Skkn ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức

MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu .
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm
3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
4. Kết luận, kiến nghị.
4.1. Kết luận.
4.2. Kiến nghị.
Tài liệu tham khảo

1

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Đối với người giáo viên đặc biệt là giáo viên ở trường chuyên ngoài nhiệm vụ
trang bị cho các em học sinh những kiến thức nền tảng để giải quyết các bài toán cơ
bản, chúng tơi cịn tham gia giảng dạy, bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi. Vì vậy
việc học tập, trau dồi các chuyên đề nâng cao cũng là một nhiệm vụ quan trọng.
Nội dung Bất đẳng thức là một trong các nội dung thường xuất hiện trong đề
thi vào 10, đề thi học sinh giỏi mơn Tốn, đề thi đại học, đề thi THPT quốc gia và ở
nhiều mức độ khác nhau. Bên cạnh đó lại có nhiều phương pháp giải mới khơng phải

học sinh nào cũng có điều kiện tiếp cận. Với các em học sinh khối 12, sau khi được
học các tính chất giải tích của hàm số, các em sẽ có một cơng cụ cơ bản và có tính
tương lai để chứng minh bất đẳng thức hay các bài toán max-min.
Nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục trong nhà trường phổ thơng, và góp phần
từng bước nâng cao chất lượng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của trường
chuyên, tôi biên soạn chuyên đề: “Ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng
thức ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương pháp
giúp học sinh tiếp cận và có nền tảng kiến thức cơ bản để xử lí bài tốn bất đẳng
thức, rèn luyện khả năng suy nghĩ độc lập, tìm tịi, và phát hiện vấn đề.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các lớp chuyên Toán, các
đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trường THPT chun Lam Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Bất đẳng thức, Giải tích, Phương
pháp dạy học mơn Tốn... có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm.
2

skkn


Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của các lớp chun Tốn 10, 11, 12 nói
chung và đội tuyển HSG mơn Tốn nói riêng, phần bất đẳng thức ở Trường THPT
chuyên Lam Sơn.
Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi
và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần bất đẳng thức vào
dạy các lớp chuyên Toán 10, 11, 12 và đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPT
chuyên Lam Sơn.

3

skkn


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1. Định lí về tính đơn điệu của hàm số: Nếu hàm số
khoảng

và

trên

thì

có đạo hàm trên

đồng biến trên khoảng đó.

2. Các bất đẳng thức cơ bản như Cauchy, AM-GM, Cauchy-Schwarz,...
3. Các kiến thức cơ bản về hàm số ở Chương I SGK cơ bản Toán 12.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Học sinh các lớp chuyên và đội tuyển thường gặp khó khăn khi gặp bài tốn bất
đẳng thức. Các tài liệu chưa đưa ra hệ thống các bài tập, phương pháp hiệu quả để
giải bài toán đa thức.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề
- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát
hiện và giải quyết vấn đề. Đưa ra các phân tích tư duy, tại sao và thế nào, cách nghĩ

chung nhất để phát hiện lời giải.
- Luôn hướng dẫn học sinh dùng tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới.
- Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thực
hiện giải tốn.
- Ln linh hoạt trong giải tốn, kết hợp thành thục giữa các phương pháp.
- Nêu ra một số phương pháp chung để giải bài toán đa thức với hệ thống bài tập
và các ví dụ mẫu mực.
Sau đây là phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm.

4

skkn


Phần I. SỬ DỤNG HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi THPTQG, HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG
khu vực và Quốc tế có thể coi là những bài tốn hay và khó.Cùng với BĐT AM-GM,
BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen thì sử dụng hàm số cũng là
một phần kiến thức quan trọng trong nhiều bài tốn đại số cũng như BĐT. Nó thực
sự là một cơng cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một
phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các BĐT thông thường.
I.1. Bất đẳng thức một biến số
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi

ta có

Giải: Xét hàm số

.

trên

. Ta có

Ta có

, nên
. Suy ra

đồng biến trên

đồng biến trên
. Do đó

và
Tức là

với

Lưu ý

với

ta có

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Bài 2: Tìm GTNN của hàm số

Giải: TXĐ:

.

.

Xét hàm số

trên

5

skkn

. Ta có


với mọi , trong đó

Vì hàm g đồng biến trên

nên

Ta có bảng biến thiên
0
-

0

+

2

Từ bảng biến thiên suy ra
Bài 3: Cho

và

.
. Chứng minh rằng

Giải: Xét hàm số

Khi đó

Suy ra

6

skkn

.


trong đó

. Ta có

Do đó g(x) nghịch biến trên

. Suy ra

.
Vậy

, nên

đồng biến trên

Bài 4: Chứng minh rằng nếu

. Suy ra

(đpcm).

thì
.

Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có

. Ta chứng minh
.

Xét hàm số

liên tục trên

, có

.

