Skkn thiết lập hệ trục tọa độ giải một số dạng toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

THIẾT LẬP HỆ TRỤC TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Người thực hiện :
Chức vụ:

Trần Thị Hương
Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học

THANH HÓA, NĂM 2022

 

skkn


MỤC LỤC
          
1. MỞ ĐẦU

Trang

1.1. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………….1
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………….. 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………….....2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………… .2
2.1.1. Phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ ……………………………… 2
2.1.2. Hệ thống các kiến thức về tọa độ trong hình tọa độ

…………. 2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kIến kinh nghiệm…………..4
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề ………………………………………………………………………………………………5
PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT LẬP HỆ TRỤC
TỌA ĐỘ
Dạng 1. Hình chóp có chứa góc tam diện vng ……………………….......5
Dạng 2. Hình chóp đều……………………………………………………...7
Dạng 3. Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, hình chiếu của đỉnh
lên mặt đáy...................................................................................................... 9
Dạng 4. Hình lăng trụ đứng đáy là tam giác cân, tam giác đều…………. ....12
Dạng 5. Hình lăng trụ đứng đáy là hình chữ nhật, hình vuông, tam
giác vuông......................................................................................................14
Bài tập tự luyện .............................................................................................16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. …………………………………….. 19
3. Kết luận và kiến nghị…………………………………………................20
Tài liệu tham khảo      

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài :
Hình học khơng gian là một mơn học tương đối khó có tính hệ thống
tương đối chặt chẽ, logic và trừu tượng.Các bài tốn hình học khơng gian khá
phức tạp địi hỏi người học phải có tư duy tốt.Nhất là đối với  học sinh có lực
học trung bình, do khả năng tư duy tưởng tượng hình khơng gian của các em cịn
nhiều hạn chế. Đặc biệt là các bài toán chứng minh quan hệ song song, vng
góc, các bài tốn tính khoảng cách,tính góc, tính diện tích của các hình, thể tích
các khối. Trong khi đó, rất nhiều bài tốn của chương trình THPT khi biết cách
sử dụng phương pháp tọa độ thì  bài tốn có thể được giải quyết được một cách
đơn giản hơn. Vì phương pháp tọa độ có thể được xem như một phương pháp
đại số hóa bài tốn hình học. Bằng phương pháp này, học sinh chủ yếu làm việc
với các con số, khơng cần tư duy hình học nhiều và gây hứng thú cho học sinh
khi giải các bài toàn này. Tuy nhiên thiết lập hệ trục tọa độ như thế nào cho phù
hợp và thuận tiện cho q trình tính tốn thì khơng phải bất cứ học sinh nào
cũng làm được. Đối với mỗi dạng hình khác nhau thì có những cách thiết lập hệ
tọa độ khác nhau.
Trong yêu cầu về đổi mới giáo dục về việc đánh giá học sinh bằng phương
pháp trắc nghiệm khách quan thì khi học sinh nắm được dạng bài và thiết lập
được hệ trục giúp học sinh nhanh chóng tìm được đáp số.
Các bài toán chứng minh quan hệ song song, vng góc, các bài tốn tính
khoảng cách, tính góc, tính diện tích của các hình, thể tích các khối là phần quan
trọng trong chương trình Hình học lớp 12 và thường có mặt trong đề thi của các
kì thi Quốc gia hiện hành và đây cũng là một phần có lượng kiến thức lớn và
khó đối với nhiều học sinh THPT
Vì lý do trên, tơi quyết định chọn nghiên cứu chuyên đề “Thiết lập hệ
trục tọa độ giải một số dạng tốn Hình học khơng gian”.

