Skkn cách tính tổng một số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (91.87 KB, 16 trang )
SKKN Cách tính tổng một số dãy số, dãy
phân số viết theo quy luật
I. Lời giới thiệu:
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, điều quan trọng nhà trường cần
trang bị cho học sinh tiềm lực kiến thức khoa học, phương pháp tự nghiên
cứu để chiếm lĩnh lấy tri thức.
Mỗi thầy giáo, cơ giáo làm cho học sinh có hứng thú trong học tập bộ môn và
rèn cho các em có kỹ năng giải bài tập tốn thành thạo, hiệu quả nhất.
Để đạt được mục đích trên, mỗi giáo viên ngoài việc đổi mới phương pháp
dạy học theo đặc trưng bộ mơn, cần tìm hiểu thêm về các dạng bài tập toán,
cách giải các dạng bài tập này và việc hướng dẫn cho học sinh nắm được
cách giải các dạng bài tập.
Ở trường THCS (trung học cơ sở) hiện nay vẫn cịn một số học sinh khơng có
ý thức tự giác học tập, chưa say mê học mơn tốn. Thực tế tốn học là một
mơn học rất khó, lượng kiến thức tương đối nhiều trong một giờ lên lớp, mà
quá trình giải bài tập ở nhà của học sinh lại càng khó khăn. Chúng ta cịn
thấy nhiều kiểu dạng bài tập có những cách giải khác nhau song vẫn đến một
đáp số duy nhất. Mặt khác có những học sinh khơng chịu đào sâu suy nghĩ cịn
theo lối học vẹt, học qua lý thuyết bước vào giải bài tập ngay nên kết quả đáp
số bài tốn sai. Vì vậy dẫn đến các em có tư tưởng chán nản, ngại học toán.
Hơn nữa một số em lại thiếu sách giáo khoa, nhất là sách bài tập và sách
tham khảo nên q trình thực hành giải bài tập tốn của các em đạt hiệu quả
chưa cao so với yêu cầu bộ môn cũng như yêu cầu của giáo viên đề ra.
skkn
Trong chương trình tốn 6 xuất hiện nhiều bài tốn có liên quan đến tính
tổng một dãy số viết theo quy luật mà đối với học sinh trung bình khó có thể
làm được. Khi gặp những bài tốn này học sinh thường lúng túng không biết
cách giải nên ngại học, lười suy nghĩ vì các em chưa có phương pháp giải
thích hợp. Chính vì vậy giáo viên cần đưa ra những dạng toán từ đơn giản
đến phức tạp và một phương pháp giải phù hợp với từng dạng toán.
Trong chương trình giảng dạy tơi đã tìm ra cách giải các bài tốn tính tổng
dãy số viết theo qui luật giúp học sinh có phương pháp giải một cách nhanh
chóng, thích hợp.Từ đó giúp học sinh có hứng thú học tốn. Chính vì thế tơi
viết sáng kiến kinh nghiệm “Cách tính tổng một số dãy số, dãy phân số viết
theo quy luật” rất mong được các đồng nghiệp tham khảo góp ý.
II.Nội dung
Đa số học sinh nhận thức được tầm quan trọng của mơn Tốn nên rất say
sưa hứng thú khi học dạng tốn tính tổng một dãy số viết theo quy luật. Một
vài học sinh cịn tự nghiên cứa tìm ra cách giải những bài toán đơn giản của
dạng toán này.
Bên cạnh đó một số học sinh lười học, nhận thức chậm chưa biết cách làm
nên rất dễ mắc nhưng sai lầm cơ bản như:
- Khơng tìm ra được quy luật của dãy số, dãy phân số.
- Tìm sai quy luật đối với những dãy số, dãy phân số có chứa luỹ thừa với số
mũ tự nhiên.
- Thực hiện tính tổng dãy số theo thứ tự thực hiện phép tính.
