Hcmute giải số qui luật ứng xử đàn hồi nhớt của huet sayegh và 2s2p1d trong miền thời gian để phân tích ứng xử của kết cấu áo đường mềm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CƠNG TRÌNH NCKH CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT
CỦA HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN
THỜI GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ
CỦA KẾT CẤU ÁO ĐƯỜNG MỀM

MÃ SỐ: T2020-80TĐ

SKC 0 0 7 3 0 2

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12/2020

Luan van


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT CỦA
HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN THỜI
GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU ÁO

ĐƯỜNG MỀM

Mã số: T2020-80TĐ

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

TP. HCM, 12/2020

Luan van


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA XÂY DỰNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT CỦA
HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN THỜI
GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU ÁO
ĐƯỜNG MỀM

Mã số: T2020-80TĐ

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài
TP. HCM, 12/2020

Luan van

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài, Khoa Xây Dựng,
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM
2. Trần Vũ Tự,

Khoa Xây Dựng,
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

3. Nguyễn Duy Liêm,

Khoa Xây Dựng,
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

Luan van


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

vi

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

viii

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

ix

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

xi

Chương 1: MỞ ĐẦU

1

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước

1

1.2 Tính cấp thiết

2

1.3 Mục tiêu nghiên cứu

3

1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4

1.5 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

4

1.5.1 Cách tiếp cận

4

1.5.2 Phương pháp nghiên cứu

4

1.6 Nội dung nghiên cứu

4

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

5

2.1 Các phương trình cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng đàn hồi – nhớt

5

2.2 Mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D

7

2.4 Mô-đun dão (relaxation modulus)

9

2.5 Giải số quan hệ ứng suất – biến dạng
Chương 3: KẾT QUẢ TÍNH TỐN SỐ

10
21

3.1 Ví dụ tính tốn số cho các bài tốn có trường ứng suất đồng nhất

21

3.1.1 Thí nghiệm tự chùng và từ biến

21

(a) Thí nghiệm tự chùng (relaxation test)

21

(b) Thí nghiệm từ biến (creep test)

22

3.1.2 Thí nghiệm mơ-đun động (dynamic modulus test)

24

3.1.3 Mơ hình chịu tác dụng của tải trọng nhiều bước

28

3.2 Tính tốn số cho các bài tốn có trường ứng suất không đồng nhất

30

3.2.1 Ấn tĩnh một vật thể rắn có đáy phẳng vào bán khơng gian đàn hồi – nhớt

30

3.2.2 Bài toán F/HWD

33

Chương 4: KẾT LUẬN

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

43

iv

Luan van


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
AAR

Analytical approximate relaxation

ACB Asphalt concrete of base
ACS

Asphalt concrete of surface

BTN

Bê tông nhựa (asphalt concrete)

err

Error (sai số của kết quả tính tốn)

Err

Error (sai số của kết quả tính tốn độ mềm từ biến)

FWD

Falling weight deflectometer

F/HWD

Falling/Heavy weight deflectometer

HWD

Heavy weight deflectometer

LVE

Linear viscoelastic

NER

Numerical exact relaxation

UGM

Unbound granular material

v

Luan van


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1-1 Minh họa hư hỏng mặt đường kiểu hằn lún vệt bánh xe và kiểu nứt mỏi
Hình 1-2 Minh họa mơ hình lưu biến của Huet-Sayegh (a) và 2S2P1D (b)
Hình 2-1. Xấp xỉ mơ-đun dão AAR sử dụng phương pháp sắp đặt
Hình 2-2. Xấp xỉ mô-đun dão AAR và NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiệt độ tham
chiếu. (a) Hỗn hợp bê tông nhựa. (b) Nhựa đường.
Hình 2-3. Xấp xỉ mơ-đun dão NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiều nhiệt độ khác
nhau. (a) Hỗn hợp bê tông nhựa 3. (b) Nhựa đường 4.
Hình 3-1. Thí nghiệm tự chùng. (a) So sánh giá trị mơ-đun dão tính tốn với giá trị mơđun dão đưa vào trong tính tốn. (b) Sai khác tương đối giữa các giá trị của mơ-đun
dão AAR và NER.
Hình 3-2. Thí nghiệm từ biến. (a) Độ mềm từ biến tính tốn được. (b) Sai khác tương
đối giữa các giá trị độ mềm từ biến tính tốn được trên cơ sử dữ liệu đầu vào là mô-đun
dão AAR và mô-đun dão NER.

Hình 3-3. Kết quả tính tốn số của mơ-đun động thay đổi theo tần số góc của hỗn hợp
bê tông nhựa (a) và nhựa đường (b) sử dụng dữ liệu đầu vào là mơ-đun dão AAR và
NER.
Hình 3-4. Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của hỗn hợp bê tơng nhựa tính tốn dựa
trên số liệu đầu vào là mơ-đun dão AAR và NER.
Hình 3-5. Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của nhựa đường tính tốn dựa trên số liệu
đầu vào là mơ-đun dão AAR và NER.
Hình 3-6. Mơ hình chịu tác dụng của tải trọng nhiều bước. (a) Ứng suất tác dụng. (b)
Biến dạng đáp ứng của hỗn hợp bê tông nhựa 3 ở các nhiệt độ khác nhau. Kết quả tính
tốn khơng được thể hiện hết tất cả các giá trị ở các bước tính tốn nhằm mục đích làm
rõ hình vẽ.
Hình 3-7. Mơ hình đàn hồi – nhớt ba phần tử.
Hình 3-8. Định nghĩa bài tồn ấn một vật thể rắn vào một bán khơng gian đàn hồi –
nhớt.

