Skkn định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI
ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM CƠNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ
CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT
MÔN: TỐN

Tác giả: Lê Thị Thu Hương
Tổ: Tốn - Tin
Năm: 2020 - 2021
Điện thoại: 0941 05 4567

Năm học: 2020 - 2021

skkn


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI
ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT
MƠN: TỐN

Năm học: 2020 - 2021

skkn


MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................................. 1
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1
1.1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................. 1
1.2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 2
1.5. Đóng góp của đề tài............................................................................................ 2
PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................... 3
2.1. Cơ sở lý luận. ..................................................................................................... 3
2.1.1. Cấp số cộng. .................................................................................................... 3
2.1.2. Cấp số nhân. .................................................................................................... 3
2.1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp tốn học:.................................................. 3
2.1.4. Một số cơng thức lượng giác thường dùng trong giải toán liên quan dãy số ...... 3
2.2. Thực trạng vấn đề giải tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số ......... 4
2.3. Một số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy số ................... 4
2.3.1. Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) .......................................................... 4
2.3.2. Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp
toán học. .................................................................................................................. 32
2.3.3. Một số phương pháp tổng hợp tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số. ... 39
PHẦN III. KẾT LUẬN .......................................................................................... 44
3.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường...................................................................................... 44
3.2. Kiến nghị .......................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 46

skkn

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay, để đổi mới phương pháp dạy học có hiệu quả, giáo
viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới phương pháp giảng
dạy. Người giáo viên phải có kiến thức đa dạng, xác định được những vấn đề cần đổi
mới, nắm vững kĩ năng truyền đạt kiến thức, chủ động và có sáng kiến. Từ đó, làm
cho học sinh biết tự học, tự vận dụng, biết hợp tác và chia sẻ, học cách thức đi tới sự
hiểu biết, coi trọng sự khám phá và khai thác trong học thuật…
Thực tiễn dạy học chương trình Đại số và Giải tích 11 cho thấy, chủ đề dãy
số là một chủ đề trừu tượng, hơn nữa các bài toán về dãy số là một nội dung gần
như không thể thiếu trong các đề thi học sinh giỏi Toán THPT. Khi gặp các bài
toán này, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm ra cách giải của
chúng, đặc biệt là bài tốn tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. Hơn nữa, ở
một số lớp bài toán liên quan đến dãy số, khi đã xác định được công thức số hạng
tổng qt của dãy số thì bài tốn gần như được giải quyết. Đứng trước tình hình
đó, người giáo viên phải nắm vững kiến thức và kĩ năng cần truyền đạt đến học
sinh để thiết kế dẫn dắt học sinh đi từ dễ đến khó, từ ít đến nhiều. Giáo viên xác
định việc dạy cách học, học cách học hoặc hướng vào người học là để phát huy
tính tích cực chủ động của người học, hỗ trợ người học tìm chọn và xử lí thơng tin
một cách linh hoạt và sáng tạo. Vì thế, để đổi mới phương pháp giảng dạy có hiệu
quả, giáo viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới. Vị trí
của giáo viên không phải được xác định bằng sự độc quyền về thơng tin và trí thức
có tính đẳng cấp, mà bằng những phẩm chất, trí tuệ và sự từng trải của mình trong
quá trình dẫn dắt học sinh tự học. Vì các lí do trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu:
“Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng
quát của dãy số cho bởi cơng thức truy hồi đặc biệt”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài góp phần bồi dưỡng, bổ sung và nâng cao kiến thức, kĩ

năng cho học sinh, giúp các em giải quyết được một số bài tốn về tìm công thức
số hạng tổng quát của dãy số trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kì thi
THPTQG sau này. Phát huy tinh thần sáng tạo, tự học, tự rèn luyện của các em
nhằm mục tiêu bồi dưỡng nhân tài, hình thành các phẩm chất, năng lực đặc biệt
cho học sinh.
Nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi,
đồng thời góp phần nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm của bản thân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số dạng tốn về dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt,
từ đó trang bị cho các em học sinh khá, giỏi các kĩ năng cơ bản để tìm cơng thức số
1

skkn


hạng tổng qt của dãy số trong chương trình mơn toán THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và các
tài liệu tham khảo liên quan
Chú trọng các phương pháp dạy học trên cơ sở phương pháp khoa học: phương
pháp tái hiện, phương pháp tư duy, phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, khái
qt hóa,…
Định hướng cho học sinh tìm ra cách giải quyết bài toán nhằm phát huy khả năng
quan sát, khả năng vận dụng kiến thức, tái hiện kiến thức và kết hợp kiến thức liên
quan trong quá trình giải tốn.
1.5. Đóng góp của đề tài
Đề tài đã tổng hợp một số kỹ năng cơ bản trong việc tìm số hạng tổng quát
của dãy số thông qua các phương pháp sau :
- Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ).
- Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp

toán học.
- Phương pháp tổng hợp.
- Thông qua việc định hướng các phương pháp giải, giúp học sinh rèn luyện
các kỹ năng phân tích, biến đổi công thức truy hồi dạng đặc biệt của dãy số, kĩ
năng đặt ẩn phụ, kĩ năng sử dụng công thức lượng giác đưa dãy số đã cho về dãy
số đặc biệt đã có cách tìm ra cơng thức số hạng tổng qt, kĩ năng dự đốn cơng
thức số hạng tổng quát, kĩ năng chứng minh công thức số hạng tổng qt bằng
phương pháp quy nạp tốn học đã có cách tìm ra cơng thức số hạng tổng qt…

