Skkn sử dụng hằng đẳng thức hệ thức vi ét đảo, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

UỶ BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐAN PHƯỢNG
TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ HỆ THỨC VI- ÉT ĐẢO
RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Lĩnh vực/ Mơn: Tốn
Cấp học: THCS
Tên Tác giả: Nguyễn Thị Lộc.
Đơn vị công tác: Trường THCS Lương Thế Vinh.
Chức vụ: Giáo viên.

NĂM HỌC 2021-2022

skkn


1/15

RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
* Qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận thấy rằng các em
học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường
chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này. Mà ở các
kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là
chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính
căn. Phần lớn các em không làm được bài, bởi vì các em chưa nhận thấy được

các biểu thức đã cho có liên quan đến một kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng
thức (hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em đã được học ở lớp 8, 9. Xuất phát từ tình
hình đó, qua những năm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp, tôi rút ra được một
số kinh nghiệm cho bản thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức
cơ bản để có thể giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên. Chính vì vậy tôi mới
chọn đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo, rút gọn biểu thức
chứa căn thức bậc hai "
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
* Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9C của trường THCS Lương Thế
Vinh năm học 2021 – 2022.
* Đề tài được thực hiện trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10
về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thực hiện phép tính có chứa
căn .
3. Kết quả khảo sát đầu học kì 1 của lớp 9C khi chưa thực hiện đề tài:

Sĩ số

Số bài

47

47

Giỏi

Khá

Trung
bình

12 (26%) 15 (31%) 20 (43%)

Yếu

Kém

0

0

II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm)
1) Cơ sở lý luận của vấn đề:
Ở các kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào các trường chuyên,
học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính
có chứa căn thức bậc hai. Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm
vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 và phải biết vận dụng chúng vào
từng loại bài tập.

skkn


2/15

2) Cơ sở thực tiễn của vấn đề:
Cái khó ở đây là các em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới
dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu
thức thường cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng
thức đáng nhớ đã học ở lớp 8. Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy
được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn. Vì vậy ta phải làm sao
cho học sinh nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ

ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng
nó vào việc giải bài tập.
Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng
đẳng thức đã học ở lớp 8 (theo thứ tự):
1) Bình phương một tổng :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2) Bình phương một hiệu :
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3) Hiệu hai bình phương :
a2 – b2 = (a + b).(a – b)
4) Lập phương một tổng :
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) Lập phương một hiệu :
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6) Tổng hai lập phương :
a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
7) Hiệu hai lập phương :
a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)
Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ
tự) viết dưới dạng có dấu căn :

*Chú ý :
+a;b>0
+ Hằng đẳng thức số 4; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên tôi không đưa vào
phần ghi nhớ ở lớp 9.
Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu
thức có chứa căn thức bậc hai .
3) Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Trong phần này tôi sẽ
trình bày hai nội dung chính :

skkn


3/15

A/ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC , RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA
CĂN THỨC BẬC HAI :
* Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập, tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai như sau :
Bài tập 64 (sgk trang 33) : Chứng minh các đẳng thức sau :
a)
Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :

tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi
vế trái :
Giải

Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt :

tương tự hđt số 2 lớp 9 .

Tiếp tục biến đổi ta được kết quả :
với a+b >0 và
Nhận xét : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 hđt số 1 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta biến
đổi vế trái :
Giải

Bài 65 (sgk trang 34): Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 , biết :

skkn

4/15

Nhận xét :

;

có dạng là hằng đẳng thức.

