Skkn phân loại và rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình cho học sinh trong môn toán lớp 9

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Phân loại và rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập
hệ phƣơng trình cho học sinh trong mơn Tốn lớp 9”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn THCS.
3. Tác giả
Họ và tên: (Nữ)
Ngày tháng 0 năm
Trình độ chuyên mơn: Đại học SP Tốn
Chức vụ, đơn vị cơng tác: GiáoViên Trường THCS .
Điện thoại:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THCS– – .
Địa chỉ: .
Điện thoại:
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:
Tên đơn vị:
6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
GV: Phải đầu tư thời gian nghiên cứu, phương pháp dạy học và phân dạng
bài tập để nâng cao hiệu quả dạy học khi thực hiện.
HS: Phải tích cực, chủ động, chuẩn bị sách giáo khoa, các tài liệu tham
khảo.

Đảm bảo đủ yêu cầu về cơ sở vật chất tối thiểu.
7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu. Năm học 2018 – 2019
HỌ TÊN TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

1

skkn


TĨM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến
Tốn học là một mơn khoa học có tính tư duy cao và trừu tượng – địi hỏi
tính hệ thống, lơgic. Để giải quyết một bài toán, một yêu cầu đề ra địi hỏi người
giải tốn phải có một hệ thống kiến thức nhất định nào đó, cùng các kỹ năng và
các phương pháp giải toán tương ứng, đặc biệt là khả năng tư duy phân tích, tổng
hợp, suy luận Tốn học.
Qua thực tế khi giảng dạy bộ mơn Tốn ở trường THCS, tơi ln tìm hiểu
các phương pháp dạy học để rèn kĩ năng làm bài cho HS, kích thích tinh thần tự
học, giúp học sinh tiếp thu bài nhanh và hiệu quả. Trong đó chương trình học
mơn Đại số 8 và đặc biệt là q trình ơn tập cho học sinh thi vào trường THPT,
tôi nhận thấy học sinh lớp 8 khi mới bắt đầu tiếp cận với dạng tốn “ Giải bài
tốn bằng cách lập phương trình” hầu hết các em đều cảm thấy rất khó, thậm chí
cịn khơng hiểu cơ giáo lập được phương trình do đâu? Dựa vào đâu? Đây quả
thực là một vấn đề tôi rất băn khoăn và lo lắng. Vì vậy khi được phân cơng dạy
lớp 9, thiết nghĩ vấn đề khó chưa được giải quyết nên tơi mạnh dạn tìm hiểu về
dạng toán " Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình " để giúp các em phân
dạng Tốn, nhận dạng Toán, cách giải từng dạng toán trong chuyên đề này… Vì
vậy tơi mạnh dạn nghiên cứu và viết sáng kiến “Phân loại và rèn kỹ năng giải
bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình cho học sinh mơn Tốn lớp 9”.
2. Điều kiện, thời gian, đối tƣợng áp dụng sáng kiến
* Điều kiện:

Giáo viên: Đạt trình độ chuẩn trở lên.
Học sinh: Phát triển bình thường.
Cơ sở vật chất: Đảm bảo yêu cầu tối thiểu.

* Thời gian: Áp dụng từ năm 2017 - 2018.
* Đối tượng: Học sinh khối 9.
3. Nội dung sáng kiến: Nghiên cứu sáng kiến “Phân loại và rèn kỹ năng
giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình cho học sinh mơn Tốn lớp 9”.
Trong đề tài, tơi trình bày sáu vấn đề, tương ứng với 6 dạng Tốn:
- Dạng 1: Tốn về tìm số.
2

skkn


- Dạng 2: Toán chuyển động
- Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng cơng việc
- Dạng 4: Tốn có nội dung hình học.
- Dạng 5: Tốn năng suất ( tăng, giảm)
- Dạng 6: Các dạng toán khác.
: Bắt đầu từ một bài tốn cơ
bản, đơn giản rồi sau đó khai thác bài toán để mở rộng, nâng cao để được những
bài tốn mới khó hơn, đa dạng hơn.

,

- Giúp các em tự mình khám phá ra kiến thức, cách giải bài tốn một cách
chủ động theo từng dạng bài khơng bị gị ép bắt buộc - để từ đó các em hiểu hơn,
nắm chắc hơn, nhớ lâu hơn, hơn thế nữa nó cịn gây hứng thú học tập cho các em.
Giúp cho bản thân tôi và các giáo viên giảng dạy bộ mơn Tốn có một bộ tài liệu
đã được phân dạng để giảng daỵ cho học sinh.
4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt đƣợc của sáng kiến:
Chúng ta biết rằng: Khi dạy ôn luyện cho học sinh nếu giáo viên đưa cho
học sinh một bài tốn bất kì hay một bài tốn khó mà để HS giải được thì chắc

