Tiểu luận tiểu sử, công trình nghiên cứu của nhà toán học lobatchevsky và chứng minh mệnh đề

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG
KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN

TIỂU LUẬN

BÀI TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
Học phần: CƠ SỞ HÌNH HỌC
Mã học phần: A27013

KIÊN GIANG – 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG


KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN

MSSV: 210720

TIỂU SỬ, CƠNG TRÌNH
NGHIÊN CỨU
CỦA NHÀ TỐN HỌC LOBATCHEVSKY
VÀ CHỨNG MINH MỆNH ĐỀ

BÀI BÁO TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
Học phần: Cơ Sở Hình Học
Mã học phần: A27013
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
ThS. NGUYỄN THỊ KIM HOA

KIÊN GIANG – 2022
KHOA SƯ PHẠM VÀ XHNV

BỘ MƠN SƯ PHẠM

CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


PHIẾU ĐÁNH GIÁ
BÀI TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
Họ và tên giảng viên: ……………………………………………………………………....
Họ và tên sinh viên:.…………………………………….......…… MSSV: . ..……………........
Tên bài báo cáo:

……………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
Ý KIẾN NHẬN XÉT
1. Hình thức trình bày bài báo cáo:
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
2. Nội dung bài báo cáo:
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
3. Điểm số (theo thang điểm 10; lẻ 0,5):…………………………………
……………., ngày

tháng

năm 20 …

GIẢNG VIÊN


LỜI MỞ ĐẦU

Hình học nói chung là mơn học khá thú vị đối với mỗi sinh viên. Lịch sử phát triển Hình
học rất lâu đời với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống của con người. Đến giai đoạn của
Euclide, người ta được mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm “Nguyên lý” rất nổi tiếng
có tất cả 13 quyển. Tác phẩm “Ngun lý” trình bày cách xây dựng mơn Hình học bằng
phương pháp tiên đề. Trong tác phẩm, tác giả nêu ra các định nghĩa, định đề và tiên đề.
Trong đó có 5 định đề có nội dung quan trọng và vấn đề đặt ra là định đề 5 của Euclide
có phải là một định đề hay khơng? Hay nó có thể được chứng minh như một định lý?
Việc tìm lời giải cho bài tốn này đã thu hút rất nhiều nhà Toán học trong một thời gian
dài. Và chưa ai làm sáng tỏ được cho đến ngày 6/2/1826, vấn đề được giải quyết bởi nhà
Toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ơng đã trình bày nghiên cứu của mình
tại khoa Toán – Lý trường đại học Ka–zan (Nga).
Lobachevsky chứng minh rằng: không thể chứng minh định đề 5. Định đề 5 đúng là một
định đề chứ không phải định lý. Từ đó, ơng giữ ngun các định đề của Euclide và thay
định đề 5 bằng một mệnh đề phủ định, dựa vào đó chứng minh các định lý của các hệ
thống Hình học mới mà ngày nay ta gọi là Hình học phi Euclide hay Hình học

Lobachevsky.
Tiểu luận được trình bày gồm 3 chương:
+ Chương I: Tiểu sử của nhà tốn học Lobatchevski
+ Chương II: Các cơng trình nghiên cứu tiêu biểu của nhà toán học Lobatchevski
+ Chương III: Chứng minh một số mệnh đề
Tiểu luận được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học Kiên Giang với sự hướng
dẫn nhiệt tình của cơ Nguyễn Thị Kim Hoa.
Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, quý thầy cô khoa
Sư phạm trường Đại học Kiên Giang, cảm ơn các bạn lớp B021ST đã giúp tơi hồn
thành tiểu luận này trong suốt q trình học tập.
Xin chúc q thầy cơ được dồi dào sức khoẻ, hạnh phúc và công tác tốt.
Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên bài tiểu luận khó tránh
khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của q thầy cơ và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

iv


DANH MỤC KÝ HIỆU

: góc hình thành bởi hai tia
: Góc đo
: độ
: đoạn thẳng
: Vng góc
: Hằng số pi
: Tương đương
: Tam giác
: Lớn hơn hoặc bằng
: Bé hơn hoặc bằng

: Bằng nhau
: Vectơ
: Giao nhau
: cung AB

v


DANH MỤC HÌNH

Hình 1............................................................................................................................. 11
Hình 2............................................................................................................................. 11
Hình 3............................................................................................................................. 11
Hình 4............................................................................................................................. 12
Hình 5............................................................................................................................. 13
Hình 6............................................................................................................................. 13
Hình 7............................................................................................................................. 15
Hình 8............................................................................................................................. 15
Hình 9............................................................................................................................. 16
Hình 10...........................................................................................................................16
Hình 11...........................................................................................................................17
Hình 12...........................................................................................................................19
Hình 13...........................................................................................................................19
Hình 14...........................................................................................................................20
Hình 15...........................................................................................................................20
Hình 16...........................................................................................................................22
Hình 17...........................................................................................................................23
Hình 18...........................................................................................................................23
Hình 19...........................................................................................................................24
Hình 20...........................................................................................................................24