vi

Luan van


Hình 3-9. Kết quả tính tốn số. (a) Lực ấn thay đổi theo thời gian. (b) Sự phân bố của
ứng suất tiếp xúc.
Hình 3-10. Định nghĩa bài tốn F/HWD. Các vị trị đo chuyển vị bằng cảm biến
(geophone) G1, G2, đến G9
Hình 3-11. Chuyển vị tại các cảm biến G1, G5 và G9 trong phân tích giả tĩnh. (a) Chuyển
vị thay đổi theo thời gian. (b) Giá trị của chậu lún ở thời điểm t=0.01, 0.019 và 0.025s.
Hình 3-12. Chuyển vị tại các cảm biến G1, G5 và G9 trong phân tích động lực học. (a)
Chuyển vị thay đổi theo thời gian. (b) Giá trị của chậu lún tại các thời điểm t=0.01,
0.019 và 0.025s.
Hình 3-13. Chậu lún ứng với chuyển vị lớn nhất (a) và thời gian tới tương ứng với

chuyển vị lớn nhất (b) thu được trong phân tích giả tĩnh và phân tích động lực học.

vii

Luan van


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2-1. Các thông số của mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D
Bảng 2-2. Các thơng số chính của q trình xấp xỉ
Bảng 3-1. Kết quả phân tích của bài tốn F/HWD trong phân tích giả tĩnh và phân
tích động

viii

Luan van


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN VỊ: KHOA XÂY DỰNG
Tp. HCM, ngày 12 tháng 12 năm 2020

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Giải số qui luật ứng xử đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D
trong miền thời gian để phân tích ứng xử của kết cấu áo đường mềm
- Mã số: T2020-80TĐ
- Chủ nhiệm: Nguyễn Huỳnh Tấn Tài
- Cơ quan chủ trì: Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM
- Thời gian thực hiện: 12 tháng, từ 1/2020 – 12/2020
2. Mục tiêu:
Giải số mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D trong miền thời gian để
tích hợp vào trong chương trình tính tốn bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Kết
quả nghiên cứu giúp cải thiện độ chính xác của kết quả phân tích kết cấu áo đường.
3. Tính mới và sáng tạo:
Các tác giả đã đề xuất một phương pháp giải số cho qui luật ứng xử đàn hồi – nhớt
của Huet-Sayegh và 2S2P1D, trong đó độ chính xác cũng như thời gian tính tốn
được cải thiện một cách đáng kể.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Sai số tại mọi điểm của xấp xỉ mô-đun đàn hồi dão bằng tổng các hàm số mũ sử
dụng các hệ số có giá trị thực là rất nhỏ, nhỏ hơn 1.5  104 đối với hỗn hợp bê tông
nhựa và 7.5  104 đối với nhựa đường.
- Nghiệm số khớp với nghiệm giải tích. Điều đó xác thực tính đúng đắn của các giá trị
mơ-đun dão cũng như phương pháp xấp xỉ mô-đun dão bằng tổng của các hàm số mũ.

ix

Luan van


- Khi so sánh với phương pháp giải trực tiếp (ví dụ phương pháp của Heck), thời gian
tính tốn với phương pháp đề xuất thấp hơn một cách đáng kể (khoảng 1000 lần)
trong khi mức độ sai số tương đối 103 vẫn có thể đạt được.

5. Sản phẩm:
01 bài báo SCIE, Q1 (vượt yêu cầu so với đăng ký đề tài được duyệt là Q2)
01 bài báo hội nghị được đăng trong kỷ yếu nằm trong danh mục Scopus (sản phẩm
vượt đăng ký)
/>=trmp20
/>6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:
Kết quả nghiên cứu cung cấp thơng tin hữu ích cho các kỹ sư xây dựng và các nhà
khoa học trong việc phân tích ứng xử thực tế của kết cấu áo đường mềm, giúp đánh
giá chính xác hơn tuổi thọ của cơng trình để từ đó có phương án lựa chọn loại vật liệu
phù hợp nhằm nâng cao độ bền cho công trình. Kết quả nghiên cứu cũng có thể
chuyển giao thành tài liệu đào tạo cao học, nghiên cứu sinh.
Trưởng Đơn vị

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ và tên)

TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

x

Luan van


INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
Project title: Numerical resolution of Huet-Sayegh and 2S2P1D models for analysis
of asphalt pavement structures in time domain.
Code number: T2020-80TD
Coordinator: Nguyen Huynh Tan Tai

Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technology and Education
Duration: from 01/2020 to 12/2020
2. Objective(s):
To implement the Huet-Sayegh and 2S2P1D viscoelastic model in time domain in an
existing finite element programme. The results of this work help to improve the
exactness of flexible pavement analysis.
3. Creativeness and innovativeness:
The authors have proposed a method for finite element implementation of HuetSayegh and 2S2P1D viscoelastic model in time domain, in which the accuracy as
well as computing time is significantly improved.
4. Research results:
- The error of the approximation by sum of exponential functions using real valued
decay rates and coefficients is very small, lower than 1.5  104 at every data point for
asphalt mixtures and 7.5  104 for binder.
- The numerical solutions agree with the exact solutions, which verify the accuracy of
the AAR and NER moduli as well as its approximation by sum of exponential
functions.
- When comparing to the direct method (e.g. method of Heck), the CPU time for the
proposed

formulation

to

complete

the

calculation

is

significantly

lower

(approximately 1000 times) while small relative error of the order of 103 can be
obtained.
5. Products:
01 SCIE and Q1 paper (01 SCIE, Q2 paper was proposed in the project).
xi

