Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

ĐẠO DIỄN: TRUNG đẹp trai ---hehe

www.MATHVN.com

64

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

®Ị 2
Bài 1: Tìm

x +3 −2
x 3 + 3x 2 − 9 x − 2
b) lim
3
x →1
x→2
x2 −1

x − x−6
Bài 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau trên tập xác định c a nó:
a) lim

⎧ x 2 + 3x + 2
, khi x ≠ −2
⎪
f (x) = ⎨ x + 2
⎪3
, khi x = -2
⎩
3
Bài 3: Cho hàm s y = f(x) = 2x – 6x +1 (1)
a) Tìm đ o hàm cấp hai c a hàm s (1) r i suy ra f ′′(−5) .
b) Vi t phương trình ti p tuy n c a đ thị hàm s (1) t i
điểm Mo(0; 1).
c) Ch ng minh PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm
trong kho ng (-1; 1).
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh
a có góc BAD = 600 và SA=SB = SD = a.
a) Ch ng minh (SAC) vng góc v i (ABCD).
b) Ch ng minh tam giác SAC vng.
c) Tính kho ng cách từ S đ n (ABCD).

www.MATHVN.com

2

63

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO
®Ị 1

2 x2 − 9x − 9
a) lim
x →3
x −3

Câu 1: Tính gi i h n c a hàm s

2 x2 − 4 x + 1
b) lim
x →−∞
−3 x + 2

Câu 2: Xét tính liên t c c a hàm s trên tập xác định c a nó:

⎧ −2 x 2 + x + 10
⎪
f(x) = ⎨
2x + 4
⎪ 4 x + 17
⎩

nÕu
nÕu

Câu 3: Tính đ o hàm c a các hàm s :
a) y = 3x3 - 4x2 + 8

x < −2

x ≥ −2

2 x2 + 5x − 1
b) y =
3x − 4

c) y = 3sin3x - 3cos 4x

Câu 4:

a) Vi t phương trình ti p tuy n c a đ thị hàm s (C)
y = - 2x4 + x2 – 3 t i điểm thuộc (C) có hồnh độ x0 = 1.
b) Cho hàm s y = x.cosx.
Ch ng minh rằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ở B và

ABC =1200, SA ⊥ (ABC) và SA = AB = 2a. Gọi O là trung

điểm c a đo n AC, H là hình chi u c a O trên SC.
a) Ch ng minh: OB ⊥ SC.
b) Ch ng minh: (HBO) ⊥ (SBC).

c) Gọi D là điểm đ i x ng v i B qua O. Tính kho ng
cách gi a hai đư ng thẳng AD và SB.

62

Bài tập toán 11

Ch ng I:
HÀM SỐ L ỢNG GIÁC – PH
L ỢNG GIÁC

NG TRÌNH

PHẦN 1. HÀM SỐ L ỢNG GIÁC
Bài 1. Tìm tập xác định c a các hàm s sau:
3sin2x
x +1
2. y =
1. y = sin
2cos3x
x −1

π

3. y = cot(2 x − )
4

1− x
1+ x
1

7. y =
sin x − cos x
5. y = cos

2π
+ 5 x)
3
sin x + 2
6. y =
cos + 1
3 + tan x
8. y =
cos 2 x − sin 2 x

4. y = tan(

1
sin x
cos x
10. y = 2 + sin x −
+
2
tan x − 1
cos x − 1 1 + sin x
Bài 2. Xác định tính chẵn, lẻ c a các hàm s :
cos3x
1. y =
2. y = 2 x − 2sin x
x
1

3. y = sin x + x 2
4. y = tan 2 x + 1
2
2
6. y = tan x + 2 cos x
5. y = 3sin x − cos x
Bài 3. Tìm giá trị l n nhất, giá trị nh nhất c a các hàm s :
π
1
2. y=3- cos2x
1. y = 2sin(x − ) + 3
2
3
2
1 + 3cos x
3. y=
4. y = 2 − 4sin x cos x
2
9. y =

2

www.MATHVN.com

Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm

5. y = 4 sin 2 x − cos 2 x

6. y = 3 cos 2 x + 1

3

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

7. y = 7 − 3 s in3x

8. y = 5 − 2sin 2 x cos2 x

Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

3. D ng và tính độ dài đo n vng góc chung c a AB và
4. Tính : d [CM , ( SA)]
SD

Bài 4. Hãy xét s bi n thiên và v đ thị các hàm s sau:
1. y = − sin x
2. y = 2 − sin x
3. y = sin( x +

π

3

PHẦN 2. PH
DẠNG 1. PH

NG TRÌNH L ỢNG GIÁC
NG TRÌNH L ỢNG GIÁC C

Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1. s in3x =

Bài 6. Cho hình lăng tr ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′

4. y = cos x + 1

)

1
2

π

BẢN

2. cos 2 x = −

1. Ch ng minh: B’D ⊥ (BA’C’); B’D ⊥ (ACD’)

2
2

4. s in2x − s in2x cos x = 0

9. cos x − 2sin 2

10. cos4 x − sin 4 x =

6. t an4x cot 2 x = 1

π

từ A′ đ n mặt phẳng (ABC′).

Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

3. tan( x − ) = 3
4
5. s in3x − cos 2 x = 0

π

7. 2 cos( x − ) + 1 = 0
6

= a, đáy ABC là tam giác vng t i A có BC = 2a, AB = a 3 .
1. Tính kho ng cách từ AA′ đ n mặt phẳng (BCC′B′).
2. Tính kho ng cách từ A đ n (A′BC).
3. Ch ng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính kho ng cách

2. Tính d ⎡⎣(BA 'C'),(ACD')⎤⎦
3. Tính d ⎡⎣(BC'),(CD')⎤⎦

8. tan(2 x + ) + t an3x = 0
3

x
=0
2

π
π
x
x 1
11. sin cos + sin cos =
2
3
3
2 2

2
2

12. sin3 x cos x − cos3 x sin x =

2
8
2
2
2
13. cos x + cos 2 x + cos 3 x = 1
2
17π

+ 10 x )
14. s in 2x − cos2 8 x = sin(
2
15. cos4 x + sin 6 x = cos 2 x

www.MATHVN.com

4

61

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

1. OA và BC
2. AI và OC.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vng tâm O,
c nh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính kho ng cách gi a hai
đư ng thẳng:
1. SC và BD.
2. AC và SD.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng

canh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 . Tính:
2. d [A, ( ABCD)]

1. Gi a SC và BD ; gi a AC và SD.
3. d [O, ( SBC )] v i O là tâm c a hình vng.

4. d [I , ( ABCD )] v i I là trung điểm c a SC.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vng t i A và D AB = DC = a , SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a
1. d [A, ( SCD )] ; d [A, ( SBC )]

Tính :

2. d [AB, ( SCD )]

4. d [DE , ( SBC )] , E là trung điểm c a AB
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng c nh a ,tam
giac SAD đều và (SAD) ⊥ (ABCD) .gọi I là trung điểm c a Sb

va K =CM ∩ BI

1. Ch ng minh (CMF) ⊥ (SIB)
2. Ch ng minh : tam giac BKF cân t i K
60

Bài tập toán 11

1 − cos 4 x
s in4x
−
=0

2s in2x 1 + cos 4 x
2 +1
17. sin x cos x + cos2 x =
2
x π
(2 − 3) cos x − 2sin 2 ( − )
2 4 =1
18.
2 cos x − 1
Bài 2. Gi i và biện luận phương trình:
1. sin x = 2m − 1
2. (4m − 1) cos x = m cos x − 8
3. 4 tan x − m = (m + 1) tan x
16.