Nhiều giáo viên rất u nghề, nhiệt tình, có tinh thần trách nghiệm cao
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên đã hệ thống được một số dạng toán cơ
bản trong cách tính tổng một dãy số viết theo quy luật.
skkn
Giáo viên đã truyền đạt được cách làm các dạng tốn đó tới các học sinh.
Tuy nhiên, trong q trình giảng dạy có thể giáo viên cịn chưa quan tâm
được hết tới các đối tượng học sinh nhất là đối với học sinh trung bình. Giáo
viên chưa dạy kĩ cách làm các dạng toán cơ bản mà lại cho học sinh làm bài
tập áp dụng ngay nên có thể nhiều học sinh khi kiểm tra đánh giá không đạt
yêu cầu đề ra.
1. Cách tính tổng các dãy số viết theo quy luật:
Như ta đã biết có rất nhiều dạng dãy số viết theo quy luật, để tính tổng một
dãy số viết theo quy luật có thể có nhiều cách giải. Dưới đây là một số bài
tốn tínhtổng dãy số viết theo quy luật.
1.1.Dạng 1:
Bài
1:
Tính
các
tổng
sau
1. A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 210
2. B = 1 + 3 + 32 + … + 3100
Giải
1. Nhân cả 2 vế của A với 2 ta được:
2A = 2 + 22 + … + 211.
Khi đó: 2A - A = A = 211 - 1
2. Nhân 2 vế của B với 3 ta được:
3B = 3 + 32 + … + 3101.
Khi đó: 3B - B = 2B = 3101 - 1
Vậy B = (3101 - 1) : 2
Tổng quát: Tính tổng S = 1 + a + a2 + … + an, với a > 1 và a, n thuộc Z+( tập hợp
số nguyên dương)
skkn
Nhân hai vế của S với a ta có a S = a + a2 + … + an+1. rồi trừ cho S ta được:
a.S - S = ( a - 1 )S = an+1 - 1. Vậy: 1 + a + a2 + … + an = (an+1 - 1) : 2
Từ đó ta có cơng thức: an+1 - 1 = ( a - 1 )( 1 + a + a2 + … + an )
Bài tập áp dụng:
1. Tính các tổng sau:
1. A = 1 + 7 + … + 72013
2. B = 1 + 4 + … + 4100
2. Chứng minh rằng:
a. 1414 - 1 chia hết cho 13
b. 20122013 - 1 chia hết cho 2012
Bài 2: Tính các tổng sau:
1. A= 1 + 32 + 34 + … + 3100
2. B = 7 + 73 + ... + 799
Giải
1. A= 1 + 32 + … + 3100. Vấn đề đăt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi trừ
cho A thì một loạt các luỹ thừa bị triệt tiêu? Ta thấy các số mũ liền nhau cách
nhau 2 đơn vị nên ta nhân 2 vế với 32 rồi trừ cho A ta được:
32.A – A= 3102 - 1 hay A. ( 32 - 1) = 3102 - 1.
Vậy A =( 3102 - 1) : 8
Từ kết quả này ta có thể suy ra: 3102 - 1 chia hết cho 8
2. Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B ta được:
B = ( 7101 - 7 ) : 48
skkn
Tương tự như trên ta suy ra: 7101 – 7 chia hết cho 48
Tổng quát: Tính S1 = 1 + a2 + a4 + … + a2n = (a2n + 2 - 1) : (a2 - 1)
S2 = a + a3 + a5 + … + a2n+1 = (a2n + 3 - a) : (a2 - 1)
Bài tập áp dụng: Tính các tổng sau:
A = 2 + 23 + 25 + … + 22010
B = 1 + 22 + 24 + … + 22010
C = 13 + 133 + … + 1399
Bài tập khác: Chứng minh rằng:
1. A = 2 + 22 + … + 260 chia hết cho 31 và 15
2. B = 5 + 52 + … + 512 chia hết cho 30 và 31
1.2.Dạng 2:
Bài 1. Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10
Lời giải 1
Nhận xét: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân hai vế
của A với 3 lần khoảng cách này ta được:
3A = 3.(1.2+2.3+…+9.10)
= 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+…+9.10.(11-8)
= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + … + 9.10.11
= 9.10.11
= 990
A = 990: 3 =330.