chắn các em rất bỡ ngỡ - khó tìm ra lời giải. Nếu giáo viên có hướng dẫn hay
chữa bài thì mức độ lĩnh hội tiếp thu của các em cũng rất hạn chế. Do đó khi dạy
ơn luyện bộ mơn Tốn học chúng ta nên phân dạng bài và dạy bắt đầu từ một bài
toán cơ bản, đơn giản rồi sau đó khai thác bài tốn để mở rộng, nâng cao - Điều
này sẽ phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh từ thấp đến cao, từ đơn giản
đến phức tạp, để từ đó các em hiểu hơn, nắm chắc hơn, nhớ lâu hơn, hơn thế nữa
nó cịn gây hứng thú học tập, phát huy được năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề
cho các em học sinh.
Trước đây, khi dạy học về dạng toán " Giải bài tốn bằng cách lập hệ
phương trình”, tơi chưa phân dạng bài tập, mà mới chỉ cho các em làm lần lượt
3

skkn


các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập. Đơi khi các bài tập khó thì học
sinh lại được làm trước, bài tập dễ thì lại làm sau. Do đó các em gặp khó khăn
khi làm các bài tập khó, chưa tự mình phân dạng bài tập và chưa vận dụng các
bài tập cơ bản vào trong các bài toán nâng cao. Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã
hướng dẫn cho các em phương pháp chung để giải bắt đầu từ bài tập dễ, nâng dần
khó hơn. Từ đó các em đã có những bài giải tổng quát hơn, biết nhận ra dạng bài
tập để áp dụng phương pháp đã học vào giải nhanh, câu từ chính xác. Ngồi ra
với các bài tốn đã học ở chương trình lớp 8 tơi cũng đã giúp các em đưa về dạng
toán trong lớp 9 với cách giải dễ hiểu, đơn giản hơn.
Với mỗi dạng bài tập, tôi đều dự kiến sai lầm của học sinh để rút kinh
nghiệm cho các em. Kết quả sau khi áp dụng đề tài này, tôi thấy học sinh ở lớp
tôi dạy hứng thú học tập hơn, khơng cịn ngại làm các bài tập về giải bài tốn
bằng cách lập hệ phương trình và đây là một kết quả tốt mà tôi đã nhận được.
5. Đề xuất, kiến nghị để mở rộng kiến thức:
* Đối với học sinh: Cần nghiên cứu bài, học thuộc và quen dần với các dạng bài

tập. Ngôn ngữ sử dụng để lập luận cần trau truốt, chính xác. Tự tin và có hứng
thú học tập mơn Tốn.
* Đối với giáo viên: - Nghiên cứu kỹ hệ thống chương trình SGK ở bộ mơn Tốn
và các tài liệu có liên quan. Xác định được mục tiêu, nhiệm vụ và nội dung của
bộ mơn Tốn.
- Đặc biệt giáo viên phải kiên trì, tỉ mỉ, đầu tư thời gian, thường xuyên hỏi
từng dạng toán trong chuyên đề.
* Đối với nhà trƣờng và các cấp quản lí: Cần tiếp tục tổ chức các chun đề
mơn Tốn trong phạm vi rộng hơn để giáo viên dạy mơn Tốn có dịp trao đổi và
học tập được nhiều hơn. Đồng thời đóng góp ý kiến, chỉ đạo để tơi tiếp tục hồn
chỉnh sáng kiến và tạo điều kiện cho tôi tiếp tục triển khai trong nhà trường để
góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn tại trường THCS.

MƠ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến

4

skkn


Mơn Tốn là mơn học khó, khó đối với học sinh trong việc lĩnh hội và vận
dụng các kiến thức, khó đối với giáo viên trong việc tổ chức dạy học như thế nào
để học sinh học tốt, đặc biệt là dạng tốn có lời văn. Kiến thức mà học sinh thu
nhận được chủ yếu thông qua các câu từ có trong đề bài, học sinh phải biết cách
suy luận để từ đó hình thành nên các phương trình thì lúc đó mới giải được bài
tập. Vì thế để giúp học sinh lĩnh hội và vận dụng được các kiến thức thì giáo viên
cần phải tổ chức tốt các hoạt động dạy học khi dạy phân tích đề bài trong dạng
tốn giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình ở mơn Tốn 9.
Trong q trình giảng dạy bộ mơn tốn tơi thấy phần kiến thức về giải bài