Luan van


01 book chapter indexed by Scopus (added product)
/>=trmp20
/>6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability:
The research results provide useful information for civil engineers and researchers
who would like to analyse the behaviour of flexible pavements. The method proposed
helps to improve the exactness of pavement analysis and design. As a result,
appropriate materials could be chosen to increase the service life of pavement
structures. The study results can also be used for postgraduate training and research.

xii

Luan van


Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước

Bê tơng nhựa được sử dụng rộng rải trong kết cấu áo đường nhờ vào các ưu điểm tuyệt
vời của nó như tính dễ cơng tác, dễ sửa chữa và tính êm thuận trong lưu thơng của các
phương tiện. Tuy nhiên, bê tông nhựa lại dễ bị hư hỏng dưới các tác dụng của tải trọng
cũng như các tác động từ mơi trường, trong đó hằn lún vệt bánh xe và nứt mỏi là hai
dạng hư hỏng phổ biến nhất. Ở nước ta, hằn lún vệt bánh xe được xác định là dạng hư
hỏng phổ biến nhất do khí hậu nóng và tình trạng khai thác q tải diễn ra phổ biến [1].
Vì hằn lún vệt bánh xe thường xuất hiện rất sớm sau khi thông xe, dạng hư hỏng này thu
hút được nhiều sự quan tâm của các nhà quản lý, các kỹ sư và nhà khoa học hơn là dạng
hư hỏng kiểu nứt mỏi.

Hình 1-1 Minh họa hư hỏng mặt đường kiểu hằn lún vệt bánh xe và kiểu nứt mỏi
Từ góc độ của thiết kế kết cấu, hư hỏng dạng nứt là thực sự nghiêm trọng. Một khi kết
cấu áo đường được thiết kế đủ cứng để kháng được hằn lún vệt bánh xe, mặt đường sẽ
có nhiều khả năng bị nứt dưới tác dụng của tải trọng trong dài hạn. Rủi ro xuất hiện hư
hỏng nứt tăng lên đáng kể khi mà kết cấu áo đường mỏng với chiều dày từ 12-15 cm
được sử dụng rất phổ biến ở trong nước vì lý do kinh tế [2]. Để có thế giảm thiểu được
hư hỏng kiểu nứt, ứng xử của kết cấu áo đường phải được phân tích một cách chính xác
và “gần” nhất có thể so với sự làm việc thực tế của nó, đồng thời chiều dày của kết cấu
áo đường phải được tính tốn kỹ dựa vào các mơ hình dự tính hư hỏng thích hợp.
Đàn hồi – nhớt tuyến tính (LVE), tính phi tuyến, mỏi, và hằn lún vệt bánh xe là bốn
dạng ứng xử chính của hỗn hợp bê tông nhựa, được xác định căn cứ vào biên độ của
1

Luan van


biến dạng và số chu kỳ tải trọng tác dụng vào vật liệu [3-5]. Đối với việc phân tích và
thiết kế kết cấu áo đường, ứng xử đàn hồi – nhớt tuyến tính là loại ứng xử phù hợp hơn
cả. Thật vậy, các mơ hình đàn hồi – nhớt tuyến tính đã được sử dụng từ rất lâu trong
việc phân tích ứng xứ của nhựa đường và hỗn hợp bê tơng nhựa bao gồm các mơ hình

lưu biến [6-16], và mơ hình tốn học [17-18]. Trong số các mơ hình kể trên, mơ hình
ứng xử Huet-Sayegh và phiên bản mở rộng của nó là mơ hình 2S2P1D đã được chứng
minh tính hữu hiệu trong việc dự báo ứng xử đàn hồi – nhớt của vật liệu nhựa đường và
hỗn hợp bê tông nhựa trong khi số lượng tham số của mơ hình là tương đối ít [11-14,1922]. Tuy nhiên, các mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D thường gặp khó khăn trong việc
tích hợp vào trong một chương trình tính tốn bằng phương pháp phần tử hữu hạn trong
miền thời gian do khơng tồn tại hàm mơ-đun dão ở dạng giải tích.
1.2 Tính cấp thiết
Bởi vì dạng giải tích của hàm mơ-đun dão cho mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D khơng
tồn tại, nhiều phương pháp đã được đề xuất nhằm tích hợp các mơ hình này vào trong
các chương trình tính tốn kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp
được sử dụng phổ biến nhất là chuyển đổi bài toán trong tự nhiên được định nghĩa trong
miền thời gian thành một bài toán tương đương trong miền tần số. Khi đó, quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng trở thành một quan hệ tuyến tính đơn giản, ví dụ như phương
pháp được sử dụng trong chương trình Viscoroute [23], Veroad [24-25] và ABAQUS
[26]. Việc chuyển đổi giữa miền thời gian và miền tần số sử dụng phép biến đổi Fourier
là phức tạp và các kỹ thuật phức tạp cần được sử dụng thêm để đảm bảo độ chính xác
của kết quả [27].
Trong miền thời gian, việc giải số quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được thực
hiện bằng cách sử dụng hàm từ biến trong nhánh I của mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D
và tính trực tiếp tích phân xoắn (convolutional integral) như thuật toán được đề xuất bởi
Heck [28] cho mơ hình Huet-Sayegh. Thuật tốn này sau đó được áp dụng vào trong
mơ-đun CVCR của chương trình tính tốn CESAR-LCPC chun dùng để phân tích kết
cấu áo đường [29]. Trong một cách tiếp cận khác, Woldekidan và các cộng sự [30] sử
dụng các hệ số Grunwald để xử lý các đạo hàm phân số nhằm rút ra quan hệ số giữa ứng
suất – và biến dạng. Trong hai phương pháp này, tất cả các giá trị tính tốn trong q
khứ đều được sử dụng trong tính tốn. Vì vậy, chi phí tính tốn bao gồm bộ nhớ lưu trữ
và thời gian tính tốn cho mỗi bước tính tốn gia tăng rất nhanh theo số bước tính tốn.
Để có có thể lập cơng thức phần tử hữu hạn hiệu quả cho mơ hình 2S2P1D, Tiouajni và
2

