Skkn hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt môn toán lớp 5

Sáng kiến kinh nghiệm

LỜI CÁM ƠN
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, sự hợp tác giúp đỡ
nhiệt tình của các đồng chí giáo viên trong nhà trường đã tạo điều
kiện cho tôi khảo sát thực tế, thu thập số liệu, góp nhiều ý kiến cho
tơi hồn thành đề tài sáng kiến này. Với sự nỗ lực của bản thân và
kinh nghiệm trong giảng dạy, tơi có đóng góp nhỏ của mình với đề
tài: “ Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học
sinh học tốt mơn toán lớp 5” Tuy do điều kiện nghiên cứu, thời
gian, phạm vi có hạn nên sáng kiến khơng thể tránh khỏi những
thiếu sót, kính mong sự góp ý chân thành của đồng nghiệp, của Hội
đồng khoa học cấp trường và cấp ngành để Sáng kiến kinh nghiệm
của tơi được hồn thiện hơn và có giá trị ứng dụng trong thực
tiễn.Tơi xin chân thành cám ơn.
Hoàng Thị Hiền

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

1


Sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài và lịch sử vấn đề nghiên cứu.
Đất nước ta đã và đang bước vào thời kì hội nhập với tất cả các nước tiên tiến trên
toàn thế giới. Mỗi chúng ta đều nhận thấy sự chuyển biến của mọi mặt trong đời sống xã
hội theo từng ngày, từng giờ. Để đất nước trở nên phồn thịnh, xoá bỏ nghèo nàn lạc hậu,

chúng ta cần lắm những bàn tay nắm lấy bàn tay, những người cơng dân có đức, có tài.
Bác Hồ kính u đã nói “ Vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng
người”. Trồng người là sự nghiệp của toàn Đảng, toàn dân, trong đó nghành Giáo dục
đóng vai trị quan trọng hàng đầu. Làm thế nào để sự nghiệp trồng người mang lại nhiều
kết quả tốt? Yếu tố này chính là mục tiêu của một nền giáo dục đổi mới, là trách nhiệm
của hệ thống Giáo dục quốc dân.
Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng cao
chất lượng giáo duc. Bác viết “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân
tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với các cường quốc năm châu
được hay khơng, chính là nhờ một phần lớn ở công học tập của các em”. Đúng vậy, “
Hiền tài là nguyên khí quốc gia” Bất kì quốc gia nào muốn có nền cơng nghiệp tiên tiến,
một đất nước phồn vinh thì phải xác định cho mình chiến lược “ Nhân tài” Đó chính là
nguồn nhân lực quý báu của đất nước, động lực phát triển kinh tế, xã hội của quốc gia. “
Dân trí, nhân lực, nhân tài là ba mục tiêu phát triển chiến lược giáo dục”. Nghị quyết
TW II khóa VIII nhấn mạnh Giáo dục được coi là “Quốc sách hàng đầu” Công tác giáo
dục không chỉ nhằm cung cấp tri thức, phát triển nhân cách cho học sinh mà còn có
nhiệm vụ phát triển và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước.
1.1.Xuất phát từ thực trạng việc đổi mới dạy và học tốn ở trường Tiểu học.
- Cổ nhân có câu “ Mưu kế 100 năm khơng gì bằng đào tạo nhân tài cho ngày
mai”. Có lẽ vì thế, nghề giáo đã được đánh giá là “ Nghề cao quí nhất trong các nghề cao
quí”. Để đảm đương trọn vẹn trọng trách của xã hội giao cho trước hết người thầy phải
xác định đúng mục tiêu của Giáo dục nói chung và mục tiêu của Giáo dục Tiểu học nói
riêng đó là: Giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và
lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thẩm mĩ, thể chất và các kĩ năng cơ bản, góp phần hình thành
nhân cách và trách nhiệm công dân, tiếp tục học Trung học cơ sở.
- Trong chương trình Tiểu học thì mơn Tốn là một trong những viên gạch để xây

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

2


Sáng kiến kinh nghiệm

dựng toà nhà tri thức ở mỗi em học sinh. Mỗi học sinh đều phải thể hiện được hoạt động
học tập tích cực, chủ động, sáng tạo. Hịa chung niềm vui của nền giáo dục nưóc nhà,
năm 2015, Viêt Nam đại thắng tại Olympic toán học quốc tế, đứng thứ 5/106 nước tham
dự. Để đạt được két quả như vậy thì ngay từ bậc tiểu học, việc đổi mới phương pháp dạy
học tốn, cơng tác bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn là hết sức cần thiết.
1.2. Sự cần thiết của việc bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn.
- Bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn là một hoạt động cần thiết trong q trình
dạy học, cần được tiến hành liên tục, đồng thời với việc dạy học mỗi đơn vị kiến thức.
- Bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn trước hết để các em phát triển những kĩ
năng tư duy đặc trưng của tốn học.
- Trong chương trình tốn Tiểu học, một số khơng ít các em học sinh khi đứng
trước một bài tốn rất khó khăn để xác định được phương pháp giải các bài tốn đó vì
vậy giải tốn chiếm vị trí đặc biệt quan trọng. Các bài tốn được sử dụng để gợi động cơ
tìm kiến thức mới, giải toán được sử dụng để củng cố, luyện tập kiến thức, giải toán giúp
cho việc nâng cao năng lực tư duy của học sinh. Khi học giải toán, học sinh thực hiện
cơng việc của một người làm tốn.
-Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trọng đối với giáo viên Tiểu học là phải nắm
chắc phương pháp giải các bài tốn nâng cao ở Tiểu học, đồng thời có năng lực giải các
bài toán bằng “ phương pháp Tiểu học” mà đó là một cơng việc khơng hề dễ dàng.
- Khi nghiên cứu về phương pháp giải các bài toán bồi dưỡng học sinh học tốt
mơn tốn lớp 5, để học sinh dễ hiểu hơn, cuốn hút hơn và gây hứng thú trong học tâp
nhiều hơn, để học sinh từ thích thú mà đi đến chủ động học tập, tìm tòi, sáng tạo. Nhận
thấy tầm quan trọng của phương pháp dạy học cho nên tơi trình bày về “ Hướng dẫn một
số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5”