Áp dụng vào bài toán:
Giải

Bài 75 (sgk trang 41): Chứng minh các đẳng thức sau

Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 :

Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 :
Giải

Bài 76 (gk trang 41): Cho biểu thức

a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b

skkn


5/15

Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta rút gọn
câu a:
Giải

Bài 85 (sbt trang 16): Cho biểu thức :

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P = 2
Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức :
và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P
Giải

Bài 86 (sbt trang 16): Cho biểu thức :

skkn


6/15

a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8
Giải

Bài 105 (sbt trang 20): Chứng minh các đẳng thức (với a,b không âm và
)

Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức số 3 và 4 lớp 9 kết hợp với
quy tắc đổi dấu. Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái:
Giải

skkn


7/15

Bài 106 (sbt trang 20): Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải

Biểu thức A không phụ thuộc vào a .
Bài 107 (sbt trang 20): Cho biểu thức :

a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 3
Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau :
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải

skkn


8/15

Bài 108 (sbt trang 20): Cho biểu thức :

a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1
Nhận xét : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải

skkn


9/15

Bài 5 (sbt trang 148): Rút gọn :

Nhận xét : bài toán có hđt sau :

. Áp dụng vào

bài toán
Giải

Bài 6 (sbt trang 148): Chứng minh đẳng thức

Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái :
Giải

Bài 7 (sbt trang 148): Rút gọn biểu thức :

Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :

Giải

skkn


10/15

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH
Bài 1 : Rút gọn

Nhận xét : bài toán cho có hằng đẳng thức :
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải

Bài 2 : Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Trong điều kiện đó, hãy rút gọn P.
Nhận xét : Bài toán cho có hđt :
Giải

skkn

. Áp dụng vào bài toán ta có :


11/15

Bài 3: Cho biểu thức

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho P < 1
c) Tính giá trị của P nếu
Nhận xét : Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ
có hđt dạng số 2 lớp 9:
Giải

B/ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC
HIỆN PHÉP TÍNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

skkn


12/15

* Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, đôi
khi còn có những câu đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của
biến . Đối với những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậc hai thì
không nói gì , nhưng có những câu mà ở các trường chuyên đưa ra lại có những
biểu thức chứa căn chồng căn. Gặp trường hợp này đòi hỏi học sinh phải biết
cách đưa biểu thức trong căn về lũy thừa bậc chẳn (thường viết dưới dạng bình
phương) để khai phương. Muốn làm được điều đó , cần phải biết vận dụng thành
thạo định lí đảo VI-ÉT (tìm hai số biết tổng và tích) và hằng đẳng thức (bình
phương một tổng hoặc bình phương một hiệu). Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ
đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng vào bài toán
Ví dụ 1 : Rút gọn :
Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức :
dưới
dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn. Để làm
được điều này ta làm các bước sau :

Bước 1 : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2
(bài toán đã cho
)
Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 => hai số đó là: 3 và 1
Bước 3 : Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2, rồi viết chúng
dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ
của biểu thức dưới dấu căn lớn)
Chú ý :
+ Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau :
" Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương
trình bậc hai : X2 – SX + P = 0 " . Điều kiện tồn tại hai số a & b là :
.
Có thể cho học sinh giải nhẩm hoặc gặp trường hợp khó thì dùng máy tính casio
fx-570 để giải phương trình bậc hai tìm hai số a & b cho nhanh .
+ Khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương
(số bị trừ lớn hơn số trừ) để khi khai phương, khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt
đối.
Áp dụng các bước trên vào ví dụ, ta có lời giải sau :
Giải

Ví dụ 2 : bài tập 15 (sbt trang 5, tập 1): Chứng minh

skkn


13/15

Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số
đều khác 2 (
), vì vậy ta phải biến đổi chúng như sau ( dùng phương

pháp đưa thừa số vào trong dấu căn ):
Bước 1 :

Bước 2 :
a) Tìm hai số biết tổng bằng 9 , tích bằng 20 => hai số đó là: 5 và 4 (dùng máy
tính casio fx-500 giải phương trình :
)
b) Tìm hai sớ biết tởng bằng 23 , tích bằng 112 => hai số đó là: 16 và 7
Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng
bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức
dưới dấu căn lớn)
Giải

Ví dụ 3 : Chứng minh đẳng thức (bài 98 sbt trang 18 tập 1)
Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số
là 1 (
) vì vậy ta phải biến đổichúng như sau: Nhân cả tử và mẫu cho 2
Bước 1 :

Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4, tích bằng 3 => hai số đó là 3 và 1
Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng
bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức
dưới dấu căn lớn)
Giải

skkn


14/15

Ba ví dụ lấy phía trên là ba trường hợp mà chúng ta thường gặp. Tùy theo từng
loại bài, ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhưng cơ bản là biết vận theo
ba bước ở trên là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạng như vậy. Sau đây
là một số bài tập trong sách giáo khoa và một số bài trong các kì thi tuyển vào
lớp 10 mà tôi chỉ giải dựa vào ba bước đã phân tích ở trên để giải, không phải
làm chi tiết theo từng mục như ở trên.
Bài 21 (sbt trang 6): Rút gọn biểu thức

Bài 100 (sbt trang 19): Rút gọn biểu thức :

* Còn rất nhiều bài tập mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc hệ thức
VI-ÉT đảo để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép
tính căn thức bậc hai. Những bài tập tôi đưa ra ở trên đã được chọn làm đề thi,
để cho các em học sinh nhận thấy được tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng
nhớ và hệ thức VI-ÉT đảo, qua đó các em có thể biết cách học và cách áp dụng
vào việc rèn luyện giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và
thực hiện phép tính có dấu căn. Mục đích của nội dung này là nhằm góp phần
nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường mà hiện nay có chiều hướng đi
xuống bởi vì một số em do chưa nắm bắt được kiến thức cơ bản và chưa biết
cách vận dụng kiến thức vào làm bài tập.
III/ KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
a) Đối với học sinh:
- Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất
phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên. Nguyên nhân chính ở
đây là các em chưa thuộc hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộc lòng,
không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên.
Chính vì vậy phần lớn các em rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc
thực hiện phép tính có chứa dấu căn không ra đến kết quả cuối cùng.
- Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu ra và biết

cách áp dụng chúng một cách triệt để. Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được

skkn


15/15

bài tăng lên rõ rệt. Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra rút gọn biểu
thức có chứa căn thức bậc hai và thực hiện phép tính có chứa dấu căn:

Giỏi

Kết quả điểm kiểm tra
Khá
Trung Yếu
bình

Kém

Thời gian

Áp dụng đề tài

Đầu học kì 1

Chưa áp dụng

26%

31%

43%

0

0

Cuối học kì 1

Đã áp dụng

40%

38%

22%

0

0

Học kì 2

Đã áp dụng

60%

33%

7%

0

0

b) Đối với bản thân:
Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong
khâu phải giải bài tập cho học sinh (phần lớn các em giải không được) mà kết
quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm việc nhiều hơn học sinh, học
sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức. Sau khi sử dụng đề tài này tôi thấy học
sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra kiến thức và biết áp dụng
chúng, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới
phương pháp dạy học hiện nay.
2. Khuyến nghị:
Để nâng cao nghiệp vụ giảng dạy cho bản thân và đồng nghiệp, nâng cao
kết quả học tập của học sinh, tơi có một số ý kiến đề xuất sau:
- Nhà trường cần cung cấp thêm một số tài liệu tham khảo, đồ dùng dạy học bộ
mơn tốn của Bộ Giáo Dục; tạo cơ sở vật chất tốt để thầy trò được dạy và học
bằng công nghệ thông tin được thuận lợi hơn.
- Bộ phận chuyên môn nhà trường cũng như bộ phân chuyên mơn của phịng
giáo dục thường xun tổ chức các lớp chun đề để giáo viên có điều kiện trau
dồi, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao nghiệp vụ chuyên môn.
Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào
không khí thi đua đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, tôi xin góp một số
kinh nghiệm của mình để trao đổi với các đồng nghiệp, mục đích là nhằm nâng
cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường. Bài viết chắc chắn không tránh khỏi
thiếu sót. Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp
dụng rộng rãi trong học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!

skkn


16/15

Đan Phượng, ngày 20 tháng 2 năm 2022
Người viết:

NGUYỄN THỊ LỘC.

skkn