2

skkn


PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lý luận.
2.1.1. Cấp số cộng.
Định nghĩa: Dãy số  un  được gọi là cấp số cộng (CSC) nếu

un1  un  d , n  N *
Trong đó d : cơng sai của CSC; u1 : số hạng đầu của CSC; un : số hạng tổng
quát của CSC.
un  u1   n  1 d , n  N *

Số hạng tổng quát của CSC:

n
Tổng n số hạng đầu của CSC: Sn   2u1   n  1 d  , n  N *
2
2.1.2. Cấp số nhân.

Định nghĩa: Dãy số  un  được gọi là cấp số nhân (CSN) nếu

un1  un q, n  N *
Trong đó q : cơng bội của CSN; u1 : số hạng đầu của CSN; un : số hạng tổng
quát của CSN.
Số hạng tổng quát của CSN: un  u1q n1 , n  N *
Tổng n số hạng đầu của CSN:

Sn  u1

1  qn
, q  1, n  N *
1 q

2.1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
Để chứng minh mệnh đề: P  n  , n  N * đúng, ta chứng minh:
+) Với n  1  P 1 đúng

+) Giả sử P  k  , k  N * đúng. Ta chứng minh P  k  1 đúng.

2.1.4. Một số cơng thức lượng giác thường dùng trong giải tốn liên quan
dãy số
- Công thức lượng giác cơ bản

sin 2   cos 2  1
1
1  tan 2  
cos 2
1
1  cot 2  

sin 2 
- Công thức nhân đôi
sin 2  2sin  .cos

3

skkn


cos 2  2cos 2  1  1  2sin 2 
- Công thức nhân ba

sin3  3sin   4sin 3 
cos3  4cos3  3cos
2.2. Thực trạng vấn đề giải tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát của
dãy số
Chủ đề dãy số là một chủ đề đóng vai trị cực kì quan trọng trong tốn học cũng
như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong chương trình toán THPT, các bài toán thường
gặp về dãy số là các bài toán như: giới hạn, số hạng tổng quát, tính đơn điệu, bị
chặn,… Trong đó bài tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi Olimpic Tốn, các kì thi học sinh giỏi quốc gia, các kì thi
học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi trường. Khi gặp các bài toán dạng này, học sinh
thường lúng túng khơng biết tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số như thế nào.
Trước tình hình đó, việc định hướng cho các em tìm ra cơng thức số hạng tổng qt
của dãy số là một nhiệm vụ cần thiết đối với người giáo viên trong quá trình dạy học.
Nhất là khi dãy số đó cho bởi các cơng thức truy hồi đặc biệt. Khi tìm được cơng thức
số hạng tổng qt của dãy số thì việc xét tính đơn điệu, bị chặn hay tìm giới hạn của
dãy số hầu như được giải quyết. Bằng các kinh nghiệm, vốn tri thức của mình, người
giáo viên định hướng cho học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua một số
phương pháp như đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng

giác,… để từ đó đưa dãy số đã cho về dãy số đặc biệt đã có cách tìm cơng thức số
hạng tổng quát như CSC, CSN, …
2.3. Một số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy số
2.3.1. Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ)
Dạng 1: Dãy số  un  thỏa mãn:

u1  x0
(
)

* 0  k, r  R
u

ku

r
,

n

N
n
 n1

Định hướng:
Khi k  1 thì un1  un  r , n  N * . Khi đó,  un  là một CSC nên ta tìm được
số hạng tổng quát của dãy số.
Khi k  1 thì  un  khơng phải là CSC hay CSN do r  0 . Ta nghĩ đến việc phân
tích cơng thức truy hồi, thơng qua việc đặt dãy số phụ đưa dãy số đó về một CSN.
r

Giả sử un1  x  k  un  x  , n  N *  kx  x  r  x 
k 1
Đặt vn  un  x  vn1  un1  x  vn1  kvn , n  N *

Suy ra, dãy số  vn  là CSN có v1  u1  x, cơng bội q  k
Ta tìm được vn  un

4

skkn


Ví dụ 1: Cho dãy số  un  thỏa mãn:

u1  3


2un  2
u

, n  N *
 n1
3

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n
(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2014-2015)
2
2
Định hướng: Ta có: un1  un  (1)
3

3
2
r
2
 2
Đây là một dãy số có dạng 1, với k  , r  , ta tìm được x 
k 1
3
3

Khi đó: 1  un1  2 

2
 un  2 
3

Bài toán được giải quyết.
Giải quyết vấn đề:
2
2
2
Từ cơng thức truy hồi, ta có: un1  un   un1  2   un  2 
3
3
3
2
Đặt vn  un  2, n  N *  vn1  un1  2, n  N *  vn1  vn , n  N *
3

Suy ra, dãy số  vn  là CSN có v1  1 , công bội q 

 vn  v1.q

n 1

2
Vậy un   
3

2
 
3

n 1

2
, n  N *  un   
3

2
3

n 1

 2, n  N *

n 1

 2, n  N * .