tốn bằng cách lập hệ phương trình này có nội dung và phạm vi rất rộng, nó bao
gồm tất cả các bài toán từ thực tế đến suy luận, logic… Từ những bài toán
chuyển động trên đường, dưới nước, những bài toán tìm số đến những bài tốn
thực tế hơn như hai người làm chung, làm riêng một công việc, hay bài toán với
việc tăng năng suất lao động hay với bài tốn xếp ghế theo hàng theo dãy …vv.
Để từ đó hình thành cho học sinh kiến thức thực tế mà học sinh có thể áp dụng,
vận dụng trực tiếp vào cuộc sống khi các em dời ghế nhà trường.
Nhận thức rõ đặc trưng bộ mơn và thực tế tình hình học tập của các em trong kì
thi vào THPT tơi đã đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm: “Phân loại và rèn kỹ
năng giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình cho học sinh mơn Tốn
lớp 9”. Rất mong sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn
chỉnh.
2. Cơ sở lý luận của vấn đề
Như chúng ta đã biết khoa học ngày càng phát triển, địi hỏi mỗi giáo viên
phải nỗ lực hết mình đem hết khả năng và trau dồi kiến thức, chuyên môn của
mình để đáp ứng với yêu cầu nhiệm vụ phát triển của xã hội nói chung và của
ngành giáo dục nói riêng. Đối với học sinh cũng vậy nhu cầu học ngày càng một
sâu rộng hơn. Do đó địi hỏi kiến thức chương trình, phương pháp dạy học phải
thay đổi để phù hợp.Do đó qua q trình giải tốn kiến thức của người học được
củng cố đào sâu, mở rộng, sâu chuỗi các mối quan hệ ở đề bài với nhau để từ đó
có được lời giải. Giải tốn là hình thức tốt để rèn luyện các kĩ năng, cũng như để
5

skkn


hình thành nên các năng lực, mức độ tiếp thu và hình thành kiến thức của học
sinh.
Phát triển năng lực của HS thơng qua các bài tốn địi hỏi các em phải lý
luận chặt chẽ, các bài toán được áp dụng vào thực tế mà các em thường gặp có ý

nghĩa rất to lớn cho việc hình thành con người.
Trong chương trình học Tốn lớp 9 học sinh bắt đầu làm quen với:
2.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức
dạng: ax + by = c trong đó a, b và c là các số đã biết ( a

0 hoặc b

0)

- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm. Tập nghiệm
được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c (d).
2.2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: có dạng:

ax

by

'

c

'

a x

b y

c

'

- Nếu hai phương trình ấy có 1 nghiệm chung thì hệ đó có nghiệm duy nhất.
- Nếu hai phương trình ấy khơng có nghiệm chung thì hệ đó vơ nghiệm.
- Nếu hai phương trình ấy có vơ số nghiệm chung thì hệ đó vơ số nghiệm.
2.3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho ( PT 1) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn
kia rồi thế ( thay) vào phương trình thứ hai để được phương trình mới chỉ có một
ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
2x

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

x
y

2x

3

y

2x

5x

6

4

x

2

3

x

2

y

1

y

3

y

2x

2y

4

x

2(2 x

3
3)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (2; 1).
2.4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

6

skkn

4


Bước 1: Nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp ( nếu cần) sao
cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc
đối nhau.
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có
một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương
trình đã cho.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

2x
x

3x

9

x

y

6

x

3

x

y

x
6

y
y

3
6

3

y

3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (3;-3)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
6x

4y

14

5y

5

6x

9y

9

2x

3y

y

1

2x

3y

x
3

3x

2y

7

(1 )

2x

3y

3

(2)

3

3

y

1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (3;-1)
2.5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Ta xét ví dụ sau: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a)

u
3u

1

1

x

y

3

4

x

y

v

1

Đặt u =

1

,v=

x

3u
5

3u

3v
4v

(x; y

0) thì ta có hệ phương trình mới

y

5

1
4v

1

3
5

7v
u

v

2
v

1

u

1

2

9
x

7

7

x

7

9

9

1

2

7

7

y

7

y

7

7

9

2

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là (x; y) = ( ;

(T/m) .

2

)

2.6. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn:

Cho phương trình bậc hai:

ax

2

+ b x + c = 0 (a

7

skkn

0)

Ta có:

= b2 - 4ac


+) Nếu
+) Nếu
+) Nếu

>0
=0
<0

PT có hai nghiệm phân biệt:
PT có nghiệm kép là:

x1

x2

b
x1

,
2a

b
x2

2a

b
2a

PT vô nghiệm.

Như vậy để “Phân loại và rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng
trình cho học sinh mơn Tốn lớp 9” các em phải nắm chắc lượng kiến thức
trên, có giải thành thạo các loại hệ phương trình và phương trình thì chuyên đề
này mới thành cơng. Chính vì vậy, điểm nhấn của sáng kiến này cịn ở các bước
giải hệ phương trình và giải phương trình nữa. Xin được trao đổi cùng các đồng
nghiệp một số kinh nghiệm về sáng kiến đã chọn.
3. Thực trạng của vấn đề
3.1. Thuận lợi:
- Nội dung chương trình SGK được đổi mới giảm nhẹ tính lý thuyết, tăng
các ví dụ và các bài luyện tập: Thời lượng dành cho lý thuyết cũng đă giảm, chỉ

