Skkn rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 thpt

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ................................................................................................... 2
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. ................................................................................... 2
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. ......................................................................... 2
B. NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................... 3
1. Cơ sở lý luận ............................................................................................... 3
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán. ................................................................. 3
1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán .......................... 8
2. Tình hình dạy học rèn luyện kĩ năng để giải các bài toán về cực trị hàm số ở
trường THPT. ................................................................................................ 10
II. Hệ thống các kiến thức về cực trị hàm số trong sách giáo khoa giải tích lớp
12. ..................................................................................................................... 10
1. Định nghĩa cực trị hàm số. ......................................................................... 10
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. ............................................................. 11
3. Quy tắc tìm cực trị hàm số. ........................................................................ 11
III. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài
toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT. .................................................... 12
1. Tìm cực trị hàm số dựa vào hàm số, bảng biến thiên và đồ thị hàm số đó. . 12
1.1. Phương pháp. ...................................................................................... 12
1.2. Một số ví dụ minh họa. ........................................................................ 12
1.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 15
2. Tìm cực trị hàm số khi biết đạo hàm của hàm số, đồ thị của hàm số đạo
hàm................................................................................................................ 17
2.1. Phương pháp. ...................................................................................... 17
2.2. Ví dụ minh họa. ................................................................................... 17
2.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 19
3. Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước. ........ 20
3.1. Phương pháp. ...................................................................................... 20
3.2. Ví dụ minh họa .................................................................................... 20
3.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 23

skkn


4. Tìm điều kiện tham số để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho
trước........................................................................................................... 24
4.1. Phương pháp. ...................................................................................... 24
4.2. Một số ví dụ minh họa. ........................................................................ 25
4.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 31
5. Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. ............................................ 33
5.1. Phương pháp. ...................................................................................... 33
5.2. Một số ví dụ minh họa. ........................................................................ 33
5.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 37
6. Cực trị của hàm hợp................................................................................... 38
6.1. Phương pháp. ...................................................................................... 38
6.2. Các ví dụ minh họa. ............................................................................. 38
6.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 43
III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM. ..................................................................... 44
1. Mục đích thực nghiệm. .............................................................................. 44
2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm. ............................................................. 45
C. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI. ............. 48
1. Kết quả nghiên cứu. ................................................................................... 48
2. Hướng phát triển của đề tài ........................................................................ 48
II. KIẾN NGHỊ , ĐỀ XUẤT. ............................................................................ 48

skkn

1

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình Mơn Tốn trung học phổ thơng, đạo hàm và ứng dụng
đạo hàm là một trong những nội dung chính của chương trình. Các bài tốn thường
xuất hiện ở các kỳ thi đại học, cao đẳng trước đây củng như kỳ thi trung học phổ
thông quốc gia, tốt nghiệp THPT những năm gần đây. Vì vậy,ứng dụng đạo hàm
để giải các bài toán cực trị hàm số là rất cần thiết đối với học sinh lớp 12 trung học
phổ thông.
Trải qua nhiều năm công tác, tôi nhận thấy rằng học sinh cịn rất lúng túng
khi giải các bài tốn về cực trị hàm số đặc biệt là các em học sinh có học lực trung
bình.
Trước những khó khăn của học trị, tơi tìm tịi, xâu chuổi, hệ thống lại các dạng
toán cơ bản, quan trọng về cực trị hàm số để giúp các em tiếp cận loại toán này
một cách hiệu quả nhất.
Kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản giúp con người giải quyết các vấn đề
trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã
hội phát triển, vì thế việc rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số củng
đóng góp một phần trong vấn đề đó.
Với những lí do trình bày ở trên tơi chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải các
bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT" làm đề tài nghiên cứu .
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiển kĩ năng và kĩ năng giải tốn từ đó đề xuất các
biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cực trị cho HS lớp 12 THPT.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
1. Làm rõ cơ sở lí luận để rèn luyện các kĩ năng giải toán cực trị hàm số cho học
sinh 12 THPT.
2. Xác định các dạng toán cực trị hàm số lớp 12 có thể khai thác.
3. Đề xuất các biện pháp sử dụng và khai thác các bài tập về cực trị hàm số để góp
phần rèn luyện kĩ năng giải tốn cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT.

4. Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả các dạng toán đã đề xuất.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Nghiên cứu lí luận.
- Nghiên cứu các tài liệu, các cơng trình có liên quan đến đề tài, về kĩ năng giải
tốn.
- Nghiên cứu chương trình, SGK, SBT và SGV giải tích lớp 12.
2. Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất các biện pháp thực hiện.