Nhận xét: Nếu cơng thức truy hồi có dạng: un1  kun  f  n  , n  N * ,
(trong đó 0  k  R , f  n  là một đa thức có bậc s  1 hoặc là một phân thức hữu
tỉ theo n ) thì ta sẽ làm như thế nào ?
Ta đưa công thức truy hồi đã cho về dạng:
un1  g  n  1  k  un  g  n    un1  k.un  g  n  1  k.g  n 

Khi đó, ta sẽ tìm cách phân tích : f  n   g  n  1  k.g  n 
Vấn đề đặt ra là tìm g  n  như thế thế nào?

*) Nếu f  n  là một đa thức thì ta xét các trường hợp như sau:
Khi k  1 : f  n   g  n  1  g  n  là một đa thức có bậc nhỏ hơn 1 bậc so
với bậc của đa thức g  n  và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g  n  . Khi đó ta
chọn g  n  là một đa thức bậc s  1 và có hệ số tự do bằng 0 .
5

skkn


Khi k  1 : f  n   g  n  1  k.g  n  là một đa thức cùng bậc với đa thức
g  n  . Khi đó ta chọn g  n  là một đa thức cùng bậc với đa thức f  n 
Ta có dạng tốn sau:
Dạng 2: Cho dãy số  un  thỏa mãn:

u1  x0

*
un1  k .un  f  n  , n  N

(trong đó 0  k  R , f  n  là một đa thức có bậc s  1 hoặc là một phân thức
hữu tỉ theo n )

Định hướng: Tìm g  n  để f  n   g  n  1  k.g  n  .
Khi f  n  là một đa thức có bậc s  1 theo n :
bằng 0 .

+) Nếu k  1 thì chọn g  n  là một đa thức có bậc s  1 và có hệ số tự do
+) Nếu k  1 thì ta chọn g  n  là một đa thức cùng bậc với đa thức f  n 

Khi đó, đặt: vn  un  g  n  . Ta đưa về: vn1  k.vn , n  1   vn  là CSN
Ta tìm được vn  un
Bài tốn được giải quyết.
Ví dụ 2: Cho dãy số  un  thỏa mãn:

u1  2

*
un1  un  6n  4, n  N

Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ?

Định hướng : Ta có k  1, mà f  n   6n  4  Chọn g  n   an2  bn

 g  n  1  a  n  1  b  n  1  an2  bn  2an  a  b
2

Giả sử:
un1  g  n  1  un  g  n   g  n  1  g  n   6n  4  2an  a  b  6n  4

a  3

 g  n   3n 2  n

b  1
Bài tốn được giải quyết.
Giải quyết vấn đề:

2
Ta có: un1  un  6n  4  un1  3  n  1   n  1   un   3n 2  n 


2
Đặt vn  un   3n 2  n  , n  N *  vn1  un1  3  n  1   n  1 


 vn1  vn , n  N *

Suy ra  vn  là một dãy số không đổi n  N * , mà v1  u1  4  2

 vn  2, n  N *  un  vn   3n2  n   3n 2  n  2, n  N *

Vậy un  3n2  n  2, n  N *
6

skkn


Nhận xét: Ngồi cách đặt dãy số phụ thì ở bài này ta có thể nghĩ đến phương
pháp cộng dồn để tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy số. Cách này thường
được dùng khi k  1
Thật vậy: Từ cơng thức truy hồi ta có:

u1  2

u2  u1  10
u3  u2  16
…

un  un1  6  n  1  4
Cộng vế theo vế, ta có:
un  2  10  16  ...  6  n  1  4

Ta thấy, tổng 10  16  ...  6  n  1  4 là tổng của  n  1 số hạng đầu của
CSC có số hạng đầu bằng 10, công sai d  6
Suy ra: 10  16  ...  6  n  1  4    n  110 

6  n  1 n  2 
2

 3n2  n  4

 un  3n2  n  2
Vậy un  3n2  n  2, n  N *
Ví dụ 3: Cho dãy số  un  thỏa mãn:
u1  4

3
2
*
un1  5un  4n  3n  3n  1, n  N

Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n
(Đề thi HSG tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020)

Định hướng: Ta có k  5, mà f  n   4n3  3n 2  3n  1
Nên chọn g  n   an3  bn 2  cn  d

 g  n  1  a  n  1  b  n  1  c  n  1  d
 an3  bn 2  cn  d  3an 2   3a  2b  n  a  b  c
3

2

Giả sử: un1  g  n  1  5 un  g  n 

 g  n  1  5 g  n   4n3  3n 2  3n  1

 4an3   3a  4b  n 2   3a  2b  4c  n  a  b  c  4d  4n3  3n 2  3n  1

7

skkn


a  1
a  1
3a  4b  3
b  0




 g  n    n3
3a  2b  4c  3

c  0
a  b  c  4d  1 d  0
Bài toán được giải quyết.
Giải quyết vấn đề:



Ta có: un1  5un  4n3  3n2  3n  1  un1   n  1  5 un  n3
3



Đặt vn  un  n3 , n  N *  vn1  un1   n  1  vn1  5vn , n  N *
3

Suy ra  vn  là một cấp số nhân có v1  u1  1  5 , công bội q  5

 vn  v1.q n1  5.5n1  5n , n  N *  un  5n  n3 , n  N *
Vậy un  5n  n3 , n  N * .
Nhận xét: Ở bài này, học sinh có thể từ cơng thức truy hồi dễ dàng tìm được
g  n   n3 , cách định hướng trên có thể dùng trong các bài mà đa thức f  n  phức
tạp khó tìm đa thức g  n  .
Ví dụ 4: Cho dãy số  un  thỏa mãn:

u1  1

3
n4 

*

un1  2  un  n2  3n  2  , n  N




Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n
(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016)
Định hướng:

3
Tìm g  n  sao cho: un1  g  n  1  un  g  n  , g  n  là phân thức hữu
2
tỷ theo n
Ta có:

n4
n4
3
2



n  3n  2  n  1 n  2  n  1 n  2
2

3
3
2  3
3 
3

 un1   un 

   un 

2
n 1 n  2  2
n 1 n  2
 un1 

3
3
3 
  un 

n  2 2
n 1

Như vậy, g  n  

3
, n  N *
n 1

Bài toán được giải quyết.
Giải quyết vấn đề:
8

skkn

Ta có:

n4
n4
3
2



n  3n  2  n  1 n  2  n  1 n  2
2

3
3
2  3
3 
3
 un1   un 

   un 

2
n 1 n  2  2
n 1 n  2
 un1 

3
3
3 
  un 


n  2 2
n 1

Đặt vn  un 

3
3
, n  N *  vn1  un1 
n 1
n2

3
 vn1  vn , n  N *
2

3
1
  vn  là một cấp số nhân với v1   , công bội q 
2
2

1 3
 vn   . 
2 2

n 1

3
1 3

, n  N *  un 
 . 
n 1 2  2 

3
1 3
 . 
Vậy un 
n 1 2  2 

n 1

, n  N *

n 1

, n  N *

Nhận xét: Khi công thức truy hồi của dãy số có dạng: un1  h  n .un  f  n 
(trong đó f  n  , h  n  là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n thì ta sẽ
biến đổi như thế nào để bằng cách đặt ẩn phụ đưa được về một dãy số mới là một
CSN ?

u1  x0
Dạng 3: Cho dãy số  un  thỏa mãn: 
*

un1  h  n  .un  f  n  , n  N
(Trong đó f  n  , h  n  là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n )
Định hướng: Phân tích h  n  , f  n  làm xuất hiện t  n  , g  n  để đưa công

thức truy hồi về dạng:

t  n  1 un1  g  n  1  k. t  n  un  g  n  ( trong đó 0  k  R , t  n  , g  n 
là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n )
nhân.

Khi đó, ta đặt vn  t  n  un  g  n  , n  N *  vn1  kvn   vn  là một cấp số
Bài tốn được giải quyết.
Ví dụ 5: Cho  un  thỏa mãn:

u1  2020
 2
2
*
 3n  9n  un1   n  5n  4  un , n  N
9

skkn


 3n 
Tính lim  2 un  ?
n

 3n 
Định hướng: Để tìm lim  2 un  , ta tìm cơng thức số hạng tổng qt un
n

của dãy số  un 

Giải quyết vấn đề:
Ta có: n 2  9n  3n  n  3
n2  5n  4   n  1 n  4    n  1  n  1  3

Khi đó, từ cơng thức:  3n2  9n  un1   n 2  5n  4  un


1
1
1
1
1

u

un
u

u
n

1
n

1
n
n 2  5n  4
3n 2  9n
3
n

n

3
n

1
n

1

3




    

Đặt vn 

1
1
un , n  N *  vn1 
u
n  n  3
 n  1  n  1  3 n1

1
 vn1  vn , n  N *
3

  vn  là một cấp số nhân với v1  505, công bội q 

1
 vn  505  
 3

1
3

n 1

, n  N *

1
 un  n  n  3 vn  505n  n  3  
3

n 1

, n  N *

n 1
 3n
1515n  n  3
 3n 
1 
 lim  2 un   lim  2 505n  n  3     lim
 1515
2
n

n
3
n
  




 3n 
Vậy lim  2 un   1515
n


Ví dụ 6: Cho dãy số  un  thỏa mãn:
u1  12

 2un1
un  n 2  n  2

, n  N *
 2
2
n n
 n  5n  6

10

skkn

Tìm lim

un
2n 2  1

(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2018-2019)
Định hướng: Để tìm giới hạn trên, ta đi tìm số hạng tổng qt un của dãy số.
Từ cơng thức truy hồi, ta có:

2un1
un  n 2  n  2
2un1
un
n2




(1)
2
2
n  5n  6
n n
 n  2 n  3 n  n  1 n
Nhận xét: Từ VT của (1) , ta nghĩ đến VP của (1) phải xuất hiện
Như vậy nhân 2 vế của (1) cho