Hình 21...........................................................................................................................24
Hình 22...........................................................................................................................25
Hình 23...........................................................................................................................25
Hình 24...........................................................................................................................26
Hình 25...........................................................................................................................27
Hình 26...........................................................................................................................27
vi


Hình 27...........................................................................................................................28
Hình 28...........................................................................................................................29
Hình 29...........................................................................................................................29
Hình 30...........................................................................................................................30

vii


MỤC LỤC

Trang
LỜI MỞ ĐẦU......................................................................................................iv
DANH MỤC KÝ HIỆU.........................................................................................v
DANH MỤC HÌNH..............................................................................................vi
MỤC LỤC..........................................................................................................viii
NỘI DUNG............................................................................................................1
CHƯƠNG 1: TIỂU SỬ NHÀ TỐN HỌC...........................................................1
CHƯƠNG 2: TRÌNH BÀY CƠNG TRÌNH..........................................................4
TIÊN ĐỀ V (TIÊN ĐỀ LOBATCHEVSKI).................................................................4
MƠ HÌNH POINCARÉ CỦA HÌNH HỌC LOBATCHEVSKI....................................4
TRONG HÌNH HỌC LOBATCHEVSKY:...............................................................6

HÌNH HỌC LOBATCHEVSKY:..............................................................................6
1.

Định nghĩa khơng gian Lobachevsky và hình học Lobachevsky......................6

2.

Một số quy ước.................................................................................................6

3.

Các định nghĩa..................................................................................................7

4.

Khái niệm vng góc........................................................................................7

5.

Phương trình của phép dời hình trong Hn..........................................................8

6.

Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn.................................................................8

7.

Góc giữa hai đường thẳng.................................................................................9
.......................................................................................................................... 9

MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE......10
1.

MẪU ĐĨA POINCARE VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY.........................10

MẶT PHẲNG HYPERBOLIC TRONG MẪU ĐĨA POINCARE..........................11
Định nghĩa điểm của mặt hyperbolic.......................................................................11
Định nghĩa đường của mặt hyperbolic....................................................................11
Khoảng cách mêtric trên mặt hyperbolic.................................................................12
Định nghĩa khoảng cách hyperbolic từ A đến B......................................................12
Những đường thẳng song song................................................................................13
Định lý Lobachevsky..............................................................................................14
viii


Định lý (Tổng các góc của tam giác Hyperbolic)....................................................16
Định lý.................................................................................................................... 17
Định lý....................................................................................................................17
Định lý Pythagorean Hyperbolic.............................................................................17
2.

MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE.........................................17

Các định nghĩa........................................................................................................17
a)

Điểm...........................................................................................................17

b)

Đường thẳng..............................................................................................17

c)

Phép nghịch đảo........................................................................................17

d)

Góc.............................................................................................................18

e) Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc trong mẫu nửa trên mặt
phẳng Poincare..................................................................................................18
+ Mệnh đề..........................................................................................................19
CHƯƠNG 3: CHỨNG MINH CÁC MỆNH ĐỀ.................................................22
Mệnh đề 1................................................................................................................... 22
Mệnh đề 2................................................................................................................... 22
Mệnh đề 3................................................................................................................... 24
Mệnh đề 4................................................................................................................... 25
Mệnh đề 5................................................................................................................... 26
Mệnh đề 6................................................................................................................... 27
Mệnh đề 7................................................................................................................... 27
Mệnh đề 8................................................................................................................... 28
Mệnh đề 9................................................................................................................... 28
Mệnh đề 10.................................................................................................................29
Mệnh đề 11.................................................................................................................30
KẾT LUẬN.........................................................................................................31
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................1

ix

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC


Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1/12/1792 –
12/2/1856) là một nhà toán học Nga, người đã có
cơng rất lớn trong việc xây dựng hình học phi
Euclide, một bước phát triển mới thốt ra khỏi hình
học cổ điển, tạo cơ sở toán học cho lý thuyết tương
đối
rộng
sau
này.
Lobachevsky sinh tại Nizhny Novgorod,
Nga. Bố là Ivan Maksimovich Lobachevsky, thư ký
của một văn phòng luật, mẹ là Praskovia
Alexandrovna Lobachevskaya. Cha ông mất năm
1800, sau đó, mẹ và ông rời đến Kazan. Tại đó, ơng
theo học trường Kazan Gymnasium, tốt nghiệp năm
1807 và sau đó là trường Đại học Kazan. Tại đây,
ông được tiếp xúc với Martin Bartels (1769 – 1833), bạn của Carl Friedrich Gauss. Năm
1811, ông được chứng chỉ vật lý và toán học của trường ĐHTH Kazan. Năm 1814, ông
bắt đầu công tác giảng dạy và năm 1822, chính thức trở thành giảng viên trường ĐHTH
Kazan. Năm 1818, ông được mời làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Kazan. Ông đã
từng giữ nhiều chức trách khác nhau của trường cho đến năm 1846. 
Nhà toán học Gauss đã mời ơng làm viện sĩ nước ngồi Viện Hàn lâm Khoa học
Gottingen. 
Về đời riêng, ông lấy Varvara Alexivna Moisieva năm 1832 và có với bà bảy người
con. 