4. (3m − 2) cos 2 x + 4m sin 2 x + m = 0
Bài 3. Tìm m để phương trình:

π

π

2 sin( x + ) = m có nghiệm x ∈ (0; )
4
2
7π
2. (2 + m)sin( x +
) − (3m + 2) cos(2π − x ) + m − 2 = 0 có
2
nghiệm.

1.

DẠNG 2. PH

3. d [AB, ( SCD )]

www.MATHVN.com

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

NG TRÌNH B C HAI ĐỐI VỚI MỘT
HÀM SỐ L ỢNG GIÁC

Bài 1. Gi i các phương trình sau:

1. 4 cos2 x − 2( 3 + 1) cos x + 3 = 0

2.  2cos2 x + 5sinx – 4 = 0
3. 2cos2x – 8cosx + 5 = 0 
4. 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x
5.

3
= 3 + 2 tan 2 x
2
cos x

6.  5tan x − 2cotx − 3 = 0
7. 6sin2 3 x + cos12 x = 4
5

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm
8. cos 2 x − 3 cos x = 4 cos2
9. cot x = tan x +
10.
11.
12.
13.
14.

Bài tập toán 11

x
2

2 cos 4 x
s in2x

1. Ch ng minh: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).

3. Gọi H, I lần lư t là trung điểm c a AB và BC. Ch ng

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1. cos2 x + (1 − m) cos x + 2m − 6 = 0
2. 4 cos2 2 x − 4 cos 2 x − 3 − 3m = 0

Bài 3. Cho phương trình: cos 2 x + (a + 2)sin x − a − 1 = 0

1. Gi i phương trình đã cho khi a = 1.
2. V i giá trị nào c a a thì phương trình đã cho có
nghiệm?
NG TRÌNH B C NHẤT THEO
SINu VÀ COSu

Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1. 3 cos x − sin x = 2

2. cos x − 3 sin x = −1

www.MATHVN.com

Bài tập tốn 11

2. Tính góc gi a hai mp (SAD), (SBC).

cos x (2 sin x + 3 2) + 2 sin 2 x − 3
=1
1 + s in2x
3 tan 4 x + 2 tan 4 x − 1 = 0
1
1
−
cos x − sin x =
sin x cos x
1
1
− 2(cos x +
cos2 x +

) =1
2
cos x
cos x
1
1
+
=4
2
2
sin x cos x sin x cos x

DẠNG 3. PH

Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm

6

minh: (SHC) ⊥ (SDI).

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông t i A. Gọi O, I, J lần lư t là
trung điểm c a BC và AB, AC. Từ O kẻ đo n thẳng
OS ⊥ (ABC).

1. Ch ng minh: (SBC) ⊥ (ABC).
2. Ch ng minh: (SOI) ⊥ (SAB).

3. Ch ng minh: (SOI) ⊥ (SOJ).

Bài 11. Cho tam diện ba góc vng Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đơi

một vng góc). Lần lư t lấy trên Ox, Oy, Oz các điểm B, C, A
sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Các đư ng cao CH va BK c a
tam giác ABC cắt nhau t i I.

1. Ch ng minh: (ABC) ⊥ (OHC).

2. Ch ng minh: (ABC) ⊥ (OKB).
3. Ch ng minh: OI ⊥ (ABC).

4. Gọi α, , lần lư t là góc t o bởi OA, OB, OC v i OI.
Ch ng minh: cos2α + cos2

+ cos2 = 1.

KHOẢNG CÁCH
Bài 1. Cho hình t diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I
là trung điểm c a BC. Hãy d ng và tính độ dài đo n vng góc
chung c a các cặp đư ng thẳng:
59 www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm

1. Ch ng minh: (SBC) ⊥ (ABC).

Bài tập toán 11

2. Ch ng minh: (SOI) ⊥ (ABC).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông c nh a. Tam

giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc v i đáy. I, J, K
lần lư t là trung điểm c a AB, CD, BC.
1. Ch ng minh: SI ⊥ (ABCD).

2. Ch ng minh: trên mặt phẳng SAD và SBC là nh ng tam
giác vuông.

3. Ch ng minh: (SAD) ⊥ (SAB), (SBC) ⊥ (SAB).

4. Ch ng minh: (SDK) ⊥ (SIC).

Bài 7. Cho t diện ABCD có c nh AD ⊥ (BCD). Gọi AE, BF
là hai đư ng cao c a tam giác ABC, H và K lần lư t là tr c tâm
c a tam giác ABC và tam giác BCD.

1. Ch ng minh: (ADE) ⊥ (ABC).

2. Ch ng minh: (BFK) ⊥ (ABC).
3. Ch ng minh: HK ⊥ (ABC).

Bài 8. Trong mp (P) cho hình thoi ABCD v i AB = a, AC =

2a 6
. Trên đư ng thẳng vng góc v i mp (P) t i giao điểm O
3
c a hai đư ng chéo hình thoi ta lấy S sao cho SB = a.
1. Ch ng minh: ∆ SAC vuông.

2. Ch ng minh: (SAB) ⊥ (SAD).
Bài 9. Cho hình vng ABCD. Gọi S là điểm trong không gian

sao cho SAB là tam giác đều và (SAB) ⊥ (ABCD).

www.MATHVN.com

58

Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm

Bài tập toán 11

3. s in3x + 3 cos3 x = 2

4. 2 cos2 x − 3 s in2x = 2

5. 2 s in2x cos 2 x + 3 cos 4 x + 2 = 0

6. cos 7 x − sin 5 x = 3 (cos 5 x − sin 7 x )
4
4
7. sin x + cos ( x +

π

)=

1
4
4
8. tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)

9. sin 2 x + sin 2 x =

1
2

10. 3sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4sin3 3 x

3(1 − cos 2 x)
= cos x
2sin x
cos x − sin x
12. cot x − tan x =
sin x cos x
Bài 2. Định m để phương trình sau đây có nghiệm:
1. m sin x + 2 cos x = 3
2. s in2x + m cos 2 x + 2m = 0
3. m cos3 x + (m + 2)s in3x = 2
4. (sin x + 2 cos x + 3)m = 1 + cos x
5. m(cos x − sin x − 1) = sin x
6. (3 + 4m) cos 2 x + (4m − 3)s in2x + 13m = 0
Bài 3. Cho phương trình: sin x + m cos x = 1
11.