chiếm 60% tổng thời lượng. Thời gian dành cho bài tập, luyện tập, ôn tập và thực
hành được tăng lên, giúp khắc sâu kiến thức cho học sinh hơn.
- GV được tham gia đầy đủ các lớp bồi dưỡng chuyên môn về đổi mới nội
dung chương trình SGK, đổi mới phương pháp dạy học, các buổi sinh hoạt
chuyên môn liên trường cho phù hợp với đối tượng HS.
- Thư viện nhà trường, thiết bị dạy học tương đối tốt. Tài liệu tham khảo
phong phú nên giáo viên có điều kiện mượn và sử dụng các loại sách, máy chiếu,
máy tính ... thiết bị dạy học thuận lợi cho việc vận dụng đổi mới phương pháp và
ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học có hiệu quả.
3.2. Khó khăn: Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu.
Khi giảng dạy trên lớp tôi đã gặp một số bài toán về giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình, tơi thấy học sinh thường rất lúng túng trong việc làm
bài tập, không biết là lập hệ phương trình từ đâu. Điều này một phần do giáo viên
chưa tìm ra phương pháp phù hợp để học sinh được chủ động, sáng tạo tìm tịi
kiến thức. Trong quá trình giảng dạy, phát triển tư duy sáng tạo của học sinh có
tầm quan trọng đặc biệt. Giáo viên cịn giảng dạy áp đặt cho học sinh vì vậy chưa
8

skkn


tạo sự hứng thú trong học tập cho học sinh, chưa rèn cho học sinh kĩ năng làm
bài. Trước khi thực hiện việc này, tôi đã thực hiện việc khảo sát mơn Tốn của 2
lớp 9 với nội dung kiểm tra như sau:
Đề kiểm tra (Thời gian làm bài 20 phút). Tổng các chữ số của một số có hai chữ
số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng 2 chữ số
nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?
Đáp án

Câu

Gọi chữ số hàng chục là x ( ( 0

Câu 1

Chữ số hàng đơn vị là y

< x

(0 < y

9, y

Điểm
9, x

1đ

N)

N)

1đ

Vì tổng 2 chữ số là 9 ta có PT: cã x + y = 9 (1)
Số ban đầu là:

xy

10x

y

1đ

Số viết ngược lại là

yx

10y

x

Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được số 2 chữ

1đ

số nhưng theo th t ngc li, cú PT:
10x

Từ
x

(1)
y

9x

y

63

10y

và

(2)

ta

9
9y

x

1

y

8

63

x

có

x

y

x

y

9

9x

hệ

9y

ph-ơng
2x

7

6 3(2 )

x

trình:
2

2
y

1

9

2
(th o ¶ m · n ® iỊ u k iƯ n )

1đ

Vậy số phải tìm là 18.
* Thu được kết quả như sau.
Giỏi

Khá

Yếu

TB

Lớp

Sĩ số

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

9A

30

5

16.7

6

20

15

50

4

13.3

9B

30

5

16.7

7

23.3

14

46.7

4

13.3

4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
4.1. Kiến thức cơ bản: Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT:

9

skkn


Bƣớc 1: Lập hệ phương trình:
a) Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua các ẩn và các đại lượng đã
biết.
c) Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bƣớc 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.
Bƣớc 3: Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình với điều kiện của ẩn và kết luận cho bài
toán.
* Vậy để giải một bài toán chúng ta cần đảm bảo các yêu cầu sau:
- Trước tiên GV hướng dẫn học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải
khơng có sai sót về kiến thức, phương pháp suy luận, kỹ năng tính tốn, ký hiệu,
điều kiện của ẩn; rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét
đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn xem đã hợp lý chưa.
- Đó là trong quá trình thực hiện từng bước thì việc chọn ẩn chính xác là
rất quan trọng, có chọn ẩn đúng thì bài tốn giải mới đúng được. Chính vì vậy,
học sinh cần hiểu được đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện của bài toán đã
cho. Từ đó xác định hướng đi, thường thì đề tốn hỏi gì, thì ta chọn đó là ẩn của
bài tốn. Tuy nhiên có một số trường hợp khơng phải như vậy, yêu cầu phải đọc
kĩ đề bài và phân tích từng ý của bài toán. Nhờ mối tương quan giữa các đại
lượng trong bài toán thiết lập được các phương trình từ đó tìm được giá trị của
ẩn, lời giải bài tốn lập luận phải có căn cứ chính xác.
- Hướng dẫn học sinh khơng được bỏ sót chi tiết, dữ kiện nào của bài.
Không được thừa nhưng cũng không được thiếu. Hướng dẫn học sinh cách kiểm
tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã phù hợp với nội dung
của đề bài, kiểm tra với các điều kiện khác thì kết quả vẫn ln ln đúng, vì vậy
lời giải phải đầy đủ và mang tính tồn diện, nên chọn cách ngắn ngọn nhất để
trình bày bài làm.
- Lời giải bài tốn phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên kiểm tra lại: Lưu ý đến
việc giải các bước lập luận để đưa ra các phương trình (lưu ý bài tốn có 2 ẩn
chính vì vậy cũng có 2 dữ kiện của bài tốn). Vậy cần hướng dẫn cho học sinh có
10