1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm cung cấp cho các em học sinh lớp 12 một cái nhìn khái
quát về phương pháp thiết lập hệ tọa độ cho một số dạng toán hình học khơng
gian, cung cấp một phương pháp giải tốn cho học sinh giúp các em có thêm
nhiều cách giải khi gặp một bài tốn hình khơng gian, nhanh chóng tìm ra đáp
án trong các bài tốn trắc nghiệm, giúp học sinh có được kết quả cao trong kì
thi THPT Quốc gia
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu thiết lập hệ trục tọa độ giải một số dạng toán hình học
khơng gian thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia và áp dụng rộng rãi cho học
1

skkn


sinh có lực học trung bình, khá. Với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm ở
trường THPT, ở chuyên đề này, chúng tôi sẽ nghiên cứu đến một số vấn đề nhỏ
của mơn hình học lớp 12:
- Hệ thống cơ sở lí thuyết để thiết lập hệ trục tọa độ trong các dạng tốn hình
khơng gian
- Đưa ra phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ trong các dạng bài tập cụ thể
- Bài tập tự luyện.
Đề tài được áp dụng cho 2 lớp 12C9 và 12C10 lớp có đa số học sinh theo
ban KHXH, chất lượng tương đương nhau. Lớp đối chứng 12C9 có 40 học
sinh; lớp thực nghiệm 12C10 có 42 học sinh.
1,4. Phương pháp nghiên cứu
- Khái quát hóa phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ trong hình khơng gian
- Cụ thể hóa, thiết lập hệ trục từng dạng hình khơng gian
- Phương pháp thơng kê, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta
cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa
vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình đã cho.
Để thiết lập hệ trục tọa độ trong bài tốn hình khơng gian cần thực hiện theo 3
bước
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài tốn.
Các dạng tốn thường gặp:
 Định tính: Chứng minh các quan hệ vng góc, song song, …
 Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích,
thể tích, diện tích thiết diện, …
 Bài tốn cực trị, quỹ tích.
2.1.2.Hệ thống các kiến thức về tọa độ trong hình tọa độ
Ta thường gặp các dạng sau
1. Khoảng cách giữa 2 điểm
 Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng d
2

skkn


Cách 1: d đi qua M0 có véc tơ chỉ phương

khoảng cách từ điểm

đến đường

thẳng d là
Cách 2: Phương pháp :
 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và vng góc với d
 Tìm tọa độ giao điểm H của mp( ) và d
 d(M, d) =MH
3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Khoảng cách từ
công thức

đến mặt phẳng

cho bởi

4. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách
từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
5. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
A. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
 Cách 1: đi qua
đi qua

; có véc tơ chỉ phương
có véc tơ chỉ phương là

hai đường thẳng chéo nhau
 Cách 2:
đi qua

và

khoảng cách giữa

là

có véc tơ chỉ phương

đi qua
có véc tơ chỉ phương
Phương pháp :
Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa và song song với

khoảng cách giữa

hai đường thẳng chéo nhau và
là
ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của

chúng là
B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song
3

skkn


- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia => quy về dạng tốn tính
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
6. Góc giữa 2 đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng
đi qua

có véc tơ chỉ phương

đi qua

có véc tơ chỉ phương

giữa hai đường thẳng

và

. Góc φ là

;

7. Góc giữa 2 mặt phẳng
 Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng

và

và
là

;
có véc tơ pháp tuyến lần lượt

và

8. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 đi qua M0 có véc tơ chỉ phương
tuyến

, mặt phẳng (α) có véc tơ pháp

. Gọi φ là góc hợp bởi  và mp(α) ;

9. Diện tích thiết diện
 Diện tích tam giác :
 Diện tích hình bình hành:
10. Thể tích khối đa diện
- Thể tích khối chóp:

(

là diện tích đáy, h là chiều cao)

- Thể tích khối tứ diện
- Thể tích khối hộp:
4

skkn


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kến kinh nghiệm
Qua những năm giảng dạy mơn hình 12, và các năm ôn luyện cho học
sinh 12 dự thi kì thi THPT quốc gia, tơi nhận thấy học sinh khi vào thi với thời
gian ít thường rất lúng túng trong các bài tốn xác định và tính góc, khoảng
cách. Hiện tại cũng có nhiều sách tham khảo cũng đã trình bày giải tốn

hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ở các góc độ khác nhau. Ở chuyên đề
này trình bày về cách thiết lập hệ trục tọa độ cụ thể từng dạng tốn và hướng dẫn
cách giải có tính hệ thống với những bài tập tự luyện giúp học sính có thể thiết
lập hệ trục và giải bài tốn nhanh hơn, từ đó cung cấp thêm một phương pháp
giải tốn hình học khơng gian.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề
PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT LẬP HỆ TRỤC TỌA
ĐỘ
1. Các dạng hình thường gặp và ví dụ áp dụng
DẠNG 1: Hình chóp có chứa góc tam diện vng
a. Phương pháp thiết lập: Đối với hình chóp có chứa góc tam diện vng
ta thiết lập hệ tọa độ với các trục tọa độ chính là các cạnh của góc tam
diện vng đó.
b. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O,
,
, (a>0) và đường cao
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và OM.
z
Hướng dẫn giải
A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0),

