Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC
Hồ Đình Sinh
I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít
hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng
phương pháp này.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương:
ìx + y + z = 3
ï
í
3
ïỵ(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = 1 + xyz
(
)
3
(
Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz
)
3
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
ìï x + 1 + x + 3 + x + 5 = y - 1 + y - 3 + y - 5
í
2
2
ïỵ x + y + x + y = 80
Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5
Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường
hợp sau:
Nếu x>y-6 thì VT>VP.
Nếu x
Suy ra x=y-6. Từ đây và phương trình thứ hai ta tìm được x,y.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm dương
4y
2z
ì 3x
+
+
=1
ï
íx +1 y +1 z +1
ï89 x 3 y 4 z 2 = 1
ỵ
Giải: Bài tốn này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sử dụng phương pháp
bất đẳng thức
Nhận xét: Bậc của x,y,z ở phương trình 2 khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho
xuất hiện bậc giống hệ.
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
1
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
1
2x
4y
2z
=
+
+
x +1 x +1 y +1 z +1
1
3x
3y
2z
=
+
+
y +1 x +1 y +1 z +1
1
3x
4y
z
=
+
+
z +1 x +1 y +1 z +1
Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có:
1
x 2 y4 z2
³ 88
x +1
( x + 1)2 ( y + 1)4 ( z + 1)2
1
x 3 y3 z2
³ 88
y +1
( x + 1)3 ( y + 1)3 ( z + 1)2
1
x3 y4 z
³ 88
z +1
( x + 1) 3 ( y + 1)4 ( z + 1)1
Suy ra
1
1
1
(1 + x ) ( y + 1) ( z + 1)
3
4
2
³ 89 8
x 24 y 32 z16
( x + 1) ( y + 1) ( z + 1)
24
32
16
Þ 89 x 3 y 4 z 2 £ 1
Dấu bằng xảy ra Û
x
y
z
1
1
=
=
= Ûx=y=z= .
x +1 y +1 z +1 9
8
Ví dụ 4: Giải hệ
697
ì 4
2
ïx + y =
81
í
2
2
ï x + y + xy - 3 x - 4 y + 4 = 0
ỵ
Giải:
Ví dụ này tơi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có
nghiệm của tam thức bậc 2.
Xét phương trình bậc 2 theo x:
x 2 + x ( y - 3) + y 2 - 4 y + 4 = 0
D x = ( y - 3)2 - 4( y - 2)2
Để phương trình có nghiệm thì D x ³ 0 Û 1 £ y £
7
.
3
Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 0 £ x £
4
4
3
2
697
ỉ4ư ổ7ử
Suy ra x + y Ê ỗ ữ + ỗ ÷ =
81
è3ø è3ø
4
7
Þ x = ;y =
Tuy nhiên thế vào hệ khơng thoả mãn dó đó hệ vơ nghiệm.
3
3
4
2
Ví dụ 5: Giải hệ
ìx5 - x 4 + 2x2 y = 2
ï 5
4
2
íy - y + 2y z = 2
ïz5 - z 4 + 2z2 x = 2
ỵ
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
2
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
Giải:
Ý tưởng của bài toán này là đốn nghiệm của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hay
x<1 hệ vơ nghiệm.
+) Nếu x>1
Þ 2 = z5 - z 4 - 2z2 x > z5 - z 4 + 2z2
Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0
2
1ư
3
ỉ
Do z + 2 z + 2 = ỗ z 2 - ữ + ( z + 1)2 + > 0 nên z<1.
2ø
4
è
Tương tự, ta có y>1 Þ x<1 suy ra vơ lý.
4
+) Nếu x<1
Tương tự trên ta cũng suy ra được điều vô lý.