Ơng về hưu (hay có thể bị bãi nhiệm) năm 1846, và từ đó sức khỏe của ơng giảm một
cách nhanh chóng. Cuối cùng, ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép quyển
PANGE "OMETRRIE" nổi tiếng trong lịch sử hình học thế giới. 
Từ năm 1815 ông đeo đuổi phát minh ra hình học mới xây dựng dựa trên cơ sở
phủ định tiên đề 5 của Euclide. Các nhà toán học đương đời chưa hiểu ông nhưng ông
vẫn đeo đuổi cho tới cùng! Cho đến năm 1840, Gauss mới công nhận sự thành cơng của
phát minh do ơng và tứ đó Gauss cũng như các nhà toán học trẻ thế thới gọi hình học của
ơng là hình học ảo.
1


Hình học Lobachevsky là hình học do ơng xây dựng lên, từ ý tưởng khơng cơng
nhận tính thống nhất hệ thống các tiên đề do Euclide xây dựng. Khởi đầu, các nhà tốn
học đương thời gọi hình học do ơng xây dựng lên là hình học ảo, nhưng ngày nay hình
học Lobachevsky đã trở nên rất thực được kiểm chứng qua các kết quả nghiên cứu thiên
văn vũ trụ, và không gian Lobachevsky đã trở thành không gian thực.
Lobatchevsky không chỉ là một nhà hình học thiên tài. Ơng cịn có nhiều các cơng
trình có giá trị về giải tích và đại số. Về hình học, đầu tiên Lobatchevsky cũng định
chứng minh định đề V của Euclide, sau đó ơng tách ra từ hình học Euclide những gì
khơng phụ thuộc vào định đề đó – gọi là hình học tuyệt đối. Ông nảy ra ý định thay thế
định đề V bằng một tiên đề khác: “qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có khơng
chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó” rồi cố tìm ra những mau thuẫn.
Khơng tìm thấy một mâu thuẫn nào, Lobatchevsky đã nhận được một hệ thống hình học
khác nhiều với hình học Euclide. Nhưng nếu như các nhà tốn học trước ơng chỉ dừng
lại đó, hoặc là đã cơng bố một cách sai lầm là đxa tìm thấy mâu thuẫn, thì Lobatchevsky
đã cho rằng hệ thống hình học của mình cũng có quyền tồn tại như hình học của Euclide.
Trong thư gửi cho Gauss, ơng viết: “Mơn hình học này có vẻ như là một nghịch
lý và khác với quan niệm thông thường. nhưng phân tích một cách kỹ càng và bình tĩnh,
ta sẽ thấy rằng khơng hề có một sự vơ lí nào. Chẳng hạn, ba góc của một tam giác có thể
làm cho bé bao nhiêu cũng được nếu ta lấy các cạnh của nó đủ lớn; diện tích của tam

giác khơng thể lớn vơ cùng, thậm chí khơng thể đạt tới một giới hạn nị đó, dẫu cho các
cạnh của nó lớn bao nhiêu. Tất cả mọi cố gắng của tơi để tìm trong hình học phi Euclide
này những sự mâu thuẫn dều không đem lại kết quả. Chỉ có một điều duy nhất trái với
hiểu biết thơng thường của chúng ta là trong không gian (nếu hệ thống hình học này
đúng), mặc dầu chúng ta chưa biết. nhưng tơi nghĩ rằng chúng ta biết rất ít, hoặc thậm
chí cịn chưa biết gì về bản chất của khơng gian. Chúng ta không nên lẫn lộn cái khác
thường với cái khơng có thể có”.
Lobatchevsky cơng bố các kết quả nghiên cứu của mình về Hình học phi Euclide
vào ngày 23-02-1826. Đương thời, ơng bị mọi người khơng hiểu, thậm chí cịn có kẻ chế
diễu những ý kiến độc đáo của ông và môn hinhg học mới của ông khi đó được gọi là
mơn “hình học kỳ quặc”. Về cuối đời ông bị mù hẳn, nên ông phải đọc tác phẩm cuối
cùng “Hình học phẳng” cho thư ký chép.
Lobatchevsky có thể nói hình học của ơng dùng trong khơng gian rộng lớn, cịn
hình học của Euclide là dùng trong khơng gian nhỏ hẹp. Tuy vậy mà hình học của hai
người lại khơng đối đầu với nhau mà là cịn bổ sung cho nhau. Tồn bộ những suy nghĩ,
sáng tạo của ơng được đúc kết ở những tác phẩm sau:
2


