Báo cáo "Mô Hình Hóa Việc Giải Bài Toán Ngược Hai Chiều Xác Định Độ Sâu Của Móng Tư " ppt

114
TP CHÍ KHOA HC VÀ CÔNG NGH Tp 44, s 2, 2006 Tr. 114-
121
MÔ HÌNH HÓA VIC GII BÀI TOÁN NGC HAI CHIU
XÁC NH  SÂU CA MÓNG T
 !C THANH

I. GII THIU CHUNG

Vic gii bài toán ngc trong thm dò a vt lí nói chung, trong thm dò t" nói riêng,
nh$m xác nh các thông s( c)a ngu*n là m+t v,n - luôn c các nhà a vt lí trên th. gi/i
c0ng nh 1 trong n/c quan tâm. Nh6ng nguyên lí chung c)a vic gii bài toán ngc phi tuy.n
này ã c a ra b1i Al-Chalabi (1970,1971,1972) và gCn ây nh,t theo h/ng này, I.V.
Radhakrishna Murthy và P. Rama Rao (1993) ã a ra thut toán K có thK xác nh c các
toL + Mnh c)a vt thK gây d thNng t" có ti.t din ngang là a giác b,t kì trong trNng hp bài
toán hai chi-u mà trong ó phép tính Lo hàm riêng theo các bi.n s( ã c thay th. chính
b$ng vic tính d thNng t" c)a a giác nên ã tránh c tính không Qn nh c)a vic tính các
Lo hàm s(.
Trong phLm vi bài báo này, vic vn dSng thu t toán nói trên K xác nh + sâu c)a móng
t", m+t v,n - quan trTng trong lUnh vVc nghiên cWu c,u trúc sâu vY trái ,t, ã c tác gi
nghiên cWu và tính toán thZ nghim trên các mô hình s(. Các k.t qu tính toán thu c v- +
chính xác, t(c + h+i tS c0ng nh tính hin thVc c)a vic chi phí thNi gian xZ lí trên máy tính
cho th,y kh nng áp dSng c)a ph[ng pháp
II. C S LÍ THUYT
1. D thng t ca v!t th" hai chi$u có ti't di) n ngang b+t kì
Nh ta bi.t, dLng c)a m+t d thNng trTng lVc phS thu+c chM vào hình dLng và sV phân b(
mt + kh(i lng
),,( zyx

c)a vt gây d thNng, trong khi v/i các d thN ng t" thì v,n - tr1
nên phWc tLp h[n, nó phS thu+c không chM vào phân b( t" hóa M(x,y,z) mà còn phS thu+c vào

h/ng t" hóa và vào h/ng c)a trNng khu vVc. \(i v/i d thNng t" toàn phCn thì dU nhiên,
thành phCn o c song song v/i trNng t" khu vVc.
Xét trNng hp t" hóa cm Wng và gi sZ r$ng
)(xF

là d thNng t" o c dTc theo
tuy.n n$m phía trên, vuông góc v/i ph[ng kéo dài c)a m+t vt thK hai chi-u có ti.t din ngang
b,t kì c x,p xM b1i m+t a giác N cLnh. ChTn trSc y song song v/i ph[ng kéo dài c)a vt
thK, trSc x h/ng theo tuy.n quan sát còn trSc z h/ng xu(ng d/i. Theo I.V. Radhakrishna
Murthy và P. Rama Rao [5], ta có

=

)0(F

=
+
N
k
kmkkm
SDCSDJ
1
''22'
sin()'cos([(cos(cos12

)]ln())'cos()'sin(()))('
1
''
1
k

k
mkmkkkm
r
r
DSDCD
+
+
+

(1)
trong ó: N là s( cLnh c)a a giác;

là ph[ng v t" c)a tuy.n o.
115
Hình 1. Vt thK gây d thNng t" có ti.t din ngang là a giác b,t kì


là góc nghiêng c)a vect[ t" hoá; J là + t" hóa c)a vt thK;
'
J là + t" hóa hiu dSng, c
xác nh nh sau
)sin(cos1()sin(cos1
2222'

== KFJJ
,
v/i K, F t[ng Wng là + cm t" d c)a vt thK và cNng + c)a trNng cm Wng, còn
'

là góc

nghiêng hiu dSng c)a vect[ t" hóa c)a vt thK, nó c xác b1i
'