Vậy x=y=z=1 là nghiệm của hệ.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ:
2
2
2
ïì xy + yz + zx = x + y + z
a) í 6
6
6
ïỵ x + y + z = 3
ì x 2 + y2 + z2 = 3
ỵx + y + z = 3
b) í
Bài 2: Giải hệ
ì x3 y = 9
í
ỵ3x + y = 6
ĐS: VN
Bài 3: Giải hệ
ìï xz = y + 2
í
ïỵ x + z = 2 y
(
x- y+ z
)
ĐS: (2;2;2)
Bài 4: Giải hệ
ìï y3 + x 2 = 64 - x 2 y
í 2
3
ïỵ( x + 2) = y + 6
ĐS: (0;2)
Bài 5: Giải hệ
ìï x + 1 + x + y = 3
í
2
ïỵ x + ( y - 4) + 5 = 5
ĐS: (0;4)
Bài 6:
ì3 x 3 + y + x 2 = 4
ï
í
ïỵ x 2 - 1 + x + y 2 = 1
ĐS: (1;0)
Bài 7. Giải hệ
ìï x 3 + y 2 = 2
í 2
2
ïỵ x + xy + y - y = 0
ĐS: VN
Bài 8: Giải hệ
ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1
í 2
2
ïỵ x + y - 2 xy + 2 yz - 2 xz + 1 = 0
HD: Hệ đã cho tương đương với
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
3
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1
í
2
ïỵ( x - y) - 2 z( x - y) + 1 = 0
Từ phương trình thứ nhất ta được: -1 £ z £ 1
Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại Û z 2 - 1 ³ 0 Û z ³ 1
Suy ra z = ±1 .
Bài 9: Giải hệ
ì x2 = y + 1
ï 2
íy = z +1
ïz2 = x + 1
ỵ
HD: Đây là hệ mà vai trò của x, y, z như nhau.
Giả sử x ³ y ³ z. Suy ra z 2 - 1 ³ x 2 - 1 ³ y 2 - 1 Û z 2 ³ x 2 ³ y 2
(*)
Xét x £ 0 hoặc z ³ 0 . Từ (*) suy ra x=y=z.
Vậy chỉ có trường hợp x>0 và z<0 . Khi đó z 2 = x + 1 > 1 Þ z < -1 Þ y 2 = z + 1 < 0 vơ lý.
Vậy hệ có 2 nghiệm là x=y=z=
1± 5
.
2
Bài 10: ( Olympic-tỉnh Gia lai 2009) Giải hệ phương trình
2
2
2
ïì x + y + z + 2 xy - zx - zy = 3
í 2
2
ïỵ x + y + yz - zx - 2 xy = -1
HD: Phương trình đã cho tương đương với
ĐS: (1;0;2) , (-1;0;2).
ìï( x + y )2 - z( x + y) + z 2 - 3 = 0
í
2
ïỵ( x - y) - z( x - y) + 1 = 0
II. TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CHUNG
Ví dụ 1: Cho abc>0. Giải hệ phương trình
ì xy = a
ï
í yz = b
ï zx = c
ỵ
Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
4
Chun đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
éì
bc
êïz =
a
êï
ê ïï
ab
êí y =
é ì xy = a
c
êï
êï
ê
ï
ê í yz = b
ê ï x = ac
ì xy = a
ï
ê
b
ê ỵï
ï
ỵ xyz = abc
Ûê
Ûê
í yz = b
ê ì xy = a
êì
bc
ï( xyz )2 = abc
êï
ỵ
êïz = a
ê í yz = b
êï
êï
ê ïï
ab
ëê ỵ xyz = - abc
êí y = c
êï
êï
ac
êï x = b
ëêïỵ
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
ì x + y + xy = 1
ï
í x + z + xz = 2
ï y + z + yz = 5
ỵ
(*)
HD Giải:
ì( x + 1)( y + 1) = 2
ï
(*) Û í( x + 1)( z + 1) = 3
ï( y + 1)( z + 1) = 6
ỵ
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.