-

Cơ sở hình học (1930)
Hình học ảo (1837)
Cơ sở mới của hình học (1838)
Khảo cứu mới về lý thuyết đường song song (1840)
Panego’me’trie

3

CHƯƠNG 2: TRÌNH BÀY CƠNG TRÌNH


TIÊN ĐỀ V (TIÊN ĐỀ LOBATCHEVSKI)
Tiên đề V’ được phát biểu như sau: Trong không gian có một đường thẳng a và
một A khơng thuộc a sao cho trong mặt phẳng xác định bởi a và A, qua điểm A có ít ra
là hai đường thẳng khơng có điểm chung với đường thẳng a. Như vậy, hình học Euclide
và hình học Lobathchevski có chung nhau một bộ phận chính là hình học tuyệt đối. Tuy
nhiên những phần khơng giống nhau của hình học Euclide và hình học Lobatchevski là
rộng lớn.
MƠ HÌNH POINCARÉ CỦA HÌNH HỌC LOBATCHEVSKI
Vào năm 1882, nhà toán học H. J. Poincare đã xây dựng được một mơ hình (gọi
là mơ hình Poincare) của Hình học Lobachevski phẳng, khi sử dụng các “vật liệu” lấy từ
Hình học Euclide phẳng.
Trong mặt phẳng Euclide, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng
thành hai miền, mà ta gọi là “nửa trên” và “nửa dưới”. Ta có các quy ước sau đây về các
khái niệm cơ bản của Hình học Lobachevski phẳng : “Điểm” là điểm Euclide thông
thường thuộc “nửa trên” và không thuộc x; “Đường thẳng” là nửa đường trịn thơng
thường thuộc “nửa trên” và có tâm thuộc x, hoặc là tia thơng thường thuộc nửa trên, có
gốc thuộc x và vng góc với x.
Tiếp tục, trong mơ hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác,
mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng nhau” (cịn gọi là
“tồn đẳng”), trong đó “thuộc” và “ở giữa” được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevski đổi với mơ hình
nêu trên, và thấy rằng mơ hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.
Thêm vào những điều ở trên, ta có định lí sau đây của Hình học Lobachevski: “Tổng ba
góc trong của một tam giác thỏ hơn hai góc vng”.
Việc xây dựng thành cơng mơ hình của Hình học Lobachevski đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevski là phi mâu thuẫn.
b) Từ các tiên đề khác của Hình học Euclide khơng thể suy ra được tiên đề Euclide.

Hình học Lobachevski khơng phải là Hình học phi Euclid duy nhất. Hình học
Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Berhard Rienmann (1826 - 1866) người
Đức cũng là Hình học phi Euclid. Để có được hệ tiên đề của Hình học Riemann nghĩa
4


hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của Hình học Euclide nhiều hơn là những thay đổi mà
Lobachevski đã thực hiện.
Ngồi các hình học vừa nêu, cịn nhiều hình học khác, trong đó có Hình học fractal.
Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Ba Lan, đề nghị
từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn
liền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích vá tổng hợp hình, trong việc
xây dựng mơ hình của các q trình địa lí, q trình sinh học.
Trong mặt phẳng Euclide ta lấy một đường thẳng x cố định. Kí hiệu Ω là một trong
hai nữa mặt phẳng với bờ là x. Để xây dựng mơ hình Poincaré của hình học
Lobatchevski ta qui ước thể hiện các khái niệm cơ bản trên mơ hình cần xây dựng đó
như sau. Các điểm của Ω và các điểm thuộc x được xem là các “điểm” của mặt phẳng
Lobatchevski. Các nữa đường trịn nằm trong Ω có tâm thuộc x và các tia nằm trong Ω
có gốc thuộc x và vng góc với x được xem là các “đường thẳng” của mặt phẳng
Lobatchevski. Điểm A được xem là “thuộc” đường thẳng a nếu điểm A nằm trên nữa
đường tròn a hoặc trên tia a theo nghĩa thông thường. Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc
đường thẳng a. Ta nói rằng điểm B “ở giữa” các điểm A, C nếu xét trên nữa đường tròn
a hoặc tia a điểm B ở giữa A, C. Để thể hiện khái niệm “bằng” trên mơ hình dạng xây
dựng, ta cần đến phép nghịch đảo trong mặt phẳng Euclide.
Trong mặt phẳng Euclide cho đường tròn ( C ) tâm O bán kính r. Trong mặt phẳng
khơng kể điểm O, phép biến hình f xác định như sau được gọi là phép nghịch đảo đối
với đường tròn ( C ), với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng không kể điểm O, ta lấy điểm
f ( M )=M ' là điểm sao cho M ' nằm trên tia OM và OM . OM '=r ' . Điểm O được gọi là
tâm (cực) của phép nghịch đảo. Để việc trình bày được gọn gàng và thuận tiện ta sẽ xem
đường thẳng như là một đường trịn có bán kính vơ cùng lớn. Như thế tức là khi nói đến

