Skkn một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở

Mã số

- Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập
về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở”.
- Lĩnh vực áp dụng: Lĩnh vực tự nhiên
- Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Nga
- Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Tân Phong

Tân phong, tháng 01/2019
1

skkn


- Tên sáng kiến:Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập
về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở
-Mô tả bản chất sáng kiến
+ Nội dung sáng kiến
 Thực trạng
Trong quá trình dạy học, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi,
bản thân tơi nhận thấy khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh về số
chính phương vẫn cịn nhiều lúng túng, không định hướng được cách giải cho nên
trong học tập hay thi cử khi gặp các bài toán về số chính phương các em thường
mong chờ may rủi. Nếu các em được giáo viên hướng dẫn có hệ thống thì các em
hồn tồn có thể chủ động giải được loại bài tốn này, từ đó phát huy được tố chất
tốn học tiềm ẩn trong học sinh, chấm dứt sự mong chờ may rủi trong kiểm tra thi
cử của học sinh, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
 Các giải pháp thực hiện
* Giải pháp 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về số chính phương.
+ Định nghía số chính phương
Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

Mười số chính phương đầu tiên là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
+ Một số tính chất của số chính phương.
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; khơng thể có
chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố, ta được các thừa số là
lũy thừa của số nguyên tố số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Khơng có số
chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Khơng có số
chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
7- Giữa hai số chính phương liên tiếp khơng có số chính phương nào.
2

skkn


8- Nếu hai số ngun liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số
ngun đó là số 0.
* Giải pháp 2: Phân loại các dạng bài tập.
1. Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương khơng”
2. Loại bài tập “Chứng minh một số là số chính phương”.
3. Loại bài tập “Chứng minh một số khơng là số chính phương”.
4. Loại bài tập “Tìm số chính phương”.

5. Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”.
* Giải pháp 3: Hướng dẫn cách giải đối với mỗi loại bài tập, đưa ra ví dụ cụ
thể và lời giải chi tiết.
1. Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương khơng”
Trong dạng bài tập này nếu theo định nghĩa về số chính phương thì các số trong các
bài tập đề cập đến quá nhiều chữ số, rất khó phát hiện nó là bình phương của số nào
ngay cả khi sử dụng máy tính cầm tay vì số chữ số của mỗi số tràn màn hình. Nếu
giáo viên khơng phát hiện ra tính chất của số chính phương thì sẽ khơng thể giải
được bài tập loại này. Do đó để giải được loại bài tập này tôi đã hướng dẫn học
sinh phát hiện và nên sử dụng tính chất nào của số chính phương thì mới giải được.
Ví dụ 1: Hãy xét xem các số sau có phải là số chính phương khơng?
M = 1345678910111213
N = 1234567891011121314151617
P = 1234567891011121314151617181920212223
Giáo viên hướng dẫn: Để xét xem các số cụ thể trên có là số chính phương
khơng, ta sử dụng tính chất của số chính phương đó là “số chính phương khơng tận
cùng bởi các chữ số 2; 3; 7; 8”
Giải
Trước tiên ta xét chữ số tận cùng của các số M, N, P
M = 1345678910111213 có chữ số tận cùng là 3
N = 1234567891011121314151617 có chữ số tận cùng là 7
P = 1234567891011121314151617181920212223 có chữ số tận cùng là 3
Vậy M, N, P đều không phải là số chính phương.
Ví dụ 2: Các số sau có là số chính phương khơng?
A  19922  19932  1994 2
B  1992 2  19932  1994 2  19952

P  1  9100  94100  1994100

3

skkn


Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất 3- Số chính phương chỉ có thể có
một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Khơng có số chính phương nào có dạng 4n + 2
hoặc 4n + 3 (n  N).
Và tính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1.
Khơng có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ).
Giải:
Các số 19933 ,19942 là số chính phương khơng chia hết cho 3 nên chia cho 3
dư 1, còn 19922 chia hết cho 3. Số A là số chia cho 3 dư 2, khơng là số chính
phương.
Các số 1992 2 ,1994 2 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4.Các số 19932 ,19952
là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1. Số B là số chia cho 4 dư 2, khơng là số
chính phương.
Các số 94100 ,1994100 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4. Cịn 9100 là
số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.Số P là số chia cho 4 dư 2, khơng là số
chính phương.
Ví dụ 3: Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không?
11, 111, 1111, 11111, ...
Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất3- Số chính phương chỉ có thể có
một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Khơng có số chính phương nào có dạng 4n + 2
hoặc 4n + 3 (n  N).
Giải
Mọi số của dãy đều tận cùng bởi 11 nên là số chia cho 4 dư 3. Mặt khác, số chính
phương lẻ thì chia cho 4 dư 1.
Vậy khơng có số nào của dãy là số chính phương
2. Loại bài tập “Chứng minh một số là số chính phương”.
Với dạng bài tập này các số mà bài tập đề cập thường rất phức tạp không đơn