Luan van


cộng sự đã đề xuất một thuật toán dùng để xấp xỉ mơ-đun đàn hồi phức của mơ hình
2S2P1D bằng mơ-đun đàn hồi phức của mơ hình Kelvin-Voigt mở rộng trong miền tần
số [31]. Thuật toán xấp xỉ được xây dựng để xác định n giá trị của độ cứng lò xo Ei với
giả thiết rằng tỷ số giữa độ nhớt của cản nhớt i và độ cứng của lò xo Ei , hay còn được
gọi là thời gian đặc trưng  i , là biết trước. Thuật toán này tương tự với phương pháp
được gọi “colocation method” phát triển bởi Schapery năm 1961 [32] nhằm xấp xỉ hàm
mô-đun dão bằng chuổi Prony ở chổ một tập các giá trị của thời gian đặc trưng
(characteristic time) được lựa chọn trước. Như được thảo luận ở các phần sau, việc lựa
chọn các giá trị của tốc độ suy giảm (decay rates) để xấp xỉ một cách “sát sao” trong
một khoảng rất rộng của thời gian đánh giá là rất khó khăn.
1.3 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chung của nghiên cứu này là phát triển một cơng thức giải số nhằm tích hợp
mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D vào trong các chương trình tính tốn bằng phương
pháp phần tử hữu hạn sao cho chi phí tính tốn trong từng bước tính tốn là ổn định
trong suốt q trình tính tốn. Cơng thức số tìm kiếm tương tự cơng thức số áp dụng cho
mơ hình Maxwell mở rộng ở chổ sử dụng tổng các hàm số mũ. Vì vậy, cơng thức giải số
cho mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D có thể được ứng dụng dễ dàng
trong các phần mềm tính toán phần tử hửu hạn trong miền thời gian sẵn có để phân tích
ứng xử của kết cấu áo đường. Phương pháp giải quyết vấn đề trong báo cáo này gồm 2
bước. Bước một là xác định hàm mô-đun dão cho mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D và
bước hai là xấp xỉ hàm mô-đun dão bằng tổng của các hàm số mũ với độ chính xác cao
để xây dựng cơng thức quy nạp cho quan hệ ứng suất – biến dạng. Để có thể đạt được
mục tiêu nêu trên, các mục tiêu cụ thể trong nghiên cứu này bao gồm:
 Xây dựng hàm mô-đun dão bằng phương pháp xấp xỉ giải tích (AAR) cho mơ
hình Huet-Sayegh và 2S2P1D sử dụng phương pháp của Schapery và Park [30]
và thiết lập thuật toán xác định mơ-đun dão chính xác bằng phương pháp số
(NER) sử dụng thuật toán được đề xuất bởi Heck [28];

 Cải tiến phương pháp của Dombi [33] để xác định các tham số của tổng các hàm
số mũ trong phép xấp xỉ các giá trị của mô-đun dão nhằm đảm bảo độ mức độ
chính xác cao cho phép xấp xỉ (sai số tương đối ≤ 10 3 );
 Xây dựng mối quan hệ quy nạp của ứng suất và biến dạng để có thể giảm chi phí
tính tốn trong phép tính tích phân xoắn;
3

Luan van


 Xác thực phương pháp đề xuất thông qua việc so sánh kết quả tính tốn số thu
được với các lời giải giải tích và các lời giải thu được bằng các phương pháp
khác.
1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mơ hình đàn hồi – nhớt tuyến tính của Huet-Sayegh và 2S2P1D.

Hình 1-2 Minh họa mơ hình lưu biến của Huet-Sayegh (a) và 2S2P1D (b)
1.5 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
1.5.1 Cách tiếp cận
Lý thuyết kết hợp với thực nghiệm và mô phỏng bằng phương pháp số.
1.5.2 Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích ứng xử đàn hồi – nhớt của bê tơng nhựa.
- Mơ hình hóa qui luật ứng xử bằng mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D.
- Xây dựng cơng thức giải số cho mơ hình ứng xử đàn hồi nhớt trong miền thời gian.
1.6 Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu tổng quan về các phương pháp giải số mơ hình đàn hồi – nhớt HuetSayegh và 2S2P1D.
- Xác định các thơng số của mơ hình ứng xử vật liệu và xấp xỉ các giá trị của mô-đun
dão bằng tổng các hàm số mũ.
- Xây dựng công thức giải số cho mơ hình ứng xử đàn hồi nhớt trong miền thời gian.
- Báo cáo kết quả nghiên cứu và xuất bản

