Đề thi mẫu học phần Toán rời rạc 1 (PTIT)

ĐỀ THI MẪU HỌC PHẦN TOÁN RỜI RẠC 1
Đề số: 1
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng các phép biến đổi tương đương và các mệnh đề tương đương cơ bản, chứng
minh sự tương đương logic sau: ¬(𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ⇔ 𝑞.
b) Trong một kỳ thi trắc nghiệm, đề thi có 60 câu hỏi. Thí sinh được 0,5 điểm cho mỗi câu
trả lời đúng và được 0 điểm cho mỗi câu trả lời sai hoặc không trả lời. Hỏi cần ít nhất
bao nhiêu thí sinh tham gia kỳ thi để chắc chắn rằng có ít nhất 10 thí sinh có điểm bài
thi bằng nhau?
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu thập phân độ dài 𝑛 và có chứa
3 số 0 liên tiếp?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 5𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3 với 𝑛 ≥ 3 và 𝑎0 = 7, 𝑎1 = −4, 𝑎2 =
8.
Câu 3 (2 điểm)
a) Phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 30 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thỏa
mãn: 4 ≥ 𝑥2 ≥ 1 𝑣à 5 ≥ 𝑥4 ≥ 2?
b) Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sử dụng phương pháp sinh tổ hợp chập k của
một tập hợp theo thứ tự từ điển, hãy tạo 5 tổ hợp chập 5 liền kề tiếp theo của tổ hợp
(1,2,6,8,9).
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các hốn vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương
pháp sinh hoán vị theo thứ tự từ điển.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.
2x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 → max,
2x1 + 4x2 + 6x3 + 3x4 ≤ 9,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 2

Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng phương pháp bảng giá trị chân lý, chứng minh sự tương đương logic sau:
¬(𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ⇔ 𝑞.

b) Trong một kỳ thi trắc nghiệm, đề thi có 100 câu hỏi. Thí sinh được 0,2 điểm cho mỗi
câu trả lời đúng và được 0 điểm cho mỗi câu trả lời sai hoặc khơng trả lời. Hỏi cần ít
nhất bao nhiêu thí sinh tham gia kỳ thi để chắc chắn rằng có ít nhất 15 thí sinh có điểm
bài thi bằng nhau?
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu thập phân độ dài 𝑛 và không
chứa 3 số 1 liên tiếp?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 − 2𝑎𝑛−3 với 𝑛 ≥ 3 và 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 6, 𝑎2 = 0.
Câu 3 (2 điểm)
a) Phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 = 35 có bao nhiêu nghiệm ngun khơng âm
thỏa mãn: 4 ≥ 𝑥3 ≥ 2 𝑣à 6 ≥ 𝑥6 ≥ 1?
b) Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sử dụng phương pháp sinh hốn vị theo thứ tự từ
điển, tìm 5 hốn vị liền kề tiếp theo của hoán vị (4, 5, 8, 7, 9, 6, 3, 2, 1).
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các tổ hợp chập k của tập {1,2,3,…,n} sử dụng
phương pháp sinh tổ hợp theo thứ tự từ điển, trong đó k, n là các số nguyên dương và k < n.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.
2x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 → max,
2x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 ≤ 9,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


MỜI BẠN TẢI VỀ ĐỂ XEM TIẾP

Đề số: 3
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng các phép biến đổi tương đương và các mệnh đề tương đương cơ bản, chứng
minh sự tương đương logic sau: (𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑝 ∧ ¬𝑞)
b) Có 17 nhà bác học viết thư trao đổi với nhau về 3 chủ đề, mỗi cặp chỉ trao đổi với nhau
về 1 chủ đề. Chứng minh rằng ln tìm được 3 nhà bác học đôi một viết thư trao đổi
với nhau về 1 chủ đề.
Câu 2 (2 điểm)
a) Gọi an là số xâu nhị phân độ dài n có chứa chẵn chữ số 0. Xây dựng công thức truy hồi
cho an và tính a7.
b) Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi sau: 𝑎𝑛 = −4𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2, với 𝑛 ≥ 2, và 𝑎0 =
1, 𝑎1 = 2.
Câu 3 (2 điểm)
a) Giả sử N, a, b, c là các số nguyên thỏa mãn 1 < a < b < c < N. Có bao nhiêu số nguyên
trong đoạn từ 1 đến N không chia hết cho bất kỳ số nào trong ba số a,b,c ?
b) Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sử dụng phương pháp sinh các tổ hợp chập K của
một tập hợp theo thứ tự từ điển, hãy tạo ra 5 tổ hợp chập 5 liền kề tiếp theo của tổ hợp
(1,5,7,8,9).
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các hoán vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương
pháp quay lui.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.