skkn

2


3. Quan sát, dự giờ thăm lớp các tiết luyện tập, tự chọn về cực trị hàm số lớp 12 ở
trường mình và các trường lân cận.
4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp đề xuất.
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán.
1.1.1. Kĩ năng
Theo từ điển Hán Việt của Phan Văn Các, “kĩ năng là khả năng vận dụng tri
thức khoa học vào thực tiễn’’ trong đó khả năng được hiểu là sức đã có ( về mặt
nào đó ) để có thể làm tốt cơng việc.
Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
+) Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa,
chính xác hóa lại kiến thức. Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là một mục
tiêu quan trọng trong dạy học: Chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ năng cho HS,

từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần từng bước tiếp thu
kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp
với yêu cầu của cuộc sống.
+) Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động. Kĩ
năng và tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành các
thao tác, độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng, các thao tác này
được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức. Con đường đi từ chỗ có tri thức đến
chỗ có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập. Nói như vậy là để khẳng định vai
trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hình thành và
phát triển kĩ năng cho HS.
+) Nói đến kĩ năng ta cũng cần phân biệt với kĩ xảo. Kĩ năng và kĩ xảo có
điểm tương đồng, đều là khả năng của con người được hình thành trên cơ sở của tri
thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt động và quá trình tập luyện, đều

skkn

3


là cách thức của hành động. Tuy nhiên kĩ năng và kĩ xảo có những điểm khác biệt
như sau: kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sáng tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo
thiên về khuôn mẫu, máy móc. Kĩ xảo có trước và là tiền đề để có kĩ năng.
Kĩ năng có tính ổn định nhưng khơng bền vững như kĩ xảo. Trong quá trình
hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay
đổi.
+) Như ta đã biết, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tùy theo nội dung
kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các
bài tập tốn học ( tìm tịi, suy đốn, suy luận, chứng minh…)

Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ
năng, phương pháp.
Kĩ năng tốn học được hình thành và phát triển thơng qua việc thực hiện các
hoạt động Tốn học và các hoạt động học tập trong mơn Tốn. Kĩ năng có thể
được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn Tốn là một sự thể hiện mức
độ thơng hiểu tri thức Tốn học.
+) Kĩ năng vận dụng tri thức Tốn học vào các mơn học khác nhau thể hiện
vai trị cơng cụ của Tốn học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện
mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường.
+) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống là một mục tiêu quan trọng của
mơn Tốn. Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Một số kĩ năng cần thiết khi giải tốn:
+) Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài tốn: Phân tích bài tốn, làm rõ các dữ kiện
đã biết, tìm mối liên hệ giữa đại lượng chưa biết với đại lượng đã biết từ đó đi đến

skkn

4


một quy trình để giải quyết bài tốn. Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề,
là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải các bài tốn.
+) Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy động
tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài tốn.
+) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai lầm
khi giải toán: Trong giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm là một thành cơng
của người học tốn.
+) Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài tốn thành kiến thức mới của người

giải toán.
+) Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này được rèn
luyện trong q trình tìm tịi lời giải của bài tốn.
+) Kĩ năng tính tốn: đây là điều cần thiết trong thực tiễn cuộc sống. Các
đức tính để có được các kĩ năng đó là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí, kiên trì, ln có
ý thức tìm tịi các phương pháp tính tốn khác nhau.
Kĩ năng tính tốn được rèn luyện qua các bài luyện tập, thơng qua tính
nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực hiện các phép tính gần đúng.
+) Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc và
vẽ đồ thị chính xác, rõ ràng.
+) Kĩ năng ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và ý nghĩa thực tiễn.
+) Kĩ năng tốn học hóa các tình huống thực tiễn.
+) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải tốn: sắp xếp kiến thức
theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải toán.
Phân loại bài toán để lựa chọn phương pháp giải, tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn,
lập mối liên hệ giữa đại lượng chưa biết với đại lượng đã biết, xác định rõ giả thiết,
kết luận.Biết sử dụng các phương pháp suy luận và các thao tác tư duy khái quát
hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trong tiến trình giải tốn.
+) Kĩ năng tổng hợp: liên kết các dữ kiện trong bài tốn, tóm tắt nội dung
bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, định hướng quy trình giải tốn.

skkn

5


+) Kĩ năng phân tích: biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài tốn, dự
đốn, phân tích và khắc phục các sai lầm trong quá trình giải toán, xác định trọng
tâm cần giải quyết trong bài toán.
+) Kĩ năng mơ hình hóa: mơ hình hóa bài tốn là chuyển bài tốn thành mơ

hình và phân tích quan hệ toán học cũng như các phương pháp toán học sử dụng
trên mơ hình đó. Đây là một kĩ năng cần thiết để giải bài tốn có ứng dụng thực
tiễn và các bài tốn liên mơn khác .
+) Kĩ năng sử dụng thông tin: nhận biết, thu thập và ghi nhận thơng tin từ
nội dung bài tốn.
1.1.3. Đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS
1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng
giải toán cho học sịnh THPT.
a. Cơ sở tâm lý giáo dục
Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy
và các hoạt động của học trị, do đó các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt
dộng dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS có động cơ hồn thiện
tri thức và kĩ năng. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung
vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học tập
của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động, kĩ năng
tự kiểm tra, đánh giá.
b. Cơ sở phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Thực hiện dạy học phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh ( đi từ cụ
thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó ). Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung
tâm”, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá
nhân học sinh. Học sinh được tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận vấn đề.
HS cần được rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ mơn
khác, vào thực tiễn cuộc sống. Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp
nhằm rèn luyện các kĩ năng giải tốn cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ
môn đồng thời đảm bảo tính liên mơn trong dạy học.