2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu đề tài.
2.1. Mục tiêu: Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 5 giải các dạng toán
cơ bản và nâng cao nhằm bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn.
2.2. Phạm vị nghiên cứu.
- Nội dung: Hướng dẫn học sinh biết và vận dụng được các phương pháp giải toán nhằm
bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5.
- Thời gian: Qua q trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5, tôi

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

3


Sáng kiến kinh nghiệm

nghiên cứu, tích lũy và làm đề tài trong thời gian từ 11/ 2018 đến hết tháng 01/ 2019
3. Đối tượng nghiên cứu: Giúp học sinh lớp 5 hệ thống và vận dụng được các phương
pháp giải các dạng toán cơ bản và nâng cao.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Để đạt dược mục têu nêu trên, tôi đã xác định cho mình những nhiệm vụ nghiên
cứu sau đây:
a. Tìm hiểu thực trạng.
b. Các biện pháp thực hiện.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện được mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu mà đề tài đề ra, tôi xây dựng
các phương pháp nghiên cứu sau đây:
a. Nhóm các phương pháp nghiên cứu lí thuyết:
Tìm hiểu sách giáo khoa lớp 4, lớp 5 và các tài liệu, sách tham khảo liên quan đến tốn

Tiểu học.
b. Nhóm các phương pháp thực tiễn:
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp phỏng vấn.
PHẦN II: CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
CHƯƠNG I: THỰC TRẠNG CỦA VIỆC VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG GIẢI TOÁN Ở LỚP 5 ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC
SINH HỌC TỐT MƠN TỐN.
- Để học sinh học tốt mơn tốn thì việc nắm vững và sâu các phương pháp giải
tốn chiếm vị trí vơ cùng quan trọng, từ đó giúp các em giải được các bài tốn cơ bản,
cao hơn nữa giúp các em có óc tư duy, độc lập, sáng tạo, phát triển trí thơng minh đối với
các bài toán nâng cao.
- Qua việc dạy và học, học sinh vận dụng được một số phương pháp giải tốn có
hiệu quả nhưng bên cạnh đó cũng khơng tránh khỏi những tồn tại. Qua thực tế cho thấy:
1. Thực trạng giáo viên.
* Ưu điểm:
+ Giáo viên nắm chắc phương pháp giảng dạy theo hướng đổi mới, lấy học sinh làm

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

4


Sáng kiến kinh nghiệm

trung tâm.
+ Đa số giáo viên đều tìm hiểu kĩ bài giảng, vận dụng linh hoạt các phương pháp.

* Nhược điểm: Bồi dưỡng học sinh là một cơng tác kiêm nhiệm, cơ sở vật chất (
phịng học) của trường cịn gặp nhiều khó khăn, do đặc thù của lớp học một buổi nên giáo
viên cho học sinh học tốt mơn tốn tiếp cận với các bài tốn nâng cao chưa nhiều.
2. Thực trạng học sinh.
* Ưu điểm: Qua việc tìm hiểu, điều tra cho thấy bài làm của học sinh, đa số các
em nắm được các phương pháp giải đối với các bài toán nâng cao.
* Nhược điểm: Về việc vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải bài
tốn nâng cao đơi với một số học sinh cịn gặp rất nhiều khó khăn, việc phối hợp nhiều
phương pháp để giải bài toán chưa được các em vận dụng một cách triệt để.
* Nguyên nhân:
- Thời gian bồi dưỡng cho học sinh còn hạn chế (thường các em được bồi dưỡng
vào trái với buổi học chính thức hoặc chiều thứ bảy) để các em tiếp cận giải các bài tốn
củng cố sâu cịn rất ít.
- Chương trình hoạt động ngoại khố tốn Tiểu học cịn hạn chế (Đối với học sinh
Tiểu học thì ngoại khố Tốn học giúp chọ Toán học hấp dẫn học sinh hơn, làm cho Toán
học trở nên gần gũi hơn với cuộc sống hàng ngày, đồng thời tạo cơ hội hình thành ở học
sinh những phẩm chất khơng đơn thuần Tốn học).
CHƯƠNG II. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
- Khi giáo viên đưa ra một bài tốn, để giải được bài tốn đó thì trước hết học sinh phải
xác định xem bài tốn đó thuộc dạng tốn cơ bản nào, bài tốn đó có cần phối hợp nhiều
phương pháp giải hay không ?
- Đứng trước những khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải một bài tốn thì vai
trị của người giáo viên là phải dẫn dắt học sinh từ những điều đã học, từ những bài toán
đã làm để học sinh biết học tập một cách sáng tạo, hiểu và nắm vững các phương pháp
giải toán cơ bản sau đây.
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
Sơ đồ đoạn thẳng có vai trị đặc biệt quan trọng trong giải tốn ở Tiểu học nói
chung và chương trình Tốn lớp 5 nói riêng. Nhờ sơ đồ đoạn thẳng các khái niệm và
quan hệ trừu tượng của số học như các phép tính và các quan hệ được biểu thị trực quan