7

skkn


(vì với

Do đó

thì

và theo BĐT AM-GM ta có

đồng biến trên

với mọi

. Suy ra

)

, hay

(đpcm).

Bài 5: Chứng minh rằng

.
Giải: Ta biến đổi

.

Xét hàm số

với

. Ta có
.

Áp dụng BĐT

ta có
.

Đặt

với mọi

, thì

, nên

đồng biến trên
8

skkn

. Suy ra

.
Do đó

nên f(x) đồng biến trên

. Suy ra
.

Cách 2: Theo bài 5 ta có

, suy ra

Ta chứng minh được
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Bài 6: Cho hàm số

xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên

kiện

và thỏa mãn điều

.

Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số

trên R.

Giải: Ta có

Từ đó với chú ý rằng với mỗi

đều tồn tại

sao cho
.

Dẫn tới

9

skkn

ta được


.
Đặt

. Khi

chạy trên

thì

chạy qua

. Vì vậy từ (1) ta được

và

trong đó

. Ta có :

.

Dễ dàng chứng minh được

. Vì vậy trên

. Suy ra hàm

đồng biến trên

ta có
và

Vậy

hạn khi

, đạt được chẳng hạn khi

.
và

, đạt được chẳng

.

I.2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số
Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm thì điều quan
trọng nhất là chúng ta đưa được về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó.
Bài 7: Chứng minh rằng

.
10

skkn


Giải: Ta có

Xét hàm số

với

. Ta có

,
nên

là hàm nghịch biến trên

. Do đó

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi

(đpcm).

ta có

.
Giải:
 Nếu

thì
.

 Nếu

thì
.

Xét

với

. Ta có

.
11

skkn


Suy ra

tăng trên (0;1), tức là

nếu

,

.
Bài 9: Cho

và

Chứng minh rằng

.
Giải: Ta có

nên BĐT cần chứng minh tương đương
.

Xét

trong đó

. Ta có

nghịch biến trên

, nên

Và

Vậy

Bài 10: Cho

. Suy ra

.

Chứng minh rằng
12

skkn


.
Giải: Xét hàm số

trên

. Ta có

và
.
Ta có bảng biến thiên
0
-

0

+

0

Suy ra

Bài 11: Cho

là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm GTLN

và GTNN của biểu thức

.
Giải: Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử

phải tìm GTLN và GTNN của

, khi đó

. Ta có
13

skkn

. Ta


trong đó

Do

và

nên ta phải có

, tức là

.
Tương tự

. Suy ra

và
.

Nhân các BĐT trên ta được

. Từ

suy ra
và

Dấu “=” xảy ra khi

là các hoán vị của (2, 1, 1) và

Bài 12: Cho các số

rằng

thỏa mãn

.

Giải: Ta có

Mà

14

skkn

.
. Chứng minh


Áp dụng BĐT AM-GM ta có

, suy ra

.
Đặt

ta có

.

Khảo sát hàm số

ta được

khi

.

Bài 13: Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
.
Giải: Đặt

. Do vai trị của

giảm tổng qt ta có thể giả sử
Từ

và

.

, suy ra

(2).

Ta biến đổi

Do

Ta có

và

, suy ra

, nên

đồng biến trên
15

skkn

. Vì vậy

bình đẳng nên khơng


.
Đồng thời

. Với giả thiết

và

và (3) suy ra

, tức là tam giác ABC đều.
Bài 14: Cho

là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và

. Tìm GTNN của

biểu thức

.
Giải: Trước hết ta chứng minh với mọi

dương,

thì
(*)

Thật vậy, ta có

ln đúng do

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng (*) với

hoặc

dương và

.

.

thuộc đoạn [1; 4] và

ta có

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Đặt

, khi đó

Xét hàm
Suy ra

hoặc

(1)

.

có

.

.
16

skkn


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Do đó

(2)

. Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bài 15: Xét phương trình

với a, b là các số thực,

,

sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm GTNN của
Giải: Gọi

.

là ba nghiệm thực dương của đa thức

. Theo định lý

Viete ta có
.
Từ đó suy ra
Đặt

.

. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có
.

Mặt khác
.
Do đó

.

Từ (1), (2) và (3) ta có

17

skkn


Xét hàm số

với

Ta được

. Dấu bằng xảy ra khi

Đẳng thức xảy ra khi
Vậy

.

, tức là

.

18

skkn

. Suy ra

.

.


Phần II. GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC TRONG CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC
II.1. Phương pháp xét phần tử cực biên
Nội dung của phương pháp này dựa trên tính chất sau đây của hàm số bậc nhất
Định lí 1: Xét hàm số bậc nhất

trên

ta có

,
Do đó

- nếu

thì hiển nhiên

.

- nếu

thì hiển nhiên

.