skkn

6

1.3.3.2. Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS.
Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giải pháp
đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:
a, Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc
lập của HS trong quá trình rèn luyện kĩ năng
Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải xác định và chọn lọc các kiến
thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS.
Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong
quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ
thể là:
- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và
mục tiêu dạy học.
- HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS
với HS, giữa GV với HS.
- GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ HS vượt
qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn
giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương pháp và nói chung là điều
chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân bậc hoạt động.
- GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt
động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu sắc,
đầy đủ hơn.
b. Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS.
Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định 4 bước
của polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải tốn theo quy trình này.
Khi đã có một quy trình giải tốn chung nhất như trên, cộng với những tri
thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể tìm tịi, khám phá
để tìm đến lời giải bài toán.

skkn

7


Riêng đối với những bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải: GV cần
hướng HS suy nghĩ, tìm tịi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về
phương pháp giải tốn. Thơng qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần
cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp các bài tốn có
dạng quen thuộc. Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài tốn đó.
c. Rèn luyện kĩ năng giải tốn thơng qua củng cố, luyện tập
Việc củng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý
nghĩa to lớn trong việc dạy học toán. Củng cố cần được thực hiện khơng chỉ đối
với tri thức mà cịn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ.
Trong mơn tốn củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào sâu, ứng
dụng, hệ thống hoá và ôn.
1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập tốn
1.2.1. Vai trị của bài tập trong q trình dạy học
Bài tập tốn học có vai trị quan trọng trong mơn Tốn, là giá mang hoạt
động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất
định, bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp,
những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong tốn học,
những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngơn ngữ. Vai trị của bài tập thể hiện
trên 3 phương diện:
+) Đối với mục đích dạy học: bài tập tốn học ở trường phổ thơng là giá
mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt
mục đích. Bài tập tốn học góp phần hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo;
phát triển năng lực trí tuệ; bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+) Đối với nội dung dạy học: bài tập toán học là giá mang những hoạt động
liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một phương

tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh.

skkn

8


+) Đối với phương pháp dạy học: bài tập toán học là giá mang những hoạt
động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục đích dạy học khác.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về
phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội
dụng mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp
GV nắm bắt được thơng tin hai chiều trong q trình dạy và học.
1.2.2. Những yêu cầu của một lời giải bài toán
- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian.
- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngơn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya
về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu
phương pháp chung để giải bài tốn như sau:
+) Tìm hiểu nội dung đề bài: phát biểu đề bài dưới những hình thức khác nhau để
hiểu rõ nội dung, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
+) Tìm cách giải: tìm tịi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm
đốn: biến đổi đại lượng đã biết, biến đổi đại lượng chưa biết hay phải chứng
minh, lập mối liên hệ giữa chúng; liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ

tương tự, một trường hợp riêng, một bài tốn tổng qt hơn.
+) Trình bày lời giải: Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm
thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bước đó.

skkn

9


+) Nghiên cứu sâu lời giải: nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải,
nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
2. Tình hình dạy học rèn luyện kĩ năng để giải các bài toán về cực trị hàm số
ở trường THPT.
Một số năm gần đây, với sự thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc
nghiệm trong các kì thi THPTQG hay tốt nghiệp năm vừa rồi thì chủ đề cực trị
hàm số xuất hiện nhiều bài cực trị khó. Do vậy, nhiều học sinh khơng thể hồn
thành xong phần này, kể cả học sinh có học lực khá.
Khi chưa áp dụng những nghiên cứu của đề tài, các em thường thụ động trong việc
tiếp cận bài toán, nhất là đối với những bài toán ở mức vận dụng, vận dụng
cao,chưa có ý thức tìm tịi, sáng tạo củng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi
giải các bài tốn nói chung củng như các bài tốn về cực trị nói riêng.
Kết quả khảo sát ở một số lớp của một số giáo viên dạy khối 12 về phần giải bài
tập toán về phần cực trị hàm số, chỉ có khoảng 20% học sinh hứng thú học tập.
II. Hệ thống các kiến thức về cực trị hàm số trong sách giáo khoa giải tích lớp
12.
1. Định nghĩa cực trị hàm số.
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) ( có thể a là  ; b là
 ) và điểm x0  (a; b) .
a) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x  ( x0  h; x0  h) và x  x0 thì ta

nói hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 .
b) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x  ( x0  h; x0  h) và x  x0 thì ta
nói hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .

skkn

10


Chú ý:
1. Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
của hàm số, kí hiệu là fCĐ ( fCT ) , còn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại (
điểm cực tiểu ) của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (
giá trị cực tiểu ) còn gọi là cực đại ( cực tiểu ) và được gọi chung là cực trị hàm
số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng
(a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f '( x0 )  0 .
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
Định lí 1:
Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên
K hoặc trên K \  x0  , với h  0 .
a) Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là
một điểm cực đại của hàm số f ( x) .
b) Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là
một điểm cực tiểu của hàm số f ( x) .
3. Quy tắc tìm cực trị hàm số.
Để tìm các điểm cực trị của hàm số y  f ( x) ta có thể sử dụng một trong hai quy
tắc sau.