= )
cos
tan
arctan(


,
0 cho d thNng t" n$m ngang.
Dm là h/ng o v/ i:

cho d thNng t" toàn phCn
2/

cho d thNng t" thfng Wng.
D’
m
c xác nh b1i: D’
m
= arctan(
m
Dtan
cos

),

k
kk

kk
r
zz
iS

==
+1
sin ;
k
kk
kk
r
xx
iC

==
+1
cos
còn S
k
,C
k
,
k

,
1+k

, r
k+1

là các Li lng ã c chM ra trong hình 1.
Nh vy, theo công thWc (1) ta sh tính c d thNng t" c)a vt thK có ti.t din ngang là a
giác b,t kì. Nh trên ã nói, b$ng cách cho Dm nhn các giá tr khác nhau ta sh nhn c các
thành phCn khác nhau c)a d thNng t". D/i ây ta sh chTn

=
m
D nên d thNng
F

tính
c chính là d thNng t" toàn phCn
T

.
2. Thu!t toán gi1i bài toán ng3c
Thông thNng trong trNng hp bài toán hai chi-u vic xác nh d thNng do m+t (i
tng a ch,t có ti.t din ngang b,t kì gây ra c thVc hin b$ng cách x,p xM ti.t din ngang
c)a nó b$ng a giác N cLnh. Nh vy thVc ch,t c)a vic gii bài toán ngc nh$m xác nh hình
dLng c)a vt thK gây d thN ng t" chính là xác nh v trí các Mnh c)a a giác sao cho sV sai lch
gi6a d thNng quan sát và tính toán là nhY nh,t. V/i các ph[ng pháp này quá trình tính toán
òi hYi a vào các tTa + Mnh tiên nghim c)a a giác sao cho chúng phi ) gCn v/i các tTa
+ tht thì ph[ng pháp m/i có + h+i tS t(t.
116
N.u vt thK là a giác N cLnh thì các toL + Mnh (x
k
,z
k
) c)a nó c biKu dikn b1i:
a

k
= x
k
, a
k+N
= z
k
(k = 1,N). (2)
TLi iKm P(Xi) trên tuy.n quan sát, d thN ng t" )(
i
XT do a giác N cLnh gây ra có thK
vi.t nh sau

)(
i
XT = f(X
i
,a
1
,a
2
, , a
2N
) + AX
i
+ B. (3)
V/i các giá tr ban Cu c chTn - dVa trên các thông tin v- a ch,t và a vt lí khác -
c)a các tTa + Mnh c)a a giác
0
2

0
2
0
1
,
N
aaa và c)a các h s( phông khu vVc A
o
, B
o
,
d thNng
ban Cu c tính theo ph[ng trình (3). SV sai lch gi6a d thNng quan sát

T
obs
(X
i
) và d
thNng tính toán

T(X
i
) c biKu dikn:
k
N
k
aa
k
i

iiobsi
da
a
XT
XTXTXTd
kk
.
)(
)()()(
22
1
0

+
=
=


==
, (4)
trong ó:
da
k
= dx
k
; dak
+N
= dz
k
; k = 1, N

da
2N +1
= dA; da
2N +2
= dB.
Trong biKu thWc (4), X
i
là tTa + quan sát thW i trên tuy.n còn d

T(X
i
) là + sai lch gi6a d
thNng quan sát và d thNng tính toán tLi iKm quan sát thW i.
Vic xây dVng các ph[ng trình nh$m xác nh các giá tr da
k
(bao g*m dx
k
, dz
k
,dA ,dB)
c thVc hin b$ng ph[ng pháp lnp thông qua vic cVc tiKu hóa hàm (i tng

=

Nobs
i
i
Td
1
2

)( ,
v/i N
obs
là s( iKm quan sát trên tuy.n nhN áp dSng ph[ng pháp cVc tiKu hóa c)a Marquardt
[9]. Sau moi lCn lnp, toL + c)a các Mnh c thay Qi nh sau:

kkk
daaa +=
0
( k =1,N ); A = A
0
+ dA; B = B
0
+ dB.
Ti.n trình c lnp lLi nhi-u lCn cho .n khi + lch bình ph[ng trung bình gi6a các giá
tr quan sát trên tuy.n và các giá tr tính toán Lt .n m+t giá tr sai s( cho phép.
Vic tính các d thNng t"