skkn
Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11 trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A
và 11 là số tự nhiên liền sau của 10, tạo thành tích 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta
có kết quả tổng quát sau:
A = 1.2 + 2.3 + … + ( n - 1).n = ( n - 1).n.(n + 1): 3
Lời giải 2
3A = 3.(1.2 + 2.3 + … + 9.10)
= 3.(0.1 + 1.2 + … + 9.10
= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3
= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + 9.9.2)
= (12 + 32 + 52 + … + 92).2.3
= (12 + 32 + … + 92).6
= 990
= 9.10.11
Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ
1,nhưng liên hệ với lời giải 1,ta có:
(12 + 32 + … + 92).6 = 9.10.11
hay (12 + 32 + … + 92) = 9.10.11 : 6
Ta có kết quả tổng quát:
P = 12 + 32 + … + (2n+1)2 = (2n+1)(2n+2)(2n+3) : 6
Bài tập áp dụng: Tính các tổng sau:
1. P = 12 + 32 + … + 992
2. Q = 112 + 132 + … + 20112
3. M = 1.2 + 2.3 + … + 99.100
skkn
Bài 2: Cho A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10
C = A + 10.11.Tính giá trị của C
Giải
Theo cách tính A của bài tốn 1 ta được kết quả là: C = 10.11.12: 3
Theo cách giải 2 của bài tốn 1 ta lại có :
C = ( 1.2 + 2.3) + … + ( 9.10+10.11)
= 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + … + 10(9 + 11)
= 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20
= 2.2 + 2.4.4 + … + 2.10.10
= 2.( 22 + 42 + … + 102)
Vậy C = 10.11.12: 3.
Từ đó ta có: 22 + 42 + … + 102 = 10.11.12: 6
Ta có kết quả tổng quát là: 22 + 42 + … + ( 2n )2 = 2n.( 2n+1 ).(2n+2): 6
Bài tập áp dụng:
1. Tính tổng: 202 + 222 + … + 502
2. Cho n là số tự nhiên.Tính tổng: n2 + ( n+2 )2 + ( n+4)2 + … + (n+100)2
3. Tính tổng: 1.2 + 2.3 + ... +999.1000
Bài 3. Tính: A = 1.3 + 3.5 + … + 97.99
Giải
Nhận xét: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2, ta nhân 2 vế
của A với 3 lần khoảng cách này ta được:
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + … + 97.99.6
skkn
= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7.(9 - 3) + … + 97.99.(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + … + 97.99.101 - 95.97.99
= 3 + 97.99.101
A = (1 + 97.33.101): 2
= 161651
1.3.Dạng 3:
Bài 1:Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 8.9.10
Giải
Ta nhân hai vế của A với số 4 lần khoảng cách.
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4 + … + 8.9.10.4
= 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … + 8.9.10.(11 - 7)
= 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + … + 8.9.10.11
A = 8.9.10.11:4 = 1980
Từ đó ta có kết quả tổng quát:
A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n-1).n.(n+1) = (n-1).n.(n+1).(n+2): 4
Bài 2: Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 95.97.99
Giải
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + … + 95.97.99.8
= 1.3.5.(7 + 1) + 3.5.7.(9 - 1) + … + 95.97.99.(101 - 93)
= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101
A = 11517600
skkn
1.4. Dạng 4:
Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + … + n3
Giải
Trước hết ta chứng minh 1 kết quả sau đây: Với n là số tự nhiên thì ta có:
n3 - n = (n - 1)n(n + 1). Thật vậy: n3 - n = n(n2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)
Áp dụng kết quả trên để tính S:
S = 13 - 1 + 23 - 2 + … + n3 - n + (1 + 2 + 3 + … + n)
= 0 + 2.(22 - 1) + 3(32 - 1) + … + n.(n2 - 1) + (1 + 2 + 3 + … + n)
= 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) + (1 + 2 + 3 + … + n)
S = (n - 1)n(n + 1)(n + 2): 4 + n(n + 1) : 2
= [n(n + 1) : 2]2
Nhận xét:Vì n(n + 1) : 2 = 1 + 2 + 3 + … + n nên ta có kết quả rất quan trọng
sau đây:
13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2
1.5.Dạng 5:
Trong dạng bài tốn này ta khơng nhân A với một số mà tách ngay một thừa
số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ
dàng tính được.