giản để phát hiện nó là bình phương của một số. Do vậy với từng số, từng biểu thức
cần biến đổi để đưa chúng về các hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc
bình phương của một hiệu. Cách biến đổi như thế nào cho hiệu quả nhất thì tơi đã
hướng dẫn cụ thể trong các ví dụ. Sau đây là các ví dụ minh họa mà tơi đã áp dụng.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương
a) A = 11 … 1 -22 … 2
ố

ố

b) B = 224 99 … 9 1 00 … 0 9
ố

ố

4

skkn


c) C =44 … 4 88 … 8 9
ố

ố

Giáo viên hướng dẫn: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau
thành một số chính phương tức là biến đổi chúng về bình phương của một tổng
hoặc một hiệu ta nên đặt11 … 1 =a và như vậy: 99 … 9+ 1 = 10 = 9a +1
Giải
a, A = 11 … 1 -22 … 2 = 11 … 1 00 … 0 +11 … 1 - 2.11 … 1

ố

ố

= 11 … 1 .10

ố

ố

ố

ố

- 11 … 1

ố

ố

Đặt 11 … 1 =a  99 … 9 = 9a  9a +1 = 10
ố

Do đó A = a(9a + 1) – a = 9a 2   3a  = (33 … 3)2 là một số chính phương.
2

ố

b, B = 224 99 … 9 1 00 … 0 9
ố

ố

+ 99 … 9 10

= 224.10

+10

+9

ố

=
=
=
=

224.10
224.10
225.10
225.10

=

1510

n

+ (10

− 1)10
+ 10
- 10
- 9. 10 + 9
- 90. 10 + 9

 3

+ 10
+9
+10
+9

2

Vậy B là một số chính phương
c, C =44 … 4 88 … 8 9
ố

ố

= 4.11 … 1 .10

+ 8.11 … 1 + 1

ố

= 4.

10

n1

9

 1

ố

.10

+8.

10

n1

 1

9

 2.10n1  1 
4.102 n  2  4.10n 1  1
=
=

9
3



+1

2

Vì 2.10n1  1 ln chia hết cho 3 nên C là một số chính phương.
Ví dụ 2: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
(k N).
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
Giáo viên hướng dẫn:Tính tổng S là một dãy có quy luật:
5

skkn


k(k + 1)(k + 2) =
+ 2)(k + 3) -

1
1
1
k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2).  (k  3)  (k  1)  = k(k + 1)(k
4
4
4

1
k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
4

Giải :
1
1
k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2).  (k  3)  (k  1) 
4
4
1
1
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
4
4

Ta có: k(k + 1)(k + 2) =

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Đây là tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng
1 ln là số chính phương (Đã chứng minh ở ví dụ 3).
Ví dụ 3: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Giáo viên hướng dẫn: Nhân thừa số đầu và thừa số thứ tư, thừa số thứ hai và
thừa số thứ ba trong tích rồi đặt ẩn phụ để A là bình phươngcủa một số nguyên.
Giải
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4
2
2
2
2
4
= ( x  5 xy  4 y )( x  5 xy  6 y )  y

2
2
Đặt x  5 xy  5 y  t

(t  Z ) thì

A = ( t  y 2 )(t  y 2 )  y 4  t 2  y 4  y 4  t 2  ( x 2  5 xy  5 y 2 ) 2
Vì x, y, z  Z nên x 2  Z , 5 xy  Z , 5 y 2  Z  x 2  5 xy  5 y 2  Z
Vậy A là số chính phương.
3. Loại bài tập “Chứng minh một số khơng là số chính phương”.
Với loại bài tập này ngược lại với loại bài tập trước nếu theo tư duy logic thì
cách làm là biến đổi các số, các biểu thức đã cho khơng có dạng bình phương của
một tổng hoặc một hiệu, theo cách này thì một số bài tập trong ví dụ sau là khó khả
thi. Vì vậy tơi đã đưa ra giải pháp là cần xem xét kĩ các tính chất của số chính
phương mà tơi đã cung cấp cho các em để phát hiện nó khơng thỏa mãn tính chất
nào để từ đó kết luận cho bài tốn.
Ví dụ 1 Chứng minh rằng :
a, Tổng của ba số chính phương liên tiếp khơng là một số chính phương.
b, Tổng S = 12  22  32  ...  302 không phải là một số chính phương
Giáo viên hướng dẫn: Xét số dư trong phép chia số đó cho 3.
6