2x1 + 6x2 + 5x3 + 6x4 → max,
2x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 9,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 4
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng phương pháp lập bảng giá trị chân lý, chứng minh sự tương đương logic sau:
(𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑝 ∧ ¬𝑞)

b) Một hộp đựng bi chứa các viên bi có kích thước thuộc một trong hai loại to hoặc nhỏ
và màu sắc thuộc một trong ba màu xanh, đỏ, vàng. Giả sử rằng số lượng mỗi loại bi là
khơng hạn chế. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi trong hộp để chắc chắn rằng có
ít nhất 5 viên bi giống nhau cả kích thước lẫn màu sắc?
Câu 2 (2 điểm)
a) Gọi an là số xâu nhị phân độ dài n có chứa lẻ chữ số 1. Xây dựng cơng thức truy hồi
cho an và tính a6.
b) Giải hệ thức truy hồi sau: 𝑎𝑛 = −3𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 với 𝑛 ≥ 2, và 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 2
Câu 3 (2 điểm)
a) Có bao nhiêu số có 9 chữ số tạo thành một số thuận nghịch (đối xứng) và có tổng các
chữ số là 19.
b) Cho tập hợp 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sử dụng phương pháp sinh hoán vị của một tập
hợp theo thứ tự từ điển, liệt kê 5 hoán vị liền kề tiếp theo của hoán vị (1, 3, 4, 5, 8, 6, 2,
7, 10, 9).
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các tổ hợp chập k của tập {1,2,3,…,n} sử dụng
phương pháp quay lui trong đó k, n là các số nguyên dương và k < n.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.
6𝑥1 + 2𝑥2 + 7𝑥3 + 𝑥4 ⟶ 𝑚𝑎𝑥

5𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 ≤ 9

x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 5
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng các phép biến đổi tương đương và các mệnh đề tương đương cơ bản, chứng
minh sự tương đương logic sau: ¬𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ 𝑞 ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟)
b) Giả sử 𝑆 là tập hợp gồm các bộ có thứ tự (𝑥, 𝑦) với 𝑥 và 𝑦 là các số nguyên. Hỏi phải
lấy ra ít nhất bao nhiêu phần tử trong 𝑆 để chắc chắn rằng có ít nhất 2 bộ (𝑎, 𝑏) và (𝑐, 𝑑)
sao cho (𝑎 − 𝑐) và (𝑏 − 𝑑) đều chia hết cho 8?
Câu 2 (2 điểm)
a) Một hệ thống máy tính coi một xâu các chữ số hệ thập phân là một từ mã hợp lệ nếu nó
chứa một số chẵn (hoặc khơng chứa) chữ số 6. Ví dụ 5264507869 là hợp lệ, 9870516080
là không hợp lệ. Giả sử 𝑎𝑛 là số các từ mã hợp lệ độ dài 𝑛. Hãy tìm hệ thức truy hồi và
điều kiện đầu cho 𝑎𝑛 , sau đó tính 𝑎5 .
b) Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi sau: 𝑎𝑛 = −6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2 , với 𝑛 ≥ 2 và 𝑎0 = 3, 𝑎1 =
−3.

Câu 3 (2 điểm)
a) Giả sử N, a, b, c là các số nguyên thỏa mãn 1 < a < b < c < N. Có bao nhiêu số nguyên
trong đoạn từ 1 đến N chia hết cho ít nhất một trong ba số a,b,c ?
b) Trình bày phương pháp liệt kê các hốn vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương pháp
sinh hoán vị theo thứ tự từ diển.
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các xâu nhị phân độ dài n sử dụng phương pháp sinh
theo thứ tự từ điển.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật tốn duyệt tồn bộ giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi

bước.
x1 + 6x2 + 5x3 + 6x4 → max,
2x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 9,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 6
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng phương pháp lập bảng giá trị chân lý, chứng minh sự tương đương logic sau:
¬𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ 𝑞 ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟)