QUY TẮC I
1. Tìm TXĐ của hàm số y  f ( x) .
2. Tính f '( x) . Tìm các điểm tại đó f '( x) bằng 0 hoặc f '( x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lí 2:
Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( x0  h; x0  h) , với h  0 .
Khi đó:
a) Nếu f '( x0 )  0 , f ''( x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f '( x0 )  0 , f ''( x0 )  0 thì x0 là điểm cực đại.
Áp đụng định lí 2 , ta có quy tắc sau để tìm các điểm cực trị của một hàm số.
QUY TẮC II
1. Tìm tập xác định của hàm số y  f ( x) .

skkn

11


2. Tính f '( x) . Giải phương trình f '( x)  0 và kí hiệu xi (i  1, 2,..., n) là các nghiệm
của nó.
3. Tính f ''( x) và f ''( xi ) .
4. Dựa vào dấu của f ''( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi .
III. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng giải các
bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT.
1. Tìm cực trị hàm số dựa vào hàm số, bảng biến thiên và đồ thị hàm số đó.
1.1. Phương pháp.
Nếu dựa vào BBT thì cần chú ý một số điểm sau:
Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm đổi dấu từ (+) sang (-) qua điểm x0 thì x0 là điểm
cực đại của hàm số.

Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm đổi dấu từ (-) sang (+) qua điểm x0 thì x0 là điểm
cực tiểu của hàm số.
Nếu dựa vào đồ thị thì ta cần chú ý vào tính chất: Đồ thị hàm số đi lên trên
khoảng ( x0  h; x0 ) và đi xuống trên khoảng ( x0 ; x0  h) với h  0 thì x0 là điểm cực
đại của hàm số.
Đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng ( x0  h; x0 ) và đi lên trên khoảng ( x0 ; x0  h) với
h  0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu dựa vào hàm số thì cần lưu ý:
Đối với hàm số y 

ax  b
thì khơng có điểm cực trị.
cx  d

Đối với hàm số y  ax3  bx 2  cx  d ( a  0) thì hoặc khơng có cực trị hoặc có hai
điểm cực trị. Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y '  0 có hai
nghiệm phân biệt.
Đối với hàm số y  ax 4  bx 2  c(a  0)  C  .

 C  có ba điểm cực trị

 a.b  0 ;  C  có một điểm cực trị  a.b  0 .

1.2. Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f (x ) có bảng biến thiên như sau. Các điểm cực trị hàm số
là
A. x  3 .
C. x 

51

.
2

B. x  4 .
D. x  3, x  4 .
Lời giải:

Ta thấy f '( x) đổi dấu đan xen qua hai điểm
x  3 và x  4 nên hàm số có hai điểm cực trị x  3, x  4 . Đáp án là D.

skkn

12


Ví dụ 2. Cho hàm số y  f (x ) có bảng biến thiên
như sau. Số điểm cực trị của hàm số là
A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .
Lời giải.

Ta thấy đạo hàm đổi dấu khi qua các điểm x  2, x  3 mặc dù tại x  3 đạo hàm
không tồn tại. Đối với bài này thì một số học sinh sẽ nhầm là hàm số sẽ có một
điểm cực trị. Do vậy, giáo viên cần phải nhấn mạnh cho học sinh nắm chắc định lí
1 để nhận ra hàm số trên có hai điểm cực trị x  2, x  3 . Đáp số B.

Ví dụ 3. Cho hàm số
số là

y  f (x )

A. 1.

có bảng biến thiên như sau. Số điểm cực trị của hàm

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .
Lời giải:

Yêu cầu HS quan sát BBT để nhận thấy f '( x) chỉ
đổi dấu qua điểm x  2 nên hàm số đã cho chỉ có 1 điểm cực trị. Đáp án A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f (x ) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình vẽ. Xét các mệnh đề sau:
1. Hàm số có 3 điểm cực trị.
2. Hàm số có 2 điểm cực trị.
3. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2 .
4. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
M (3; 2) .
5. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 .
Số mệnh đề đúng là
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải:
Dựa vào BBT của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề 1 sai,
mệnh đề 2 đúng, mệnh đề 3, 4 đúng, mệnh đề 5 sai. Vậy số mệnh đề đúng là 3 và
đáp án là B.
Ví dụ 5. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực
dương của hàm số là
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 1.

Lời giải:

skkn

13


Nhìn vào đồ thị thì ta nhận thấy hàm số có hai cực trị trái dấu. Do vậy, hàm số chỉ
có một điểm cực trị dương. Đáp án D.
Ví dụ 6. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số
là

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .
Lời giải:

Đối với bài này thì ta có thể làm theo cách thường dùng là lập bảng biến thiên của
hàm số rồi qua đó ta sẽ biết được số điểm cực đại hàm số nhưng dài dịng mà ta có
thể dựa vào tính chất: Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng ( x0  h; x0 ) và đi xuống trên
khoảng ( x0 ; x0  h) với h  0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số. Vậy nhìn lên đồ thị
ta thấy hàm số có hai điểm cực đại. Ta chọn đáp án C.
Ví dụ 7. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  3 . Tìm các điểm cực tiểu của hàm số.
Lời giải:
Đối với bài này ta có thế sử dụng hai cách sau:
Cách 1: ( sử dụng quy tắc I )
Ta có: y '  4 x3  4 x  0  x  0  x  1 .
Bảng xét dấu của y ' :
Qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số
có hai điểm cực tiểu là x  1 .
Cách 2 ( Sử dụng quy tắc II )
Ta có y '  4 x3  4 x  0  x  0  x  1 ; y ''  12 x 2  4
Vì y ''(0)  4  0 , y ''(1)  8  0 nên hàm số có hai điểm cực tiểu là x  1 .
Từ hai cách trên ta thấy nếu biết hàm số mà đạo hàm cấp hai tại các điểm cực trị
không bị triệt tiêu thì nên hướng cho học sinh sử dụng cách 2.
Ví dụ 8. Cho hàm số số y  cos2 x  x  1 . Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải:
Đối với hàm số lượng giác thì ta nên sử dụng quy tắc II để tìm các điểm cực trị của

hàm số vì sử dụng quy tắc I thì xét dấu đạo hàm của hàm số lượng giác trên các
khoảng thì rất phức tạp đối với các em học sinh, dễ gây cho các mất đi sự hứng
thú.


x    k

1
12
Ta có: y '  2sin 2 x  1  0  sin 2 x    
( k   ).
7

2
x 
 k

12

skkn

14





 y "(  12  k )  4cos(  6  k 2 )  2 3  0
.
y ''  4 cos 2 x  

 y "( 7  k )  4 cos( 7  k 2 )  2 3  0

12
6

Vậy các điểm cực đại hàm số là x  
x

7
 k
12


12

 k

(k ) , các điểm cực tiểu hàm số là

(k ) .

Ví dụ 9. Giả sử x1 , x2 lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
y

x 2  2x  10
. Tính giá trị biểu thức T  2 x1  x2 .
x 1

Lời giải:
TXĐ: D   \ 1 .

Đối với hàm số như trên thì ta có thể sử dụng hai cách để thực hiện tìm các điểm
cực trị hàm số. Nhưng trong đó, sử dụng quy tắc II ngắn gọn hơn.
Ta có: y 

x 2  2x  10
9
9
18
 x 1
;  y '' 
 y '  1
2
x 1
x 1
(x  1)
(x  1)3

y '  0  (x  1)2  9  x  4  x  2 . Suy ra y ''(4) 

2
2
 0; y ''(2)    0 .
3
3

Vậy hàm số đạt cực đại tại x1  2 , đạt cực tiểu tại x2  4 . Vậy T  2.(2)  4  0
Ví dụ 10. Tìm các điểm cực trị của hàm số y   x 2  4 x  3 .
Lời giải:
TXĐ: D  [1;3] .
Đối với hàm vơ tỷ thì ta nên sử dụng quy tắc I để tìm các điểm cực trị của nó.

Ta có y ' 

x  2
 x2  4x  3

0 x2 .

BBT của hàm số như bên.
Điểm cực đại của hàm số là x  2 .
Đối với dạng toán này được xem là dạng đơn
giản nhất trong các dạng toán về cực trị hàm số.Chủ yếu ở mức nhận biết, thông
hiểu.
1.3. Bài tập tương tự.
Câu 1. Số điểm cực trị hàm số y  x 4  x 2  3 là
A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

skkn

D. 1 .

15


Câu 2. Cho hàm số y  f (x ) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1 .
C. Điểm cực tiểu của hàm số là M (1; 1) .
D. Điểm cực tiểu của hàm số là x  1 .
Câu 3. Cho hàm số y 
đại của hàm số là

x2  x  1
. Điểm cực
x 1

A. x  1 .

B. x  0 .

Câu 4. Chàm số y 

C. x  2 .

D. x  3 .

x2  3
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x 1

A. Cực tiểu của hàm số bằng 2 .

B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.

C. Cực tiểu của hàm số bằng 6 .

D. Cực tiểu của hàm số bằng 3 .

Câu 5. Biết M  0; 1 , N  2; 5  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d . Tính giá trị của hàm số tại x  1 .
A. y 1  2 .

B. y 1  2 .

C. y 1  3 .

D. y 1  1 .

Câu 6. Giá trị cực tiểu của hàm số y  x 2  4 x  5 bằng
A. 0 .

B. 2 .

C. 1.

D. 4.

Câu 7. Các điểm cực đại của hàm số y  sin 2 x  x là
A. x 
C. x 


6


3



 k

(k  ) .

B. x    k

 k

( k  ) .

D. x    k

6



3

(k  ) .

( k  )

Câu 8. Số điểm cực trị của hàm số y  2 x3  3 x 2  36 x  1 là
A. 1.

B. 3 .

C. 0 .

D. 2 .

Câu 9. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực
đại của hàm số là
A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 10. Cho hàm số y  f (x ) có bảng biến thiên như bên. Tổng của
các giá trị cực trị của hàm số bằng
A. 6 .