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

5


Sáng kiến kinh nghiệm

hơn Sơ đồ đoạn thẳng giúp các em “ Trực quan hố” các suy luận.
Ví dụ:
m +n
Phép cộng:
m

n
m

Phép trừ:
m –n

n
mxn
Phép nhân

(n lần)
m m

m
m

(n lần)

Phép chia
m:n
*Ví dụ về quan hệ tỉ số được biểu thị như sau:
m
n
( m : n = 4 : 3)
* Sơ đồ đoạn thẳng biểu thị quan hệ về hiệu:

Ví dụ 1: Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 15 m đường,
ngày thứ hai sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ ba sửa được nhiều hơn ngày
thứ nhất 2 m. Hỏi tổ công nhân trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường sắt?
Thơng thường học sinh giải bài toán trên theo sơ đồ:
Ngày thứ nhất

15m

Ngày thứ hai

1m
?m

Ngày thứ ba

2m
?m

Trung bình mỗi ngày ? m
Giải

Số m đường tổ công nhân sửa được trong ngày thứ hai.
15 +1 = 16 ( m)
Số m đường tổ công nhân sửa được trong ngày thứ ba:
15 + 2 = 17 ( m)
Tổ cơng nhân trung bình mỗi ngày sửa được:
( 15 + 16 +17 ) : 3 = 16 ( m)

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

6


Sáng kiến kinh nghiệm

Đáp số: 16 m
* Từ cách giải theo sơ đồ trên, học sinh sẽ hình dung ra cách giải bài tốn dễ dàng
hơn, nó đã cụ thể hóa đối với học sinh. Để từ bài tốn đơn giản, các em sẽ hiểu và giải
được các bài toán nâng cao hơn. Ngồi ra, tơi cịn hướng dẫn học sinh giải theo cách sau
đây.
* Học sinh hãy quan sát kĩ sơ đồ, nếu chuyển 1m từ ngày thứ ba sang ngày thứ
nhất thì số m đường sửa được trong mỗi ngày đều bằng nhau:
Ngày thứ nhất

15m

Ngày thứ hai

1m

Ngày thứ ba

1m
?m

Từ sơ đồ trên HS sẽ thấy ngay trung bình mỗi ngày đội đó sửa được 16 m đường. Như
vậy sơ đồ giúp cho học sinh hình dung rõ khái niệm, đơi khi sơ đồ cịn giúp học sinh tính
nhẩm nhanh kết quả.
* Để củng cố cho học sinh dạng tốn “ Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu của 2 số đó” và
giúp học sinh thấy được cùng một bài tốn có thể sử dụng nhiều cách vẽ sơ đồ khác nhau,
mỗi cách đều dẫn đến một lời giải tương ứng.
- Đầu tiên tôi hướng dẫn học sinh lựa chọn cách giải tự nhiên và dễ hiểu nhất, sau
đó tìm thêm cách vẽ dẫn đến lời giải ngắn gọn hơn và khả năng trừu tượng hơn để phát
triển cho học sinh khả năng tư duy đối với bài tốn khó.
Ví dụ 2: Khối lớp Một có bốn lớp, với tổng số học sinh là 156 em. Lớp 1A nhiều hơn lớp
1B là 10 học sinh. Lớp 1C ít hơn lớp 1A là 4 học sinh. Lớp 1B và lớp 1D có số học sinh
bằng nhau. Hỏi mỡi lớp có bao nhiêu học sinh?
Lời giải 1: Các em giải bài tốn theo sơ đồ với mẫu có sẵn: Tìm 2 số khi biết tổng và
và hiệu của 2 số đó.
Lớp 1A
10 em
Lớp 1B
Lớp 1C

156 em
4em

Lớp 1D

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

7


Sáng kiến kinh nghiệm

Giải
Số học sinh lớp 1C nhiều hơn lớp 1B là:
10 – 4 = 6 (em)
Số học sinh lớp 1B cũng là số học sinh lớp 1D có là:
[156 – ( 10 +6 ) ] : 4 = 35 (em)
Số học sinh lớp 1A có là:
35 +10 = 45 (em)
Số học sinh lớp 1C có là:
45 – 4 = 41 (em)
Đáp số: 45 em; 35 em; 41 em; 35 em.
Lời giải 2:

Vì số học sinh lớp 1B và 1D bằng nhau, cịn số học sinh lớp 1C ít hơn lớp

1A là 4 em, nên ta có sớ đồ:
Lớp 1A + 1B

1B

1A

Lớp 1C + 1D

1D

1C

4em

Số học sinh 2 lớp 1C và 1D là:

( 156 – 4) : 2 = 76 ( em)

Số học sinh 2 lớp 1A và 1B là:

76 + 4 = 80 ( em)

156 em

10 em

Lớp 1A
? em

80 em

Lớp 1B
? em
Số học sinh lớp 1B: ( 80 – 10) : 2 = 35 ( em)
Số học sinh lớp 1A: 35 + 10 = 45 ( em)
Số học sinh lớp 1C: 45 – 4 = 41 ( em)

Đáp số: 45 em; 35 em; 41 em; 35 em.
Vậy qua cách giải bài toán theo 2 sơ đồ trên: Sơ đồ thứ nhất giúp các em đi tìm hướng
giải theo con đường tương tự với mẫu có sẵn. Sơ đồ thứ hai, đi tìm hướng giải theo con
đường phân tích bài toán thành các bài toán đơn giản hơn. Với các cách giải như vậy giúp
học sinh phát triển tính sáng tạo, tư duy, tìm tịi, độc lập và hứng thú khi giải toán.

