Skkn một số kinh nghiệm nâng cao hiệu quả ôn thi học sinh giỏi thông qua các bài toán đệ quy, khử đệ quy và đệ quy

Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU ...........................................................................................................2
I. Lý do chọn đề tài: ............................................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu: .....................................................................................................3
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ................................................................................3
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu: ...................................................................................................3
V. Phương pháp nghiên cứu: ...............................................................................................4
B. PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................................5
I. Cơ sở lý luận của đề tài: ...................................................................................................5
1. Các khái niệm: ................................................................................................................5
a) Khái niệm Đệ quy: .......................................................................................................5
b) Đặc điểm của chương trình con đệ quy:........................................................................6
c) Phân loại đệ quy: Gồm 2 loại: .....................................................................................6
2. Nguyên tắc hoạt động của giải thuật đệ quy: ..................................................................7
a) Khái niệm stack: ...........................................................................................................7
b) Nguyên tắc hoạt động của giải thuật đệ quy ứng dụng Stack: .....................................7
c) Ưu điểm và nhược điểm của giải thuật đệ quy: ............................................................8
3. Đệ quy quay lui: ..............................................................................................................8
a) Khái niệm đệ quy quay lui: ...........................................................................................8
b) Giải thuật tổng quát của đệ quy quay lui: ....................................................................9
c) Nét đặc trưng của phương pháp đệ quy quay lui: .........................................................10
d) Ưu và nhược điểm: .......................................................................................................11
4. Phương pháp khử đệ quy: ...............................................................................................11
5. Sự khác nhau giữa đệ quy và lặp: ...................................................................................12
II. GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ ÔN LUYỆN THI HSG THÔNG QUA CÁC BÀI
TẬP VÍ DỤ ĐỆ QUY, ĐỆ QUY QUAY LUI VÀ KHỬ ĐỆ QUY. ....................................13
1. Các bài tập cơ bản về đệ quy và không đệ quy: ..............................................................13
2. Các bài tập đệ quy và đệ quy quay lui: ...........................................................................14
3. Kết quả đạt được: . .........................................................................................................19

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................................................................20

GV: TrÇn Ngäc D¬ng

1

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Như chúng ta đã biết, việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi thật sự là công việc rất khó
khăn, địi hỏi nhiều cơng sức của giáo viên và học sinh. Trong một những năm gần đây,
trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các mơn văn hóa cấp tỉnh, đội tuyển học sinh giỏi
trường THPT Nông Cống 4 đã đạt được rất nhiều thành tích cao, cụ thể xếp hạng trong các
năm học từ 2015 trở về trước đứng dưới thứ 40 của tỉnh. Trong năm học 2016-2017 vượt
lên thứ 28 và năm học 2017-2018 giữ nguyên thứ hạng. Điều này được sự góp phần cơng
sức rất lớn lao của đội ngũ các thầy cô trực tiếp giảng dạy, sự vươn lên mọi khó khăn từ các
em học sinh đã góp phần vào kết quả chung của nhà trường, trong đó có sự đóng góp thành
tích của bộ mơn Tin học. Vì vậy bản thân tơi ln cố gắng phấn đấu để cùng bắt nhịp với
đội tuyển các môn trong nhà trường.
Tuy nhiên, sau nhiều năm đào tạo, tôi nhận thấy thực trạng của công tác ôn thi học
sinh giỏi của bộ môn Tin học đã bộc lộ những khó khăn và thuận lợi sau:
+ Thuận lợi:
          - Được sự quan tâm, động viên của Ban giám hiệu nhà trường. Sự đồng lòng của các
bậc phụ huynh học sinh trong đội tuyển đã động viên và dành thời gian để các em ôn luyện.
- Sự đúc kết kinh nghiệm giảng dạy, trau dồi kiến thức của bản thân trong q trình
giảng dạy.

- Học sinh có ý thức học tập, say mê trong môn học nặng về tư duy, trong đó năm
học 2017-2018 đã có 2 em trong đội tuyển Tin học thi 2 môn: 1 em thi môn Hóa và 1 em
thi mơn Tốn.
+ Khó khăn:
          - Tìm kiếm và xây dựng nguồn nhân lực rất khó khăn, nhất là trong điều kiện mà bắt
đầu từ năm học 2017-2018 khối học sinh 12 không tham gia dự thi, điều này đã làm cho
lực lượng học sinh có chất lượng khối 11 khó có thể thi Tin học (vì các em học môn tự
nhiên đã thi môn khác).
- Học sinh luôn đứng trước sự lựa chọn giữa học chuyên sâu để thi học sinh giỏi và
học để thi ĐH-CĐ, dẫn đến việc thi môn trái với môn thi ĐH-CĐ là không nằm trong sự
lựa chọn của các em.
- Một số học sinh tham gia học bồi dưỡng nhưng chưa thật cố gắng nên kết quả thi
học sinh giỏi chưa cao.
- Bản thân chưa đủ điều kiện, thời gian để tự bồi dưỡng, nghiên cứu nhằm nâng cao
chất lượng dạy học, trong khi đó áp lực cơng việc ơn luyện không hề nhỏ.
         - Cơ sở vật chất, trang thiết bị, tài liệu dạy học phục vụ cho công tác bồi dưỡng HSG
cịn nhiều thiếu thốn, hư hỏng nhiều.