B. 5 .

C. 0 .

D. 7 .

skkn

16


Đáp số:

Câu

1

Đáp số

D B B A C C A D D B

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2. Tìm cực trị hàm số khi biết đạo hàm của hàm số, đồ thị của hàm số đạo
hàm.
2.1. Phương pháp.
Một số điểm cần chú ý trong dạng toán liên quan đến cực trị hàm số

biết hàm f '(x ) hoặc đồ thị hàm số f '(x ) :
+) Số điểm cực trị hàm số
phương trình f '(x )  0 .

y  f (x )

y  f (x )

khi

bằng tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của

+) Số điểm cực trị hàm số y  f (x ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm y  f '(x )
với trục hoành ( trừ những điểm tiếp xúc).
2.2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. ( Đề tham khảo BGD & ĐT năm 2018 – 2019 ) Cho hàm số f (x ) có đạo
hàm
f '(x )  x (x  1)(x  2)3 , x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1.

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Lời giải:
Ta có f '(x )  0  x (x  1)(x  2)3  0  x  0  x  1  x  2 .
Ta thấy ba nghiệm trên không phải là nghiệm bội chẵn nên f '(x ) đổi dấu qua ba

nghiệm đó. Do đó, hàm số có ba điểm cực trị và đáp số B.
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f (x ) . Hàm số y  f '(x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số
y  f (x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải:
Ta thấy đồ thị y  f '(x ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (trừ
điểm tiếp xúc) nên hàm số có ba điểm cực trị. Vậy đáp án B.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f (x ) . Hàm số y  f '(x ) có đồ thị như hình
bên. Điểm cực đại của hàm số y  f (x ) là
A. x  5 .

B. x  2 .

C. x  2 .

D. x  2, x  5 .
Lời giải:

skkn

17

Nhìn vào đồ thị hàm số y  f '(x ) ta thấy f '(x ) đổi dấu từ () sang () qua điểm
x  2 nên x  2 là điểm cực đại của hàm số. Vậy đáp án C.
Ví dụ 4. ( Đề thi THPTQG 2019) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  x (x  1)2 ,
x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải:
Ta có f '(x )  0  x (x  1)2  0  x  0  x  1 .
Ta thấy x  0 là nghiệm đơn còn x  1 là nghiệm kép nên hàm số chỉ có 1 điểm
cực trị là x  0 . Đáp số A.
Ví dụ 5. Cho hàm số y  f (x ) . Hàm số y  f '(x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số
y  f (x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 .

B. 3 .

C. 1.

D. 4 .

Lời giải:
Ta thấy đồ thị y  f '(x ) ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 4
điểm trong đó có 2 điểm tiếp xúc nên hàm số y  f (x ) có 2 điểm cực trị. Vậy đáp
số A.

Ví dụ 6. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2018 – 2019 ) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm
f '(x )  x (1  x )2 (3  x )3 (x  2)4 , x   . Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. x  2 .

B. x  3 .

C. x  0 .

D. x  1 .

Lời giải:
Ta có f '(x )  0  x (1  x )2 (3  x )3 (x  2)4  0  x  0  x  1  x  2  x  3 .
Bảng xét dấu đạo hàm
x
f '(x )



1

0



0



0

2



0



3



0



Qua bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  0 . Vậy đáp số C.
Ví dụ 7. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  (x  1)(x  2)...(x  2021) , x   . Số
điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 1011 .

B. 1010 .

C. 2022 .

D. 2021 .

Lời giải:
Ta có f '(x )  0  (x  1)(x  2)...(x  2021)  0  x  1  x  2  ...  x  2021 .
Ta thấy phương trình f '(x )  0 có 2021 nghiệm đơn nên hàm số có 2021 điểm cực

trị. Mặt khác, hệ số đứng trước x đều dương nên hàm số có 1010 điểm cực đại.
Vậy đáp số B.

skkn

18


2.3. Bài tập tương tự.
Câu 1. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  x 2 (x  2)5 (x 2  9), x   . Số điểm cực
trị của hàm số đã cho là
A. 1.

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Câu 2. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  x (x  2)(x 2  4)3, x   . Số điểm cực
trị của hàm số đã cho là
A. 1 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Câu 3. Cho hàm số y  f (x ) . Hàm số y  f '(x ) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực

trị của hàm số y  f (x ) là
A. 2 .

B. 3 .

C. 1.

D. 0 .

Câu 4. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  (x  3)(x 2  16), x   .
Điểm cực đại của hàm số là
A. x  3 .

B. x  4 .

C. x  4 .

D. x  4 .

Câu 5. Cho hàm số y  f (x ) . Hàm số y  f '(x ) có đồ thị như hình bên. Điểm cực
tiểu của hàm số y  f (x ) là
A. x  2 .

B. x  1 .

C. x  2 .

D. x  2 .

Câu 6. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  x 3 (x  1)2 (9  x 2 )3 , x   .

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 2 .

B. 3 .

C. 1.

D. 5 .

Câu 7. Cho hàm số y  f (x ) . Đồ thị hàm số y  f '(x ) như hình bên. Điểm cực đại
của hàm số y  f (x ) là
A. x  0 .

B. x  1 .

C. x  3 .

D. x  3 .

Câu 8. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  (1  x )(2  x )...(2021  x ) , x   . Số
điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 1011.

B. 1010 .

C. 2022 .

D. 2021 .

Câu 9. Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm f '(x )  (x 3  4x 2 )(x 2  2x )3 , x   . Số

điểm cực trị của hàm số y  f (x ) là
A. 2 .