1. Gi i phương trình khi m = − 3 .
2. Định m để phương trình trên vơ nghiệm.

DẠNG 4. PH

NG TRÌNH THUẦN NHẤT B C HAI

THEO SINu VÀ COSu

Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1. sin 2 x + 3 sinxcosx – 4cos2 x = 0

7

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 − 9)cos2 x = 0
3. 4sin 2 x + 3 sin2x – 2cos2 x = 4
4. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos2 x = − 2
x
x
5. 4sin2 + 3 3 sin x − 2 cos2 = 4
2
2

6. 2sin 2 x + 6sin x cos x + 2(1 + 3) cos2 x = 5 + 3

7. sin 3 x + 2 sin 2 x cos x − 3cos3 x = 0
8. 4 sin 3 x + 3sin 2 x cos x − sin x − cos3 x = 0
9. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
2
10. 2 tan x + cot x = 3 +

s in2x
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1. m sin 2 x + 2 s in2x + 3m cos2 x = 2
2. sin 2 x − m s in2x − (m + 1) cos2 x = 0
DẠNG 5. PH

NG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG

Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1. 2(sin x + cos x ) + 3sin x cos x + 2 = 0

2.  3 ( sinx + cosx

)

+ 2sin2x + 3 = 0

3. sin2x –12 ( sinx – cosx ) = −12
4. 2 ( cosx + sinx ) = 4sinxcosx + 1
5. cosx –sinx – 2sin2x –1 = 0

6. (1 + 2)(sin x + cos x ) − 2sin x cos x − 1 − 2 = 0
7. sin 3 x + cos3 x = 1 − sin x cos x
8. sin 3 x + cos3 x = 2(sin x + cos x ) − 1
9. tan x + cot x = 2(sin x + cos x )

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

3. Gọi BE, DF là hai đư ng cao c a tam giác SBD. Ch ng
minh rằng: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC).

Bài 2. Cho t diện ABCD có các mặt ABD và ACD cùng vng

góc v i mặt BCD. Gọi DE ,BK là đư ng cao tam giác BCD và
BF là đư ng cao tam giác ABC

1. Ch ng minh : AD ⊥ (BCD)

2. Ch ng minh : (ADE) ⊥ (ABC)

3. Ch ng minh : (BKF) ⊥ (ABC)

4. Ch ng minh : (ACD) ⊥ (BKF)

5. Gọi O và H lần lư t là tr c tâm c a hai tam giác BCD và
ABC ch ng minh : OH ⊥ (ABC)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh

a. SA= SB= SC=a. Ch ng minh :
1. (ABCD) ⊥ (SBD)

2. Tam giác SBD là tam giác vuông.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC c nh a, I là trung điểm c a c nh

BC, D là điểm đ i x ng c a A qua I. D ng đo n SD =

a 6

2

vng góc v i (ABC). Ch ng minh:
1. (SAB) ⊥ (SAC).

2. (SBC) ⊥ (SAD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác là tam

giác vuông t i A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC = a 2 . Gọi
O là trung điểm c a BC, I là trung điểm c a AB.

www.MATHVN.com

8

57

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

3. Tính góc [(SMC), (ABC)].
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vng t i A và D v i AB = 2a, AD = DC = a, SA = a 2 . SA

⊥ (ABCD). Tính góc gi a các mặt phẳng.

Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm
10. sin x + cos x =

2. (SAB) và (SCB).

Bài 2. Định m để phương trình sau có nghiệm:
1. sin x + cos x = 1 + m s in2x

DẠNG 6. PH

3. (SCB) và (SCD).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm

3a
. Tính s đo
4

nhị diện c nh AB.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng

c nh a, tâm O, SA ⊥ (ABCD) và SA = x (x>0).

1. Tính sđ [S, BC, A] theo a và x. Tính x theo a để s đo nhị
diện trên bằng 600.
2. Tính sđ[B, BC, D] theo a và x. Tính x theo a để s đo nhị
diện trên bằng 1200

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vng, SA

⊥ (ABCD).

1. Ch ng minh: (SAC) ⊥ (SBD).

2. Ch ng minh: (SAD) ⊥ (SCD), (SAB) ⊥ (SBC).

www.MATHVN.com

56

cos 2 x
1 − s in2x

2. s in2x − 2 2m(sin x + cos x ) + 1 − 6m 2 = 0

1. (SBC) và (ABC).

O, c nh a ABC = 600, SO ⊥ (ABCD) và SO =

Bài tập tốn 11

NG TRÌNH L ỢNG GIÁC KHƠNG MẪU
MỰC

Bài t p. Gi i các phương trình sau:
1. sin x.s in2x = −1
2. 7 cos2 x + 8sin100 x = 8

3. sin x + cos x = 2(2 − s in3x )

4. sin 3 x + cos3 x = 2 − s in 4 x

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (1 + 2sin x) 2 cos x = 1 + sin x + cos x
2.

3 cos 5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0

3. sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x)
(1 − 2sin x)cosx
= 3
4.
(1 + 2sin x)(1 − s inx)
5. sin 3 x − 3 cos 3x = 2sin 2 x
6. 2sin x(1 + cos 2 x) + sin 2 x = 1 + 2 cos x

7. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
1
1
7π
+
= 4sin( − x)
8.
sin x sin( x − 3π )
4
2

9

www.MATHVN.com

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

x
x
9. (sin + cos ) 2 + 3 cos x = 2
2
2
2
10. 2sin 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
11. (1 + sin 2 x) cos x + (1 + cos 2 x) sin x = 1 + sin 2 x
12. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
x
13. cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4
2
6
6
2(cos x + sin x) − sin x cos x
14.
=0
2 − 2sin x
π
π 3
15. cos 4 x + sin 4 x + cos( x − ) sin(3x − ) − = 0
4
4 2
16. 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0

17. cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0
18. 5sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan 2 x
19. (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − sin x
2
20. cot x − tan x + 4sin 2 x =
sin 2 x

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

Bài 4. Cho hình vng ABCD và tam giác đều SAB c nh a nằm

trong hai mặt phẳng vng góc nhau. Gọi I là trung điểm c a
AB.

1. Ch ng minh: SI ⊥ (ABCD) và tính góc gi a SC và
(ABCD).

2. Gọi J là trung điểm CD. Ch ng t : (SIJ) ⊥ (ABCD) . Tính
góc h p bởi SI và (SDC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm

O, c nh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính:
1. [SAB, (SCD)].
2. [SAB, (SBC)].
3. [SAB, (SAC)].
4. [SCD, (ABCD)].
5. [SBC, (SCD)].
6. sđ [S, BC, A].