Ví dụ 3: Giải hệ
ì x 2 + 2 yz = x
ï 2
í y + 2 zx = y
ï z 2 + 2 xy = z
ỵ
(*)
HD Giải:
ì x 2 + 2 yz = x
ì x 2 + 2 yz = x
ï 2
ï
(*) Û í x - y 2 + 2 yz - 2 xz = x - y Û í( x - y)( x + y - 2 z - 1) = 0
ï x 2 - z 2 + 2 yz - 2 xy = x - z
ï( x - z )( x + z - 2 y - 1) = 0
ỵ
ỵ
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1:
ì xy = 2
ï
a) í yz = 6
ï zx = 3
ỵ
ì xy + x + y = 11
ï
b) í yz + y + z = 5
ï zx + z + x = 7
ỵ
ì xy + x + y = 7
ï
c) í yz + y + z = -3
ï xz + x + z = -5
ỵ
ì xy + xz = 8
ï
d) í yz + xy = 9
ï xz + zy = -7
ỵ
Bài 2:
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương
5
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
ì x ( x + y + z ) = 2 - yz
ï
a) í y( x + y + z ) = 3 - xy
ï z( x + y + z ) = 6 - xy
ỵ
ì xy + y + 2 x + 2 = 4
ï
b) í yz + 2 z + 3 y = 6
ï xz + z + 3x = 5
ỵ
ì x + xy + y = 1
ï
c) í y + yz + z = 4
ï z + zx + x = 9
ỵ
Bài 3:
ì x 2 + 2 yz = x
ï
a) í y 2 + 2 zx = y
ï z 2 + 2 xy = z
ỵ
ì y 2 - xz = b
ï
b)* í z 2 - xy = b (a,b Ỵ R)
ï x 2 - yz = a
ỵ
ìx2 + y + z = 3
ï
c) í y 2 + x + z = 3
ïz2 + x + y = 3
ỵ
ìxyz=x+y+z
ïyzt=y+z + t
ï
d) í
ï ztx = z + t + x
ïỵtxy = t + x + y
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Đơi khi bài tốn sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt
a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì hệ sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
ì x 2 ( y + z )2 = (3x 2 + x + 1) y 2 z 2
ï 2
2
2
2 2
í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z
ï z 2 ( x + y)2 = (5z 2 + z + 1) x 2 y 2
ợ
Gii:
Nu x=0 suy ra c y=z=0 ị ( x; y; z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ.
Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ 0 chia cả hai vế cho x 2 y 2 z 2 ta thu c
ỡổ y + z ử2
1 1
ùỗ
ữ = 3+ + 2
x x
ïè yz ø
ï
2
1 1
ïỉ x + z ư
= 4+ + 2
ớỗ
ữ
y y
ùố xz ứ
2
ù
ùổ x + y ử = 5 + 1 + 1
ùỗố xy ữứ
z z2
ợ
1
x
1
y
t a = ; b = ; c =
1
Ta nhận được
z
ì( a + b )2 = c 2 + c + 5
ï
2
ï
2
í( b + c ) = a + a + 3
ï
2
2
ïỵ( a + c ) = b + b + 4
(1)
(2)
(3)
Lấy (2)-(3) ta được:
(a-b)[2(a+b+c)+1]=1.
Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 .
Suy ra a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta được 3b2 - b - 4 = 0 .
Từ đây các em có thể giải tiếp.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
ìï x 3 ( 6 + 21y ) = 1
í 3
ïỵ x ( y - 6) = 21
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
6
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải.
1
z
3
ìï z = 21y + 6
í 3
ïỵ y = 21z + 6
Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . Khi đó dưa về hệ
Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
12
ì xy
ïx + y = 5
ï
18
ï yz
=
í
ïy + z 5
ï xz
36
=
ï
ỵ x + z 13
HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
Giải: Hệ đã cho tương đương với:
ì2 x + x 2 y = y
ï
2
í2 y + y z = z
ï2 z + z 2 x = x
ỵ
ì2 x = y(1 - x 2 )
ï
2
í2 y = z(1 - y )
ï2 z = x (1 - z 2 )
ỵ
Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với
ì
2x
ïy =
1 - x2
ï
2y
ï
íz =
1 - y2
ï
ï
2z
ïx =
1 - z2
ợ
(1)
(2)
(3)
pử
ổ -p
t x = tan a ; ỗ < a < ÷ thì
2ø
è 2
2 tan a
= tan 2a
1 - tan 2 a
2 tan 2a
(2) Û z =
= tan 4a
1 - tan 2 2a
2 tan 4a
(3) Û x =
= tan 8a = tan a
1 - tan 2 4a
ka
Þ tan a = tan 8a Û a =
(k Ỵ Z )
7
-p
p
-p ka p
-7
7
Þ
<
< Û
2
2
2
7
2
2
2
(1) Û y =
Vì
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương
7
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
ì -3p -2p -p p 2p 3p ỹ
;
;
;0; ; ; ý
7
7
7 7 7 ỵ
ợ 7
Do k Î Z nên k Î {-3; -2; -1;0;1;2;3} Þ a Ỵ í
ì x = tan a
ï
ì -3p -2p -p p 2p 3p ü
Vậy nghiệm của hệ là : í y = tan 2a , với a là các giá trị ớ
;
;
;0; ; ; ý .