B. 4 .

C. 1.

D. 3 .

Câu 10. Cho hàm số y  f (x ) . Hàm số y  f '(x ) có đồ thị như
hình bên. Hàm số y  f (x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .

B. 1 .

C. 0 .

skkn

D. 2 .
19


Đáp số:
Câu

1

Đáp số

B C C A B C A A D D

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3. Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước.
3.1. Phương pháp.
Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số y  f (x ) có đạo hàm tại điểm x0 .
Khi đó để giải bài tốn này, ta tiến hành theo hai bước:
B1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị tại x0 là f '( x0 )  0 , từ điều kiện này ta tìm
được giá trị của tham số.
B2. Kiểm tra lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị, để xem xét giá
trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn u cầu của bài tốn hay khơng?
3.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3x 2  mx  2020

đạt cực tiểu tại x  2 .
Lời giải:
Ta có TXĐ của hàm số D   , y '  3x 2  6x  m , y "  6x  6 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì y '(2)  0  3.2 2  6.2  m  0  m  0 .
Với m  0 thì y ''(2)  6  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x  2 . Vậy m  0 thì thỏa mãn
u cầu bài tốn.
Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  (m 2  1)x  2021 , m là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .
Lời giải:
Ta có TXĐ của hàm số D   , y '  3x 2  6mx  m 2  1 , y "  6x  6m .
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì y '(2)  0  3.2 2  6.2m  m2  1  0
 m 2  12 m  11  0  m  1  m  11 .

Với m  1 thì y ''(2)  6  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x  2 nên m  1 thỏa mãn.
Với m  11 thì y ''(2)  54 nên hàm số đạt cực đại tại x  2 nên m  11 không thỏa
mãn.
Vậy m  1 thì thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  (m  1)x 4  (m 2  2)x 2  2021 , m là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x  1 .
Lời giải:

skkn

20


Ta có TXĐ của hàm số D   , y '  4(m  1)x 3  2(m 2  2)x ,
y "  12(m  1)x 2  2(m 2  2) .

Hàm số đạt cực đại tại x  1 thì y '(1)  0  4(m  1)  2(m 2  2)  0  m  0  m  2 .

Với m  2 thì y ''(1)  8  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x  1 nên m  2 khơng thỏa
mãn.
Với m  0 thì y ''(1)  8  0 nên hàm số đạt cực đại tại x  1 nên m  0 thỏa mãn.
Vậy m  0 thì thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 

x 2  mx  1
x m

đạt cực tiểu tại x  1 .
Lời giải:
Ta có TXĐ của hàm số D   \ m , y ' 
y" 

x 2  2mx  m 2  1
1
 1
,
2
(x  m )
(x  m )2

1
.
(x  m )3

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 thì y '(1)  0  1 

1
 0  m  0  m  2 .

(m  1) 2

Với m  2 thì y ''(1)  1  0 nên hàm số đạt cực đại tại x  1 nên m  2 không thỏa
mãn.
Với m  0 thì y ''(1)  1  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x  1 nên m  0 thỏa mãn.
Vậy m  0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Sai lầm mà học sinh thường vấp ở các ví dụ 2, 3, 4 là bước kiểm tra lại
giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn u cầu bài tốn hay khơng? Do vậy,
Gv ln phải nhấn mạnh vấn đề đó để học sinh đỡ gặp sai lầm.
Ví dụ 5. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y  x 4  mx  1 đạt cực tiểu tại điểm
x 0.
Lời giải:
Ta có TXĐ của hàm số D   , y '  4x 3  m, y ''  12x 2 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 thì y '(0)  0  m  0 .
Với m  0 thì y ''(0)  0 .
Đến đây học sinh sẽ lúng túng và dẩn đến kết luận
sai. Vậy khi gặp bài thế này thì hướng dẩn học
sinh sẽ sử dụng quy tắc I để kiểm tra.
Với m  0 thì y '  4x 3  0  x  0 .

skkn

21


BBT của hàm số như hình bên. Qua bảng BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
x 0.
Vậy với m  0 thì thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 6. ( THPT quốc gia 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
hàm số y  x 8  (m  2)x 5  (m 2  4)x 4  1 đạt cực tiểu tại x  0 .

A. 3 .

B. 5 .

C. 4 .

D. vơ số.

Giải:
Ta có TXĐ của hàm số D   ,
y '  8x 7  5(m  2)x 4  4(m 2  4)x 3  x 3 [8x 4  5(m  2)x  4(m 2  4)]  x 3 .g(x ) .

Đối ví dụ này ta khơng thể thực hiện cách làm như ở các ví dụ trên được vì x  0
ln là nghiệm của phương trình y '  0 .
Do vậy đối với ví dụ này, ta phải xét các trường hợp x  0 là nghiệm hoặc khơng
phải nghiệm của phương trình g ( x)  0 .
TH1: x  0 là nghiệm của phương trình g ( x)  0  m2  4  0  m  2 .
Với m  2 thì y '  8 x 7 suy ra y ' đổi dấu từ () sang () qua x  0 nên x  0 là điểm
cực tiểu.
Với m  2 thì y '  8 x 7  20 x 4  4 x 4 (2 x3  5) nên x  0 là nghiệm kép , suy ra x  0
không phải là điểm cực trị hàm số. Vậy m  2 không thỏa mãn u cầu bài tốn.
TH2: x  0 khơng là nghiệm của phương trình g ( x)  0  m2  4  0  m  2 .



y '  x 3 .g(x ) đổi dấu từ () sang () qua nghiệm x  0 khi và chỉ khi lim g ( x)  0
x 0

 m 2  4  0  m  ( 2; 2) . Mặt khác, m   nên m  1, 0,1 .