skkn

thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài
tốn, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai.
4.2. Một số dạng bài tập thƣờng gặp.
* Phân loại dạng toán giải bài tốn bằng cách lập phương trình
Thơng qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Tốn về tìm số.
- Dạng 2: Toán chuyển động
- Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng cơng việc
- Dạng 4: Tốn có nội dung hình học.
- Dạng 5: Tốn năng suất ( tăng, giảm)
- Dạng 6: Các dạng toán khác.
* Trong khi thực hiện lời giải bài toán, học sinh cần thiết phải làm các bước thực
hiện chi tiết sau:
- Bước 1: Đọc kỹ đề bài (cần thuộc đề bài), tiến hành phân tích bài toán.
- Bước 2: Đặt ra câu hỏi, nên chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện
của ẩn thế nào cho thoả mãn. ( Thường thì ta nên chọn ẩn theo đề bài, tức là sử
dụng câu hỏi để chọn ẩn của bài toán. Đây là cách chọn ẩn trực tiếp, ngồi ra với
một số bài tốn thì ta cần chọn ẩn gián tiếp mới làm được bài).
+ Ví dụ về cách chọn ẩn trực tiếp:
Bài tốn: Hai người đi xe máy khởi hành cùng 1 lúc từ A đến B dài 120 km. Biết
rằng mỗi giờ người thứ hai đi chậm hơn người thứ nhất là 6 km nên đến B chậm
hơn người thứ nhất là 40 phút. Tính vận tốc của mỗi người?
Ta gọi vận tốc của người thứ nhất là x km/h
Gọi vận tốc của người thứ 2 là y km/h
+ Ví dụ về cách chọn ẩn gián tiếp:
Bài tốn: Một ca nơ xi dịng 30 km rồi ngược dòng 36 km. Vận tốc ca nơ xi
dịng lớn hơn vận tốc ca nơ ngược dịng là 3 km/h. Tính vận tốc ca nơ lúc ngược
dịng. Biết thời gian ca nơ lúc ngược dịng lâu hơn thời gian lúc xi dịng là 1
giờ.
Ta gọi vận tốc của ca nô lúc nước yên lặng ( vận tốc thực) là x (km/h)

11

skkn


- Bước 3: Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết trong đề
bài, dựa vào các cơng thức, tính chất để xây dựng các phương trình. Thường thì,
bài tốn có hai ẩn nên dữ liệu của bài tốn của có 2 dữ kiện, đọc kĩ bài và xét
xem dữ liệu nào cần thiết để cho ra các phương trình. Muốn cho bài tốn dễ hiểu
hơn, hãy chọn cách lập bảng – viết các đại lượng đã biết và chưa biết vào bảng,
các thành phần tham gia trong bài để lập nên các phương trình. Và cũng từ bảng
lập ra, yêu cầu HS quan sát vào bảng để viết lên lời giải một cách chi tiết và rõ
ràng. Kết hợp 2 phương trình để giải hệ phương trình, đối với dạng tốn cơng
việc thì giải hệ phương trình cần phải đặt ẩn phụ.
- Bước 4: Vận dụng các kỹ năng giải hệ phương trình như giải bằng
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ.. ( đã nêu
trên) để tìm nghiệm của hệ phương trình.
- Bước 5: xét nghiệm của hệ phương trình với điều kiện đặt ra của bài tốn,
với thực tiễn xem có phù hợp khơng? Sau đó trả lời, kết luận bài tốn.
- Bước 6: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng cho
học sinh khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý học sinh biến đổi bài toán đã
cho thành bài toán khác bằng cách: Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác.
Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác. Giải bài toán bằng cách khác,
tìm cách giải hay nhất.
4.2.1. Dạng 1: Tốn về tìm số.
Những kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số

ab

b ( víi 0
10a

9; 0

b

9;a, b

N)

+ Biểu diễn số có ba chữ số :
abc

100a

10b

c ( víi 0
9; 0

b ,c

9;a, b, c

N)

+ Tổng hai số x; y là: x + y. Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2

+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục bằng hai
lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ
nhất có hai chữ số ?