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn toán lớp 5

8


Sáng kiến kinh nghiệm

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ DƯỚI LÊN
Ở Tiểu học chúng ta thường xuyên gặp bài toán tìm thành phần chưa biết của phép
tính. Nếu biết các thành phần, thì tính được ngay kết quả của phép tính. Ngược lại, nếu
biết kết quả và một trong hai thành phần của phép tính thì sẽ tính được thành phần kia. Ở
Tiểu học khơng có bài học riêng về phương pháp tính ngược từ dưới lên, nhưng có một
số bài tốn có thể giải bằng phương pháp này để rèn luyện năng lực tư duy của học sinh.
1.Các bài tốn dạng biến đổi một số.
*Ví dụ 1: [( 3 + x ) : 2] x 4 – 8 = 12
Ở Tiểu học, tôi hướng dẫn học sinh giải như sau. Ta vẽ sơ đồ:
+3

:2

x4

-8

12

- Coi dãy phép tính bên trái là một phép trừ và tính số bị trừ.
[( 3 +x ) : 2] x 4 = 12 + 8 = 20
-Tiếp theo cho học sinh thấy dãy tính bên trái là một phép nhân và tính một thừa số.
[( 3 +x ) : 2 = 20 : 4 = 5
-Tiếp theo dãy tính ở bên trái là một phép chia và tính số bị chia.
3 + x = 5 x 2 = 10
- Cuối cùng tìm số hạng x
x = 10 – 3 = 7
Quá trình tìm x như thế là một quá trinh tính ngược từ kết quả cuối cùng trở lại thành
phần x.
*Sau khi giảng xong bài tập này, nếu muốn học sinh khai thác và vận dụng dưới nhiều
khía cạnh có thể cho HS làm thêm những bài toán tương tự- vận dụng kết quả của bài
tốn này để giải bài tốn kia thơng qua đó mà rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy,
sáng tạo trong toán học: đặc biệt hoá, tổng hợp hố và tương tự.
Ví dụ 2: Một người bán cam đã tính như sau:
Lần đầu bán
bán được

1
1
số cam và 1 quả, lần thứ hai bán số cam còn lại và 1 quả, lần thứ ba
2
2

1
số cam còn lại sau lần bán thứ hai và 1 quả. Sau ba lần bán, cịn lại là 10 quả.

2

Hỏi người đó đã đem đi bán tất cả bao nhiêu quả cam.
Để giải được bài tốn này tơi hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn toán lớp 5

9


Sáng kiến kinh nghiệm

-ax

1
2

-1

a

-bx

1
2

-1

b

-cx

1
2

-1

c

10

a
a em sẽ nhận thấy bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối.
Từ sơ đồ các

- GV giảng: Bán đi

1
1
số cam thì cũng cịn lại
số cam. Để tính số cam cịn lại
2
2

đó ta làm thế nào?
HS trả lời được: lấy số cam chia cho 2. Tơi chốt lại: Do đó phép tính ngược là
phép nhân với 2. Hướng dẫn học sinh giải bài toán như sau:
Giải.

Số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai.
( 10 + 1) x 2 = 22 (quả)
Số cam còn lại sau khi bán lần thứ nhất.
( 22 + 1) x 2 = 46 (quả)
Số cam người đó đem bán có:
( 46 +1) x 2 = 94 (quả)
Đáp số: 94 quả
2 .Các bài toán dạng biến đổi đồng thời 2 số.
Ví dụ 3: Kiên và Hiền có một số bi. Kiên chuyển cho Hiền một số bi đúng bằng số bi mà
Hiền có. Sau đó Hiền chuyển trả lại cho Kiên một số bi đúng bằng số bi còn lại của Kiên.
Bây giờ Hiền có 35 viên bi và Kiên có 30 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên
bi ?
Để giải được bài tốn, tơi hướng dẫn cho học sinh tóm tắt bằng sơ đồ.
Số bi của Kiên:

K1

Số bi của Hiền: H1

- H1

+ K2
K2

+ H1

30
- K2

H2

35

HS dựa vào sơ đồ để giải:
Số bi còn lại của Kiên sau khi chuyển cho Hiền là:
30 : 2 = 15 ( viên)
Trước lúc chuyển trả lại cho Kiên, số bi của Hiền là:
35 + 15 = 50 ( viên)

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

10


Sáng kiến kinh nghiệm

Số bi lúc đầu của Hiền là:
50 : 2 = 25 ( viên)
Số bi lúc đầu của Kiên là:
15 + 25 = 40 ( viên)
Đáp số: Kiên: 40 viên
Hiền: 25 viên
Để bài toán bớt phần trừu tượng đối với học sinh, tôi hướng dẫn các em giải dựa vào sơ
đồ đã tóm tắt để giải bài tốn, từ đó học sinh hình dung bài tốn được dễ dàng hơn.
III. PHƯƠNG PHÁP XÉT LẦN LƯỢT CÁC TRƯỜNG HỢP
Khi giải một bài toán, nếu biết tất cả các khả năng có thể xảy ra đều nằm trong tập
hợp những trường hợp nào đó thì ta xét lần lượt từng trường hợp để tìm phần chưa biết.
Phương pháp này yêu cầu học sinh phải suy luận ( xét lần lượt các trường hợp). Chẳng