C

O

y

B

M
a

x

Khoảng cách hai đường thẳng AB và OM là

5

skkn


. Vậy,
Ví dụ 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vng góc.
Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng
(OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3.Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
z
d(M, (OAB)) = 3  zM = 3.
C
Tương tự M(1; 2; 3).
M

 (ABC):

c

(1).

3

(2).

b

O
a

.

B

H

A
x

(2)
Ví dụ 3: Cho hình chóp

.
đáy là hình thang vng tại

. Biết
điểm của

A.

và

. Gọi

. Tính sin góc giữa đường thẳng
B.

và

và

,

lần lượt là trung

và mặt phẳng

.

C.
D.
Hướng dẫn giải

6

skkn

y

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với
Ta có:

.

Chọn một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

là

Chọn một véc tơ chỉ phương của đường thẳng MN là

DẠNG 2: Hình chóp đều:
a. Phương pháp thiết lập:
1. Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

 
Chọn hệ trục tọa độ

như hình vẽ 

Giả sử hình vng có cạnh bằng
của hình vng

và đường cao

. Chọn

là tâm

Khi đó
2. Với hình chóp tam giác đều S.ABC

7

skkn


 
Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ 
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng . Gọi I là trung điểm của
AB. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho 
Khi đó: 
b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều
có đáy
là hình vuông cạnh ,
tâm . Gọi
và
lần lượt là trung điểm của hai cạnh
và
, biết
. Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

bằng
A.

Gọi

.

hình chiếu của

Khi đó

B.

lên
. Xét

.
C.
Hướng dẫn giải

, suy ra
có:

.

D.

là trung điểm của
,

.

.

.
8

skkn


Áp dụng định lý cosin ta có:
.
Xét

vng tại nên

.

Mà

.

Chọn hệ trục tọa độ
Ta có:

như hình vẽ:

,

,

,

,

,

,

.Khi đó

,
:

,

,

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng
.

Suy ra
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N
là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với
(SBC).
Hướng dẫn giải
z
S
Gọi là hình chiếu của trên (ABC), ta suy ra là trọng
tâm
. Gọi I là trung điểm của BC, ta có:

M

N
h

Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia
song song với
Đặt
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:

.
I

B

C
x

y

O

a
A

9

skkn

O(0; 0; 0), S(0; 0; h),

,

,

,

và

.

,

DẠNG 3: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, hình chiếu của đỉnh lên
mặt đáy
a. Phương pháp thiết lập:
Tùy theo tính chất hình học của mỗi hình và tính chất đặc biệt của bài
toán để thiết lập hệ tọa độ cho phù hợp, thuận tiện cho q trình giải tốn.
b. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hình chóp

có đáy

là tam giác cân với
Gọi
là trung điểm của
giữa hai đường thẳng
,
A.

.

B.

, mặt bên

và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.
là trung điểm của
. Tính khoảng cách

và
.
.

là tam giác đều cạnh

C.
.
Hướng dẫn giải

D.

.

z

S

M

N
C

A

y
H

B

Gọi

x

là trung điểm

Chọn hệ trục tọa độ
Ta có:

. Vì

nên

, với

,
;

.

,

,

.

.
10

skkn


Khi đó:

,

,

,

,

,

,

.

Suy ra:

,

,

,

.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng

.
có đáy hình vng cạnh a, tam giác

Ví dụ 2: Cho hình chóp
tại

và góc

bằng

là trung điểm
A.

Trong
Kẻ tia

//

. Mặt phẳng

vng

vng góc mặt phẳng đáy. Gọi

. Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng

.

, kẻ

là

B.
.
C.
Hướng dẫn giải

tại

.

.

D.

. Ta có:

và chọn hệ trục tọa độ

.