7. sđ[C, SA, D].
8. sđ[A, SB, D].
9. sđ[B, SC, A].

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vng

t i B, AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M là
trung điểm c a AB.
1. Tính góc [(SBC), (ABC)].
2. Tính đư ng cao AK c a ∆ AMC.

www.MATHVN.com

10

55

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

4. Gọi d là đư ng thẳng vng góc v i (ABC) t i trung điểm

K c a BC tìm d ∩ ( α ).

Ch

ng II. TÔ HỢP – XÁC SUẤT

PHẦN 1. HỐN VN - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
- GĨC GIỮA Đ ỜNG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG
- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng

c nh a, tâm O, SO ⊥ (ABCD), M, N lần lư t là trung điểm c a

SA và BC, bi t ( MN ,( ABCD )) = 600 .
1. Tính MN và SO.

2. Tính góc gi a MN và mp(BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng

c nh a. SA ⊥ (ABCD) và

SA = a 6 . Tính góc gi a:

1. SC và (ABCD)
2. SC và (SAB)
3. SC và (SBD)
4. SB và (SAC)

Bài 3. Cho t diện ABCD có AB ⊥ (BCD) và AB = a 3 ,

BCD là tam giác đều c nh a. Tính góc gi a:
1. AC và (BCD).
2. AD và (BCD).
3. AD và (ABC).

www.MATHVN.com

54

Bài 1. Có 25 đội bóng tham gia thi đấu, c 2 đội thì đá v i nhau
2 trận ( đi và về). H i có tất c bao nhiêu trận đấu?
Bài 2.
1. Từ các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đư c bao nhiêu s
t nhiên có 5 ch s ?
2. Từ các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đư c bao
nhiêu s t nhiên có 3 ch s và là s chẵn?
3. Có bao nhiêu s t nhiên có 6 ch s đơi một khác nhau
và chia h t cho 5?
Bài 3. Một hội đ ng nhân dân có 15 ngư i, cần bầu ra 1 ch
tịch, 1 phó ch tịch, 1 thư kí. H i có mấy cách n u khơng ai
đư c kiêm nhiệm?
Bài 4. Trong một tuần, An định mỗi t i đi thăm 1 ngư i b n
trong s 10 ngư i b n c a mình. H i An có thể lặp đư c bao
nhiêu k ho ch thăm b n n u:
1. Có thể thăm 1 b n nhiều lần?
2. Không đ n thăm 1 b n quá 1 lần?
Bài 5. Có bao nhiêu cách x p 10 học sinh thành một hàng dọc?
Bài 6. Có bao nhiêu cách x p 5 b n A, B,C,D,E vào một gh dài
5 chỗ n u:
1. B n C ng i chính gi a.

2. Hai b n A và E ng i hai đầu gh .
Bài 7. Từ các ch s 1,2,3,4,5,6 có thể thi t lập đư c bao nhiêu
s có 6 ch s khác nhau mà hai ch s 1 và 6 khơng đ ng c nh
nhau?
Bài 8. Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4
sách Hóa khác nhau.Cần sắp x p các sách thành một hàng sao
cho các sách cùng môn kề nhau. H i có bao nhiêu cách?
Bài 9. Gi i :
1. P2.x2 – P3.x = 8

11

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm
2.

Px − Px −1
Px +1

=

Bài tập toán 11

1
6

Pn + 4
15

<
Pn .Pn + 2 Pn −1
Bài 10. Sắp x p 5 ngư i vào một băng gh có 7 chỗ. H i có bao
nhiêu cách?
Bài 11. Từ tập h p X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có thể lập đư c

3.

mấy s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Bài 12. Có 10 quyển sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau.
Cần chọn ra 3 quyển sách và 3 cây bút để tặng cho 3 học sinh,
mỗi em đư c tặng 1 quyển sách và 1 cây bút. Có mấy cách?
Bài 13. Gi i:
1. 2A 2x +50=A 22x , x ∈ N
2. An3 + 5 An2 = 2(n + 15)

Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm
1. Xác định mặt phẳng α

2. Tính diện tích c a thi t diện c a t giác v i mặt phẳng α

Bài 12. Cho tam giác đều ABC có đư ng cao AH = 2a. Gọi O là

trung điểm c a AH. Trên đư ng thẳng vng góc v i (ABC) t i
O, lấy điểm S sao cho OS = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt
AI = x (a1. Xác định ( α )

2. Tìm thi t diện c a t diện SABC và α
3. Tính diện tích cua thi t diên theo a và x

Bài 14. Cho t diện SABC có hai mặt ABC và SBC là 2 tam

3. 3 An2 − A22n + 42 = 0.

giác đều c nh a và SA =

9
8
5. A10
x + Ax = 9 Ax .

là trung điểm c a BC

6.

Pn+2

−

1. Ch ng minh: ( α ) // (SAD)

2. Tìm thi t diện c a t diện SABC và ( α )

143
<0
4 Pn−1

15
<
7.

(n + 2)! (n − 1)!
Bài 14. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cu n, h i có
bao nhiêu cách?
Bài 15. Một nhóm có 5 nam và 3 n . Chọn ra 3 ngư i sao cho
trong đó có ít nhất 1 n . H i có bao nhiêu cách?
Bài 16. Từ 20 câu h i trắc nghiệm g m 9 câu dễ, 7 câu trung
bình và 4 câu khó ngư i ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra
sao cho ph i có đ c 3 lo i dễ, trung bình và khó. H i có thể
lập đư c bao nhiêu đề kiểm tra ?
An4+ 4

www.MATHVN.com

a 3
. Lấy điểm M thuộc AB và AM =
2

x (0
4. 2 Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12

An4+2

Bài tập tốn 11

12

3. Tính diện tích c a thi t diện theo a và x
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân t i B,

AB = BC =2a. C nh SA ⊥ (ABC) và SA =a 2

1. Ch ng minh các mặt c a hình chóp là các tam giac vuông

2. Gọi ( α ) là mặt phẳng trung tr c c a c nh SB. Tìm thi t
diện c a hình chóp v i ( α )

3. Tính diện tích c a thi t diện
53

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

5. Tam giác ABC là tam giác nhọn các góc c a tam giác đều
nhọn.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tam giác đều c nh a, SA

⊥ (ABC). Gọi O là tr c tâm tam giác ABC, H là tr c tâm tam

giác SBC, I là trung điểm c a BC .