hạn bài tốn sau đây:
Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số mà tích 2 chữ số bằng thương của một chữ số
chia cho chữ số kia.
Từ điều kiện đề bài đã cho, HS tự tìm các số tự nhiên có 2 chữ số thoả mãn tích 2
chữ số bằng thương một chữ số chia cho chữ số kia.
Tơi có thể hướng cho các em lựa chọn các cách giải sau:
+ Cách 1: Xét lần lượt từng số có 2 chữ số: 10; 11; 12; …; 99.
Ta thấy các số 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 30; 31; 40; 41; 50; 51; 60;
61;
70; 71; 80; 81; 90; 91 thoả mãn điều kiện đề bài. Các số còn lại không thoả mãn điều
kiện đề bài.
Với cách trên HS giải theo liệt kê những số có 2 chữ số thoả mãn điều kiện đề bài.
Để tổng quát HS có thể giải theo cách sau đây.
+ Cách 2: Xét một số có 2 chữ số ab ( a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng
đơn vị). Chữ số a có thể là một trong 9 chữ số: 1, 2, 3,…, 9.
Xét lần lượt từng trường hợp:
* a =1. Ta có 1 x b = b : 1 với tất cả các chữ số b = 0; 1; …; 9. Vậy ta được 10 số:
10; 11; …; 19.
* a = 2 Ta có 2 x 0 = 0 : 2; 2 x 1 = 2 : 1. Vậy ta được 2 số : 20; 21.

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

11


Sáng kiến kinh nghiệm

Khi b > 1 thì 2 x b > b, còn b : 2 < b, các số 2b bị loại với b > 1.

* a = 3; 4; 5; 6; 7; 8 ; 9. Xét tương tự như khi a = 2 ta được các số 30; 31; 40; 41;
50; 51; 60; 61; 70; 71; 80; 81; 90; 91. Vậy ta được 26 số thoả mãn điều kiện đề bài.
Cách 3: Xét một số có 2 chữ số ab. Xét 3 trường hợp
* a > 1; b > 1. Vì a x b > a ; a : b < b, nên a x b khác a : b.
Vậy trường hợp a > 1 ; b > 1 bị loại.
* b = 0. Ta luôn luôn có a x 0 = 0 : a. Vậy ta được các số thoả mãn điều kiện đề
bài: 10; 20; …; 90.
* a = 1 hoặc b = 1. Ta ln có a x 1 = a : 1 hoặc 1 x b = b : 1. ta được các số 10;
11; 12;…; 19; 21; 31; …91.
Nhận xét: Để giải bài toán, ở cách 1 ta phải xét 90 trường hợp, ở cách 2 ta xét 9
trường hợp, ở cách 3 ta xét 3 trường hợp. Khi dùng thêm lập luận thì giảm bớt được tính
tốn. Nếu khơng muốn lập luận nhiều thì phải tăng tính tốn.
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên x để: 2  x + 4 < 9.
Học sinh tìm các số tự nhiên x sao cho 2  x + 4 < 9.
Với x = 0 thì 2 x 0 + 4 < 9. Thoả mãn điều kiện đề bài.
Với x = 1 thì 2 x 1 + 4 < 9. Thoả mãn điều kiện đề bài.
Với x = 2 thì 2 x 2 + 4 < 9. Thoả mãn điều kiện đề bài.
Với x > 2 thì 2 x x + 4 > 9. Không thoả mãn điều kiện đề bài.
Vậy x = 0: 1: 2.
IV. PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM VÀ KHỬ
Trước hết tơi cho học sinh ví dụ về bài tốn dạng giải bằng phương pháp giả thiết
tạm và khử. Từ đó học sinh biêt phương pháp giả thiết tạm và khử thường được áp dụng
để giải các bài toán mà phần cần tìm gồm ít nhất 2 số chưa biết, cịn phần đã biết gồm
một số điều kiện ràng buộc các số chưa biết đó với nhau.
Khi giải học sinh phải tự đặt ra một giả thiết thích hợp ta khử bớt các yếu tố tham
gia vào các điều kiện đã cho, trên cơ sở tìm ra một số chưa biết rồi lần lượt tìm các số cịn
lại.
Ví dụ 1: Lần thứ nhất mua 1kg gạo và 2 kg thịt hết 33000 đồng. Lần thứ hai mua 2
kg gạo và 3 kg thịt hết 51000 đồng. Tính giá tiền 1 kg gạo và 1 kg thịt ?
*Hướng dẫn học sinh đưa ra giả thiết tạm như sau:

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Tóm tắt:
Lần thứ nhất: 1 kg gạo và 2 kg thịt hết 33000 đồng
Lần thứ hai: 2 kg gạo và 3 kg thịt hết 51000 đồng
Giả sử mua gấp đôi lần thứ nhất tức là:
+ Lần thứ nhất mua 2 kg gạo và 4 kg thịt hết :
33000 x 2 = 66000 ( đồng)
+Nếu mua như giả thiết tạm đó thì so với lần thứ 2 mua
nhiều hơn 1 kg thịt và phải trả:
66000 – 51000 = 15000 ( đồng)
+Vậy 1 kg thịt giá 15000 ( đồng)
Từ đó học sinh tính được 1 kg gạo giá:
[ 51000 – ( 3 x 15000) ] : 2 = 3000 ( đồng)
Đáp số: 1 kg gạo: 3000 đồng
1 kg thịt : 15000 đồng
Như vậy nhờ vào giả thiết tạm mà học sinh đã khử bớt được yếu tố là gạo, từ đó
các em đã tìm được giá của 1 kg thịt, sau đó tìm tiếp giá của 1 kg gạo.
* Để giải bài tốn nhiều khi cần liên hệ nó với bài tốn tương tự. Vì vậy sau khi giảng
xong ví dụ 1 này tơi có thể cho học sinh vận dụng để giải ví dụ sau đây.
Ví dụ 2: Lớp 4A có 43 học sinh. Bài kiểm tra tốn học kì vừa qua cả lớp đều được
điểm 9 hoặc điểm 10. Tổng số điểm của cả lớp là 406. Hỏi có bao nhiêu bạn được điểm