skkn


Giải
2
2
a, Gọi ba số chính phương liên tiếp là  n  1 ; n 2 ;  n  1
2

2

Tổng của chúng là  n  1  n 2   n  1 = n 2  2n  1  n 2  n 2  2n  1 = 3n 2  2
Tổng này chia cho 3 dư 2 nên khơng phải là số chính phương.
b,Ta viết S thành tổng của 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số hạng.
S = 12  22  32  ...  302 = 12  22  32    42  52  6 2  ...   282  292  302 
Mỗi nhóm chia cho 3 dư 2 nên
S =  3k1  2    3k2  2  ...   3k10  2 
S = 3k1  3k 2  ...  3k10  18  2
S = 3k + 2 (trong đó k = k1  k2  ...  k10  6 )
S chia cho 3 dư 2 nên S khơng phải là số chính phương.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: A = 12  22  32  42  ...  1002 khơng là số chính
phương.
Giáo viên hướng dẫn: Với cách làm ở ví dụ 1 thì A chia cho 3 dư 1, ta chưa
khẳng định được điều gì. Nên chuyển hướng xét số dư khi A chia cho 4
Giải
A gồm 50 số chính phương chẵn, 50 số chính phương lẻ. Mỗi số chính phương chẵn chia
hết cho 4 nên tổng của 50 số đó chia hết cho 4. Mỗi số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1
nên tổng của 50 số đó chia cho 4 dư 2.
A là số chia cho 4 dư 2, khơng là số chính phương.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp
khơng thể là một số chính phương.
Giáo viên hướng dẫn:Chứng minh tổng các bình phương của 5 số tự nhiên
liên tiếp chứa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n, n +1, n + 2 ( n  N, n >2).
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 khơng thể chia hết cho 5
=> 5.(n2 + 2) khơng là số chính phương hay A khơng là số chính phương.

Ví dụ 4:Cho a, b, c là các chữ số khác 0. Gọi S là tổng của tất cả các số có 3 chữ số
tạo thành bởi cả 3 chữ số a, b, c. Chứng minh rằng S khơng phải là số chính phương.
Giáo viên hướng dẫn: Viết S=
+
+
+
+
+
sau đó
viết mỗi số hạng ở dạng cấu tạo số.
Giải
7

skkn


Ta có S = abc +acb + bca + bac + cba + cab
= 100a + 10b + c + 100a + 10c + b + 100b + 10c + b + 100b + 10a + c +
100c + 10b + a + 100c + 10a + b
= 222(a + b +c) = 2.3.37(a + b +c)
Vì 0< a + b +c ≤ 27 nên a + b +c không chia hết cho 37
(6; 37) = 1  6(a + b +c) khơng chia hết cho 37 do đó S khơng phải là số chính
phương.
4. Loại bài tập “Tìm số chính phương”.
Ở loại bài tập này giáo viên hướng dẫn: Biểu diễn số chính phương đúng
theo yêu cầu của đề bài, tiếp theo viết số đó dưới dạng tổng các lũy thừa của 10.
Ví dụ 1Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2
chữ số cuối giống nhau.
Giáo viên hướng dẫn:Biểu diễn số chính phương đúng theo yêu cầu của đề
bài, viết số đó dưới dạng tổng các lũy thừa của 10.

Giải
Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9
Ta có: n2 = aabb =
.100 +
= 1100 a + 11b =11.(100a + b) = 11.(99a + a + b)
(1)
Nhận xét thấy aabb  11  99a + a + b  11(Vì aabb là số chính phương), lại có
99a  11 nên a + b  11
Mà 1  a  9; 0  b  9 nên 1  a + b  18  a + b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = { 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9 } ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn
Suy ra b = 4
Số chính phương cần tìm là: 7744
Ví dụ 2:Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số
nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Giáo viên hướng dẫn: Làm như ví dụ 1 nhưng chú ý đến số nguyên tố và căn
bậc hai.
Giải
Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1  a  9; 0  b, c, d  9
abcd chính phương  d  0,1, 4, 5, 6, 9 d nguyên tố  d = 5
Đặt abcd = k2< 10000  32  k < 100
k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5  k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương  k = 45
8

skkn


 abcd = 2025. Vậy số phải tìm là: 2025.