7
7
7 7 7 ỵ
ợ 7
ù z = tan 4a
ỵ
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
1) Giải và biện luận các hệ phương trình:
ì
ïy + z - x =
ï
ï
a) í x + y - z =
ï
ï
ïx + z - y =
ỵ
ì xy
ïx + y = a
ï
ï xz
b) í
=a
ïx + z
ï yz
2
ïy + z = a
ỵ
xyz
a2
xyz
b2
xyz
c2
Giải các hệ phương trình sau:
ì1 1
1
ï x + yz + xyz = 3
ï
ï1 1
1
2) í + +
=3
y
zx
xyz
ï
ï1 1
1
+
=3
ï +
ỵ z xy xyz
ìa + bc + abc = 3
ìa + bc + abc = 3
1
1
1
ï
ï
HD: Đặt a = ; b = ; c = . Hệ íb + ca + abc = 3 Û í(a - b)(1 - c) = 0
x
y
z
ïc + ab + abc = 3
ï(a - c)(1 - b) = 0
ỵ
ỵ
ì 5 xy
ïx + y =1
ï
ï 5 yz
3) í
=1
y
+
z
ï
ï 5zx
=1
ï
ỵz + x
ì1 1
ï x + y = 3 - xy
ï
6) í
2 2
ï 1 + 1 = 7 - 3x y + 2
ïỵ x 2 y 2
xy
1 1
ì
ïx + y + x + y = 5
ï
9) í
ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 9
ïỵ
x 2 y2
x-y
ìx + y
+3
=4
ï
12) í x - y
x+y
ï xy = 2
ỵ
ì5xy = 6( x + y)
ï
4) í7 yz = 12( y + z)
ï3xz = 4( x + z )
ỵ
5
ì 2
2
ïï x + y = 2 xy
8) í
ïx - y = 3
ỵï y x 2
ì1 6
ï + =7
7) í x y
ï x + y = 2 xy
ỵ
ì2 x 2 + 2 x + y 2 + y = 6
ỵ xy( xy + x + y + 1) = 4
10) í
ì x + x + y + y = 18
ỵ xy( x + 1)( y + 1) = 72
2
13) í
5
ì 2
3
2
ïï x + y + x y + xy + xy = - 4
5) í
ï x 4 + y 2 + xy(1 + 2 x) = - 5
ïỵ
4
2
2
2
ïì x + y - 3 x + 4 y = 1
2
2
ïỵ3 x - 2 y - 9 x - 8 y = 3
11) í
x
ì
ïx + y + y = 5
ï
14) í
ï( x + y) x = 6
ïỵ
y
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương
8
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
1 1
ì
ì x
y
7
ïx + y + x + y = 4
+
=
+1
ï
ì x ( x + 2)(2 x + y) = 9
ï
x
xy
15) í
16) í y
17) í 2
ỵx + 4x + y = 6
ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 4
ï
2
2
x
xy
+
y
xy
=
78
ỵ
ïỵ
x
y
ìï y + xy 2 = 6 x 2
ìï1 + x 3 y 3 = 19 x 3
ì x (3x + 2 y)( x + 1) = 12
18) í 2
19) í
20) í
2 2
2
2
2
ïỵ1 + x y = 5 x
ïỵ y + xy = -6 x
ỵx + 2y + 4x - 8 = 0
ìï8 x 3 y3 + 27 = 18 y 3
21) í 2
(Olympic 2008)
2
ïỵ4 x y + 6 x = y
ìïx+ y + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 y3 = 0
ì x + y + x 2 + y2 = 8
22) í
23) í
ỵ x ( x + 1) + y( y + 1) = 12
ïỵx y = -2
ì x - 3z - 3z 2 x + z 3 = 0
ï
24) í y - 3x - 3x 2 y + x 3 = 0 (Olympic 2008)
ï z - 3y - 3y2 z + y3 = 0
ỵ
ì
3z - z 3
x
=
ï
1 - 3z 2
ï
ï
±1
3x - x 3
HD: Đk : x; y; z ¹
. Hệ đã cho tương đương với í y =
1 - 3x 2
3
ï
ï
3y - y3
ïz =
1 - 3y2
ỵ
ì x (4 - y 2 ) = 8 y
ï
25) í y(4 - z 2 ) = 8z
ï z(4 - x 2 ) = 8 x
ỵ
(Olympic 2008) . HD: Đặt x=2tan a .