.
như hình vẽ sau đây.

z

S

D
A

x

M
H

B

N

y

Trong tam giác

vuông tại

,

C

.

11

skkn


Trong tam giác

vng tại

,

và

.

.
,

,

Ví dụ 3: Cho hình chóp
vng góc của

.

.
là hình vng cạnh . Hình chiếu

có đáy

trên mặt phẳng

là trung điểm của cạnh

mặt phẳng
và đáy bằng
. Gọi
cách giữa hai đường
và
bằng
A. .

Gọi

Gọi

là trung điểm của cạnh

B.
.
C.
Hướng dẫn giải

là trung điểm cạnh
,
là trung điểm cạnh

,

, khi đó

.

là trung điểm cạnh

, góc giữa
. Khoảng

D.

.

. Suy ra

. Do đó
.

12

skkn


Chọn hệ trục tọa độ trong khơng gian như hình vẽ, ta có

,
.

Nên
Khoảng cách giữa hai đường

.
và

là

.
DẠNG 4: Hình lăng trụ đứng đáy là tam giác cân, tam giác đều.
a. Phương pháp thiết lập:
- Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân:
+ Chọn hệ tọa độ với hai trục lần lượt là cạnh đáy
và chiều cao tương ứng của tam giác cân đáy, trục còn
lại chứa đường trung bình của mặt bên.
Gọi O là trung điểm một cạnh đáy, chọn hệ trục như
hình vẽ với a = 1. Ta có:

- Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều ta làm tương tự.
b. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng
có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Biết thể tích khối lăng trụ
bằng

. Gọi

là góc giữa mặt phẳng

và mặt phẳng

. Khi đó
A.

. B.
Hướng dẫn giải

.

C.

.

D.

.

13

skkn


Lấy

là trung điểm của

.

Ta có:

vì

Chọn hệ trục tọa độ

như hình vẽ.Ta có

Ta có:

nên

Ta có

,

.
.

có một vectơ pháp tuyến là

.

.

Gọi

,

.

Khi đó mặt phẳng

song song hoặc chứa giá của hai vectơ

không cùng phương là

và

nên có một vectơ pháp tuyến là

. Vậy

.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng
có tất cả các cạnh bằng a. Gọi
trung điểm của
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
.
.

B.

.

C.

.

là

D.

A.
Hướng dẫn giải
14

skkn


z

B
a

I

A
M

C
B/

x

a
O

A/

C/

a

y

Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng

,

. Chọn hệ trục tọa độ sao cho:

và

là:

DẠNG 5: Hình lăng trụ đứng đáy là hình chữ nhật, hình vng, tam giác
vng.
(Hình lăng trụ đứng có 1 đỉnh là đỉnh của một góc tam diện vng)
a. Phương pháp thiết lập:
- Phương pháp chung là chọn hệ tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với đỉnh
của góc tam diện vuông, các trục tọa độ lần lượt chứa ba cạnh của góc tam diện
vng đó
- Đối với lăng trụ có đáy là hình vng, hình chữ nhật ta có thể chọn hệ
tọa độ với gốc là tâm của đáy, trục cao chứa đường nối hai tâm của đáy, hai trục

còn lại song song với hai cạnh đáy

15

skkn


- Đặc biệt với lăng trụ tứ giác đều (đáy là hình vng) ta có thể chọn hệ
tọa độ với gốc là tâm của đáy, trục cao chứa đường nối hai tâm của hai đáy, hai
trục còn lại chứa hai đường chéo của hình vng đáy
b. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vng và
,

,
và

là trung điểm của

. Tính khoảng cách

của hai đường thẳng

.

A.

.

Do

B.
.
Hướng dẫn giải

vng và có

Chọn hệ trục tọa độ

C.

nên

.

D.

vng cân tại

.

.

như hình vẽ. Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử

Ta có:

.

.

Khi đó:

.

Trong trường hợp tổng qt, ta có:

.