b) Giả sử 𝑆 là tập hợp gồm các bộ có thứ tự (𝑥, 𝑦) với 𝑥 và 𝑦 là các số nguyên. Hỏi phải
lấy ra ít nhất bao nhiêu phần tử trong 𝑆 để chắc chắn rằng có ít nhất 2 bộ (𝑎, 𝑏) và (𝑐, 𝑑)
sao cho (𝑎 − 𝑐) và (𝑏 − 𝑑) đều chia hết cho 9?
Câu 2 (2 điểm)
a) Một hệ thống máy tính coi một xâu các chữ số hệ thập phân là một từ mã hợp lệ nếu nó
chứa một số lẻ chữ số 6. Ví dụ 524507869 là hợp lệ, 987651608 là không hợp lệ. Giả
sử 𝑎𝑛 là số các từ mã hợp lệ độ dài 𝑛. Hãy tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu cho 𝑎𝑛 ,
sau đó tính 𝑎5 .
b) Giải hệ thức truy hồi sau: 𝑎𝑛 = −14𝑎𝑛−1 − 49𝑎𝑛−2 với 𝑛 ≥ 2, và 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 35.
Câu 3 (2 điểm)
a) Phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 50 có bao nhiêu nghiệm ngun khơng âm thỏa
mãn: 8 ≥ 𝑥2 ≥ 3 𝑣à 6 ≥ 𝑥4 ≥ 2?
b) Trình bày phương pháp liệt kê các tổ hợp chập k của tập {1,2,…,n} sử dụng phương
pháp sinh tổ hợp theo thứ tự từ điển.
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các xâu nhị phân độ dài n sử dụng phương pháp quay
lui.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật tốn duyệt tồn bộ giải bài tốn cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi

bước.
5𝑥1 + 2𝑥2 + 7𝑥3 + 𝑥4 ⟶ 𝑚𝑎𝑥
5𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 ≤ 9

x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 7
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng các phép biến đổi tương đương và các mệnh đề tương đương cơ bản, chứng
minh sự tương đương logic sau: ¬(𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ (¬𝑝 ⇔ 𝑞)
b) Trong một kỳ thi trắc nghiệm, đề thi có 50 câu hỏi. Thí sinh được 0,2 điểm cho mỗi câu
trả lời đúng và được 0 điểm cho mỗi câu trả lời sai hoặc không trả lời. Hỏi cần ít nhất
bao nhiêu thí sinh tham gia kỳ thi để chắc chắn rằng có ít nhất 10 thí sinh có điểm bài
thi bằng nhau?
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài 𝑛 và có chứa
3 số 0 liên tiếp? Tính a6?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 7𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3 với 𝑛 ≥ 3 và 𝑎0 = 9, 𝑎1 = 10, 𝑎2 = 32.
Câu 3 (2 điểm)
a) Một hệ thống máy tính coi một xâu các số thập phân là một từ mã hợp lệ nếu nó chứa
một số lẻ chữ số 0. Ví dụ 1236450269 là hợp lệ, 1030450609 là khơng hợp lệ. Giả sử
an là số các từ mã hợp lệ có độ dài n. Tìm hệ thức truy hồi an.
b) Trình bày thuật tốn sinh tập con k phần tử từ tập n phần tử theo thứ tự từ điển (k ≤ n)?
Cho tập A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, hãy tạo 5 tổ hợp chập 5 liền kề tiếp theo của tổ hợp
(2, 4, 6, 8, 9).
Câu 4 (2 điểm)
a) Viết hàm liệt kê các xâu nhị phân có độ dài n sử dụng phương pháp sinh theo thứ tự từ
điển.
b) Viết hàm liệt kê các hoán vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương pháp quay lui.

Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật tốn duyệt tồn bộ giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi
bước.
x1 + 6x2 + 5x3 + 8x4 → max,
2x1 + 5x2 + 4x3 + 6x4 ≤ 10,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 8
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng phương pháp bảng giá trị chân lý, chứng minh sự tương đương logic sau:
¬(𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ (¬𝑝 ⇔ 𝑞)

b) Một hộp đựng bi chứa các viên bi có kích thước thuộc một trong hai loại to hoặc nhỏ
và màu sắc thuộc một trong ba màu xanh, đỏ, vàng. Giả sử rằng số lượng mỗi loại bi là
không hạn chế. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi trong hộp để chắc chắn rằng có
ít nhất 9 viên bi giống nhau cả kích thước lẫn màu sắc?
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu thập phân độ dài 𝑛 và khơng
chứa 3 số 1 liên tiếp? Tính a5?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 với 𝑛 ≥ 2 và 𝑎0 = 8, 𝑎1 = 3.
Câu 3 (2 điểm)
a) Phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 = 30 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm
thỏa mãn: 4 ≥ 𝑥3 ≥ 2 𝑣à 6 ≥ 𝑥6 ≥ 1?
b) Trình bày thuật tốn liệt kê các hoán vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương pháp sinh
hoán vị theo thứ tự từ điển ? Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} tìm 5 hốn vị liền kề
tiếp theo của hoán vị (9, 8, 7, 5, 1, 3, 4, 6, 2).
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các tổ hợp chập k của tập {1,2,3,…,n} sử dụng
phương pháp quay lui, trong đó k, n là các số nguyên dương và k < n.

Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.
4𝑥1 + 2𝑥2 + 8𝑥3 + 𝑥4 ⟶ 𝑚𝑎𝑥
5𝑥1 + 3𝑥2 + 7𝑥3 + 4𝑥4 ≤ 10

x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 9
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng các phép biến đổi tương đương và các mệnh đề tương đương cơ bản, chứng
minh sự tương đương logic sau: ¬𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ 𝑞 ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟)
b) Trong một kỳ thi trắc nghiệm, đề thi có 40 câu hỏi. Thí sinh được 0,25 điểm cho mỗi
câu trả lời đúng và được 0 điểm cho mỗi câu trả lời sai hoặc khơng trả lời. Hỏi cần ít
nhất bao nhiêu thí sinh tham gia kỳ thi để chắc chắn rằng có ít nhất 15 thí sinh có điểm
bài thi bằng nhau?
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu thập phân độ dài 𝑛 và có chứa
3 số 0 liên tiếp? Tính a6?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 6𝑎𝑛−2 với 𝑛 ≥ 2 và 𝑎0 = 6, 𝑎1 = 7.
Câu 3 (2 điểm)
a) Có bao nhiêu số nguyên trong khoảng từ 5000 đến 9999 chia hết cho 8 hoặc 12? (tính
cả 5000 và 9999).
b) Trình bày thuật toán sinh tập con k phần tử từ tập n phần tử theo thứ tự từ điển (k ≤ n)?
Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sử dụng phương pháp sinh tổ hợp chập k của
một tập hợp theo thứ tự từ điển, hãy tạo 5 tổ hợp chập 5 liền kề tiếp theo của tổ hợp (1,
3, 4, 7, 8).
Câu 4 (2 điểm)
Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các hốn vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương
pháp quay lui.

Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.
x1 + 3x2 + 5x3 + 8x4 → max,
2x1 + 5x2 + 4x3 + 6x4 ≤ 12,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 10
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng phương pháp bảng giá trị chân lý, chứng minh sự tương đương logic sau:
¬𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ 𝑞 ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟)

b) Trong mặt phẳng Oxyz lấy ngẫu nhiên 9 điểm tọa độ ngun. Chứng minh rằng có ít
nhất một trung điểm của các đoạn nối chúng có tọa độ nguyên.
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài 𝑛 và không
chứa 3 số 1 liên tiếp?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 với 𝑛 ≥ 2 và 𝑎0 = 4, 𝑎1 = 8.
Câu 3 (2 điểm)
a) Có bao nhiêu số có 9 chữ số tạo thành một số thuận nghịch (đối xứng) và có tổng các
chữ số là 19.
b) Trình bày thuật toán liệt kê các hoán vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương pháp sinh
hoán vị theo thứ tự từ điển? Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, sử dụng phương pháp
sinh hoán vị theo thứ tự từ điển, tìm 5 hốn vị liền kề tiếp theo của hoán vị (8, 3, 6, 2,
4, 5, 7, 1).
Câu 4 (2 điểm)
a) Viết hàm liệt kê các xâu nhị phân có độ dài n sử dụng phương pháp sinh theo thứ tự từ
điển.
b) Viết hàm liệt kê các hoán vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương pháp quay lui.
Câu 5 (2 điểm)