9, bao nhiêu bạn được điểm 10 ?
Cách 1:

Để giải bài tốn, tơi hướng cho các em đặt ra một giả thiết đó là:

Giả sử cả lớp, 43 học sinh đều được điểm 10.
Khi đó tổng số điểm của cả lớp là : 43 x 10 = 430( điểm)
Số điểm dôi ra thêm là: 430 – 406 = 24( điểm)
Số điểm dôi ra là vì mỗi học sinh đã được tính thêm : 10 – 9 = 1 ( điểm)
Vậy số học sinh đạt điểm 9 là: 24 : 1 = 24 ( em)
Số học sinh đạt điểm 10 là: 43 – 24 = 19 ( em)
Đáp số : Điểm 9: 24 em
Điểm 10: 19 em
Cách 2:

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

13


Sáng kiến kinh nghiệm

Giả sử cả lớp, 43 học sinh đều được điểm 9.
Khi đó tổng số điểm của cả lớp là: 43 x 9 = 387 ( điểm)
Số điểm bị hụt đi là: 406 – 387 = 19 ( điểm)
Số điểm bị hụt đi là vì mỗi học sinh đã bị tính hụt đi :
10 – 9 = 1( điểm)
Vậy số học sinh đạt điểm 10 là: 19 em

Số học sinh đạt điểm 9 là: 43 – 19 = 24 ( em)
Đáp số: Điểm 9: 24 em
Điểm 10: 19 em
Ví dụ 3: Bài tốn về tỉ số phần trăm liên quan tới phương pháp khử.
Tính tuổi hai anh em. Biết 62,5% tuổi anh hơn 75 % tuổi em là 2 tuổi. Tuổi anh hơn 75 %
tuổi em là 14 tuổi?
Tóm tắt
62,5% tuổi anh - 75 % tuổi em = 2 tuổi
Tuổi anh - 75 % tuổi em = 14 tuổi?
Tìm tuổi anh, tuổi em...?
Giải
Qua sơ đồ tóm tắt, ta thấy
100% tuổi anh hơn 62,5% tuổi anh số tuổi là:
14 – 2 = 12 (tuổi)
Tuổi anh là: 12 : 37,5 x100 = 32 (tuổi)
75% tuổi em là: 32 – 14 = 18 (tuổi)
Tuổi em là : 18 : 75 x 100 = 24 (tuổi)
Đáp số : Tuổi anh : 32 tuổi
Tuổi em: 24 tuổi
Như vậy qua các ví dụ phần cần tìm của bài tốn chứa 2 đối tượng. Sau mỗi lần giả thiết
tạm ta khử bớt một đối tượng và đưa về bài toán đơn giản hơn.
V. PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT TỔ HỢP
Đối với học sinh học tốt mơn tốn, khi phải tính số cặp, số cách sắp xếp, số cách
chọn… ngồi những cách thơng thường, người ta thường sử dụng một số phương pháp

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

14

Sáng kiến kinh nghiệm

của lí thuyết tổ hợp. Đối với học sinh Tiểu học có thể cho học sinh làm quen với một số ý
nghĩa và tính chất mới của các phép tính, mà lí thuyết tổ hợp gọi là nguyên tắc cộng,
nguyên tắc nhân và nguyên tắc “ chiếc lồng chim”.
1.Nguyên tắc cộng: Nếu có thể thực hiện một công việc bằng m cách loại I và n
cách loại II, trong đó khơng có cách loại I nào trùng với cách loại II nào, thì sẽ có m + n
cách thực hiện cơng việc đó.
2. Ngun tắc nhân: Nếu có m cách thực hiện cơng việc I và n cách thực hiện
cơng việc II, thì sẽ có m x n cách thực hiện liên tiếp hai công việc I và II.
Ví dụ 1: Cho các số 2, 4, 6, 8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau
trong các chữ số đó ?
+ Cách 1: Ta liệt kê tất cả các số gồm 2 chữ số khác nhau đó
24; 26; 28 ,
42; 46; 48
62; 64; 68 ,
82; 84; 86
Vậy có tất cả 12 số cần tìm.
+ Cách 2: Để lập một số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau đó, ta cần chọn một
chữ số làm chữ số hàng chục và một chữ số khác chữ số đó làm chữ số hàng đơn vị. Có 4
cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2, 4, 6, 8). Sau khi chọn chữ số hàng chục, có 3 cách
chọn chữ số hàng đơn vị khác với chữ số hàng chục đã chọn. Theo nguyên tắc nhân, có 4
x 3 = 12 cách chọn cả 2 chữ số. Vậy có 12 chữ số cần tìm.
* Cách thứ nhất là cách thông thường mà lần đầu giải bài toán dạng này học sinh
nên làm. Cách thứ hai là cách của lí thuyết tổ hợp. Ưu điểm của cách này là nó cho phép
khái qt hố thành cách giải cho các bài toán tổng quát.
3.Nguyên tắc chiếc lồng chim: Nếu chỉ có n chiếc lồng mà phải nhốt n + 1 con
chim vào các lồng đó, thì sẽ có ít nhất 2 con chim được nhốt chung trong một chiếc

lồng.
Ví dụ 2: Có 3 đơi tất (3 đơi khác màu nhau) cất trong tủ. Một người khơng nhìn, lấy ra
một số chiếc tất. Hỏi anh ta phải lấy ra ít nhất mấy chiếc tất để ít nhất có 2 chiếc tất cùng
một đôi.
Trước hết tôi để cho học sinh tự tìm cách lấy.