12

skkn


Hƣớng dẫn giải:
- Bài toán cho biết và yêu cầu làm gì?
- Chọn ẩn như thế nào? Điều kiện của n ra sao?
- Vi d kin: chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm 2 ta
được phương trình nào?
+ Dữ kiện: Tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số? Ta
cần biết số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số là số nào? Tổng của 2 chữ số được
viết như thế nào? Từ đó lập phương trình thứ hai.
- Giải hệ hai phương trình trên ta có được kết quả của bài toán.
- Lưu ý: chữ số hàng chục viết trước, chữ số hàng đơn vị viết sau.
Gii chi tit:
Gọi số phải tìm là

N ; 1 a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 )

( a;b

ab

Vì chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm 2 nên ta có PT:

a = 2.b + 2 (1)
Vì tổng của 2 chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số, ta có PT:
a + b = 11 (2)
Từ (1) và (2) ta cú hệ ph-ơng trình :

a

2 .b

a

b

2
11

Giải hệ này ta tìm đ-ợc : a = 8 ; b = 3 (t/m). Vậy số phải tìm là : 83
Vớ d 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85.
Giải: Gọi số bé là x ( x

N

). Số lớn là y

Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + y2 = 85(1)
Vì 2 số tự nhiên liên tiếp nhau ta có PT: y= x+ 1( 2)
Ta thay (2) và (1) được:
x
x

2

x

2

b

x
2

2

2x

1

42

4 ac

85

2x

2

2x

84

0

0
1

2

4 .1 .( 4 2 )

169

0

169

13

Phương trình có hai nghiệm là:
x1

1

13

6 ( th o ¶ m · n ® iỊ u k iƯ n ); x

2

13

skkn

1
2

13
2

7 ( lo ¹ i)


Thay x = 6 vào PT (2) y = 6 + 1 = 7. Vậy hai số phải tìm là 6 và 7.
*) Trong bài tập ở ví dụ 2 ngồi cách giải bài tốn bằng hệ PT tơi có thể yêu cầu
các em giải bài toán bằng cách lập PT để so sánh xem các nào dễ hơn, HS hiểu
hơn, tiếp thu nhanh hơn để từ đó có thể hướng các em đến các cách giải.
- Đây là dạng bài toán tương đối đơn giản, học sinh dễ nhận dạng, khi phân dạng
tốn này HS ln có các cách giải cụ thể, các em rất hào hứng với dạng tốn này.
- Ngồi ra ta cịn có các dữ liệu của bài toán như khi thêm vào số 1 giữa, hoặc
bên trái, bên phải chữ số đó. Rồi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau, cần chú ý đến từng
dữ kiện của bài tốn để làm chình xác. Ví dụ như:

ab

đổi chỗ hai chữ số là:

ba

4.2.2. Dạng 2: Toán chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:

Nếu gọi quãng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
S = v.t;

v

s

;t

t

s

.

v

Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dịng nước là v2 thì vận tốc ca nơ khi
xi dịng nước là v = v1 + v2.
Vân tốc ca nơ khi ngược dịng là v = v1 - v2.
- Chuyển động dưới nước có bè gỗ thả trơi hay quả bóng thả trơi trên sơng chính
là vận tốc của dịng nước.
Ví dụ 1: Một Ơ tơ du lịch đi từ A đến B, sau 17 phút Ơ tơ tải đi từ B về A. Sau khi
xe tải đi được 28 phút thì hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của xe du lịch hơn vận tốc
của xe tải là 20 km/h và quãng đường AB dài 88 km. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn giải:
- Đọc kĩ đề bài, xem bài tốn cho biết, u cầu tính gì? Chọn ẩn trực tiếp hay
chọn ẩn gián tiếp, điều kiện của ẩn.
- Lập bảng liên quan các đại lượng, thành phần tham gia bài tốn.
s

Ơ tơ du lịch

3

.x

v

t

x

3

4

Ơ tơ tải

7

4

y

.y

15

7
15

14

skkn


- Dữ kiện bài toán vận tốc của xe du lịch hơn vận tốc của xe tải là 20 km/h, ta có
được một phương trình.
- Vì ơtơ du lịch xuất phát 17 phút, ôtô tải mới đi và sau 28 phút thì hai xe gặp
nhau. Nên thời gian của hai xe đã đi đến vị trí gặp nhau là bao nhiêu?
- Như vậy trong bảng còn quãng đường s là chưa biết? Hãy biểu diễn đại lượng
chưa biết này thông qua ẩn.
- Cả quãng đường AB là 88 km. Vậy Phương trình lập được như thế nào?
Giải: Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h);
Vận tốc xe tải là y (km/h) (Điều kiện: x >y > 0).
- Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 km/h nên ta có
phương trình:

x

- y

(1)

= 20

- Quãng đường xe du lịch đi được trong 45 phút là:

3

.x

(km)

4

- Quãng đường xe tải đi được trong 28 phút là:

7

.y

(km)

15

Theo bài ra quãng đường AB dài 88km nên ta có phương trình:
3

7

.x

4

.y = 8 8

(2)