2un1

1

 n  1 n  2
un





un
.
n

1
n

2
  

, ta có:

n2
 2
n  n  1 n  2 

 n  1 n  2  n  3 n  n  1  n  2 
Từ  2  , ta nghĩ đến việc tìm g  n  để đưa  2  về dạng:
2

2un1

 n  1 n  2  n  3
2

Thật vậy:


2

 2 g  n  1 

un

n  n  1  n  2 
2

 g  n  (*)

n2
1
2


n  n  1 n  2   n  1 n  2  n  n  1 n  2 

1  1
2
1
1
 




 n  1 n  2   n n  2  n  1  n  1 n  2  n  n  1
1

Khi đó, ta thấy: g  n  



1
1
 g  n  1 
n  n  1
 n  1 n  2

n2
 2 g  n  1  g  n   xuất hiện (*)
n  n  1 n  2 

Bài toán được giải quyết
Giải quyết vấn đề:
Từ cơng thức truy hồi, ta có:

2un1
un  n 2  n  2
2un1
un
n2





(1)
2
2
n  5n  6
n n
 n  2 n  3 n  n  1 n
Nhân 2 vế của 1 cho

1

 n  1 n  2

, ta có:
11

skkn


2un1

 n  1 n  2  n  3
2

Ta có:





un

n  n  1  n  2 
2



n2
 2
n  n  1 n  2 

n2
1
2


n  n  1 n  2   n  1 n  2  n  n  1 n  2 

1  1
2
1
1
 



 n  1 n  2   n n  2  n  1  n  1 n  2  n  n  1
1

Khi đó:

 2 

2un1

2



 n  1 n  2  n  3  n  1 n  2
2



un

n  n  1  n  2 
2



1
n  n  1

un
1
1 



 

  3
2
2
 n  1 n  2  n  3  n  1 n  2 2  n  n  1  n  2  n  n  1 
un1

Đặt: vn 

1

un

n  n  1  n  2 
2



1
, n  N *
n  n  1

1
1
Từ  3  vn1  vn , n  N *   vn  là một cấp số nhân với v1  , công
2
2
n 1
1 1

1
1
bội q   vn  .   n , n  N *
2 2
2
2
Ta có:

un

n  n  1  n  2 
2



1
1
 n
n  n  1 2

n  n  1  n  2 
 un 
  n2  3n  2 
n
2
2

n  n  1  n  2 
  n 2  3n  2 
n

un
2
 lim
Khi đó: lim 2
2n  1
2n 2  1
 n  n  12  n  2  n 2  3n  2 

 lim 

2
n
2
2
n

1
2
2
n

1




2

Ta có: 2n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn  Cn3 
n  n  1  n  2 

2

 lim

2n  2n 2  1

 n  2  n  1 n
6

n 2  3n  2 1

 0, lim
2n 2  1
2

12

skkn


Vậy lim

un
1

2
2n  1 2

Ví dụ 7: Cho dãy số  un  thỏa mãn:
u1  1


2n
u  2  n  1 un1 
, n  N *
n
2

n
 n2  n  1  1


Tìm cơng thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n .
(Đề thi HSG Tốn 11 tỉnh Nghệ An năm 2016-2017)
Định hướng:
Từ cơng thức truy hồi, ta thấy ở VP có  n  1 un1 nên ta nghĩ đến làm xuất
hiện nun ở VT
 nun  2  n  1 un1 

n 2  n

 n2  n  1  1
2

1

Từ 1 , ta nghĩ đến việc tìm g  n  để đưa 1 về dạng:

2  n  1 un1  2 g  n  1  nun  g  n 
1
  n  1 un1  g  n  1  nun  g  n  *

2
Ta phân tích:

n

n2  n
2



để tìm g  n 

 n  1  1
2





2

Ta có: n2  n  1  1  n2  1  n



2

 1   n2  1  2n  n2  1  n2  1
2

2
  n 2  1 n 2  2n  1  1   n 2  1  n  1  1



n  2  n   2n  n 2   n 2  2n  1  2  n 2  1  1

  n  1  1  2  n2  1
2



n

n 2  n
2

 n  1  1

Khi đó g  n  

2



 n  1

n

2

2

 1  2  n2  1

2
 1  n  1  1





1
2

n2  1  n  12  1

1
1
 g  n  1 
2
n 1
 n  1  1
2

Bài toán được giải quyết.
13

skkn

Giải quyết vấn đề:
Từ công thức truy hồi, suy ra:
nun  2  n  1 un1 






 n

2

n

n 2  n

Ta có: n2  n  1  1  n2  1  n
2

 n  1  1
2

2



1

 1   n2  1  2n  n2  1  n2  1

2

2

2
 1 n 2  2n  1  1   n 2  1  n  1  1



n  2  n   2n  n 2   n 2  2n  1  2  n 2  1  1

  n  1  1  2  n2  1
2



n

n 2  n
2

 n  1  1
2



 n  1

n

2

Khi đó: 1  2  n  1 un1 

 1  2  n2  1

2
 1  n  1  1



2

 n  1

  n  1 un1 
Đặt: vn  nun 

2

2

1



 nun 

1
2

n  1  n  12  1
2

1
n 1
2

1
1 
  nun  2
  2
2
n

1


n

1

1
 
1

2

1
1
2

v

vn , n  N *
,

n

N
*
.
Từ


n

1
n2  1
2

1
1
  vn  là một cấp số nhân với v1  , công bội q 
2
2

1 1

 vn  . 
2 2
Vậy un 

n 1



1
1
1
, n  N *  un  n 
, n  N *
n
2
n.2
2
n  n  1

1
1

, n  N *
n.2n n  n 2  1

Nhận xét: Một số đề thi học sinh giỏi các tỉnh cùng dạng tương tự như sau:
u1  4
Ví dụ 8: Cho dãy số  un  thỏa mãn: 
3nun 2n 2  6n  3
*