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật

, có

góc giữa

và mặt phẳng
bằng
. Gọi là hình chiếu vng góc của trên
và là hình chiếu vng góc của trên
Tính góc giữa hai mặt phẳng
và

.
16

skkn


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải

Do

là hình hộp chữ nhật nên

góc của
Ta có

trên

Kết hợp với giả thiết ta được
Gọi

là hình chiếu vng

là hình vng và có

lần lượt là hình chiếu vng góc của

là tâm.

trên

Ta có

Ta chọn hệ trục tọa độ
thuộc các tia

Mặt phẳng

thỏa mãn

cịn

theo thứ tự

Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

là mặt phẳng

nên có VTPT là

Ta có

Mặt phẳng

có VTPT

là
Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng

và

.

Ta có
17

skkn


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. (Sở Bắc Giang - 2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình
chữ nhật,
,
,
và
vng góc với đáy
.
Tính

, với
là góc tạo bởi giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Câu 2. (Chun Vinh - 2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình
vng cạnh , mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vng góc với mặt phẳng
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
giữa hai mặt phẳng

và

là trọng tâm của tam giác
. Tính cơsin của góc

.

A.
.

B.
.
C.
.
D.
Câu 3. Xét tứ diện
có
,
,
đơi một vng góc. Gọi , ,
lần lượt là góc giữa các đường thẳng
,
,
với mặt phẳng

.

. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là
A. .
B. .
C. Số khác.
D.
.
Câu 4. Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh , cạnh bên
và vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là trung điểm cạnh
.

Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng

và

bằng

A. .
B.
.
C. .
D.
.
Câu 5. (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a,
mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với
mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng
bằng
A.
Câu 6. Cho khối chóp

trung điểm
phẳng
A.

của

B.

C.
D.

có đáy
là hình thang vng tại và ,
Hình chiếu của lên mặt phẳng đáy trùng với
và

Tính khoảng cách

từ

đến mặt

.
B.

C.

D.
18

skkn


Câu 7. Cho hình chóp đều
đáy là

, cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên và mặt

. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

.

A.
B.
C.
D.
Câu 8. Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh ,
. Tam
giác
cân tại và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
, biết góc giữa
đường thẳng
và mặt đáy bằng
.

B.

C.

D.

A.
Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp
có đáy
là tam giác

vng cân tại ,
,
vng góc với mặt phẳng đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
Câu 10. Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
mặt
bên
là tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vng góc
với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 11. (ĐềThamKhảo2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều

và
và

Gọi

D.
có

lần lượt là trung điểm các cạnh

. Cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

và

bằng
A.
B.
Câu 12. Cho hình lăng trụ đứng
và
đó

C.
D.
có đáy là tam giác cân đỉnh . Biết

, cạnh bên

. Gọi

. Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng

có giá trị bằng

là điểm thỏa mãn
và

, khi

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 13. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hình lăng trụ
đứng
có đáy
là tam giác cân với
và góc
19

skkn


và cạnh bên

. Gọi

cosin góc giữa hai mặt phẳng

A.
.
B.
Câu 14. Cho hình lập phương
điểm của

và

là trung điểm của

và

.

. Tính

.
C.

cạnh

. Tính khoảng cách

.
. Gọi

D.
.
lần lượt là trung

,

giữa hai mặt phẳng

và

.
A.
.
B.
Đáp án bài tập tự luyện
1C

.

C.

.

D.

.

2C 3B 4A 5C 6D 7A 8B 9C 10A

11 12D 13 14C
D
B
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường

2.4.1.Kết quả khảo sát đầu năm
Đề tài này đã được tiến hành dạy thực nghiệm trong năm học 2020 – 2021
tại lớp 12C10 và đối chứng 12C9 tại trường THPT Hoằng Hóa 2.
Các lớp có năng lực học tập qua đợt khảo sát đầu năm học 2020 – 2021
Điểm
Lớp
Thực
12C10
nghiệm
5
Lớp
Đối
12C9
chứng
6