Ví dụ 3 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số
đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.
Giáo viên hướng dẫn: Làm như ví dụ 1
Giải
Đặt abcd  k 2 ta có ab  cd  1 và k  N, 32  k < 100
=

+ 1; k2 =

= 1000a + 100b +
= 100 +
= 100(1 + ) + = 101 + 100
2
Suy ra : 101 cd = k – 100 = (k – 10)(k + 10)  k + 10  101 hoặc k – 10  101
Mà (k – 10; 101) = 1  k + 10  101
Vì 32  k < 100 nên 42  k + 10 < 110  k + 10 = 101  k = 91
2
 abcd = 91 = 8281. Vậy số chính phương cần tìm là 8281.
5. Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”.
Ở loại bài tập này cần đặt cả biểu thức trong đề bài là bình phương của một
số tự nhiên, sau đó biến đổi theo hướng có sử dụng tính chất của số chính phương.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 + 1234 là một số chính
phương.
Giáo viên hướng dẫn: Đặtn2 + 1234 = k2 (k  N). Sau đó biến đổi để có hiệu
hai bình phương chính là hiệu của hai số chính phương, rồi xét số dư khi chia cho
4.
Giải
Đặt n2 + 1234 =k2 (k  N) hay k 2  n 2  1234 . Số 1234 chia cho 4 dư 2 mà k 2  n 2 là
hiệu của hai số chính phương chia cho 4 khơng có số dư là 2.
Do đó khơng có số tự nhiên nào để cho n2 + 1234 là số chính phương.

Ví dụ 2: Tìm các số tự nhiên k để cho số 2k  24  27 là số chính phương.
Giáo viên hướng dẫn: Như ví dụ 1 đặt 2k  2 4  27  a 2 (a  N) sau đó làm xuất
hiện hiệu của hai số chính phương.
Giải
Đặt 2k  2 4  27  a 2 (a  N)  2k  a 2  144  (a  12)(a  12)


a  12  2m
(m, n  N; m > n và m + n = k )

n
a  12  2

Suy ra 2m  2 n  24  8.3  2n (2m n  1)  23.3
 2n  23 ; 2m n  4  22  m  n  2  m  5; n  3 ; k = m + n =8.

Thử lại ta thấy 28  24  27  400  20 2 . Vậy k = 8.
Ví dụ 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho x2 + 2x + 200 là một số chính phương.
9

skkn


Giáo viên hướng dẫn: như ví dụ 2.
Giải
Đặt x2 + 2x + 200 = a2 (a  N; a > 14)
 a 2  (x  1)2  199  (a  x  1)(a  x  1)  199

Do a + x + 1 và a - x -1 có cùng tính chẵn lẻ nên (a  x  1)(a  x  1)  199.1
a  x  1  199

a  x  1  1

Vì a + x + 1 > a - x -1 nên 

 x = 98. Thử lại ta thấy 982  2.98  200  10000  1002 là số chính phương.

Vậy x = 98 thìx2 + 2x + 200 là số chính phương.
Ví dụ 4: Tìm các số ngun x sao cho A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) là một số chính
phương.
Giáo viên hướng dẫn: như ví dụ 3, cần lưu ý để xuất hiện hiệu hai số chính
phương cần đặt ẩn phụ.
Giải
A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) = (x2 – 8x)( x2 – 8x +7)
Đặt x2 – 8x =t thì A = t(t +7) = t2 + 7t
Giả sử A là một số chính phương thì t2 + 7t = m2 (m  N)
2
2
 4t + 28t + 49 =4m + 49
2
2
 (2t + 7) - (2m) = 49  (2t +7 + 2m)( 2t +7 - 2m) = 49.
Ta thấy 2t +7 + 2m > 2t +7 - 2m nên
 (2t +7 + 2m)( 2t +7 - 2m) = 49 = 49.1 = (-1)(-49) = 7.7 =(-7)(-7)
Xét các trường hợp
2t  7  2m  49
 t=9
2t  7  2m  1