IV. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau;
ì2 x 3 + 2 y 2 + 3 y + 3 = 0
ï 3
2
í2 y + 2 z + 3z + 3 = 0
ï2 z 3 + 2 x 2 + 3 x + 3 = 0
ỵ
Giải: Hệ đã cho tương đương với hệ sau
ì x = f ( y)
ï
í y = f (z)
ïz = f ( x)
ỵ
13 2
2t + 3t + 3
2
Ta có: 2t 2 + 3t + 3 > 0;
"t Ỵ R .
Xét hàm số f (t ) = -
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
9
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
2
1
f '(t ) = - (4t + 3)(2t 2 + 3t + 3) 3
6
3
f '(t ) = 0 Û t = 4
3
4
Từ đó ta có: f(t) tăng nếu t £ - và f(t) giảm nếu t ³ -
3
4
3
thì hàm f(t) tăng:
4
Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 )
· Xét t £ -
Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0
Điều này vơ lý.
Như vậy hệ chỉ có nghiệm khi x0 = y0 = z0 , thế vào ta đươc
2 x03 + 2 x02 + 3 x0 = 0 Û ( x0 + 1)(2 x02 + 3) = 0 Û x0 = -1
Suy ra hệ có nghiệm x=y=z=-1.
3
hàm f(t) giảm ; Chứng minh tương tự ta cũng được nghiệm x=y=x=-1
4
3
nhưng nghiệm này loại vì x;y;z ³ - .
4
· Xét với t ³ -
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=-1.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
ì x - sin y = 0
ï
í y - sin z = 0
ï z - s inx=0
ỵ
Giải: Xét hàm số f(x)=sin t, khi đó có dạng
ì x = f ( y)
ï
í y = f (z)
ïz = f ( x)
ỵ
ỉ p pư
ỉ p pư
Hàm f(t) có tập giá tr I = [-1;-1] è ỗ - ; ữ . Hm f(t) ng bin trờn ỗ - ; ữ . Do đó
è 2 2ø
è 2 2ø
hàm f(t) đồng biến trên I .
Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) .
Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0 . Điều
này vơ lý.
Vì vậy hệ đã cho trở thành
Xét hàm số g(x)=x-sin x.
Miền xác định D=R;
Đạo hàm
ìx = y = z
í
ỵ x - s inx=0
(*)
g '( x ) = 1 - cosx ³ 0,"x Ỵ D Þ hàm số đồng biến trên D. Do đó ta có:
Với x=0, ta có g(0)=0 Û phương trình (*) nghiệm đúng.
Với x>0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Phương trình (*) vơ nghiệm.
Với x<0 ta có g(x)
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
10
Chun đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
Vậy phương trình (*) có nghiệm x=0. Do đó, hệ có nghiệm x=y=z=0.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
ì x3 + 3x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = y
ï 3
2
í y + 3 y - 3 + ln( y - y + 1) = z
ï z 3 + 3z - 3 + ln( z 2 - z + 1) = x
ỵ
HD: Xét hàm f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1)
ì f ( x) = y
ï
Hệ phương trình có dạng í f ( y) = z .