Giỏi

11,9%

15,0%

Khá

TB

Yếu,Kém

17 40,49% 15 35,71% 5

19 47,5%

13 32.5%

2

Sĩ số

Vắng
11,9% 42 0

5,0%

Vắng
40
0

2.4.2. Nhận xét : Nhìn chung năng lực của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng là như nhau. Lớp thực nghiệm có 52,39% học sinh giỏi, khá; lớp đối
chứng có 62,5% học sinh giỏi, khá. Lớp đối chứng có phần cao hơn 10,11% học
sinh khá và giỏi.
Lớp thực nghiệm giảng dạy theo những nghiên cứu của đề tài cịn lớp đối
chứng tiến hành dạy thơng thường khơng lưu ý đến áp dụng những nghiên cứu
của đề tài.
Sau q trình giảng dạy bài tồn tính góc và khoảng cách... tôi tiến hành ôn tập
và hệ thống lại kiến thức cho lớp thực nghiêm theo vận dụng đề tài, lớp đối
20

skkn

chứng ơn tập bình thường, sau khi tiến hành kiểm tra đề chung như nhau ở lóp
thực nghiệm và lớp đối chứng cho kết quả sẽ được trình bày ở mục 4.1.
2.4.3. Kết quả qua bài kiểm tra.
Đề kiểm tra chung của 2 lớp năm học 2020 – 2021
Điểm
Giỏi
Khá
TB
Yếu, Kém
Sĩ số
Lớp
Vắn
Thực
12C1
g
nghiệm 0
8 19,05% 22 52,38
10 23,81% 2 4,76% 42
0
%
Lớp
Đối
12C9
Vắng
chứng
7 17,5%
19 47,5% 12 30.0% 2 5,0%
40
0

Kết quả tổng quát toàn bài kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng đều có tiến bộ so với khảo sát đầu năm. Nhìn chung kết quả của lớp thực
nghiệm đã vượt qua lớp đối chứng. Cụ thể lớp 12C10 có 71,43% bài có điểm
giỏi, khá, lớp 12C9 có 65% bài có điểm khá, giỏi, vượt lớp đối chứng là 6,43%
và tăng 19,04% so với kết quả khảo sát đầu năm.
Khi áp dụng chun đề, học sinh có thể tính góc và khoảng cách trong các bài
tốn hình khơng gian tự tin hơn, đi tới đáp số nhanh, chính xác hơn và gây hứng
thú trong học tập cho học sinh.
Chuyên đề này triển khai với các lớp có học sinh có tư duy về hình khơng
gian chưa tốt rất hiệu quả.
3. Kết luận và kiến nghị
Sau một thời gian nghiên cứu và tích lũy tơi đã nêu ra một cách tóm tắt những
nội dung sau:
- Các bước thiết lập hệ trục tọa độ.
- Hệ thống kiến thức trong hệ tọa độ
- Đưa ra phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ đối với 5 dạng
Dạng 1. Hình chóp có chứa góc tam diện vng
Dạng 2. Hình chóp đều:
Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, hình chiếu của đỉnh lên mặt
đáy
Dạng 4.: Hình lăng trụ đứng đáy là tam giác cân, tam giác đều.
Dạng 5: Hình lăng trụ đứng đáy là hình chữ nhật, hình vng, tam giác vng.
- Bài tập tự luyện.
21

skkn


Với sáng kiến này, hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 12 có thêm mốt
phương pháp giải một số bài tốn hình học khơng gian vốn nặng tư duy sẽ trở

nên đơn giản hơn, rút ngắn thời gian làm bài, nâng cao kết quả trong kì thi
THPT Quốc gia.
Do thời gian có hạn nên bài viết khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong
Quý đồng nghiệp trao đổi, góp ý để đề tài hồn thiện hơn.
Chúng tơi chân thành cảm ơn q thầy cơ đã quan tâm!
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2022
Xác nhận của thủ trưởng
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
đơn vị
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người viết SKKN
Trần Thị Hương
                  

22

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 11 (Sgk – NXB Giáo dục 2014) – Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng
Hy (Chủ biên).
2. Hình học 12 (Sgk – NXB Giáo dục 2013) - Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng
Hy (Chủ biên).
3. Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 11 – Lê Hồnh Phò – NXB đại học
quốc gia Hà Nội 2013.
4. Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 12 – Lê Hồnh Phị – NXB đại
học quốc gia Hà Nội 2012.
5. Bí quyết tiếp cận hiệu quả kỳ thi THPT quốc gia hình học giải tích khơng

gian (Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Văn Minh – NXB đại học quốc gia Hà
Nội)
6. Đề thi THPT Quốc gia mơn tốn – trang toanmath. com

skkn