4

Luan van


Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Các phương trình cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng đàn hồi – nhớt
Gọi σ ( x ,t ) là ten-xơ ứng suất Cauchy, mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm x và tại
thời điểm t của một vật rắn bất kỳ ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của tải trọng và
tác động bên ngồi. Nếu khơng có ghi chú khác, qui ước tổng của Einstein được áp dụng
trong suốt báo cáo này. Phương trình cân bằng cục bộ tại mọi điểm của vật rắn được
biểu thị bằng phương trình (1):
div (σ (x ,t ))   0f  0

(1)

trong đó 0 là khối lượng riêng của vật rắn, f là lực khối tác dụng lên mọi điểm của vật
rắn, và toán tử div được định nghĩa  div(σ ) i 

 ij
x j

. Gọi ε ( x , t ) là ten-xơ tổng biến

dạng, ε m ( x , t ) là ten-xơ biến dạng do tác động cơ học và ε th ( x , t ) ten-xơ biến dạng do
tác động của nhiệt độ tại điểm x và thời gian t . Trong khuôn khổ của giả thiết biến
dạng bé, chúng ta có thể viết biến dạng tổng bằng tổng của biến dạng cơ học và biến
dạng do nhiệt:
ε ( x, t )  ε m ( x, t )  ε th ( x, t ).

(2)

Liên hệ giữa ten-xơ biến dạng và trường chuyển vị u ( x, t ) được biểu thị bằng phương
trình:
ε

1
grad.u + grad T .u 

2

(3)

trong đó grad là tốn tử gradient được định nghĩa  grad.u ij 

u
u i
;  grad T .u   j .
ij
x j
xi

Gọi T ( x , t ) là trường nhiệt độ bên trong vật rắn. Giả thiết rằng vật liệu làm nên vật rắn
có ứng xử đẳng hướng, ten-xơ biến dạng có thể được xác định bằng phương trình:
ε th ( x, t )   .T( x, t ).I

(4)

trong đó  là hệ số giản nỡ vì nhiệt, T là sự thay đổi nhiệt độ và I là ten-xơ đơn vị

bậc 2. Đối với một trường nhiệt ổn định, có nghĩa là

T ( x , t )
 0,  x , t hoặc, T  T ( x ) ,
t

nguyên lý cộng tác dụng của Boltzmann cho rằng ứng suất tại mọi điểm x và thời điểm
5

Luan van


t của vật rắn đàn hồi – nhớt gây ra bởi các bước biến dạng nhỏ có tính chất cộng tác

dụng:
N

N

i 1

i 1

σ ( x, t )   2  (t  ti , T ( x )) ε m ( x , ti )    (t  ti , T ( x ))tr ( ε m ( x, ti )) I, t N  t

(5)

trong đó t  ti là thời gian tác dụng của ε m (x, ti ) , và vết của ten-xơ được định nghĩa

tr (.)  (.)ii . Trong phương trình (5),  (t , T ( x)) là mô-đun cắt trượt và  (t , T ( x )) là hằng

số Lamé liên hệ với mô-đun dão E (t , T (x)) và hệ số Poisson  (giả thiết là hằng số) bởi
phương trình:

 (t , T (x)) 

E (t , T ( x))
E (t , T ( x)).
;  (t , T (x)) 
.
2(1   )
(1   )(1  2 )

(6)

Đối với mọi tiến trình biến dạng khả vi, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được viết dưới
dạng tích phân xoắn:
t

σ ( x, t )   2  (t   , T (x))
0

t
dε m
dε m
d    (t   , T ( x))tr (
) d .I.
0
dt
dt

(7)

Trong trường hợp vật liệu có ứng xử nhiệt đơn giản, nguyên lý tương đương giữa thời
gian và nhiệt độ có thể được áp dụng để giảm số lượng ẩn số độc lập như sau:
E (t , T ( x ))  E (

t
, Tref )
aT (T ( x))

(8)

trong đó aT (T ( x )) là hệ số dịch chuyển, có nghĩa là ứng xử của vật liệu ở thời gian tác
dụng t và nhiệt độ T tương đương với ứng xử của nó ở thới gian tác dụng t / aT (T ) và
ở nhiệt độ tham chiếu Tref . Như vậy, giá trị t / aT (T ) là thời gian tác dụng tương đương
hay còn được gọi là thời gian tác dụng thu gọn tại nhiệt độ tham chiếu khi vật liệu chịu
tác dụng của nhiệt độ T . Phương trình (7) có thể viết lại dưới dạng:
t

σ ( x, t )   2  (
0

t
t 
dε m
t 
dε m
, Tref )
d    (
, Tref )tr (

)d .I
0
aT (T ( x))
dt
aT (T ( x ))
dt

trong đó (t   ) / aT (T (x)) là thời gian tác dụng tương đương của

(9)

dε
dε
và tr ( ) ở nhiệt
dt
dt

độ Tref .