T(X
i
) theo các thông s( a
k
sh c thVc hin theo công thWc (1)
v/i chú ý r$ng 1 ây thW tV các Mnh c)a a giác c tính lCn lt theo chi-u kim *ng h*.
Ngc lLi, n.u chúng c tính ngc chi-u kim *ng h* thì d thNng t" sh:
FEDCBAABCDEF
TT = .
\K tính các Lo hàm riêng phCn c)a d thNng t" theo các thông s( x
k
và z

k
v/i k = 1, N, ta
chM vi c l,y vi phân ph[ng trình (1) theo các thông s( ó. Tuy nhiên, vic tính các Lo hàm s(
này c0ng có thK c thay th. b1i chính vic tính d thNng t" c)a a giác [5]. Cách tính này
cho phép tránh c tính không Qn nh c)a vic tính các Lo hàm s( trong quá trình tính toán.
III. MÔ HÌNH VÀ KT QU; TÍNH TOÁN
Trên c[ s1 thut toán gii bài toán ngc ã trình bày 1 trên, trong phCn này, ta ti.n hành
vic thZ nghim áp dSng chúng nh$m xác nh + sâu c)a móng t" trên m+t mô hình bài toán
hai chi-u cS thK. \K làm c i-u ó, tr/c h.t ta ti.n hành gii bài toán ngc nh$m xác nh
toL + các M nh c)a m+t vt thK có ti.t din ngang là a giác b,t kì theo tài liu d thNng t" toàn
117
phCn
T

c)a nó. Vic tính toán c thVc hin b1i ch[ng trình máy tính vi.t b$ng ngôn ng6
Fortran theo thut toán gii bài toán ngc ã c trình bày kU 1 phCn trên.
1. Mô hình v!t th" b t hóa
a. Các thông s2 c3a mô hình
Vt thK có dLng fng th/c b t" hóa v/i góc nghiêng t" hóa lCn lt  c l,y b$ng 90
o
và
45
o
.
Kích th/c c)a vt thK c0ng nh các thông s( liên quan t/i sV t" hóa c)a nó và tuy.n o
c a ra trong bng 1. Trong bng này, A và B là các thông s( c)a phông khu vVc, c gi
nh là có dLng tuy.n tính.
B4ng 1. Các thông s( c)a mô hình
TTa + các Mnh c)a v t thK Các thông s( liên quan t/i sV t" hoá c)a các vt thK và tuy.n o
TTa + Giá tr (km) Thông s( Giá tr

x
1
z
1
x
2
z
2
x
3
14,00
1,00
18,00
1,00
18,00
\+ t" cm d
Ph[ng v t" c)a tuy.n o
\+ t" khuynh
S( iKm quan sát
Khong cách
0,015(SI)
0,0 (+)
90 (+)
65
0,5 (km)
b. K5t qu4 tính toán
u ây, k.t qu tính toán c a ra chính là các toL + Mnh c)a vt thK xác nh c 1
lCn lnp cu(i cùng khi gii bài toán ngc theo thut toán ã trình bày 1 trên. Nó c a ra
trong bng 2. K.t qu tính toán cho th,y + chính xác c)a vic gii bài toán ngc không h- b
gim i khi có mnt phông khu vVc có dLng tuy.n tính. \ó c0ng chính là u iKm nQi bt c)a

ph[ng pháp gii bài toán ngc này.
B4ng 2. K.t qu tính (i v/i mô hình 1 khi không có phông tuy.n tính và khi có phông tuy.n tính
x, z (km) 1 lCn lnp cu(i
khi không có phông
tuy.n tính khi có A, B
x, z (km) 1 lCn lnp cu(i
khi có phông tuy.n
tính
S(
TT
x, z (km)
mô hình
x, y (km)
ban Cu
\+ lch
Cu (km)
I =
90
o
I = 45
o
I = 90
o
I = 45
o
1
2
3
4
14,00; 1,00

18,00; 1,00
18,00; 7,00
14,00; 7
,00
12,00; 3,00
16,00; 3,00
16,00; 9,00
16,00; 9,00
2,828
2,828
2,828
2,828
14,00; 1,00
18,00; 1,00
18,00; 7,00
14,00; 7
,00
14,00; 1,00
18,00; 1,00
18,00; 7,00
14,00; 7
,00
14,00; 1,00
18,00; 1,00
18,00; 7,00
14,00; 7
,00
14,00; 1,00
18,00; 1,00
18,00; 7,00