1. Ch ng minh: BC ⊥ (SAI) và CO ⊥ (SAB).

2. Ch ng minh: H = h/c O/(SBC).

3. Gọi N = OH ∩ SA. Ch ng minh : SB ⊥ CN và SC ⊥

BN

Bài 9. Cho t diện S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lư t

là tr c tâm c a các tam giác ABC và SBC. Ch ng minh:
1. AH, SK, BC đ ng quy
2. SC ⊥ (BHK)

3. HK ⊥ (SBC)

Bài 10. Cho t diện S.ABC có tam giác ABC vng cân đỉnh B,

AB =a,SA ⊥ (ABC) và SA =a 3 . Lấy điểm M tùy ý thuộc
c nh AB v i AM =x (0
vng góc v i AB

1. Tìm thi t diện c a t diện và α

2. Tính diện tích c a thi t diện theo a và x
Bài 11. Cho t diện S.ABC có tam giác ABC vng cân đỉnh B,

AB =a, SA ⊥ (ABC) SA =a. Gọi α là mặt phẳng qua trung

điểm M c a AB và vng góc vói SB

www.MATHVN.com

52

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

Bài 17. Hội đ ng qu n trị c a một công ty g m 12 ngư i, trong
đó có 5 n . Từ hội đ ng qu n trị đó ngư i ta bầu ra 1 ch tịch
hội đ ng qu n trị, 1 phó ch tịch hội đ ng qu n trị và 2 y viên.
H i có mấy cách bầu sao cho trong 4 ngư i đư c bầu ph i có
n ?
Bài 18. Đội thanh niên xung kích c a một trư ng phổ thơng có
12 học sinh g m 5 học sinh l p A, 4 học sinh l p B và 3 học
sinh l p C. Tính s cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm v sao
cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 l p trên.
Bài 19. Một hộp đ ng 15 viên bi khác nhau g m 4 bi đ , 5 bi
trắng và 6 bi vàng. Tính s cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao
cho khơng có đ 3 màu.
Bài 20. Một l p học có 30 học sinh nam và 15 học sinh n . Có 6
học sinh đư c chọn ra để lập một t p ca. H i có bao nhiêu cách
chọn khác nhau.
1. N u ph i có ít nhất là 2 n .
2. N u ph i chọn tuỳ ý.
Bài 21. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Ngư i ta
mu n chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư r i dán 3 tem thư vào 3 bì
thư đó. Có bao nhiêu cách ?
Bài 22. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngư i, g m 12
nam, 3 n . H i có bao nhiêu cách phân cơng đội đó về 3 tỉnh
miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam, 1 n ?
Bài 23. Gi i :
7
1.

C1x +C 2x +C3x = x
2
2
2.
C3x-1 − C2x-1 = A 2x-2
3
1
1
7
− 2 = 1
3.
1
C x C x+1 6C x+4

2C x2+1 + 3 Ax2 < 30
1 x
6
5.
A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10
2
x
Bài 24. Tìm s h ng không ch a x trong khai triển c a nhị th c:
4.

13

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm

⎛
1 ⎞
1. ⎜ x + ⎟
x4 ⎠
⎝

Bài tập toán 11
⎛x
2. ⎜ +
⎝3

10

⎛
1 ⎞
3. ⎜ x 3 − ⎟
x2 ⎠
⎝

3⎞
⎟
x⎠

4. Ch ng minh: HK ⊥ (SAC).
5. Ch ng minh: AI ⊥ HK.

7

1 ⎞
⎛

Bài 25. Tìm s h ng th 31 trong khai triển ⎜ x + 2 ⎟
x ⎠
⎝

6. Tìm mặt phẳng trung tr c c a đo n BD và HK. Gi i thích.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng tâm O c nh a

40

⎞
⎛ 1
Bài 26. Tìm s h ng đ ng gi a trong khai triển ⎜⎜ 5 + 3 x ⎟⎟
⎠
⎝ x
8
Bài 27. Tìm hệ s c a s h ng ch a x trong khai triển nhị th c
10

⎛1
⎞
Niu-tơn ⎜ 3 + x5 ⎟ , bi t rằng Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3) .
⎝x
⎠
Bài 28. Cho bi t tổng 3 hệ s c a 3 s h ng đầu tiên trong khai
n

⎛
2⎞
triển ⎜ x 2 − ⎟ là 97. Tìm s h ng ch a x4.
3⎠

⎝
Bài 29. Tính tổng:
n

1. S1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn .

2. S2 = Cn0 + Cn2 + Cn4 + ...

4. S4 = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2k Cnk + ... + 2n Cnn .
5.

+2 C
2

n2

+2

4

Cn4

+ ...

Bài 30. Ch ng minh:
1. C n0 + C n1 + C n2 + ....... + C nn = 2 n

2. C20n + C22n + +C24n + ... + C22nn = C21n + +C23n + +C25n + ... + C22nn−1
3. Cn0 + 6Cn1 + 62 Cn2 + ... + 6 n Cnn = 7n

www.MATHVN.com

SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2 . Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và
vng góc v i SC, cắt SB, SC, SD lần lư t H, M, K.
1. Ch ng minh: AH ⊥ SB, AK ⊥ SD.

2. Ch ng minh: BD // ( α ) suy ra BD // HK.
3. Ch ng minh: HK qua trọng tâm c a tam giác SAC.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O.

Bi t rằng SA=SC SB=SD. Ch ng minh:
1. SO ⊥ (ABCD).
2. AC ⊥ SD

Bài 6. Cho t diện ABCD. Ch ng minh rằng n u AB ⊥ BD và

AC ⊥ BD thì AD ⊥ BC.

3. S3 = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ...
S5 = Cn0

Bài tập toán 11

3. Ch ng minh: HK// BD OH=OK.

12

⎛
1 ⎞

4. ⎜⎜ 3 x + 4 ⎟⎟
x⎠
⎝

5

Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

14

Bài 7. Cho t diện có OA, OB, OC đơi một vng góc v i nhau.

Gọi H là hình chi u vng góc c a điểm O trên (ABC). Ch ng
minh:

1. OA ⊥ BC, OB ⊥ CA, OC ⊥ AB.

2. BC ⊥ (OAH), AB ⊥ (OCH)

3. H là tr c tâm c a tam giác ABC
4.

1
1
1
1
=
+
+
2

2
2
OH
OA OB OC 2
51

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm
1. Xác định góc gi a các cặp vectơ:

Bài tập tốn 11
AB và A ' C ' ;

Trư ng THPT Ngô Th i Nhiệm

Bài tập toán 11

0
1
17
4. 317 C17
+ 41.316.C17
+ ... + 417 C17
= 717

AB vaø A ' D ' ; AC ' vaø BD .

2. Tính các tích vơ hư ng c a các cặp vectơ: AB vaø A ' C ' ;

AB vaø A ' D ' ; AC ' vaø BD .

- Đ ỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
- HAI Đ ỜNG THẲNG VNG GĨC
Bài 1. Cho t

SA ⊥ (ABC).

diện SABC có tam giác ABC vng t i B và

1. Ch ng minh: BC ⊥ (SAB).

2. Gọi M và N là hình chi u c a A trên SB và SC, MN cắt BC
t i I. Ch ng minh: AM ⊥ (SBC) , SC ⊥ (AMN).

3. Ch ng minh AI ⊥ SC

Bài 2. Cho t diện ABCD có AB=AC , DB=DC . Gọi I là trung

điểm c a BC.