6

Luan van


Bây giờ chúng ta xem xét một trường nhiệt thay đổi theo thời gian, T  T ( x , t ) , quan hệ
giữa ứng suất – biến dạng có thể được viết dưới dạng:
t

σ (x, t )   2 ( t , Tref )
0

t
dε m
dε m
d    ( t , Tref )tr (
)d .I.
0
dt
dt

trong đó t là thời gian tác dụng tương đương của

(10)

dε m
dε m
và tr (
)d tại điểm x từ
dt
dt

thời điểm  đến thời điểm t và từ nhiệt độ T (x, ) đến nhiệt độ T (x, t ) . Thời gian tác
dụng tương đương cho q trình đó t được tính toán như sau:
ti t

t

 ti
dt
t  lim 

; hay, t  

t  0
  ti aT (T ( x, ti ))
 aT (T ( x, t ))

(11)

Thế phương trình (11) vào trong phương trình (10) thu được quan hệ giữa ứng suất –
biến dạng cho vật thể đàn hồi – nhớt chịu tác dụng của quá trình nhiệt:
t

t

σ (x, t )   2  ( 
0



t

t
dt
dε m
dt
dε m
, Tref )
d    ( 
, Tref )tr (
) d .I.

0
aT (T ( x, t ))
dt
dt
 aT (T ( x, t ))

(12)

2.2 Mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D
Mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet và Sayegh [6-7] phù hợp cho việc mô tả ứng xử đàn
hồi – nhớt tuyến tính của bê tơng nhựa. Mơ hình bao gồm một lị xo liên kết song song
với một khối mắc nối tiếp bao gồm một lò xo, hai cản nhớt phi tuyến như được mô tả
trong Hình 1-1a.
Mơ-đun phức (complex modulus) của mơ hình Huet-Sayegh được cho bởi phương trình
(13) [7,11,14]

E * ( )  E0 

E  E0
1   (i (T )) k  (i (T )) h

trong đó  (rad/s) là tần số góc,  

(13)

 (T ).( E  E0 )
, 0  h  k  1 là các tham số mơ hình
1

và E0 , E là các giá trị của E * ( ) khi   0 và    . Trong phương trình (13),

 (T ) là một hằng số có thứ nguyên là thời gian và có giá trị thay đổi theo nhiệt độ.
Hằng số này có thể được mơ hình hóa bằng qui luật nổi tiếng của William-Landel-Ferry:

 (T )   (Tref ) aT ; log( aT ) 

C1 (T  Tref )
T  Tref  C2

(14)
7

Luan van


hoặc bằng qui luật hàm số mũ:
2

 (T )  e A  A T  A T .
0

1

2

(15)

Sử dụng quan hệ i  e i 2 , phương trình (13) có thể được viết thành:

E * ( )  E0 

cos(k



E  E0
( AHS  BHS i )
AHS2  B HS2


)



(16)


cos(h )
sin(k ) sin(h )
2 
2 , B 
2 
2 .
trong đó AHS  1  
HS
( (T ))k ( (T )) h
( (T )) k ( (T ))h

Từ phương trình (16), chúng ta có thể rút ra được mô-đun lưu trữ (storage modulus)

E ' ( ) và mô-đun mất mát (loss modulus) E '' ( ) bằng cách lấy phần thực và phần ảo
của số phức E * ( ) :

E ' ( )  E0  AHS

E  E0
E  E0
; E '' ( )  BHS 2

2
2
AHS  B HS
AHS  BHS2

(17)

Căn cứ vào các tác giả Olard và Di Benedetto [11], mơ hình Huet-Sayegh khơng phù
hợp cho vật liệu nhựa đường tại các giá trị tần số thấp bởi vì ứng xử của mơ hình khi đó
tương đương với ứng xử của cản nhớt phi tuyến thay vì phải tương đương với ứng xử
của cản nhớt tuyến tính. Vì vậy, một dạng tổng qt hơn của mơ hình Huet-Sayegh đã
được đề xuất bằng cách gắn một cản nhớt tuyến tính nối tiếp vào 2 cản nhớt phi tuyến
trong nhánh số I của mơ hình Huet-Sayegh như được minh họa trong Hình 1-1b. Mơ
hình mới này được gọi là mơ hình 2S2P1D tổng qt. Mơ-đun phức của mơ hình
2S2P1D được cho bởi Olard và Di Bendetto [11]:

E * ( )  E0 

E0  E
1   (i (T ))  (i (T )) h  (i (T )) 1
k

(18)

Mô-đun lưu trữ và mô-đun mất mát có thể được rút ra từ phương trình (18):
E ' ( )  E0  A2 S 2 P1D

E  E0
E  E0
; E '' ( )  B2 S 2 P1D 2 
2
 B2 S 2 P1D
A2 S 2 P1D  B22S 2 P1D


2
2 S 2 P1 D

A

(19)

trong đó



A2 S 2 P1D







cos(k ) cos(h )
sin( k ) sin( h )
1
2
2
2 
2 
 1 

; B2 S 2 P1D  

k
h
k
h
( (T )) ( (T ))
( (T )) ( (T ))  (T )
8

Luan van


2.4 Mơ-đun dão (relaxation modulus)
Bởi vì dạng giải tích của mơ-đun dão của mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D khơng tồn
tại, các phương pháp xấp xỉ giải tích và phương pháp số được sử dụng để tính tốn mơđun dão. Các phương pháp phổ biến sẽ được tóm tắt bên dưới.
2.4.1 Hàm mô-dun dão được xấp xỉ bằng phương pháp giải tích (AAR)
Rất nhiều kỹ thuật đã được đề xuất trong các nghiên cứu trước đây nhằm tính tốn một

cách gần đúng mơ-đun dão căn cứ vào kết quả thí nghiệm mô-đun động bao gồm
phương pháp chuyển đổi bằng phương pháp số [34-35] và phương pháp xấp xỉ bằng giải
tích [36-37]. Trong nghiên cứu này, phương pháp của Schapery và Park [37] được dùng
để xấp xỉ hàm mô-đun dão. Giả thiết rằng  (Tref )  1 tại nhiệt độ tham chiếu, mơ-đun
dão có thể được xấp xỉ căn cứ vào hàm mô-đun lưu trữ:


1
E t 
,T
  (T ) ref
ref


 E '  (Tref )  '

;   (Tref )   (1  n) cos( n )
  '
2
   (Tref ) 

(20)



trong đó ( x)   e  t t x 1dt là hàm số Gamma và n là độ dốc cục bộ của đường cong
0

log( E ' ()) đối với log( ) . Công thức tính tốn giá trị của n có thể được thiết lập từ các
phương trình (17) và (19) và được biểu thị trong các phương trình (21)-(22):

d log( E ' ( )) d log( E ' ( ))
d


,
d log( )
d
d log( )
 2
k
h
h 
2   .k
  A  B    k k  cos( 2 )   h h cos( 2 ) 


n
2
2 2
2
2
E
(
A

B
)

A

(
A

B
)(
E

E
)
0

0




k
h
h  
  .k
2 AB  k k  sin( )  h h sin( )  
2

2 
 

(21)

(22)

 ( E  E0 ).
E0 ( A2  B 2 ) 2  A( A2  B 2 )( E  E0 ) 


Trong phương trình (22), các hệ số A, B phải được thay bởi AHS , BHS hoặc

A2 S 2 P1D , B2 S 2 P1D tùy thuộc vào mơ hình Huet-Sayegh hoặc 2S2P1D được áp dụng.
Phương trình xấp xỉ của hàm mô-dun dão ở nhiệt độ T khác với nhiệt độ tham chiếu

Tref có thể thu được một cách dễ dàng bằng cách sử dụng biến thời gian tác dụng tương
9

Luan van


đương 1 / [ (T )] thay cho 1 / [ (Tref )] trong các phương trình (20)-(22). Theo định
nghĩa, hệ số dịch chuyển aT là tỷ số giữa  (T ) và  (Tref ) , có thể được xác định dễ dàng
từ qui luật hàm số mũ của  (T ) :

ln(aT )  A1  2 A2Tref (T  Tref )  A2 (T  Tref )2 .

(23)

2.4.2. Mơ-đun dão được tính tốn chính xác bằng phương pháp số (NER)
Giá trị chính xác của mơ-đun dão của mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D có thể được
tính tốn sử dụng thuật tốn của Heck [28]. Theo định nghĩa, mơ-đun dão chính là giá trị
ứng suất bên trong vật liệu khi nó chịu tác dụng của một biến dạng có dạng hàm bậc có
giá trị bằng đơn vị theo thời gian. Như vậy, giá trị chính xác của mơ-đun dão có thể
được tính tốn bằng cách tính tốn tích phân xoắn bằng phương pháp tích phân số bằng
qui luật điểm giữa (midpoint rule) của quan hệ ứng suất – biến dạng:

E I (0 ) 

1
; E (0 )  E I (0 )  E0 ;

C (0 )
I

1
t

1  C I (tn1 ) E I (0 )  C I (tn1  1 )  E I (t1 )  E I (0 ) 

t
2
C I ( n1 ) 
2
n
t

  C I (tn1  ti  i )  E I (ti )  E I (ti 1 )    E I (tn );
2
i 2


E I (tn1 ) 

(24)

E (tn1 )  E I (tn1 )  E0 .
trong đó C I (t ) là hàm từ biến của nhánh số I của mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D
được cho bởi phương trình (25)1 [28-29] và (25)2.

 1

 E  E0
I
C (t )  
 1
E  E
0
 


1  


1  


(t /  ) k
(t /  )h 

cho nhánh I của Huet-Sayegh
(k  1) (h  1) 
(t /  ) k
(t /  )h
t 



cho nhánh I của 2S2P1D
(k  1) (h  1)  

(25)

Cần lưu ý rằng phương trình (24) chỉ bao gồm các giá trị vơ hướng. Vì vậy, việc tính
tốn sẽ khơng tốn nhiều chi phí tính tốn.
2.5 Giải số quan hệ ứng suất – biến dạng
Chia khoảng thời gian nghiên cứu thành tổng các khoảng thời gian nhỏ
N 1

[0, t N 1 ]   [tn , tn 1 ] và đặt tn1  tn1  tn là bước thời gian tương ứng từ thời điểm tn
i 1

10

Luan van


đến tn1 . Giá trị của bước thời gian không nhất thiết phải là một hằng số. Trong các phần
tiếp theo, một chỉ số dưới “n+1” sẽ được dùng để chỉ một đại lượng ở thời điểm tn1
nhằm đơn giản hóa các ghi chú. Mọi đại lượng vi phân đều được rời rạc hóa sử dụng
phương pháp sai phân bậc một của Euler như sau:
  . 

d  .
t  .n 1  .n
dt

(26)

trong đó n+1 và n là thời điểm hiện tại thời điểm liền kề trong quá khứ; và  . là sai
phân của . tính tốn tại hai thời điểm tính tốn liên tiếp nhau.
2.5.1 Quan hệ quy nạp giữa ứng suất và biến dạng
Giả sử rằng hàm mô-đun dão ở nhiệt độ T được xấp xỉ bằng tổng của các hàm số mũ:
Nj