Kết hợp hai trường hợp ta có m  1, 0,1, 2 . Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn
do đó đáp án là C.
Ngồi cách trên thì giáo viên có thể tham khảo cách sau đây:
Giả sử x0 là điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số

y  f (x )

triệt tiêu.

Giả sử tồn tại số tự nhiên n  2 sao cho f '( x0 )  f "( x0 )  ...  f ( n 1) ( x0 )  0 và
f ( n ) ( x0 )  0 .
Khi đó, nếu n chẵn thì x0 là một điểm cực trị của hàm số

y  f (x ) .

 x0 là điểm cực đại nếu f ( n ) ( x0 )  0 .
 x0 là điểm cực tiểu nếu f ( n ) ( x0 )  0 .
Nếu n lẻ thì x0 khơng là cực trị hàm số y  f (x ) .
Ta có: y '  8x 7  5(m  2)x 4  4(m 2  4)x 3

skkn

22


y ''  56x 6  20(m  2)x 3  12(m 2  4)x 2
y '''  336x 5  60(m  2)x 2  24(m 2  4)x

y (4)  1680x 4  120(m  2)x  24(m 2  4)

Ta có y '(0)  y ''(0)  y '''(0)  0 nên ta xét y (4)(0)  24(m 2  4)
TH1: Nếu m  2 thì y (4)(x )  1680x 4 , suy ra y (7)(x )  40302x và y (7)(0)  0 và
y (8) (0)  40302  0 . Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x  0 .

TH2: Nếu m  2 thì y (4)(x )  1680x 4  480x , suy ra y (5)(0)  480  0 nên hàm số
không đạt cực tiểu tại x  0 .
TH3:

Nếu

thì
hàm
m  2
2
x  0  y (0)  0  m  4  0  m  ( 2; 2)

số

đạt

cực

tiểu

tại

(4)

Mặt khác, m   nên m  1, 0,1 , kết hợp ba TH trên ta có m  1, 0,1, 2 .
Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn do đó đáp án là C.

3.3. Bài tập tương tự.
Câu 1. Giá trị của tham số m để hàm số y  1 x 3  1 3m  2 x 2  2m 2  3m  1 x  4 đạt
3

cực trị tại x  3 hoặc x  5 là
A. m  0 .

B. m  1 .

2

C. m  2 .

D. m  3 .

Câu 2. Giá trị của tham số m để hàm số y  x3 3m  2 x 2  m 2  2m  4 x 1
cực đại tại x  1 là
A. m  1  m  3 .

B. m  3 .

C. m  1

đạt

D. khơng tồn tại m .

1
3

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  mx 2   m 2  4  x  3 đạt
cực tiểu tại x  3 .
A. m  5 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  1  m  5 .
Câu 4. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  (m  1) x 4  ( m2  2) x 2  2021 đạt
cực tiểu tại x  1 .
A. m  0  m  2 .

B. m  0 .

C. m  1 .

D. m  2 .

1
4

Câu 5. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y   x 4  2(m  3) x 2  1 đạt cực
đại tại x  2 .
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  1 .

D. m  4 .

x3

Câu 6. Cho hàm số y   mx 2  2(5m  8) x  1 .Tìm tất cả các giá trị của tham số m
3
để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 . Kết quả nào sau đây đúng?

skkn

23


A. m 

6
7

B. m  

6
7

C. m 

3
7

D. Kết quả khác.

Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y 
đại tại x  1 .
A. m  1  m  2 .

B. m  1 .

x 2  (m  1) x  3  2m
đạt cực
xm

C. m  1 .

Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y 

D. m  2 .

x 2  (m  1) x  3  2m
đạt cực
xm

tiểu tại x  1 .
A. m  1  m  2 .
B. m  1 .
C. m  1 .
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
y  x 10  (m  3)x 7  (m 2  9)x 4  2021 đạt cực tiểu tại x  0 .
A. 4 .

B. 5 .

D. m  2 .
m để hàm số

C. 6 .

D. vơ số.

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
y  x 10  (m  1)x 7  2(m 2  1)x 4  2021 đạt cực đại tại x  0 .
A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

để hàm số
D. 5

Đáp số:
Câu

1

Đáp số

C A C D D A B D C B

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4. Tìm điều kiện tham số để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho
trước.
4.1. Phương pháp.
a.Hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0 
Ta có y  3ax 2  2bx  c
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt
 b 2  3ac  0 . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là :
 2c 2b 2 
bc
y 
.
xd 
9a
 3 9a 

Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
 x b  x i
ax 3  bx 2  cx  d   3ax 2  2bx  c     
 Ai  B  y  Ax  B

 3 9a 
y. y
Hoặc sử dụng công thức y 
.
18a

skkn

24