1. Ch ng minh BC ⊥ (AID).

2. V

dư ng cao AH c a tam giác AID. Ch ng minh

AH ⊥ (BCD).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm

O, SA ⊥ (ABCD). Gọi H,I,K lần lư t là hình chi u vng góc

c a điểm A trên SB, SC, SD.

1. Ch ng minh: BC ⊥ (SAB) CD ⊥ (SAD) BD ⊥ (SAC).

2. Ch ng minh: AH ⊥ SC AK ⊥ SC suy ra AH, AI, AK
đ ng phẳng .

www.MATHVN.com

50

PHẦN 2. XÁC SUẤT
Bài 1. Gieo hai con xúc xắc cân đ i đ ng chất. Gọi A là bi n c
“ tổng s chấm trên mặt c a hai con xúc xắc bằng 4 “
1. Liệt kê các k t qu thuận l i c a bi n c A
2. Tính xác suất c a bi n c A
Bài 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú –lơ –khơ :
1. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân
bài đó thuộc 1 bộ ( ví d : có 3 con 4)
2. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có 4 quân bài
thuộc một bộ
Bài 3. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :
1. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên
2. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần
Bài 4. Trong một bình có 3 qu cầu đen khác nhau và 4 qu cầu
đ khác nhau. Lấy ra 2 qu cầu. Tính xác suất để :
1. Hai qu cầu lấy ra màu đen

2. Hai qu cầu lấy ra cùng màu
Bài 5. Gieo 3 con đ ng xu. Tính xác suất để
1. Có đ ng xu lật ngửa
2. Khơng có đ ng xu nào sấp
Bài 6. Cho một hộp đ ng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu
đ , 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính
xác suất trong hai trư ng h p sau:
1. Lấy đư c 3 viên bi màu đ
2. Lấy đư c ít nhất hai viên bi màu đ
Bài 7. Gieo đ ng th i hai con súc sắc. Tính xác suất để
1. Tổng s chấm xuất hiện trên hai con là 9
2. Tổng s chấm xuất hiện trên hai con là 5
3. S chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 3
Bài 8. Gieo đ ng th i 3 con súc sắc. Tính xác suất để
1. Tổng s chấm xuất hiện c a ba con là 10
2. Tổng s chấm xuất hiện c a 3 con là 7

15

www.MATHVN.com


Trư ng THPT Ngơ Th i Nhiệm

Bài tập tốn 11

Bài 9. Một đ t xổ s phát hành 20.000 vé trong đó có 1 gi i
nhất, 100 gi i nhì, 200 gi i ba, 1000 gi i tư và 5000 gi i khuy n

khích. Tính xác suất để một ngư i mua 3 vé trúng một gi i nhì

và hai gi i khuy n khích.
Bài 10. Trong 100 vé xổ s có 1 vé trúng 100.000đ, 5 vé trúng
50.000đ và 10 vé trúng 10.000. Một ngư i mua ngẫu nhiên 3
vé.Tính xác suất để
1. Ngư i mua trúng thưởng đúng 30.000
2. Ngư i mua trúng thưởng 20.000
Bài 11. Một khách s n có 6 phịng đơn. Có 10 khách đ n th
phịng, trong đó có 6 nam và 4 n . Ngư i qu n lí chọn ngẫu
nhiên 6 ngư i. Tính xác suất để
1. Có 6 khách là nam
2. Có 4 khách nam, 2 khách n
3. Có ít nhất 2 khách là n
Bài 12. Có 9 tấm thẻ đánh s từ 1 đ n 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai
tấm thẻ. Tính xác suất để tích c a hai s trên tấm thẻ là một s
chẵn
Bài 13. Một lô hàng g m 100 s n phNm , trong đó có 30 s n
phNm xấu. Lấy ngNu nhiên 1 s n phNm từ lơ hàng.
1. Tìm xác suất để s n phNm lấy ra là s n phNm t t
2. Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 s n phNm từ lơ hàng. Tìm
xác suất để 10 s n phNm lấy ra có đúng 8 s n phNm t t
Bài 14. K t qu (b,c) c a việc gieo hai con xúc xắc cân đ i hai
lần, đư c thay vào phương trình x2+ bx+ c =0. Tính xác suất để:
1. Phương trình vơ nghiệm
2. Phương trình có nghịêm kép
3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 15. Một hộp ch a 30 bi trắng, 7 bi đ và 15 bi xanh. Một
hộp khác ch a 10 bi trắng , 6 bi đ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên
từ mỗi hộp bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu.

www.MATHVN.com

16

Trư ng THPT N gô Th i N hiệm

CH

Bài tập tốn 11

NG III. QUAN HỆ VNG GĨC
VECT

TRONG KHƠNG GIAN

Bài 1. Ch ng minh rằng G là trọng tâm t diện ABCD khi và
chỉ khi nó th a mãn một trong hai điều kiện sau:
1. GA + GB + GC +  GD = 0

2. OA + OB + OC +  OD = 4OG v i O là một điểm tùy ý.

Bài 2. Trong không gian cho 4 điểm tùy ý A, B, C, D. Ch ng
minh rằng: AB.DC + BC.DA + CA.DB = 0 .
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R th t là trung
điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ th t là giao điểm c a các
đư ng chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’,
ADD’A’. Ch ng minh rằng:
1. PP ' + QQ ' + RR ' = 0 .
2. Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng trọng tâm.
Bài 4. Cho t diện ABCD. Gọi G, G’ lần lư t là trọng tâm t
diện ABCD và tam giác BCD. Ch ng minh rằng: A, G, G’

thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình lăng tr tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lư t
là trung điểm BB’, A’C’. K là điểm trên B’C’ sao cho
KC' = −2KB . Ch ng minh b n điểm A, I, J, K thẳng hàng.
Bài
6.
Cho
hình
hộp
ABCD.A’B’C’D’
có
BA = a, BB ' = b, BC = c . Gọi M, N lần lư t là hai điểm nằm trên

AC, DC’ sao cho MC = n. AC , C ' N = mC ' D .

1. Hãy phân tích BD ' theo các véctơ a, b, c .

2. Ch ng minh rẳng: MN = (m − n)a + (1 − m)b + nc .
3. Tìm m, n để MN //BD’.
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
49 www.MATHVN.com


Trư ng THPT N gô Th i N hiệm

Bài tập tốn 11

Bài 1. Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’.Gọi I và I’ lần lư t là
trung điểm c a các c nh BC và B’C’
1. Ch ng minh rằng AI // A’I’.