E (t , T )  E0   a j .e

bj

t
aT (T )

(27)

j 1

trong đó a j  0 là các hệ số có giá trị thực và b j  0 là các tốc độ suy giảm cũng có giá
trị thực cần phải được xác định và 2 N j là số lượng tham số. Đối với một quá trình nhiệt
thay đổi theo thời gian, ứng suất tại thời điểm tn1 được tính tốn bằng cách thay
phương trình (27) vào phương trình (12):
Nj

E
1
σ n1  0 .ε nm1 
1 
1 


j 1

t n 1

0

a j .e

bj

tn 1



d
aT (T ( x ,t ))

d m ( )
d
dt
tn  1

j
bj 
tn 1
E0 .




tr(ε mn1 )I 
a
.
e

j

(1   )(1  2 )
(1   )(1  2 ) j 1 0

N

d
aT (T ( x ,t ))

d m ( )
tr(
) d .I.
dt

(28)

Gọi các biến mới s vjn 1 , vnvj1 là các biến nội tại đặc trưng cho phần ứng xử nhớt của ứng
suất như sau:
s

vj
n 1

1

1 

vnvj1 



tn 1

0



a j .e

bj

t n 1



d
aT (T ( x ,t ))

tn 1

(1   )(1  2 ) 0

a j .e

bj

d m ( )
d
dt
tn 1



d
aT (T ( x ,t ))

d m ( )
tr (
) d
dt

(không thực hiện tổng).

(29)

Bây giờ, thế phương trình (29) vào phương trình (28) dẫn đến:
j
j
E
E0 .
σ n 1  0 .ε nm1 
tr(ε nm1 ).I   s vjn1  I. vnvj1.
1 

(1   )(1  2 )
j 1
j 1

N

N

(30)

11

Luan van


Tách tích phân trong phương trình (29) thành hai phần như trong phương trình (31):
n 1
n 1
d
d
m
m
bj 
bj 

tn1
1  tn


aT (T ( x ,t )) d

aT (T ( x ,t )) d

d   a j .e
d 
 0 a j .e
tn
1   
dt
dt

t

s

vj
n 1

t

n 1
n 1
d
d
bj 
bj 
 tn

tn1
d m
d m



aT (T ( x ,t ))
aT ( T ( x ,t ))
vj
vn1 
tr (
)d   a j .e
tr (
) d 
 0 a j .e
tn
(1  )(1  2 ) 
dt
dt

t



t

(31)

Tích phân đầu tiên ở vế thứ hai của phương trình (31)1-2 là giá trị của biến nội tại ở thời
điểm tính tốn tn nhân với một hệ số bằng e

bj

tn 1

tn

d
aT (T ( x ,t ))

. Tích phân thứ hai trong

phương trình (31) 1-2 chỉ là một tích phân trong khoảng thời gian [t n , t n 1 ] và chỉ liên
quan đến các giá trị của biến dạng ở thời điểm tính tốn hiện tại và thời điểm liền trước.
Vì vậy, việc tính tốn tích phân này có thể được thực hiện dễ dàng sử dụng phương pháp
tích phân điểm giữa như sau:



tn 1



tn 1

tn

tn

a j .e
a j .e

bj

bj

tn 1

d
aT (T ( x ,t ))

tn 1

d
aT (T ( x ,t ))




tn 1 /2

bj
d m ( )
d  a j .e aT (T ( x ,tn 3/ 4 )) ( mn1   mn );
dt

d ( )
) d  a j .e
dt
m

tr (

bj

tn 1 /2
aT (T ( x ,tn  3/ 4 ))

(32)

tr ( nm1 )  tr ( nm )  .

Cuối cùng, chúng ta thu được một công thức quy nạp cho mối quan hệ giữa ứng suất và
biến dạng, công thức này chỉ liên quan đến các đại lượng tính tốn ở thời điểm tính tốn
hiện tại và liền kề trong quá khứ như sau:
j
j
E0 .
tr(ε nm1 ).I   s vjn 1  I. vnvj1;
(1   )(1  2 )
j 1
j 1

N

 n 1  E0 . mn 1 
b j tn 1

s

( tn 1 /2)

bj
1

s 
a j .e aT (T ( x ,tn  3/ 4 )) ( nm1   nm );
1 

vj
n 1

e

aT (T ( x ,tn 1/ 2 )) vj
n

vj
n 1

e

aT (T ( x ,tn 1/ 2 )) vj
n

b j t n  1

v

N

v 


(1   )(1  2v)

a j .e

bj

( tn 1 /2)
aT (T ( x ,tn  3/ 4 ))

(33)

tr ( mn 1 )  tr ( nm )  .

Trong bài toán một chiều chịu tác động của trường nhiệt ổn định, phương trình (33) có
thể được viết gọn lại thành:

 n 1  E0 .

m
n 1

Nj

 
j 1

vj
n 1

;

vj
n 1

e

bj

tn 1
aT (T )

.  a j .e
vj
n

bj

( tn 1 /2)
aT (T )

( nm1   nm ).

(34)

Ma trận cứng tiếp tuyến cũng có thể được suy ra từ phương trình (33) một cách dễ dàng
để có thể tích hợp vào trong các chương trình tính tốn bằng phương pháp phần tử hữu
hạn:
12

Luan van