u

 n1 n  1  n 2  n  13 , n  N


 nu 
Tìm cơng thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n và tính lim  nn 
 4 
(Đề thi HSG Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 )
14

skkn


Ví dụ 9: Cho dãy số  un  thỏa mãn:

u1  1


n  un  2   n 2  1
, n  N *
2un1 
n 1


 nu 
Tìm cơng thức số hạng tổng qt un của dãy số theo n và tính lim  nn 
 4 
(Đề thi HSG Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 )
u1  x0

Dạng 4: Cho dãy số  un  thỏa mãn: 
n
*
un1  kun  t. , n  N

( với 0  k , t,  R )
Định hướng: Ta phân tích t n  g  n  1  kg  n  để đưa công thức truy hồi
đã cho ở trên về dạng:

un1  g  n  1  k un  g  n  *
Giả sử g  n   m. n , m  R . Từ * ta suy ra: m. n1  mk . n  t. n

 m.  k.m  t    k  m  t
+) Nếu   k  m 

t
t
1
 g n 
. n  ct. n , c 
 k
 k
 k

Khi đó: un  g  n   u1  g 1 .k n1  un  ct n   u1  ct .k n1
 un  ct n   u1  ct  k n1

Vậy un  ct n   u1  ct  k n1 , c 

1

 k

+) Nếu   k thì ta phân tích: un1  kun  t. n 
Khi đó, đặt vn 
có v1 

un



, n  N *  vn1  vn 
n

t



un1



n 1



un



n



t



, n  N *   vn  là một CSC

u1
t u   n  1 t
t
, công sai d   vn  v1   n  1  1





 un  u1   n  1 t   n1 , n  1
Bài toán được giải quyết.
u1  1
Ví dụ 10: Cho dãy số  un  thỏa mãn: 
n
*
un1  2un  3 , n  N

15

skkn

Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n
(Đề thi Olimpic Toán 11 năm 2019-2020 Hà Nội)
Định hướng:
Ta thấy ở bài này   k
Chọn g  n   m.3n với m 

t
 1. Khi đó: g  n   3n
 k

Giải quyết vấn đề:
Từ công thức: un1  2un  3n  un1  3n1  2  un  3n 

v1  2
Đặt vn  un  3n , n  N *  
vn1  2vn , n  N *

  vn  là một cấp số nhân với v1  2, công bội q  2

 vn  2.2n1  2n , n  N *  un  3n  2n , n  N *
Vậy un  3n  2n , n  N *
u  2
Ví dụ 11: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  1
n
*
un1  4un  3.4 , n  N

2n 2  3n  1
Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n và tính lim

un

(Đề thi HSG Tỉnh Tốn 11 năm 2018-2019 Thanh Hóa )
Định hướng:
Ta thấy, trường hợp này là   k  4 nên ta giải quyết bài toán theo trường
hợp thứ 2 của dạng 3.
Giải quyết vấn đề:

un1 un 3
 
4n1 4n 4
u
3
Đặt vn  nn , n  N *  vn1  vn  , n  N *   vn  là một CSC có
4
4
1
3
1
3 3n  1
v1  , cơng sai d 
 vn    n  1 
, n  N *
4
2
2
4
4
3n  1 n
 un  4n.vn 

.4   3n  1 4n1 , n  N *
4
Ta có: un1  4un  3.4n 

Vậy un   3n  1 4n1 , n  N *
16

skkn


 2n 2  3n  1 4n 
2n 2  3n  1
2n 2  3n  1
Ta có: lim
 lim
 lim 
. n
un
n
3
n

1
4 
 3n  1 4n1




Vì

0

4n
4n
4n
8



, n  2 , mà
4n 1  3n 32 Cn2 9  n  1
lim

Mặt khác lim

4n
8
 0  lim n  0
4
9  n  1

2n2  3n  1 2
2n2  3n  1
  lim
0
n  3n  1
3
un

Vậy un   3n  1 4n1 , n  N * và lim

2n 2  3n  1
0
un

Nhận xét:
u1  x0
1) Nếu dãy số  un  thỏa mãn: 
n 1
*
un1  kun  t. , n  N

( với 0  k , t ,  R )
thì ta biến đổi cơng thức truy hồi đưa về dạng 3:

un1  kun  t. n1  un1  kun  t . n

u1  x0
2) Nếu dãy số  un  thỏa mãn: 
n
*

un1  kun  t.  f  n  , n  N

( trong đó, f  n  là một đa thức theo n và 0  k , t ,  R )
thì ta tìm g  n  để phân tích : t. n  f  n   g  n  1  kg  n  . Khi đó đưa
được cơng thức truy hồi về dạng:
un1  g  n  1  k  un  g  n  