đường trịn, ta hiểu đó là đường trịn thơng thường hoặc là đường thẳng thông thường.
Đồng thời ta cũng dùng cách nói “phép nghịch đảo đối với đường trịn ( C )” để chỉ phép
đối xứng qua một đường thẳng ( C ).
Bây giờ ta thể hiện khái niệm “bằng” trên mơ hình đang xây dựng. Đoạn thẳng
AB được xem là bằng đoạn thẳng A ' B' nếu có một dãy phép nghịch đảo của mặt phẳng
Euclide sao cho tích của các phép nghịch đảo đó biến cung AB (có thể là đoạn AB)
thành cung A ' B' (có thể là đoạn A ' B' ) với điều kiện A thành A ' , B thành B' . Tương tự
^
như vậy góc (^
h , k ) được xem là “bằng” góc ( h ' , k ' ) nếu có một dãy các phép nghịch đảo
sao cho tích của chúng biến h ,k lần lượt thành h ' , k ' .

5


Với các qui ước các khái niệm cơ bản thể hiện trên mơ hình như trên, chúng ta
kiểm tra được rằng tất cả các tiên đề của hình học Lobatchevski trong mặt phẳng đều
nghiệm đúng.

6


TRONG HÌNH HỌC LOBATCHEVSKY:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180 độ và lượng nhỏ hơn tỉ lệ với diện
tích của tam giác.
(ii) Hai đường thẳng song song thì khơng bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng cách giữa
chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.
(iii) Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho nên hai tam
giác có diện tích khác nhau khơng bao giờ có thể đồng dạng. Trong bộ mơn hình học
này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba góc của nó giảm.

(iv) Qua một điểm nằm ngồi một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vng góc với
đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường trịn và đường kính của nó ln lớn hơn p, và tỉ số đó
càng lớn khi diện tích vịng trịn càng lớn.
HÌNH HỌC LOBATCHEVSKY:
1. Định nghĩa khơng gian Lobachevsky và hình học Lobachevsky
Trong khơng gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, ta lấy một siêu mặt trái xoan có
phương trình:
(1)
và nó gọi là cái tuyệt đối T.
Ta ký hiệu Hn, là tập hợp các điểm nằm trong cái tuyệt đối T. Tập hợp H n sẽ gọi
là không gian Lobachevsky n – chiều.
Mỗi tập hợp Hn  Pr, trong đó Pr là r – phẳng xạ ảnh của Pn, sẽ gọi là r –
phẳng của Hn..
Gọi L là nhóm tất cả các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn cái tuyệt đối T. Như vậy L là
nhóm con của nhóm các phép biến đổi xạ ảnh K. Mỗi phép biến đổi của nhóm L
cũng biến Hn thành chính nó. Mỗi phép biến đổi của L được gọi là một phép dời của
Hn. Hình học của nhóm L trên Hn gọi là hình học Lobachevsky n – chiều.
Tất nhiên mỗi phép biến đổi của nhóm L cũng biến r – phẳng của H n thành r – phẳng
của Hn, cho nên r – phẳng là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky.
2. Một số quy ước
Ta quy ước gọi các điểm thuộc Hn là các điểm thông thường, những điểm nằm
trên cái tuyệt đối T gọi là điểm vơ tận, cịn những điểm nằm ngoài T gọi là điểm lý
tưởng.
7


Như vậy một điểm X có toạ độ xạ ảnh là ( x 1 : x2 : ... : xn1 ), thì X là điểm
thơng thường, điểm vơ tận, hay điểm lý tưởng tuỳ theo đại lượng
là số âm, bằng 0 hay số dương.

Một r – phẳng xạ ảnh Pr sẽ gọi là thơng thường nếu nó cắt cái tuyệt đối T, gọi là r
– phẳng vơ tận nếu nó tiếp xúc với cái tuyệt đối T, và gọi là r – phẳng lý
tưởng nếu nó khơng cắt cái tuyệt đối T.
Như vậy nếu Pr là r – phẳng xạ ảnh thơng thường thì P r  Hn là một r –
phẳng Hr của không gian Lobachevsky. Ta quy ước xem các điểm vô tận và lý tưởng
của Pr cũng nằm trên Hr.
3. Các định nghĩa
Cho hai cái phẳng của không gian Lobachevsky H r = Pr Hn và Hs = Ps 
Hn. Nếu Pr và Ps cắt nhau theo một cái phẳng thơng thường thì H r và Hs gọi là cắt
nhau. Nếu Pr và Ps cắt nhau theo một cái phẳng vơ tận thì H r và Hs gọi là song
song với nhau. Nếu Pr và Ps cắt nhau theo một cái phẳng lý tưởng thì H r và Hs gọi
là phân kỳ.
Rõ ràng các khái niệm cắt nhau, song song và phân kỳ của các phẳng là những
bất biến của nhóm L, và do đó là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky.
Các kết quả sau đây dễ dàng chứng minh dựa vào định nghĩa.
Định lý
(1) Cho một r – phẳng Hr và một điểm A ngồi nó. Qua A có hai đường
thẳng song song với Hr nếu r = 1, và có vơ số đường thẳng song song với H r
nếu r  2. (Tập hợp các đường thẳng song song đó gọi là nón song song với
Hr và có đỉnh tại A, ký hiệu N(A, Hr).
(2) Nếu cái phẳng Hs song song với cái phẳng H r thì qua mỗi điểm A