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn toán lớp 5

15


Sáng kiến kinh nghiệm

Sau đó hướng cho học sinh lập luận như sau: Nếu anh ta chỉ lấy ra 3 chiếc tất, thì
có thể 3 chiếc thuộc 3 đơi tất khác nhau. Nếu anh ta lấy ra 4 chiếc tất, thì ít nhất sẽ có một
đơi ngun vẹn. Vậy anh ta phải lấy ra ít nhất 4 chiếc tất.
4. Dãy số và nhóm số: Các bài tốn về dãy số có nhiều ưu điểm nếu xét về mục
đích nâng cao năng lực tư duy của học sinh. Chẳng hạn khi cố gắng đi tìm “ qui luật biến
đổi” các số trong một dãy số, học sinh phải tưởng tượng ra các số trong dãy số đó mà
khơng thể viết hết ra được .
Ví dụ 3: Xét dãy số: 100; 101; …; 789
a. Dãy này có bao nhiêu số ?
b. Số thứ 100 là số nào?
C. Dãy này có bao nhiêu chữ số ?
Giải
a. Trong dãy số trên khoảng cách giữa hai số liên tiếp luôn là 1 đơn vị.
Từ 100 đến 789 có: ( 789 -100) : 1 = 689 ( khoảng cách)
Vậy dãy số trên có: 689 +1 = 690 ( số)

b. Số thứ 100 là số:
100 +100 – 1 = 199
c. Số các chữ số của dãy là:
3 x 690 = 2070 ( chữ số)
VI. CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CHUYỂN ĐỘNG
1. Chuyển động trên dịng nước :
Đối với học sinh học tốt mơn tốn, các bài tốn về chuyển động trên dịng nước giải
bằng phương pháp Tiểu học rất cần thiết, nó giúp phát triển năng lực tư duy của học sinh
làm tiền đề để các em học tốt ở những bậc học tiếp theo.
Khi vật chuyển động trên dịng nước, nó bị tác động của chính dịng nước. Do dó,
ngồi vận tốc thực của vật cịn có thêm hai loại vận tốc là vận tốc xi dịng và vận tốc
ngược dịng.
Khi đi xi dịng thì vật được dịng nước đẩy thêm, do đó vật sẽ đi nhanh hơn. Vận
tốc của vật khi đó bằng vận tốc thực cộng thêm vận tốc dòng nước (gọi là vận tốc xi
dịng). Ngược lại khi vật đi ngược dịng, vật bị dịng nước cản lại. Do đó vật đi chậm hơn.
Vận tốc của vật khi đó bằng vận tốc thực trừ đi vận tốc dòng nước (gọi là vận tốc ngược

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải tốn bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

16


Sáng kiến kinh nghiệm

dịng)
Để giải các bài tốn chuyển động trên dòng nước, học sinh cần ghi nhớ :
( S : Quãng đường

V : Vận tốc

t : Thời gian )

a. Vận tốc khi đi xi dịng bằng vận tốc thực cộng với vận tốc dịng nước.
V xi dịng = V thực + V dòng nước
b. Vận tốc khi đi ngược dòng bằng vận tốc thực trừ đi vận tốc dòng nước.
V ngược dòng = V thực - V dòng nước
c. Vận tốc dịng nước bằng vận tốc xi dịng trừ đi vận tốc ngược dòng rồi chia cho 2.
V dòng nước = (V xi dịng - V ngược dịng) : 2
Ta có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:
V thực

V dịng nước

V xi dịng
V ngược dịng
V dịng nước
d. Vận tốc thực bằng vận tốc xi dịng cộng với vận tốc ngược dịng rồi chia cho 2.
V thực = (V xi dịng + V ngược dịng) : 2
Ví dụ 1 :Một ca nơ chạy ngược dịng trên khúc sơng CD với vận tốc 24 km/giờ trong thời
gian 45 phút và xuôi dịng từ D về C hết 30 phút. Tính vận tốc dịng nước.
Phân tích: Biết vận tốc ca nơ chạy ngược dịng và thời gian đi ngược dịng ta tính
được chiều dài khúc sơng CD. Biết thời gian xi dịng ta tính được vận tốc xi dịng, từ
đó ta tính được vận tốc dòng nước.
Giải
Đổi 45 phút = 0,74 giờ

30 phút = 0,5 giờ

Chiều dài khúc sông CD
24 x 0,75 = 18 (km)
Vận tốc xi dịng của ca nơ:
18 : 0,5 = 36 (km/giờ)
Vận tốc dòng nước là:
(36 – 24 ) : 2 = 6 (km/giờ)
Đáp số : 6 (km/giờ)

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

17


Sáng kiến kinh nghiệm

Ví dụ 2 : Một chiếc ca nô chạy trên một quãng sông đã được xác định. Chạy xi
dịng thì mất 3 giờ, chạy ngược dịng thì mất 4 giờ 30 phút. Hỏi trong điều kiện như vậy
một cụm bèo trơi trên qng sơng đó mất bao lâu?
( Trích trong đề thi Tốn Tuổi thơ chọn học sinh giỏi dự thi cấp Quốc gia năm 2012-2013 của
tỉnh Bình Dương)

Phân tích : Đây là bài tốn khá trừu tượng đối với học sinh Tiểu học, biết thời gian ca nơ
chạy xi dịng, ta tinh được vận tốc xi dịng, với S là chiều dài qng sơng khơng đổi.
Biết thời gian ca nơ chạy ngược dịng, ta tinh được vận tốc ngược dịng. Sau dó ta tính
được Vận tốc dịng nước (vì cụm bèo trơi theo vận tốc dịng nước). Cuối cùng ta tính
được thời gian để cụm bèo trơi theo dịng nước.
Giải
( S : Qng đường