Áp dụng thuật tốn duyệt tồn bộ giải bài toán cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi
bước.
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 ⟶ 𝑚𝑎𝑥
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 ≤ 8

x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 11
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng các phép biến đổi tương đương và các mệnh đề tương đương cơ bản, chứng
minh sự tương đương logic sau: (𝑝 ⇒ 𝑟) ∨ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟
b) Trong một kỳ thi trắc nghiệm, đề thi có 40 câu hỏi. Thí sinh được 0,5 điểm cho mỗi câu
trả lời đúng và được 0 điểm cho mỗi câu trả lời sai hoặc khơng trả lời. Hỏi cần ít nhất
bao nhiêu thí sinh tham gia kỳ thi để chắc chắn rằng có ít nhất 8 thí sinh có điểm bài thi
bằng nhau?
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu thập phân độ dài 𝑛 và không
chứa 2 số 1 liên tiếp? Tính a6?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 6𝑎𝑛−2 − 2𝑎𝑛−3 với 𝑛 ≥ 3 và 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 6, 𝑎2 =
0.
Câu 3 (2 điểm)
a) Có bao nhiêu số có 9 chữ số tạo thành một số thuận nghịch (đối xứng) và có tổng các
chữ số là 19.
b) Trình bày thuật tốn sinh tập con k phần tử từ tập n phần tử theo thứ tự từ điển (k ≤ n)?
Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, hãy tạo 5 tổ hợp chập 5 liền kề tiếp theo của tổ
hợp (1, 4, 5, 6, 9).
Câu 4 (2 điểm)
a) Viết hàm liệt kê các xâu nhị phân có độ dài n sử dụng phương pháp sinh theo thứ tự từ
điển.

b) Viết hàm liệt kê các hoán vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương pháp quay lui.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật tốn duyệt tồn bộ giải bài tốn cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi
bước.
x1 + 4x2 + x3 + 3x4 → max,
3x1 + 3x2 + x3 + 4x4 ≤ 10,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.


Đề số: 12
Câu 1 (2 điểm)
a) Sử dụng phương pháp bảng giá trị chân lý, chứng minh sự tương đương logic sau:
(𝑝 ⇒ 𝑟) ∨ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟

b) Trong mặt phẳng Oxy lấy ngẫu nhiên 5 điểm tọa độ nguyên. Chứng minh rằng có ít
nhất một trung điểm của các đoạn nối chúng có tọa độ nguyên.
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài 𝑛, có chứa 2
số 0 liên tiếp và kết thúc bằng số 1? Tính a5?
b) Giải hệ thức truy hồi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 với 𝑛 ≥ 2 và 𝑎0 = 4, 𝑎1 = 8.
Câu 3 (2 điểm)
a) Một hệ thống máy tính coi một xâu các số thập phân là một từ mã hợp lệ nếu nó chứa
một số chẵn chữ số 8 hoặc khơng chứa chữ số 8 . Ví dụ 1238458069 là hợp lệ,
1238458689 là không hợp lệ. Giả sử an là số các tự mã hợp lệ có độ dài n. Tìm hệ thức
truy hồi an.
b) Trình bày thuật tốn liệt kê các hoán vị của tập {1,2,3,…,n} sử dụng phương pháp sinh
hoán vị theo thứ tự từ điển?
Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, sử dụng phương pháp sinh hoán vị theo thứ tự từ
điển, tìm 5 hốn vị liền kề tiếp theo của hốn vị (7, 2, 5, 1, 3, 8, 4, 6).
Câu 4 (2 điểm)

Viết chương trình trong C/C++ liệt kê các tổ hợp chập k của tập {1,2,3,…,n} sử dụng
phương pháp quay lui trong đó k, n là các số nguyên dương và k < n.
Câu 5 (2 điểm)
Áp dụng thuật toán duyệt tồn bộ giải bài tốn cái túi dưới đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi
bước.
x1 + 5x2 + 3x3 + 6x4 → max,
2x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 9,
x1, x2, x3, x4 là các số nguyên nhận giá trị 0 hoặc 1.