thuộc Hs có một và chỉ một đường thẳng d nằm trong H s và song song với
Hr. Do đó Hs ln cắt mặt nón N(A, H r) theo một đường sinh với mọi A
thuộc Hs.
(3) Nếu Hs cắt Hr thì qua mỗi điểm A thuộc H s có hai đường thẳng d và
d’ phân biệt, nằm trong Hs và song song với Hr. Do đó, Hs ln cắt mặt
nón N(A, Hr) theo hai đường sinh phân biệt với mọi A thuộc Hs .
(4) Nếu Hs và Hr phân kỳ, thì mọi đường thẳng nằm trong H s đều phân

kỳ với Hr. Do đó Hs ln cắt mặt nón N(A, Hr) theo một điểm A duy nhất.
4. Khái niệm vng góc

Cho siêu phẳng Hn–1 = Hn  Pn–1.. Ta gọi điểm P là cực của siêu phẳng xạ ảnh
Pn–1 đối với cái tuyệt đối T. Đường thẳng H 1 = Hn  P1, gọi là vng góc với siêu
phẳng Hn–1 nếu P1 đi qua điểm P.
8


Hai đường thẳng cắt nhau a và b của không gian H n gọi là vng góc với nhau
nếu a vng góc với một siêu phẳng nào đó đi qua b (và do đó b cũng vng góc với
một siêu phẳng nào đó đi qua A).
Nếu đường thẳng a và cái phẳng H r cắt nhau thì a gọi là vng góc với H r nếu
a vng góc với mọi đường thẳng của Hr đi qua giao điểm của Hr và a.
Ta dễ thấy rằng, các khái niệm vng góc nói trên đều là bất biến của nhóm L,
và do đó chúng là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky.
Định lý
(1) Điều kiện cần và đủ để hai cái phẳng H r và Hs phân kỳ là chúng cùng

vuông góc với một đường thẳng.

(2) Hai cái phẳng phân kỳ chỉ có duy nhất một đường vng góc chung.
(3) Các đường vng góc với một siêu phẳng đã cho đi qua một điểm lý

tưởng nào đó, và do đó chúng là những đường thẳng phân kỳ với nhau. Tập
hợp các đường thẳng đó gọi là chùm phân kỳ.

Ngồi ra, tập hợp các đường thẳng đi qua một điểm vô tận gọi là
chùm song song, còn tập hợp các đường thẳng đi qua một điểm thông
thường gọi là chùm hội tụ.

5. Phương trình của phép dời hình trong Hn
Xét phép biến đổi xạ ảnh của Pn : [x] = B[x’]

(2)

Muốn cho phép biến đổi (2) giữ nguyên cái tuyệt đối T có phương trình (1),
điều kiện cần và đủ là
B = mA

(3)

trong đó A là một ma trận n – trực giao (A là ma trận vuông cấp n+1),và m là một
số dương. Như vậy phương trình của phép dời hình trong Hn là phương trình
(2) với điều kiện (3).
Chú ý
Hai ma trận B = mA và B’ = m’ A với m và m’ khác nhau cùng xác định cho
ta một phép dời, bởi vậy ta có thể ln ln lấy ma trận của phép dời là ma trận n –
trực giao A. Khi đó det A =  1.
 Nếu det A = 1 phép dời gọi là phép dời loại 1.
 Nếu det A = –1 phép dời gọi là phép dời loại 2.

6. Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn
Cho hai điểm A và B của H n, đường thẳng AB cắt cái tuyệt đối T tại hai điểm
U, V. Khoảng cách giữa hai điểm A và B được ký hiệu là d(A, B) và được định nghĩa
bằng biểu thức: d(A, B) = |ln( ABUV)| (4)
Từ định nghĩa ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau đây:
9


Định lý

(1) d(A, B)  0, d(A, B) = 0  A  B.
(2) d(A, B) = d(B, A).
(3) Nếu A, B, C thẳng hàng thì một trong ba số và d(A,B),d(C,A),d(B,C)

là tổng của hai số kia.