14,00; 7
,00
118

a) b)
c) d)
Hình 2. K.t qu gii bài toán ngc cho trNng hp I = 90
o
và I = 45
o
khi
không có phông tuy.n tính (a, b) và khi có phông tuy.n tính
T quan sát T ban Cu T tính toán
Mô hình thVc Mô hình ban Cu + Mô hình tính toán
2. Mô hình 2: Mô hình móng t
a. Các thông s2 c3a mô hình
Mô hình móng t" c a ra kho sát có + cm t" d  = 0,015 SI, có góc nghiêng t"
hóa lCn lt c chTn là I = 90
o
và I = 45
o
. Tuy.n quan sát có khong cách gi6a các iKm quan
sát x = 1,0 km, có chi-u dài L = 46 km  c gi nh bao h.t c phCn thay Qi + sâu c)a
móng và có góc ph[ng v
o
0=

. Mnt d/i H
2
c)a móng c gi nh là phfng và n$m 1 +

sâu hai m[i km. Mnt trên
1
H c)a móng dTc theo tuy.n quan sát có + sâu c a ra trong
bng 4. SZ dSng thut toán gii bài toán ngc ã trình bày 1 trên ta th,y 1 ây thVc ch,t c)a
vic xác nh + sâu t/i mnt trên c)a móng 1 t"ng iKm quan sát chính là vic gii bài toán
ngc xác nh toL + Mnh c)a m+t a giác N cLnh mà trong ó cLnh thW N chính là oLn thfng
n$m trùng v/i mnt d/i và có chi-u dài b$ng chi-u dài phCn thay Qi + sâu c)a móng t".
b. K5t qu4 tính toán
u ây, k.t qu tính toán c a ra chính là + sâu t/i mnt trên c)a móng 1 t"ng iKm
quan sát xác nh c 1 lCn lnp cu(i cùng khi gii bài toán ngc theo các b/c ã trình bày 1
trên. Nó c a ra trong bng 3, trong các hình 3 và hình 4 d/i ây.
0
10 20 30
0
1000
2000
1
0
nTKm
Km
0
10 20 30
0
1000
2
000
10
nTKm
Km
0

10 20 30
0
1000
2000
10
nT
Km
Km
20
0 10 20 30
0
1
000
2
000
10
nT
Km
Km
20
119
B4ng 3. K.t qu tính trên mô hình Wng v/i các góc nghiêng t" hóa I = 90
o
và I = 45
o
Z (km) cu(i \+ lch cu(i (km)
STT
Z (km)
mô hình
Z (km)

Cu
\+ lch
Cu (km)
I = 90 I = 45 I = 90 I = 45
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
5,000
4,830
4,670

4,500
4,280
4,060
4,060
3,720
3,390
3,170
2,890
2,720
2,330
2,220
2,220
2,560
2,720
3,110
3,440
3,670
4,000
4,330
4,670
5,000
4,700
4,350
4,000
3,650
3,400
3,130
3,000
2,870
2,750

2,650
2,500
2,500
2,650
2,750
2,870
3,000
3,130
3,400
3,650
4,000
4,350
4,700
0,000
0,130
0,320
0,500
0,630
0,660
0,930
0,720
0,520
0,420
0,240
0,220
-0,170
-0,430
-0,530
-0,310
-0,280

-0,020
0,040
0,020
0,000
-0,020
-
0,030
5,000
4,831
4,668
4,505
4,272
4,070
4,050
3,726
3,387
3,171
2,890
2,720
2,330
2,220
2,220
2,560
2,720
3,110
3,440
3,670
3,999
4,331
4,670

5,000
4,835
4,655
4,521
4,260
4,074
4,051
3,724
3,389
3,170
2,890
2,720
2,330
2,220
2,220
2,559
2,721
3,107
3,444
3,664
4,007
4,324
4,673
0,000
-0,001
0,002
-0,005
0,008
-0,010
0,010

-0,006
0,003
-0,001
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0.,00
0,000
0,000
0,001
-0,001
0,000
0,000
-0,005
0,015
-0,021
0,020
-0,014
0,009
-0,004
0,001
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000

0,000
0,001
-0,001
0,003
-0,004
0,006
-0,007
0,006
-
0,003
a) b)

