rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 1 tháng 06 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

skkn


Trần Văn Thành

(*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12- Ban cơ bản;
2. Bộ đề thi đại học, cao đẳng, đề minh họa của Bộ GD và ĐT từ năm 2016
đến nay;
3. 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng của nhà sách Lovebook – GSTT Group;
4. Một số kiến thức về tối ưu trên mạng Internet, cùng hệ thống bài tập
trên facebook của các nhóm Tốn Vận Dụng Cao;
5. Tạp chí tốn học và tuổi trẻ;

6. Website :toanmath.com.

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN
.........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................

skkn


...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
................................................................................

skkn