Nếu là ba điểm A, B, C thẳng hàng và d(A,C) =d(A,B)+d(B,C) thì ta nói rằng
điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
Tập hợp gồm hai điểm A,C và những điểm nằm giữa chúng gọi là đoạn thẳng
AC. Khoảng cách d(A,C) còn gọi là độ dài của đoạn thẳng AC.
(4) Độ dài d(A, B) khơng thay đổi qua phép dời.

7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b của không gian H n . Ta gọi u và v là hai
cát tuyến của cái tuyệt đối T cùng xuất phát từ giao điểm của a và b, và cùng nằm
trong mặt phẳng chứa a, b. Khi đó u và v là hai đường thẳng ảo liên hợp đi qua C, I và
C, J. Số đo góc giữa hai đường thẳng a và b, được ký hiệu là
nghĩa là

và

và được định

(5)

Vì (a,b,u,v) là tỷ số của hai số phức liên hợp, nên có dạng

Vậy

10

Điều kiện thứ hai trong (5) chứng tỏ rằng nếu chọn θ sao cho
thì
Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra:
Định lý
(1)
(2)
(3)
(4)

không thay đổi qua phép dời.
khi và chỉ khi a và b vng góc với nhau.

MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE
1. MẪU ĐĨA POINCARE VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY
Định đề đặc trưng của hình học Lobachevsky:
 Qua hai điểm tồn tại duy nhất một đường thẳng chứa nó.
 Cho một đường thẳng bất kỳ, một đoạn với chiều dài bất kỳ có thể

định nghĩa được trên nó.

 Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được

một
đường trịn.

 Tất cả các góc vng đều bằng nhau.
 Qua một điểm khơng nằm trên đường thẳng có thể vẽ được ít nhất hai

đường thẳng song song với nó.

Nếu ta chấp nhận được định đề 5 của Hình học Lobachevsky thì ta có:
 Tổng ba góc của một tam giác bé hơn 1800.
 Không tồn tại một đường thẳng nào cách đều một đường thẳng khác.
 Nếu ba góc của một hình tứ giác là vng thì góc thứ tư bé hơn

một vuông.

 Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì

nó có thể khơng cắt đường kia.

 Những đường thẳng song song với cùng một đường thì có thể khơng

song song với nhau.

11


MẶT PHẲNG HYPERBOLIC TRONG MẪU ĐĨA POINCARE
Định nghĩa điểm của mặt hyperbolic
Cho một đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Euclide,
điểm của mặt hyperbolic là những điểm nằm bên trong
đường tròn đơn vị.
H2 = { (x,y) | x2 + y2 < 1}.
Những điểm nằm trên đường tròn được gọi là điểm vơ tận
Những điểm nằm ngồi được gọi là điểm lý tưởng.
Định nghĩa đường của mặt hyperbolic.
Cho một đường tròn đơn vị trong mặt phẳng

Euclide, những đường thẳng của mặt hyperbolic là những
cung của đường tròn trực giao với đường tròn đơn vị đã
cho và nằm bên trong đường tròn đơn vị.

Hình 1

Cách dựng đường của mặt hyperbolic.
+ Cho đường trịn  tâm là O.
+ Dựng bán kính OA.
+ Dựng đường vng góc với OA tại A.
+ Chọn một điểm P bất kỳ trên d, kẻ đường tròn (P, PA).
Đặt B = (P, PA)    □ AB là một đường thẳng trong mẫu đĩa Poincare.
Chúng ta cần dựng những đường thẳng trong các trường hợp khác với A, B
là hai điểm hyperbolic bất kỳ. Ta có ba trường hợp:
+ Trường hợp 1: A, B   .
Dựng đoạn PA, PB với P là tâm của đường tròn
Γ . Dựng đường vng góc với PA tại A và PB tại B.
Lấy Q là giao diểm của hai đường này.
Gọi Ω là đường trịn tâm Q bán kính QA cắt Γ
ở A và B.
Đường thẳng AB chính là cung AB của của 

Hình 2

nằm trong 
+ Trường hợp 2: A   , B nằm trong 
Gọi P là tâm của đường tròn  . Nối P với A và
B. Dựng tiếp tuyến của  tại A. Vẽ đoạn AB và
dựng đường trung trực đoạn AB. Gọi Q là giao điểm
của tiếp tuyến của  tại A và trung trực đoạn AB.

Gọi  là đường trịn tâm Q, bán kính QA chứa
A và B.