Hình 3. K.t qu gii bài toán ngc xác nh + sâu móng t" cho trNng hp I = 90
0
T quan sát T ban Cu T tính toán
Mô hình thVc Mô hình ban Cu + Mô hình tính toán

0
2000
1000
3000
2.5
5.0
010
20 30 40 50
K
m
nT
Km
0

2000
1
000
2.5
5.0
010
20 30 40 5
0
K
m
nTKm
120

Hình 4. T(c + h+i tS trong quá trình lVa chTn
TrNng hp I = 90
o
; TrNng hp I = 45
o
3.Nh!n xét
- Vic gii bài toán ngc hai chi-u xác nh + sâu t/i móng t" theo ph[ng pháp này cho +
chính xác khá cao. u lCn lnp cu(i, d thNng tính toán hCu nh trùng khít v/i d thNng quan sát.
- B$ng cách thay Qi các giá tr khác nhau c)a thông s(
m
D , vic gii bài toán ngc xác
nh + sâu t/i móng t" có thK c thVc hin cho các thành phCn khác nhau c)a trNng t": d
thNng t" toàn phC n, d thNng t" thfng Wng và n$m ngang.
- \Nng cong biKu dikn sai s( bình ph[ng trung bình gi6a d thNng quan sát và tính toán
1 các lCn lnp Wng v/i các trNng hp khác nhau c)a góc nghiêng t" hóa hCu nh hoàn toàn trùng
nhau. \i-u ó cho th,y t(c + h+i tS c)a ph[ng pháp không phS thu+c vào góc nghiêng t" hóa
c)a móng.

- Vic xác  nh + sâu t/i móng t" theo ph[ng pháp này còn cho phép làm gim b/t áng
kK thNi gian sZ dSng trên máy do t(c + h+i tS nhanh và Qn nh c)a ph[ng pháp.
TÀI LIU THAM KH;O
1. M. Al-Chalabi - Some studies relating to non-uniqueness in gravity and magnetic niverse
proble ms, Geophysics 36 (5) (1971) 835-855.
2. M. Al-Chalabi - Interpretation of gravity anomalies by non linear optimisation, Geophys.
Prosp. 10 (1) (1972) 1-15.
3. D. Bhaskara Rao and N. Ramesh Babu - A fortran 77 computer program for three-
dimensional inversion of magnetic anomalies resulting from multiple prismatic bodies,
Computer & Geosciences 19 (6) (1993) 781-801.
4. B. Narashimha, P. Ramakrishna, and A. Markandeyulu - Gminv: a computer program for
gravity or magnetic data inversion, Computer & Geosciences 21 (2) (1995) 301-319.
024681012
0
5
000
10000
1
5000
2
0000
25000
Rms (nT)
Sè lÇn lÆp
121
5. I. V. Ramakrishna Murthy and P. Rama Rao - Inversion of gravity and magnetic
anomalies of two-dimensional polygonal cross sections, Computer & Geosciences, 19 (9)
(1993) 1213-1228.
6. I. V. Ramakrishna Murthy, P. Rama Rao, and S. Jagannadha Rao - The density difference
and generalized programs for two - and three-dimensional gravity modeling, Computer &

Geosciences 16 (3) (1995) 277-287.
7. Richard J. Blakely - Potential theory in gravity and magnetic application, Cambridge
University Press, 1996.
8. W. M.Telford, L. P. Geldart, R. E. Sheriff, and D. A. Keys - Applied geophysics,
Cambridge University Press, 1982.
9. William H. Press, Brian P. Flannery - Numerical Recipes, Cambridge University Press,
1991.
SUMMARY
MODELLING OF 2 -D MAGNETIC INVERSION TO DETERMINE THE DEPTH OF
MAGNETIC BASEMENT
In this paper, the magnetic inversion scheme presented by I.V. Radhakrishna Murthy and P.
Rama Rao(1993) to determine the coordinates of the vertices of the two-dimensional polygonal
cross section is applied to determine the depth of magnetic basement, an important problem in
the field of studying deep structure of the Earth’s crustal. The results received by
experimmentally calculating on the mathematical models in respect of precision, convergence as
well as computer time show the ability of application of the method.

>?a ch@: NhBn bài ngày 12 tháng 4 nDm 2004
Khoa Vt lý, TrNng \Li hTc Khoa hTc tV nhiên, \Li hTc Qu(c gia Hà N+i.