Bài toán được giải quyết.
Lưu ý: g  n   m. n  h  n  , trong đó h  n  là một đa thức cùng bậc với đa
thức f  n 

u1  x0
3) Nếu dãy số  un  thỏa mãn: 
n
n
*

un1  kun  t.  r.  f  n  , n  N

( trong đó, f  n  là một đa thức theo n và 0  k , t, r,  R )
thì ta làm tương tự dãy số dạng trên.
Ví dụ 12: Cho dãy số  un  thỏa mãn:

u1  1

n
*
un1  2un  3  n, n  N

17

skkn


Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n ?
Định hướng:
Từ công thức truy hồi đã cho, giả sử  n   a.3n  bn  c

Khi đó: g  n  1  a.3n1  b  n  1  c

 g  n  1  2 g  n   3n  n  a.3n1  b  n  1  c  2  a.3n  bn  c   3n  n

a  1

 a.3n  bn  b  c  3n  n  b  1
c  1

Khi đó g  n   3n  n  1
Bài toán được giải quyết.
Giải quyết vấn đề:

Ta có: 3n  n  3n1   n  1  1  2  3n  n  1
Từ công thức truy hồi: un1  2un  3n  n

 un1  3n1   n  1  1  2 un   3n  n  1  , n  N *

Đặt

vn  un   3n  n  1 , n  N *  vn1  2vn , n  N *

  vn  là một CSN có v1  4, công bội q  2

 vn  4.2n1 , n  N *  un  4.2n1  3n  n  1, n  N *
Vậy un  4.2n1  3n  n  1, n  N *
u1  1
Ví dụ 13: Cho dãy số  un  thỏa mãn: 
n
n

*
un1  5un  2.3  6.7  12, n  N

Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ?
Định hướng:
Từ công thức truy hồi đã cho, giả sử: g  n   a.3n  b.7n  c
Khi đó: g  n  1  a.3n1  b.7 n1  c  g  n  1  5 g  n   2.3n  6.7 n  12
n
 a.3n1  b.7 n1  c  5  a.3n  b.7 n  c   2.3
1 n  12
a 6.7

 2a.3n  2b.7 n  4c  2.3n  6.7 n  12  b  3
c  3
Khi đó g  n   3n  3.7n  3    3n  3.7n 
 3

Bài toán được giải quyết.
Giải quyết vấn đề:
Ta có:

2.3n  6.7 n  12    3n1  3.7 n1  3  5  3n  3.7 n  3

Từ công thức truy hồi: un1  5un  2.3n  6.7n  12
18

skkn


 un1   3n1  3.7n1  3  5 un   3n  3.7 n  3 , n  N *

Đặt vn  un   3n  3.7 n  3 , n  N *  vn1  5vn , n  N *

  vn  là một CSN có v1  28 , công bội q  5  vn  28.5n1 , n  N *

 un  28.5n1   3n  3.7n  3  3.7n  28.5n1  3n  3, n  N *

Vậy un  28.5n1   3n  3.7n  3  3.7n  28.5n1  3n  3, n  N * .
Dạng 5: Cho dãy số  un  thỏa mãn:

u1 , u2

un1  aun  bun1  0, n  2

2
( trong đó 0  a, b  R; a  4b  0 ).

Định hướng: Đưa công thức truy hồi về dạng:

un1  x1un  x2  un  x1un1  ,  x1 , x2  R 
 x1  x2  a
Khi đó ta có hệ: 
 x1 .x2  b
Với điều kiện a 2  4b  0  x1 , x2 là 2 nghiệm phương trình:
x 2  ax  b  0 *

(phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy)
Ta tìm được x1 , x2
Đặt vn  un1  x1un  vn  x2vn1 , n  2

  vn  là một CSN có v1  u2  x1u1 , q  x2  vn  v1. x2 

Khi đó

un1  x1un  vn  x1un  v1 . x2 

* là dãy số dạng 4 đã có cách giải.

n 1

n1

, n  2
v1
n
 un1  x1un  . x2  , n  2 *
x2

Bài tốn được giải quyết.
Ví dụ 14: Cho dãy số  un  thỏa mãn:


u1  2019

u2  2020

2u  un1
un1  n
, n  2
3



Tính lim un ?
( Đề thi HSG Tốn 11 Tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019 )
Định hướng:
Từ công thức truy hồi của dãy số, ta có: 3un1  2un  un1  0
Xét phương trình đặc trưng của dãy số: 3x 2  2 x  1  0
1
Phương trình có 2 nghiệm: x1  1, x2  
3
19

skkn


Từ đó ta có cách giải quyết bài tốn như sau:
Giải quyết vấn đề:
Với n  2 , ta có:
2u  un1
1
 3un1  2un  un1  0  un1  un    un  un1 
un1  n
3
3
1
Đặt vn  un1  un  vn   vn1 , n  2
3
1
  vn  là một CSN có v1  1, q  
3