2. Tìm giao điểm IA’ ∩ (AB’C’).
3. Tìm giao tuy n c a (AB’C’) ∩ (BA’C’).
Bài 2. Cho lăng tr tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I , K , G lần lư t
là trọng tâm c a các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ . Ch ng
minh rằng:
1. (IKG) // (BB’C’C)
2. (A’KG) // (AIB’)
Bài 3. Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm
A’B’
1. Ch ng minh rằng CB’ // (AHC’)
2. Tìm giao tuy n d = (AB’C’) ∩ (A’BC) .
Ch ng minh rằng: d // (BB’C’C)
Bài 4. Cho lăng tr tam giác ABC.A’B’C’.
1. Tìm giao tuy n c a (AB’C’) và (BA’C’).
2. Gọi M, N lần lư t là hai điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm
giao điểm c a B’C’ v i mp(AA’N ) và giao điểm c a MN
v i mp(AB’C’).
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
1. Ch ng minh rằng (BA’C’) // (ACD’)
2. Tìm các giao điểm I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D ∩ (ACD’).
Ch ng minh rằng 2 điểm I, J chia đo n B’D thành 3 phần
bằng nhau.
3. Gọi M, N là trung điểm c a C’B’ và D’D. D ng thi t diện
c a hình hộp v i mặt phẳng (BMN ).

www.MATHVN.com

48

Trư ng THPT N gô Th i N hiệm

Bài tập toán 11

CH
NG III.
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
PH

NG PHÁP QUY NẠP

Bài 1. Ch ng minh rằng v i mọi n ∈ n ∗ , ta có đẳng th c:
n(3n + 1)
.
1. 2 + 5 + 8 + ... + 3n − 1 =
2
n(n + 1)(2n + 1)
2. 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
.
6
n(4n 2 − 1)
.
3. 12 + 3 2 + ... + (2n − 1) 2 =
3
2n(n + 1)(2n + 1)
4. 2 2 + 4 2 + ... + (2n) 2 =
3
2
n (n + 1) 2
.
5. 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 =

4
(n − 1)n(n + 1)
6. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n − 1)n =
.
3
7. 1.2 + 2.5 + ... + n(3n − 1) = n 2 (n + 1).
1
1
1
n
+
+ ... +
=
8.
1.2 2.3
n(n + 1) n + 1
1
1
1
n
9.
+
+ ... +
=
1.5 5.9
(4n − 3)(4n + 1) 4n + 1
1
1
n +1
1

.
10. (1 − )(1 − )...(1 − 2 ) =
4
2n
9
n
Bài 2. Ch ng minh rằng v i n ∈ n ∗ , ta có:
1. n 3 + 3n 2 + 5n chia h t cho 3.
2. n(2n 2 − 3n + 1) chia h t cho 6.
3. 4 n + 15n − 1 chia h t cho 9.
4. n 5 − n chia h t cho 30.
5. 5 n +3 + 113n +1 chia h t cho 17.
17 www.MATHVN.com


Trư ng THPT N gô Th i N hiệm
Bài 3. Cho n là một s nguyên l
đẳng th c
1
1
1
+
+ ... +
2n
n +1 n + 2
Bài 4. Ch ng minh v i mọi s t
đẳng th c sau:
1. 3 n > 3n + 1
3
2. 2 n − n >

2
n +1
3. 2 > 2n + 3
Bài 5. Ch ng minh v i mọi s t
2 n > 2n + 1

Bài tập toán 11
n hơn 1.Hãy ch ng minh bất
>

13
24
nhiên n ≥ 2 , ta có các bất

nhiên n ≥ 3 , ta có:

DÃY SỐ
Bài 1. Xét tính đơn điệu các dãy s sau :
3n
1
2. u n = n
1. un = 2
n +1
2 +1

⎛ 1⎞
3. un = ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
2n − 1
5. un = n

2

n

4. u n = n + 1 − n .

6. u n =

n+2
2n

7. u n = 3 n − n
8. u n = n − n 2 − 1 .
Bài 2. Xét tính bị chặn các dãy s sau :
1
1. u n = 3n − 2
2. un =
n(n + 1)
n −1
4. u n = (−3) n
3. un = 3.2
5. u n =

4n − 3
4n + 3

www.MATHVN.com

6. un =

18

n −1

n2 + 1

Trư ng THPT N gô Th i N hiệm

Bài tập tốn 11

2. Gi sử AB ⊥ CD thì MN QG là hình gì? Tính SMN PQ bi t
AM = x, AB = AC = CD = a. Tính x để diện tích này l n
nhất.

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung c nh
AB và khơng đ ng phẳng . I, J, K lần lư t là trung điểm c a các
c nh AB, CD, EF. Ch ng minh:
1. (ADF) // (BCE).
2. (DIK) // (JBE).
Bài 2. Cho t diện ABCD.Gọi H, K, L là trọng tâm c a các tam
giác ABC, ABD, ACD. Ch ng minh rằng (HKL)//(BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O.
Tam giác SBD là tam giác đều. Một mp (α) di động song song
v i (SBD) qua điểm I trên đo n AC. Xác định thi t diện c a
hình chóp cắt bởi (α).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vng
t i A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân
t iA.Trên c nh AD lấy điểm M. Đặt AM =x. Mặt phẳng (α) qua
M và //(SAB).

1. D ng thi t diện c a hình chóp v i (α).
2. Tính diện tích và chu vi thi t diện theo a và x.
Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song v i nhau và ABCD là
một hình bình hành nằm trong mp (P). các đư ng thẳng song
song đi qua A, B, C, D lần lư t cắt mp (Q) t i các điểm A', B',
C', D'.
1. T giác A'B'C'D' là hình gì?
2. Ch ng minh (AB'D') // (C'BD).
3. Ch ng minh rằng đo n thẳng A'C đi qua trọng tâm c a hai
tam giác AB'D' và C'BD. Hai mp (AB’D’), (C’BD) chia
đo n A'C làm ba phần bằng nhau.

HÌNH LĂNG TRỤ
47

www.MATHVN.com


Trư ng THPT N gô Th i N hiệm

Bài tập toán 11

Ch ng minh : MN // (BCD) và MN // (ABC).
Bài 2. Cho t diện ABCD .Gọi I, J là trung điểm c a BC và CD
1. Ch ng minh rằng BD//(AIJ)
2. Gọi H, K là trọng tâm c a các tam giác ABC và ACD.
Ch ng minh rằng HK//(ABD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G
là trọng tâm c a tam giác SAB và E là điểm trên c nh AD sao
cho DE = 2EA. Ch ng minh rằng GE // (SCD).