Vì vậy phương pháp này chỉ hiệu quả đối với các bài tốn có hàm số là hàm bậc nhất
theo từng biến.
Bài 16. Cho

, chứng minh rằng

.

Giải. Ta biến đổi bất đẳng thức về dạng bậc nhất đối với biến

Xét hàm số bậc nhất

trên

như sau:

, ta có

.
.
Từ đó suy ra

, và ta được đpcm.

Bài 17. Cho các số

thỏa mãn

Chứng minh rằng:

.

Giải. Coi biểu thức ở vế trái là hàm số bậc nhất đối với biến

Và nhận thấy

.

.
19

skkn

và biến đổi như sau:


Ta có

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Phương pháp này còn hiệu quả trong một số trường hợp bất đẳng thức đối xứng ba
biến có tổng khơng đổi như trong ví dụ sau:
Bài 18. Cho

và

. Chứng minh rằng

Giải. Biến đổi vế trái bất đẳng thức về hàm bậc nhất đối với biến

Ta có

.

Vì vậy giống như trong hai ví dụ trên ta đưa về xét
,

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Một ví dụ khác tương tự như sau:
Bài 19. Cho

và

. Chứng minh rằng:

Giải. Đối với bài này cần phải biến đổi vế trái như sau:

20

skkn

như sau:


Thay

và coi vế trái là hàm số bậc nhất đối với

, ta được

, trong đó

.

Đến đây ta cũng đưa về xét

Từ đó cũng suy ra được điều phải chứng minh.
II.2. Phương pháp tiếp tuyến
Bài 20. Cho

và thỏa mãn

. Chứng minh rằng

Để giải bài này ta cần tới bất đẳng thức phụ:
.
Thật vậy, biến đổi ta đưa được về dạng

.

Từ đó xét

và suy ra điều phải chứng minh.
Vấn đề phát sinh trong ví dụ mở đầu này đó là sự xuất hiện của biểu thức

. Đa

phần học sinh khi được giới thiệu cách làm như trên đều có chung một thắc mắc là

21

skkn


làm thế nào để tìm được biểu thức

. Để trả lời cho câu hỏi này ta bắt đầu với

một tính chất:
Định lí 2: Cho hàm số
đường thẳng
độ

lồi trên một khoảng D chứa điểm
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

thì ln có

, nếu biết

tại điểm có hồnh

(đường tiếp tuyến “nằm trên” đồ thị).

Nếu hàm số

lõm trên khoảng D thì ta có bất đẳng thức ngược lại
.

Trở lại với ví dụ mở đầu, ta ln có hàm số

đường thẳng

lõm trên

lại là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm

, còn

,

là điểm mà dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra. Từ đó áp dụng định lí 2 ta rút ra

được bất đẳng thức

và đưa ra được lời giải như

trong ví dụ trên.
Bài 21. Cho

và

. Chứng minh rằng

22

skkn

Dự đoán ngay được dấu bằng xảy ra khi

của hàm số

. Vì vậy đưa về xét tiếp tuyến

, tại điểm

, viết được phương trình tiếp tuyến là

. Nên ta có lời giải sau:

Giải. Xét hiệu
Từ đó suy ra

, tương tự có

,

.

Cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có

Bài 22. Cho

và

. Chứng minh rằng

Nhận thấy ngay trong ví dụ 2. đầu tiên cần biến đổi để đưa về các biểu thức một biến.

Ở đây để ý rằng

tự ta có

nên dẫn đến

,

, tương

.

23

skkn


Từ đó đưa về xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số

bằng xảy ra, tức là tại

, tại điểm mà dấu

, viết được phương trình tiếp tuyến là

Giải. Ta có

.

suy ra

.

Xét hiệu

.

Do đó

, chứng minh tương tự ta có

,

.

Từ đó cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh.
Bài 23. Cho

, chứng minh bất đẳng thức

Nhận thấy tính đồng bậc và tính đối xứng của bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa
. Do đó đưa về chứng minh

Từ đó đưa về xét tiếp tuyến của hàm số

phương trình tiếp tuyến là

tại điểm

, viết được

.

Giải. Xét hiệu

, từ đó suy ra
24

skkn


,

,

Từ đó cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh.
Bài 24. Cho

. Chứng minh rằng:

Nhận thấy bất đẳng thức đối xứng và đồng bậc, để ý sự xuất hiện nhiều lần của
, nên ta chuẩn hóa

. Từ đó đưa về chứng minh

Đến đây đưa về xét hàm

và tiếp tuyến của nó tại

được phương trình tiếp tuyến là

.

Việc chứng minh
cho

bằng

, thu

nhờ các bạn đọc, và lần lượt
rồi cộng vế với vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta thu được

Chú ý rằng

vì vậy

Từ đó thu được điều phải chứng minh.
II.3. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số bậc ba
Cho ba số thực bất kì, đặt
25

skkn