n1

 1
 1
 vn     , n  2  un1  un    
 3
 3
 1
 un1  un    
 3

n 1

n 1

1

n

9 1
 1
 un  3    un1    
4 3
 3

n 1

9 1
 un    
4 3

n

n

9 1
Đặt vn  un      vn1  vn , n  2   vn  là dãy số không đổi n  2
4 3
2

9  1  8079
 vn  v2  u2     
, n  2
4 3
4
n

n

9  1  8079 9  1 
 un  vn     
    , n  2
4 3
4
4 3

 8079 9  1 n  8079
 lim un  lim 
    
4

4  3  
4

8079
Vậy lim un 
4
Nhận xét: Vì x1  1 nên từ cơng thức

 1
un1  un    
 3

n 1

 1
 un1  un    
 3

n 1

1

Ta nghĩ đến phương pháp cộng dồn các số hạng của dãy số.
Từ 1 ta có: u1  2019

u2  2020
1

 1
u3  u2    

 3

20

skkn


 1
u4  u3    
 3

2

 1
u5  u4    
 3
…

3

 1
un  un1    
 3
Cộng vế theo vế, ta có:

n2

2

 1  1

 1
u1  un  2019  2020          ...    
 3  3
 3
 1
1  
 3
 un  2019 
4
3

n2

n 1

3  1
 2019  1    
4   3 

n 1

 8079 9  1 n
  

4
4 3


n
 8079 9  1 n  8079

8079 9  1 
 un 
    , n  2  lim un  lim 
    
4
4 3
4  3  
4
 4

Vậy lim un 

8079
4

Nhận xét: Nếu VP của công thức truy hồi ở dạng 5 là một đa thức f  n  thì
ta tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số như thế nào ?
u1 , u2
Khi dãy số có cơng thức truy hồi dạng: 
,
un1  aun  bun1  f  n  , n  2
trong đó f  n  là một đa thức bậc k theo n ; a, b  0
Ta tìm cách phân tích f  n   g  n  1  ag  n   bg  n  1* , đưa công thức
truy hồi đã cho về dạng:
un1  g  n  1  a un  g  n   b un1  g  n  1  0

Khi đó, đặt vn  un  g  n  , n  2  vn1  a.vn  b.vn1  0
Vấn đề ở chỗ, ta tìm g  n  như thế nào?

Từ * ta thấy, f  n  là một đa thức bậc k theo n nên ta phải chọn g  n  sao

cho

g  n  1  ag  n   bg  n  1 là một đa thức bậc k theo n .
Giả sử g  n   am n m  am1n m1  ...  a1n  a0  am  0  là một đa thức

bậc m theo n  g  n  1  am  n  1  am1  n  1
m

m1

 ...  a1  n  1  a0
21

skkn


g  n  1  am  n  1  am1  n  1
m

m1

 ...  a1  n  1  a0

Khi đó, ở VP của * , hệ số của nm là am 1  a  b  , hệ số của n m1 là

m 1  b  am  1  a  b  am1

Do đó:
+) Nếu phương trình: x 2  ax  b  0 1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thì
1  a  b  0 nên VP của * là một đa thức bậc m

+) Nếu phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt mà trong đó có một nghiệm
bằng 1 thì suy ra 1  a  b  0 , nghiệm còn lại bằng b  1  m 1  b  am  0  VP
của * là một đa thức bậc m  1 và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g  n 
Khi đó bậc của g  n  là k  1 và có hệ số tự do bằng 0

+) Nếu phương trình 1 có nghiệm kép bằng 1  a  2, b  1  VP của
* là một đa thức bậc m  2 và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g  n  . Khi
đó bậc của g  n  là k  2 và có hệ số tự do bằng 0 .
Từ nhận xét trên, ta có cách tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số dạng
sau:
u1 , u2
Dạng 6: Dãy số  un  thỏa mãn: 
un1  aun  bun1  f  n  , n  2
2
( trong đó f  n  là một đa thức theo n , 0  a, b  R; a  4b  0 ).

Định hướng: Tìm g  n  sao cho f  n   g  n  1  ag  n   bg  n  1
Khi đó, đưa cơng thức truy hồi về dạng:

un1  g  n  1  a un  g  n   b un1  g  n  1  0

Khi đó, đặt vn  un  g  n  , n  2  vn1  a.vn  b.vn1  0
Như vậy, để chọn g  n  ta cần chú ý như sau:

+) Nếu phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thì g  n  là một đa
thức cùng bậc với f  n 

+) Nếu phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt mà trong đó có một nghiệm
bằng 1 thì ta chọn g  n   n.h  n  , trong đó h  n  là một đa thức cùng bậc f  n  .

+) Nếu phương trình 1 có nghiệm kép bằng 1 thì ta chọn g  n   n2 .h  n  ,
trong đó h  n  là một đa thức cùng bậc f  n  .
Vấn đề được giải quyết.
u1  1, u2  3
Ví dụ 15: Dãy số  un  thỏa mãn: 
un 2  un  2  un1  1 , n  11

Tìm lim

un
?
n2

22

skkn