(I) 

Do đó x2 – 8x =9  (x +1)(x - 9) = 0  x  1;9
2t  7  2m  1
 t = -16
2t  7  2m  49

(II) 

Do đó x2 – 8x =-16  (x - 4)2 = 0  x = 4
2t  7  2m  7
 t=0
2t  7  2m  7

(III) 

Do đó x2 – 8x = 0  x(x - 8) = 0  x  0;8
2t  7  2m  7
 t = -7
2t  7  2m  7

(IV) 

Do đó x2 – 8x =-7  (x - 7)(x - 1) = 0  x  1;7
10

skkn


Vậy x  1;0;1; 4;7;8;9 thì A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) là số chính phương.
*Giải pháp 4: Đưa ra các bài tập áp dụng cho từng loại bài tập
Bài tập áp dụng cho loại 1:

Bài 1: Có thể dùng cả năm chữ số 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số chính phương có năm
chữ số được khơng?
Hướng dẫn: Áp dụngtính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng
3n hoặc 3n +1. Khơng có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ).
(Số có năm chữ số tạo bởi các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 là số chia cho 3 dư 2 nên không
là số chính phương ).
Bài 2: Các số sau có là số chính phương khơng?
a) A = 22...24(có 50 chữ số 2)
b) B = 44...4(Có 100 chữ số 4)
c) C = 19947 + 7
Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất 3- Số chính phương chỉ có thể có một
trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Khơng có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc
4n + 3 (n  N).
Và tính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n
+1. Khơng có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ).
Bài tập áp dụng cho loại 2:
Bài 1 Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương.
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1
2n chữ số 1
n chữ số 4
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1
n chữ số 6
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7
2n chữ số 4

n+1 chữ số 2
2

 10 n  2 

Kết quả: A= 
 ;
 3 

n chữ số 8
2

 10n  8 
B
 ;
 3 

 2.10n  7 
C 

3



2

Bài 2 Chứng minh rằng:
a, Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính
phương.
11

skkn


b, Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính

phương.
c, Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính
phương.
2
2
Kết quả: a, Cho n = a 2  b 2 (a, b N) khi đó 2n =  a  b    a  b 
2

2

a2  b2  a  b   a  b 
2
2
b, Cho 2n = a  b . Khi đó n =

 
 . Do a  b là số
2
2
2

 

a b
a b
chẵn nên a và b cùng chẵn hoặc cùng lẻ, do đó
và
là số nguyên.
2
2

2

2

2

2

c, Cho n = a 2  b 2 (a, b N) Khi đó n 2   a 2  b 2    a 2  b 2    2ab 

2

Bài 3 Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng
cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước: 16, 1156, 111556, ...
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
Hướng dẫn: Cách làm như ví dụ
Bài tập áp dụng cho loại 3
Bài 1:Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ khơng phải là số chính
phương.
Bài 2: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên
thì p - 1 và p + 1 khơng thể là các số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng tổng của 20 số chính phương liên tiếp khơng thể là số
chính phương.
Bài tập áp dụng cho loại 4:
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A
một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
(Kết quả: A = 2025 và B = 3136).
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và
số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính
phương. (Kết quả: Số phải tìm là 65).

Bài tập áp dụng cho loại 5:
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
(Kết quả: n = 5 + 7 = 12)
Bài 2: Tìm số tự nhiên n  1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính
phương.( Kết quả n =1 và n=3).
Bài 3: Tìm a để các số sau là những số chính phương
a)
a2 + a + 43
12

skkn


b)
a2 + 81
c)
a2 + 31a + 1984
Kết quả:
a)
2; 42; 13
b)
0; 12; 40
c)
12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12
b) n(n + 3)
c) 13n + 3
d) n2 + n + 1589
Kết quả: a, n =4