V : Vận tốc

t : Thời gian )

4 giờ 30 phút = 4,5 giờ
S
3

V xi dịng =

S
4,5

V ngược dịng =
Hai lần vận tốc dòng nước :

S
S
1,5S S
=
=

3 4,5
13,5 9

Vận tốc dòng nước là:

S
S

:2=
9
18

Thời gian để cụm bèo trơi theo dịng nước là:
S :

S
= 18 ( giờ)
18

Đáp số : 18 giờ
2. Chuyển động trên một quãng đường nhất định.
Ví dụ 3 :Một người đi quãng đường từ A đến B với vân tốc 40 km/giờ. Lúc về họ đi từ B
về A với vận tốc 60km/giờ. Tính vận tốc trung bình mà người đó cả đi và về trên qng
đường đó?
( Bài tốn trong vịng thi số 17 cấp Tỉnh tốn Internet năm học 2013 -2014)
Trong q trình bồi dưỡng, tơi thấy bài tốn này học sinh dễ nhầm sang tính theo cách

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

18


Sáng kiến kinh nghiệm

giải tốn trung bình cộng. Bởi học sinh chưa hiểu rõ bản chất, ở đây không chỉ có hai đại
lượng qng đường, vận tốc mà nó cịn liên quan đến đại lượng thời gian.

Giải:
Với quãng đường đi và về khơng đổi, ta có Vận tốc trung bình bằng tổng quãng đường đi
và quãng đường về chia cho tổng thời gian đi và thời gian về.
( S : Quãng đường

V : Vận tốc

Thời gian người đó đi từ A đến B là:

S
40

Thời gian người đó đi từ B về A là :

S
60

t : Thời gian )

Tổng quãng đường đi và về là: S + S = 2 S
Tổng thời gian đi và về là:

S
S
100S
S
=
 =
40 60 2400 24

Vận tốc trung bình người đó cả đi và về trên quãng đường là:
2S:

S
= 48 ( giờ)
24

Đáp số : 48 giờ
VII. QUY TRÌNH GIẢI MỘT BÀI TỐN
Khi giải một bài tốn hợp dành cho học sinh học tốt, học sinh thường phải phối
hợp nhiều phương pháp. Để các em giải được một bài tốn, ngồi việc nắm vững các
phương pháp giải nói trên các em cần nắm rõ quy trình giải bài tốn đó là:
+ Tìm hiểu bài tốn.
+ Lập kế hoạch giải.
+ Thực hiện kế hoạch giải.
+ Nhìn lại bài tốn.
* Tìm hiểu bài tốn: HS phải làm rõ phần đã cho và phần cần tìm của đề bài.
Ví du 1: Tuổi chị và tuổi em cộng lại được 32 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi chị bao nhiêu
tuổi, em bao nhiêu tuổi ?
Phần đã cho: Tổng và hiệu của tuổi chị và tuổi em.
Phần cần tìm: tuổi chị, tuổi em.
Để nhận ra mối liên hệ giữa 2 phần ta tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng:

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

19

Sáng kiến kinh nghiệm

Tuổi chị:
8 tuổi

32 tuổi

Tuổi em:
*Lập kế hoạch giải: Đi tìm hướng giải bài tốn.
Ở Tiểu học, con đường đi tìm hướng giải như sau:
-Đầu tiên xem xét bài tốn cần giải có thuộc loại điển hình hay khơng?
-Nếu khơng thì học sinh xem xét bài tốn có tương tự với bài toán nào mà người
giải toán đã biết cách giải hay khơng ?
-Nếu khơng thì tìm cách phân tích bài tốn, cần giải thành các bài tốn thành phần
mà người giải đã biết cách giải. Sự phân tích có thể tiến hành theo nhiều cấp, phân tích
bài toán ban đầu thành một số bài toán đơn giản hơn.
Ví du 2: Có 9 ơ tơ chuyển thực phẩm vào thành phố, trong đó 5 ơ tơ đi đầu, mỗi ô tô
chuyển được 36 tạ và 4 ô tô đi sau, mỗi ô tô chuyển được 45 tạ. Hỏi trung bình mỗi ơ tơ
chuyển được bao nhiêu tấn thực phẩm?
Hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn thành 2 bài tốn đơn giản hơn.
+Tìm số thực phẩm mà hai lần đã chuyển được.
+Tìm số trung bình cộng.
Học sinh đã biết cách giải mỗi bài tốn này. Điều đó có nghĩa là học sinh đã lập
xong kế hoạch giải cho bài toán ban đầu.
*Thực hiện kế hoạch giải.
Học sinh thực hiện kế hoạch giải có nghĩa là thực hiện các phép tính theo trình tự
mà bước lập kế hoạch giải đã xác định, sau đó viết lời giải.
Sau khi đã lập xong kế hoạch giải thì các em thực hiện kế hoạch giải: Viết lời giải
Giải.
Số tạ thực phẩm do 5 ô tô đi đầu chuyển là:

36 x 5 = 180 (tạ)
Số tạ thực phẩm do 4 ô tô đi sau chuyển là:
45 x 4 = 180 ( tạ)
Số tạ thực phẩm do 9 ô tô chuyển:
180 + 180 = 360 ( tạ)
Trung bình mỗi ơ tơ chuyển được:

skkn

Đề tài: Hướng dẫn một số phương pháp giải toán bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn lớp 5

20