15

Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình:
x
3
4

.x

- y
7

= 20
.y = 8 8

x 45 x

y

= 20

28y = 5280

...

x = 80
y = 60

(thoả mãn)

15

Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 60 (km/h)
Ví dụ 2: Hai người đi xe máy khởi hành cùng 1 lúc từ A đến B dài 120 km. Biết
rằng mỗi giờ người thứ hai đi chậm hơn người thứ nhất là 6 km nên đến B chậm
hơn người thứ nhất là 40 phút. Tính vận tốc của mỗi người?
Hƣớng dẫn giải
Gọi vận tốc của người thứ nhất là x (km/h), đk: x > 0.
Gọi vận tốc của người thứ hai là y(km/h), đk: y > 0.
Vì mỗi giờ người thứ hai đi chậm hơn người thứ nhất là 6 km,
nên ta có PT: x – y = - 6 ( 1)

15

skkn


Thời gian người thứ nhất đi từ A đến B là

120

(giờ)

x

120

Thời gian người thứ hai đi từ A đến B là

(giờ)

y

Vì người thứ hai đi chậm hơn người thứ nhất 40 phút =

2

giờ

3

nên ta có PT:

120

120

2

y

x

3

(2 )

.
x

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ PT ta được:

y

6

x

y

120

120

2

120

y

x

3

y

x

36 (km / h )

y

30 (km / h )

6
120

2

y

3

6

( Thỏa mãn ĐK)

Vậy vận tốc của người thứ nhất là 36 km/h. Vận tốc của người 2 là 30 km/h.
Ví dụ 3: Trên cùng một dịng sơng, một cano chạy xi dịng 108 km và ngược
dòng 63 km hết tất cả 7 giờ. Nếu ca nơ xi dịng 81 km và ngược dịng 84 km
thì hết 7 giờ. Tình vận tốc thực của ca nơ và vận tốc của dịng nước?
Hƣớng dẫn giải:
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h),
vận tốc của dòng nước là: y (km/h) ( Điều kiện: x > y > 0)
Thì vận tốc xi dịng là: x + y (km/h), vận tốc ngược dòng là: x - y (km/h)
Vì thời gian xi dịng 108km và ngược dịng 63 km hết 7 giờ nên ta có phương
trình:

108

+

x + y

63

= 7

(1)

x - y

Vì thời gian xi dịng 81 km và ngược dòng 84 km hết 7 giờ nên ta có phương
trình:

81
x + y

+

84

= 7

(2)

x - y

108

Từ (1) và (2) ta có hệ PT:

63

+

x + y
81

84

+

x + y

Ta có hệ phương trình:

= 7

x - y

đặt: a =
= 7

x - y

108a +63 b = 7
8 1a

84b

7

16

skkn

1
x + y

;b=

1
x - y


a =

b =

1

1

27

x + y

1

1

21

x - y

1

=

=

27

x + y = 27

1

x - y = 21

x

= 24

( thoả mãn )

y = 3

21

Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h), vận tốc của dòng nước là: 3 (km/h)
*) Trong dạng toán này: Vấn đề đặt ra là các em nhận dạng rất tốt nhưng cách
giải dạng này thì cịn khó khăn đối với HS học khá, trung bình. Vì vậy tơi đã u
cầu các em tích cực luyện tập các bài toán dạng này để thành thạo hơn trong các
bước giải, lập nên các phương trình theo dữ kiện của đề bài. Trên đây tơi đã đưa
ra 2 ví dụ về chuyển động cùng chiều và chuyển động ngược chiều nhau để cho
thấy rõ sự khác nhau giữa 2 loại chuyển động này. Từ đó nhấn mạnh nội dung
của bài toán rất quan trọng đến việc lập ra các phương trình.
- Vì vậy trong khi giải tơi đã lưu ý các em, bài tốn cho chúng ta biết gì, thì các
em cần quy đổi hết về yếu tố của đề bài từ đó lập lên các PT theo dữ kiện của bài
toán: nắm chắc mối quan hệ giữa các đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian
và công thức S=v.t.
- Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về
A thì thời gian cả đi và về bằng thời gian thực tế chuyển động.
- Nếu hai thành phần tham gia chuyển động ngược chiều nhau, sau một
thời gian hai thành phần chuyển động gặp nhau thì có thể lập phương trình: S1 +
S

2

= S ( tức là quãng đường xe 1 đi và xe 2 đi được cộng lại bằng cả quãng

đường chuyển động của 2 xe).
- Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ
lệ nghịch với nhau.
- Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn so với dự định thì cách lập
phương trình như sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian
đến chậm bằng thời gian thực đi trên đường. Nếu thời gian của dự định đến
nhanh hơn dự định thì cách lập phương trình làm ngược lại phần trên.