b, n = 1
c, n = 13k2  8k + 1 (với k  N)
d, = 1588 ; 316 ; 43 ; 28
+ Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Qua thời gian trực tiếp nghiên cứu và giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi
nhận thấy nội dung sáng kiến này rất khả thi, có thể áp dụng phổ biến được trong
lĩnh vực bồi dưỡng học sinh giỏi toán khối 8, thậm chí cho cả lĩnh vực bồi dưỡng
học sinh giỏi mơn tốn cấp trung học cơ sở trong toàn huyện, đặc biệt phù hợp cho
các trường chất lượng cao.
Mong rằng, nội dung của sáng kiến này sẽ được nhân rộng và sử dụng rộng
rãi cho các giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn và học sinh trong đội tuyển
học sinh giỏi trong toàn huyện trong các năm học tiếp theo.
- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp
dụng sáng kiến lần đầu:
+ Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được theo ý kiến tác giả:
- Đối với học sinh làm các bài toán về số chính phương một cách linh hoạt
hơn, các em khơng cịn thấy lạ, thấy khó nữa tự tin hơn. Từ đó kích thích được sự
tị mị, sự sáng tạo, ham học hỏi, khám phá cái mới lạ trong học tập mơn Tốn nói
riêng và các mơn khoa học khác nói chung. Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận
dụng phương pháp giải bài toán một cách hợp lý nên đã giải được nhiều bài tốn
hay, bài tốn khó và có những lời giải độc đáo .
- Học sinh giải bài tập về số chính phương hết ít thời gian hơn, khơng cần
phải học thêm ngồi nhà trường, giảm chi phí về kinh tế cho phụ huynh.
- Đối với giáo viên được nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ tự tin hơn
trong công tác giảng dạy.
13

skkn

- Sau khi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì chất lượng học sinh có sự
chuyển biến rõ rệt, đặc biệt là các em học sinh khi chưa áp dụng một số giải pháp
này có điểm yếu, trung bình thì sau khi áp dụng một số giải pháp trên các em đã có
điểm ở mức trung bình, khá, giỏi.
*. Đối với lớp
Kết quả trước khi áp dụng
Số
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
HS
Lớp
khảo TS %
TS
%
TS
%
TS
%
TS
%
sát
8
20
0
0
3
15,0 4

20,0 10
50,0 3
15,0
Sau khi áp dụng:
Số
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
HS
Lớp
khảo TS %
TS
%
TS
%
TS
%
TS
%
sát
8
20
3
15,0 35,0 15,0 7
35,0 3
15,0 0
0
*. Đối với trường:
-Tăng chất lượng học sinh giỏi, học sinh khá. Giảm số lượng học sinh trung

bình, yếu trong các kì cuối kì, cuối cấp.
-Tăng số lượng học sinh có giải trong kì thi học sinh giỏi cấp trường và cấp
huyện. Đảm bảo chỉ tiêu chất lượng HSG do nhà trường giao khốn.
- Thơng tin cần bảo mật: Khơng có
d. Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
- Bản thân giáo viên cần có thời gian nghiên cứu kỹ, sâu hơn các loại bài tập
từ đó đưa ra cách hướng dẫn cho học sinh dễ hiểu.
- Học sinh cần phải có thời gian rèn kỹ năng thành thạo cách giải cho từng
loại bài tập đồng thời u thích, đam mê mơn học, tự giác học bài, thực hiện theo
yêu cầu của giáo viên, chủ động, tích cực, sang tạo trong học tập.
- Thiết bị phục vụ cho công tác giảng dạy cần có: máy chiếu, máy tính, thiết
bị dạy học thơng minh Upointer, máy tính cầm tay.
d. Về khả năng áp dụng sáng kiến
Sáng kiến được áp dụng đối với học sinh giỏi lớp 8 trường trung học cơ sở
tôi đang dạy và các trường trung học cơ sở trong toàn huyện, đặc biệt là trường
chất lượng cao.
14

skkn


Ngồi ra sáng kiến có thể áp dụng cho các buổi tăng giờ, tăng tiết ngồi giờ
học chính khóa trên lớp.
Danh sách các tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu
STT Tên tổ chức/
Phạm vi/ Lĩnh vực áp
Địa chỉ
cá nhân
dụng sáng kiến

1
Lớp 8A,8B
Trường THCS – huyện
Phạm vi: Áp dụng tại
khối 8 trường Bình Xuyên- Vĩnh Phúc
trường THCS cho HSG
THCS
khối lớp 8, cho tổ
KHTN.
Lĩnh vực áp dụng: Khối
KHTN

15

skkn


Tân Phong, ngày tháng 01 năm2019

........, ngày.....tháng......năm 2019.

Tân Phong, ngày 10 tháng 01 năm2019.

Hiệu trưởng
(Ký tên, đóng dấu)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN
(Ký tên, đóng dấu)

Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Thủy

Nguyễn Thị Thanh Nga

16

skkn