thuvienhoclieu.com
Bài 5. GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG.
BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn
Là góc có đỉnh nằm bên trong đường trịn, mỗi góc
có đỉnh bên trong đường trịn, một cung nằm bên trong
góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của nó. Góc
là góc có đỉnh ở bên trong đường trịn chắn cung
và
.
ĐỊNH LÍ. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường
trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
2. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
Là góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, các cạnh đều có điểm chung với
đường trịn. Các góc có đỉnh
trịn.
trong hình vẽ là góc có đỉnh ở bên ngồi đường
ĐỊNH LÍ. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai
cung bị chắn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau
Sử dụng định lý về số đo góc có đỉnh ở bên trong đường trịn và góc có đỉnh ở bên ngồi
đường trịn.
Ví dụ 1. Cho đường trịn
,
. Đường thẳng
giác cân.
hai dây
cắt dây
,
. Gọi
,
tại
và cắt dây
lần lượt là điểm chính giữa của cung
tại
. Chứng minh
Lời giải
thuvienhoclieu.com
Trang 1
là tam
thuvienhoclieu.com
Ta có
.
cân tại
.
Ví dụ 2. Qua điểm
nằm bên ngồi đường trịn
trịn. Tia phân giác góc
cắt dây
tại
vẽ tiếp tuyến
. Chứng minh
và cát tuyến
của đường
.
Lời giải
Ta có
(góc ngồi của tam giác)
(1)
(2)
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến)
(
là phân giác)
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có
Suy ra
cân tại
Vậy
(3)
.
.
.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vng góc hoặc các đẳng thức cho trước
Sử dụng định lý về số đo góc có đỉnh ở bên trong đường trịn và góc có đỉnh ở bên ngồi
đường trịn.
Ví dụ 3. Cho
cung bị chắn
,
nội tiếp đường tròn. Gọi
,
,
.
a) Chứng minh
b) Gọi
bởi các góc
,
,
,
theo thứ tự là các điểm chính giữa của các
.
là giao điểm của
,
. Chứng minh
cân.
Lời giải
a) Chứng minh
Gọi
là giao điểm của
.
và
.
thuvienhoclieu.com
Trang 2
thuvienhoclieu.com
Ta có
là góc có đỉnh bên trong
.
Suy ra
.
Vậy
tại
.
b) Chứng minh
cân.
Ta có
.
cân tại
.
Ví dụ 4. Cho tam giác
nội tiếp đường trịn
ở và cắt đường tròn theo thứ tự ở
và .
a) Chứng minh
và góc
cân.
b) Chứng minh
c) Gọi
. Các tia phân giác của góc
là đường trung trực của
là giao điểm của
và
.
. Chứng minh
.
Lời giải
a) Chứng minh
cân.
Ta có
.
cân tại
.
b) Chứng minh
Ta có
là đường trung trực của
và
.
.
thuvienhoclieu.com
Trang 3
cắt nhau
thuvienhoclieu.com
Suy ra
và
Mặt khác
cân tại
.
là phân giác (vì
c) Chứng minh
có
) nên
là đường trung trực của
.
.
và
là phân giác.
là phân giác.
Suy ra
.
Mặt khác
(
Suy ra
thuộc trung trực của
) nên
.
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên một đường tròn lấy ba cung liên tiếp
bằng
. Hai đường thẳng
cắt nhau tại
a)
và
,
cắt nhau tại
,
sao cho số đo các cung
,
. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại
,
và
. Chứng minh
;
b)
là tia phân giác của
.
Lời giải
a)
.
Ta có
.
là tia phân giác của
.
Ta có
.
là tia phân giác của
Bài 2. Cho
. Chứng minh
vng ở
.
. Đường trịn đường kính
cắt
tại
. Tiếp tuyến ở
.
thuvienhoclieu.com
Trang 4
cắt
ở
thuvienhoclieu.com
Lời giải
nội tiếp đường trịn đường kính
Suy ra
.
vng tại D.
Ta có
(hai tiếp tuyến cắt nhau)
cân tại
.
(1)
Ta có
.
(2)
Ta có
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có
Suy ra
.
cân tại
. Vậy
Bài 3. Cho đường trịn
tuyến
.
và điểm
nằm bên ngồi đường trịn. Từ
tới đường trịn (
a) Phân giác
b)
tại
,
,
và cát
).
cắt dây cung
cắt
kẻ tiếp tuyến
cắt
ở
. Chứng minh
tại
,
cắt
.
tại
. Chứng minh
.
Lời giải
a) Chứng minh
.
Ta có
(góc ngồi của tam giác);
Ta có
;
Ta có
(2)
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến);
Ta có
(
Suy ra
cân tại
Vậy
.
b) Chứng minh
là giao điểm của
(3)
là phân giác);
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có
Gọi
(1)
(4)
.
.
.
và
.
thuvienhoclieu.com
Trang 5
thuvienhoclieu.com
Suy ra
tại
.
Ta có
là trung trực của
.
Ta có
.
Bài 4. Từ điểm
của đoạn
nằm bên ngồi đường trịn
vẽ cát tuyến
lượt cắt đường trịn
a)
tại
với đường tròn (
và
;
, vẽ tiếp tuyến
b)
với đường tròn. Qua trung điểm
). Các đường thẳng
và
lần
lấy một điểm
. Gọi
. Chứng minh
.
Lời giải
a)
.
Ta có
(góc ngồi của tam giác).
Mà
(hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) nên
.
.
(g-g).
.
(c-g-c).
.
.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho đường tròn
là giao điểm của
hai dây
và
và
. Chứng minh
bằng nhau. Trên cung nhỏ
.
Lời giải
Ta có
thuvienhoclieu.com
Trang 6
thuvienhoclieu.com
.
Mặt khác
nên
Bài 6. Cho
tuyến tại
và
.
là hai đường kính vng góc của
cắt
ở
, đoạn thẳng
cắt
ở
. Trên cung nhỏ
. Chứng minh
lấy điểm
. Tiếp
.
Lời giải
Ta có
.
cân tại
.
.
Bài 7. Cho
,
,
là ba điểm thuộc đường trịn
phân giác của góc
vng góc
.
cắt đường trịn ở
sao cho tiếp tuyến tại
, tia phân giác của góc
cắt
cắt tia
ở
(góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung)
Ta có
(
là phân giác)
Từ (1), (2) và (3) ta có
Suy ra
Mà
Vậy
(1)
(2)
Ta có
cân tại
tại
(3)
.
.
là phân giác nên
là đường cao.
.
thuvienhoclieu.com
. Tia
. Chứng minh
Lời giải
Ta có
tại
Trang 7
thuvienhoclieu.com
Bài 8. Cho đường tròn
và điểm
tuyến
với đường tròn (
Chứng minh
a)
nằm ngồi đường trịn đó. Từ
). Phân giác góc
;
cắt
b)
kẻ tiếp tuyến
tại
, cắt đường trịn ở
.
Lời giải
a)
.
Ta có
(góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung)
Ta có
(1)
(2)
Ta có
(
là phân giác)
Từ (1), (2) và (3) ta có
Suy ra
cân tại
Vậy
.
(3)
.
.
.
và
có
(g-g).
.
--- HẾT ---
thuvienhoclieu.com
và cát
Trang 8
.