Bài 4. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M , N theo th t là trung điểm c a các c nh AB, CD .
1. Ch ng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
2. Gọi P là trung điểm c a c nh SA. Ch ng minh SB //
(MN P) và SC // (MN P).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên
SB và CD. (α) là mặt phẳng qua MN và song song v i SC.
1. Tìm các giao tuy n c a (α ) v i các mặt phẳng (SBC),
(SCD) và (SAC).
2. Xác định thi t diện c a S.ABCD v i mặt phẳng (α) .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi
M,N là trung điểm SA,SB. Điểm P thay đổi trên c nh BC
1. Ch ng minh rằng CD//(MN P)
2. D ng thi t diện c a hình chóp v i mặt phẳng (MN P) .
Ch ng minh rằng thi t diện là 1 hình thang.
3. Gọi I là giao điểm 2 c nh bên c a thi t diện ,tìm quĩ tích
điểm I
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB,
CD, (α ) là mặt phẳng qua MN và song song v i SA.
1. Xác định thi t diện c a hình chóp và mặt phẳng (α).
2. Tìm điều kiện c a MN để thi t diện là hình thang.
Bài 8. Cho t diện ABCD. Từ điểm M trên AC ta d ng một mp
(α) song song AB và CD. Mp này lần lư t cắt BC, BD, AD t i
N , P, Q.
1. T giác MN QG là hình gì?

www.MATHVN.com

46

Trư ng THPT N gơ Th i N hiệm

Bài tập toán 11

⎧u1 = 1
⎪
Bài 3. Cho dãy s (un ) xác định bởi: ⎨
u n + 2 ; ∀n ≥ 1 .
⎪u n +1 = u + 1
n
⎩
3
Ch ng minh rằng u n bị chặn trên bởi và bị chặn dư i bởi 1.
2
⎧u1 = 2
⎪
Bài 4. Cho dãy s (un ) xác định bởi: ⎨
u n + 1 ; ∀n ≥ 1 .
⎪⎩u n +1 = 2
Ch ng minh rằng u n là dãy gi m và bị chặn.

⎧u1 = 1
Bài 5. Cho dãy s (un ) xác định bởi: ⎨
n
⎩u n +1 = u n + (n + 1).2
; ∀n ≥ 1 .
Ch ng minh rằng :
1. (un ) là dãy tăng.

2. u n = 1 + (n − 1).2 n , ∀n ≥ 1 .

CẤP SỐ CỘNG
Bài 1. Tìm s h ng đầu và cơng sai c a các cấp s cộng, bi t :
⎧u1 − u 3 + u 5 = 10
⎧u 7 − u 3 = 8
2. ⎨
1. ⎨
⎩u1 + u 6 = 17
⎩u 2 u15 = 75
⎧u 7 + u15 = 60
4. ⎨ 2
2
⎩u 4 + u12 = 1170
⎧u 7 − u 3 = 8
6. ⎨
⎩u 2 .u 7 = 75

⎧u + u 5 = 14
3. ⎨ 3
⎩s12 = 129
⎧u1 + u 4 + u 5 = 25
5. ⎨
⎩u 2 − u8 = −24

Bài 2.
1. Cho cấp s cộng có a1 =10, d = -4 .Tính a10 và S10 .

19

www.MATHVN.com

Trư ng THPT N gô Th i N hiệm

Bài tập toán 11

2. Một cấp s cộng h u h n có s h ng đầu bằng 2, cơng sai
bằng -5 và tổng các s h ng bằng -205. H i cấp s cộng đó có
bao nhiêu só h ng?
3. Cho cấp s cộng có s h ng đầu bằng -2, công sai bằng 3.
H i 55 là s h ng th bao nhiêu c a CSC. Tính tổng c a 20 s
h ng liên ti p kể từ s h ng th 15.
4. Tính tổng tất c các nghiệm c a phương trình:
sin23x-5sin3x +4=0 trên kho ng (0; 50 π ).
Bài 3. Hãy tìm s h ng tổng quát c a cấp s cộng ( u n ), bi t

⎧u 23 − u17 = 30
.
rằng: ⎨
2
2
+
=
(
)
(
)
450
u
u

23
⎩ 17
Bài 4. Hãy tìm tổng 16 s h ng đầu tiên c a cấp s cộng ( u n )
có u 2 + u15 = 30 .
Bài 5. Tính các tổng sau:
1. S1 = 1 + 3 + 5 + ... + 999
2. S 2 = 2 + 4 + 6 + ... + 2010
3. S 3 = 3 + 6 + 9 + ... + 3003
Bài 6. góc c a một tam giác vng lập thành một cấp s cộng.
Tìm ba góc c a tam giác đó.
Bài 7. Một cấp s cộng có 11 s h ng. Tổng các s h ng là 176.
Hiệu gi a s h ng cu i và s h ng đầu là 30. Tìm cấp s cộng
đó.
Bài 8. B n s lập thành một cấp s cộng. Tổng c a chúng bằng
22. Tổng các bình phương c a chúng bằng 166. Tìm b n s đó.
Bài 9. N gư i ta tr ng 3003 cây theo hình một tam giác như sau:
hàng th nhất có 1 cây, hàng th hai có 2 cây, hàng th ba có 3
cây,…. H i có tất c bao nhiêu hàng?
Bài 10. Tìm x để 3 s sau lập thành cấp s cộng theo th t đó:
1. 10 − 3 x ; 2 x 2 + 3 ; 7-4x
2. 3 x + 2 ; x 2 + 5 x + 4 ; x 3 + 8 x + 6

Trư ng THPT N gô Th i N hiệm

Bài tập toán 11

2. Xác định thi t diện c a hình chóp v i mặt phẳng (IJG).
Thi t diện là hình gì? Tìm điều kiện đ i v i AB và CD để
thi t diện là hình bình hành.
Bài 6. Hình chóp S.ABCD,đáy ABCD là hình bình hành. Lấy

một điểm M thuộc c nh SC .Mặt phẳng (ABM) cắt c nh SD t i
điểm N . Ch ng minh N M// CD.
Bài 7. Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm
trong một mp. Trên AC lấy một điểm M và trên BF lấy một
AM BN
điểm N sao cho
=
= k . Một mp( α ) qua MN và song
AC BF
song v i AB, cắt c nh AD t i M' và c nh AF t i N '.
1. Ch ng minh : M'N ' // DF.
1
2. Cho k = , ch ng minh MN // DE.
3
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang v i các
c nh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lư t là trung
điểm c a SA và SB.
1. Ch ng minh: MN // CD
2. Tìm giao điểm P c a SC và mặt phẳng (ADN )
3. Kéo dài AN và DP cắt nhau t i . Ch ng minh SI // AB //
CD, t giác SABI là hình gì?
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N , P, Q là các điểm nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho
MN // BS, N P // CD, MQ // CD
1. Ch ng minh: PQ // SA.
2. Gọi K là giao điểm c a MN và PQ, ch ng minh SK // AD
// BC.
3. Qua Q d ng các đư ng thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm
giao điểm c a Qx v i (SAB) và c a Qy v i (SCD).
Đ ỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Bài 1. Cho t diện ABCD. Gọi M, N lần lư t là trọng tâm c a
tam giác ABD và ACD.

www.MATHVN.com

20

45

www.MATHVN.com