4.2.3. Dạng 3: Tốn làm chung, làm riêng cơng việc
Những kiến thức cần nhớ:

17

skkn


- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được

1
x

cơng việc.
- Xem tồn bộ cơng việc, vịi nước chảy đầy bể là 1
Ví dụ 1: Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người
thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hồn thành được 25% cơng
việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hồn thành cơng việc trong bao lâu?
Giải: Ta có 25%=

1

.

4

Gọi thời gian một mình người thứ nhất hồn thành công việc là x(x > 0; giờ)
Gọi thời gian một mình người thứ hai hồn thành cơng việc là y(y > 0; giờ)
Trong một giờ người thứ nhất làm được

1

công việc

x

Trong một giờ người thứ hai làm được

1

công việc.

y
1

Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được

cơng việc.

16

Ta có phương trình:

1

1

1

x

y

16

(1 )

Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%=

1

cơng

4

việc. Ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có:

3

6

1

x

y

4

(2)

1

1

1

3

3

3

1

1

1

x

y

16

x

y

16

x

y

16

3

6

1

3

6

1

3

1

x

y

4

x

y

4

y

16

x

24

y

48

(t / m )

.

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong 24 giờ. Người
thứ hai hồn thành cơng việc trong 48 giờ.
Ví dụ 2: Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngơi nhà thì 2 ngày xong việc. Nếu
người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa
thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong cơng việc?
Giải:
Gọi thời gian để một mình người thứ nhất hồn thành cơng việc là x (x>2; ngày)

18

skkn


Gọi thời gian để một mình người thứ hai hồn thành công việc là y (x>2; ngày).
Trong một ngày người thứ nhất làm được

1

công việc

x

Trong một ngày người thứ hai làm được

1

công việc

y

Trong 1 ngày cả hai người làm được

1

công việc. Ta có PT:

2

1
x

+

1

1

=

(1)

2

y

Người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi người thứ hai làm trong 1 ngày thì xong
cơng việc ta có PT:

4

1

x

y

Từ (1) và (2) ta có hệ pt

1

(2)

1

1

1

1

1

1

x

y

2

x

y

2

4

1

3

1

x

y

x

2

1

x

6

y

3

(th o ả m à n đ k )

Vy ngi thứ nhất làm một mình xong cơng việc trong 6 ngày. Người thứ hai
làm một mình xong cơng việc trong 3 ngày.
Chú ý: Ngồi ra dạng tốn này để lập được hệ PT nhanh hơn, dễ hiểu và chính
xác hơn ta cịn có thể lập bảng để tìm ra các PT:

Bài 1: Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể khơng có nước thì trong 6 giờ đầy bể.
Nếu vịi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được

2
5

mỗi vịi chảy bao lâu thì sẽ đầy bể?
Vßi 1

Vßi 2

Cả 2 Vßi

Thêi gian HTCV

x

y

6

Năng suất 1h

1

1

1

x

y

6

3

2

y

5

Năng suất 2h

2
x

Năng suất 3h

* Ta có hệ Phương trình:

1

1

1

x

y

6

x

10

2

3

2

y

15

x

y

5

19

skkn

bể. Hỏi

* HS rất hứng thú với việc lập bảng và giải dạng bài này rất nhanh khi đã được
GV hướng dẫn chi tiết các bước giải. Đây là một thành cơng rất lớn của đề tài
này. Cũng vì vậy đã tạo được hứng thú và lôi cuốn HS trong các dạng cịn lại của
sáng kiến. Nên khuyến khích HS giải dạng toán này bằng cách lập bảng.
4.2.4. Dạng 4: Toán có nội dung hình học:
Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( x là chiều rộng; y là chiều dài)
- Diện tích tam giác

1

S

x .y

( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)

2

- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vng)
- Số đường chéo của một đa giác

n(n

3)

(n là số đỉnh)

2

Ví dụ 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết rằng
nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Hướng dẫn giải:
- Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào? Chọn ẩn? Đặt điều kiện cho ẩn?
( Bài tốn hỏi các kích thước của hình chữ nhật vậy ta chọn ẩn là chiều dài, chiều
rộng của hình chữ nhật lần lượt là x và y)
- Diện tích của hình chữ nhật tính bằng cơng thức nào? Viết phương trình?
- Nếu tăng kích thước hình chữ nhật thêm 3 cm vậy chiều dài, chiều rộng là bao
nhiêu? ( biểu diễn đại lượng này thơng qua ẩn).
- Diện tích tăng thêm, vậy ban đầu diện tích là bao nhiêu? Tính diện tích tăng
thêm, sau đó viết phương trình.
Giải:
Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm2) . Theo bài ra ta có pt x.y = 40 (1)
Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích hình chữ nhật là. Theo bài ra ta có pt :
(x + 3)(y + 3) – xy = 48  3x + 3y + 9 = 48 x + y = 13(2)
Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của PT: X2 – 13 X + 40 = 0
Ta có

( 13)

2

4 .4 0

9

0

3

20

skkn