B

Hình 3

12


Đường AB là cung AB của  và nằm trong 
+ Trường hợp 3: A, B nằm trong  .
Cho đường trịn  tâm P, dựng đoạn PA,
dựng đường vng góc với PA tại A, đường này
cắt  tại hai điểm X và Y. Dựng hai tiếp tuyến với
 tại X và Y. Gọi C là giao điểm của hai tiếp
tuyến này.  là đường tròn tâm Q qua A, B, C.
Đường thẳng AB là cung □ AB của  và nằm
trong  .
Hình 4

Khoảng cách mêtric trên mặt hyperbolic
Ta định nghĩa khoảng cách mêtric trên mặt hyperbolic bởi:
(*)
trong đó  đặc trưng cho khoảng cách hyperbolic, và r là khoảng
cách Euclide từ tâm của đường tròn. Từ (*) ta thấy d   khi r 1,
điều đó có nghĩa là đường thẳng sẽ được mở rộng ra vô hạn. Sự liên hệ
giữa khoảng cách Euclide của một điểm từ tâm của đường tròn và khoảng
cách hyperbolic là:

Bây giờ, ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm trong một đường
Poincare.
Cho hai điểm hyperbolic A và B, giao điểm của AB cắt đường trịn tại hai
điểm vơ tận P và Q.
Đặt
được gọi là độ dài cung Euclide.

là tỉ số của A và B với P và Q, AP

Định nghĩa khoảng cách hyperbolic từ A đến B
+ Định lý
Nếu một điểm A nằm trong đường trịn đơn vị thì

( r: khoảng cách Euclide từ A đến tâm của đường tròn).
13


Chứng minh

+ Định lý
Khoảng cách hyperbolic từ một điểm bất kỳ trong đường trịn đơn vị đến
chính nó thì kéo dài ra vô tận.
Những đường thẳng song song
Cho đường thẳng AB và một điểm
hai đường thẳng qua D và không cắt AB.

. Ta có thể vẽ ít nhất

Gọi những đường thẳng qua D là l1 và l2. Ta
có l1 song song AB, l2 song song AB nhưng l1

không song song với l2 .
Chú ý: l2 cắt một trong những đường thẳng
song song với l1 nhưng không cắt những đường song
song với AB.
Nhận thấy rằng đường AB cắt đường tròn đơn vị ở
hai
điểm vơ tận  và  .

Hình 5

Định lý
Cho đường thẳng AB cắt đường tròn đơn vị tại  và  . . Một điểm D nằm
ngoài đường thẳng AB, từ D kẻ đường thẳng vng góc xuống đường thẳng AB
tại M thì ta có  DM =  DM
Chứng minh
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử  DM   DM
o Trường hợp :  DM <  DM
Do đó sẽ có một điểm E nằm trong  DM
để cho  DM = EDM
Đường ED phải cắt AB tại một điểm vì D
 là đường giới hạn song song của AB.
Lấy điểm F = DE AB. Chọn điểm G trên
AB là đối xứng với F qua DM. Do đó GM = FM
Suy ra:  GMD ~  FMD

Hình 6

 GDM = FDM =  DM. Điều này có nghĩa là: D  cắt AB ở G (G
H ) (vơ lý) vì D  là đường giới hạn song song.

2

14


Vậy  DM =  DM
o Trường hợp :  DM >  DM (chứng minh tương tự).
Chứng minh
Giả sử MD  > 900.
Gọi E là một điểm nằm trong MD  để cho MDE = 900. Khi đó vì
DE và AB cùng vng góc DM nên DE song song AB.
Thật vậy, DE không cắt AB, trong khi D  là đường giới hạn
song song của AB (vơ lý).
Do đó MD   900. Nếu MD  = 900 ta có Hình học Euclide.
Định lý Lobachevsky
Cho một điểm D và gọi d là khoảng cách hyperbolic từ D đến AB. Khi đó
góc song song  của D và dường thẳng AB thỏa mãn

Chứng minh
Cho đường thẳng AB và một điểm D khơng thuộc AB. Dựng đường thẳng
qua D vng góc với AB.
Gọi R là giao điểm của AB và đường vng góc qua D.
Gọi d = d(D, R). Ta di chuyển điểm D để nó trở thành tâm của đường trịn
đơn vị và di chuyển đường thẳng để đường vng góc với AB trở thành bán kính
của đường trịn đơn vị.
Dựng bán kính từ D đến hai điểm vơ tận A và B.
Dựng tiếp tuyến của đường tròn đơn vị tại A và B, hai tiếp tuyến này cắt
nhau tại Q và Q  DR. Như vậy nếu r là khoảng cách Euclide từ D đến R thì ta
có :

(r là khoảng cách Euclide từ R đến tâm D)

15
Hình 8

Hình 7


Hoặc

hoặc

Bây giờ ta nói về khoảng cách Euclide (r) và sử dụng tam giác trong mặt
phẳng Euclide với bán kính bằng 1, ta có:

Như trên, ta có:

Định lý
Các góc ở đỉnh của một tứ giác saccheri thì nhọn.
Chứng minh
Gọi  là điểm vơ tận của đường thẳng AB.
Ta có: E và F  là đường giới hạn song song tại  .
Gọi

là góc song song tạo nên bởi

và

.
Tương tự AF  là góc song song tạo nên bởi

AF và F  . Ta lại có: BE +  EC = AFE.

Hình 9

Mặt khác: AFE + AF +  FC = 1800

16