ï f ( z) = x
ỵ
Ta có f ' (t ) = 3t 2 + 3 +
2t - 1
2t 2 + 1
2
=
3
t
+
1
+
> 0 "x Ỵ R.
t2 - t +1
t 2 - t +1
Vậy hàm số f (t ) đồng biến trên R.
Do x; y; z đóng vai trị như nhau. Nên khơng mất tính tổng qt, ta giả sử x ³ y ³ z .
Từ hệ phương trình ta có: f ( z) ³ f ( x) ³ f ( y) ; nên ta suy ra x = y = z.
Bây giờ ta giải phương trình g ( x) = x3 + 2 x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = 0
2x - 1
2 x2 + 1
2
Ta có g ' ( x) = 3x + 2 + 2
= 3x + 2
>0
"x Ỵ R.
x - x +1
x - x +1
Do đó g (x) là hàm đồng biến và nhận x = 1 là nghiệm.
2
Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm x = y = z = 1.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
Giải các hệ phương trình sau:
ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y
ï
1) í2 y + 1 = z 3 + z 2 + z
ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x
ỵ
ì2x3 + 3 x 2 - 18 = y3 + y
ï
3) í2 y 3 + 3y 2 - 18 = z 3 + z (Olympic-2009)
ï2 z 3 + 3z 2 - 18 = x 3 + x
ỵ
ì x = y3 + y 2 + y - 2
ï
5) í y = z 3 + z 2 + z - 2
ï z = x3 + x 2 + x - 2
ỵ
ì y 3 - 9 x 2 + 27 x - 27 = 0
ï
2) í z 3 - 9 y 2 + 27 y - 27 = 0
ï x 3 - 9 z 2 + 27 z - 27 = 0
ỵ
ì
y +1
ïx = 1 +
x
ï
ïï
z +1
4) í y = 1 +
(Olympic-2008)
y
ï
ï
ïz = 1 + x + 1
ïỵ
z
ì x 3 + x 2 + 3x - 4 = y
ï
6) í y3 + y 2 + 3y - 4 = z
ï z 3 + z 2 + 3z - 4 = x
ỵ
ì x3 + 3 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = y
ïï
Bài 7: í y3 + 3y - 3 + ln( y2 - y + 1) = z
ï 3
2
ïỵ z + 3z - 3 + ln( z - z + 1) = x
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
11
Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MATHVN.COM
Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1)
ta có: f '(t ) = 3t 2 + 3 +
2t - 1
2
> 0 nên f(t) là hàm đồng biến
2 t - t +1
Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì y = f ( x) ³ f ( y) = z Þ z = f ( y) ³ f (z) = x
Vậy ta có x=y=z. Vì phương trình x3 + 2 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = 0 có nghiệm duy nhất
x=1 nên hệ đã cho có nghiệm là x=y=z=1
ì x2 - 2 x + 6 log (6 - y) = x
3
ï
ï
Bài 8: Giải hệ: í y2 - 2 y + 6 log3 (6 - z) = y (HSG QG Bảng A năm 2006)
ï 2
ï z - 2 z + 6 log3 (6 - x) = z
ỵ
ì
x
ïlog3 (6 - y) =
ï
x2 - 2 x + 6
ì f ( y) = g( x)
ï
y
ï
ï
Giải: Hệ Û ílog3 (6 - z) =
Û í f ( z) = g( y)
2
y - 2y + 6
ï
ï f ( x) = g( z)
ỵ
ï
z
ïlog3 (6 - x) =
ïỵ
z2 - 2 z + 6
Trong đó f (t ) = log 3 (6 - t ) ; g (t ) =
Ta có f(t) là hàm nghịch biến, g '(t ) =
t
2
t - 2t + 6
6-t
(t
2
- 2t + 6
vi t ẻ (-Ơ;6)
)
3
> 0 "t ẻ (-Ơ;6) ị g(t) là hàm đb
Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có:
log 3 (6 - x) =
x
2
x - 2x + 6
phương trình này có nghiệm duy nhất x=3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3.
Người biên soạn: Hồ Đình Sinh
Email:
Gửi đăng ở www.mathvn.com
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương
12