Bài 1: Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 +…+ 99.100.101
Giải
A = 1.3. (5 - 3) + 3.5. (7 - 3) + … + 99.101, (103 - 3)
= (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 +…+ 99.101.3 )
= ( 15 + 99.101.103.105 ) : 8 - 3.(1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101)
skkn
= 13517400 – 3.171650
= 13002450
Bài 2 : Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +…+ 99.1002
Giải
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3. (4 - 1) + … + 99.100 . (101 - 1)
= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + … + 99.100.101 - 99.100
= ( 1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100 .101) – ( 1.2 + 2.3 + … + 99.100)
= 25497450- 333300
= 25164150
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tính A = 1.32 + 3.52 + 5.72 + …. + 97.992
Bài 2: Tính B = 1.3.5 - 3.5.7 + 5.7.9 - 7.9.11 + … - 97.99.101
2. Cách tính tổng các dãy phân số viết theo quy luật.
2.1.Dạng 1:
Bài 1: Tính nhanh:
A =
Giải:
Nhân cả hai vế với 2
Ta có: 2A = 1+
A =
(1)
(2)
skkn
Lấy (1) trừ (2) ta được A = 1-
=
Bài 2: Tính nhanh:
B =
Giải :
Nhân cả hai vế với 3. Ta có:
3B = 1+
(1)
B =
(2)
Lấy (1) trừ (2) ta được B = (1-
:2=
Tổng quát : Tính nhanh:
A =
(n
,a
)
Nhân cả hai vế với a ta được
a.A = 1+
(1)
A =
(2)
Lấy (1) trừ (2) ta được
A = (1Bài tập áp dụng :
skkn
Bài 1:Tính nhanh:
a) A =
b) B =
Bài 2: Bài tập mở rộng
Chứng minh rằng:
a) A =
<1
b) B =
<
c) C =
<
2.2.Dạng 2:
Bài 1: Tính nhanh :
A =
Giải
Nhận xét :
…………
skkn
Do đó : A =
=
=
=
Tổng qt : Tính nhanh
A =
(
A =
A =
A =
Bài 2: Tính nhanh:
B =
Giải:
Nhận xét :
…………..
skkn
Do đó
B =
=
)
=
=
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tính nhanh:
a)
b)
Bài 2: Tìm x biết :
a)
b)
=
2.5.Dạng 5:
Các bài tốn chứng minh bất đẳng thức có sử dụng cách tính tổng các phân
số viết theo quy luật.
Bài 1:
skkn
Cho A =
Chứng minh rằng:
a) A >
b) A >
Giải:
a) Tách A thành 2 nhóm, mỗi nhóm có 50 phân số, rồi thay mỗi phân số trong
từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta được:
A =
>
b) Tách A thành 4 nhóm rồi cũng làm như trên, ta được:
A >
>
Bài 2:
Cho A =
.
Chứng minh rằng: A <
Giải:
Giữ nguyên phân số
, còn các phân số sau thay bằng các phân số lớn hơn,
ta có:
A<
skkn
Dễ dàng tính được:
B =
Do đó: A <
<
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Chứng minh rằng:
<
Bài 2:
Chứng minh rằng:
skkn