GV: TrÇn Ngäc D¬ng

2

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
- Đặc biệt khối kiến thức thi học sinh giỏi rất rộng, trong khi đó các em chỉ được ôn
luyện từ khi làm quen với ngôn ngữ lập trình cho đến khi đi thi chỉ được khoảng 2-3 tháng.
          Trước những thuận lợi và khó khăn như trên và qua nhiều năm tham gia ôn luyện thi

học sinh giỏi tôi đã rút ra nhiều bài học kinh nghiệm, trong đó có việc giúp học sinh đạt kết
quả cao nhất của những bài thi khó, đó là các bài cuối cùng của đề thi. Những dạng bài này
thường dùng giải thuật đệ quy để giải.
Như ta đã biết, các phép lặp là một trong những kỹ thuật được dùng để giải các bài
toán bằng cách thực hiện liên tiếp một số các câu lệnh trong vòng lặp cho tới khi một điều
kiện nào đó được thỏa mãn. Một kỹ thuật lập trình được sử dụng để thay thế cho các phép
lặp đó là kỹ thuật đệ quy. Mặt khác, trong thực tế có rất nhiều bài tốn địi hỏi sự lặp đi lặp
lại một cách phức tạp. Và đệ quy cung cấp cho ta cơ chế giải quyết bài toán phức tạp một
cách đơn giản. Hơn nữa, đệ quy cịn thích hợp để giải quyết các bài tốn có bản chất đệ quy
và rất nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa có lời giải phi đệ quy.
Từ mục đích nhằm nâng cao kết quả ơn luyện thi học sinh giỏi, đồng thời giải quyết
các khó khăn trong quá trình ơn luyện tơi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm nâng cao
hiệu quả ôn thi học sinh giỏi thơng qua các bài tốn đệ quy, khử đệ quy và đệ quy quay
lui” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình.
II. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao hiệu quả ôn luyện thi học sinh giỏi.
- Gây hứng thú đối với học sinh tham gia thi học sinh giỏi môn tin học thông qua việc
sinh test cho mỗi bài tập để chấm điểm, phân tích dữ liệu xử lý.
- Khắc phục các khó khăn khi giải các bài tốn khó trong đề thi.
- Nâng cao năng lực của bản thân cũng như các đối tượng có sử dụng phương pháp đệ
quy để giải bài tập.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
1. Đối tượng:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu về lý thuyết đệ quy, xây dựng các phương
pháp giải đệ quy thông qua các bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
2. Phạm vi:
- Thực hiện các giải các bài toán bằng phương pháp đệ quy.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu những cơ sở về lý luận về lý thuyết đệ quy, tìm hiểu các ứng dụng về đệ
quy.

- Nghiên cứu và phân tích các đặc điểm, ưu - nhược điểm khi sử dng gii toỏn bng
phng phỏp quy.

GV: Trần Ngọc Dơng

3

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
- Nghiên cứu thực tiễn dạy học trong q trình hướng dẫn học sinh giải tốn bằng đệ
quy.
V. Phương pháp nghiên cứu:
1. Lý thuyết
- Tham khảo tài liệu sách, báo, mạng Internet có liên quan trực tiếp đến đề tài.
2. Thực tiễn
Trong q trình dạy học ơn luyện thi học sinh giỏi lần lượt thực hiện các bước sau:
+ Tìm hiểu lý thuyết, các bài tốn nào ứng dụng bằng phương pháp đệ quy.
+ Xây dựng các bài toán đơn giản giải bằng phương pháp đệ quy để học sinh tiếp cận
từng bước các dạng toán được áp dụng.
+ Thực hiện giải các bài tốn khó trong đề thi HSG tỉnh các năm và đề thi các tỉnh
khác.
+ Tạo các TEST cho mỗi bài tập từ bài dễ đến khó nhằm tạo hứng thú học tập cho học
sinh, đồng thời đánh giá được độ phức tạp của thuật tốn, đánh giá được năng lực phân tích
thuật tốn để viết được một chương trình tối ưu nhất.

GV: TrÇn Ngäc D¬ng

4

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận của đề tài:
1. Các khái niệm:
a) Khái niệm Đệ quy:
          Nếu thuật toán của một bài toán A được thực hiện bằng thuật tốn của bài tốn A’ có
dạng giống như A, thì đó là thuật tốn đệ quy. (A’ nhỏ hơn A). Hay có thể nói cách khác đó
là: Từ bài tốn A chúng ta có thể chia nhỏ bài tốn đó thành các bài tốn con cùng kiểu so
với bài toán gốc ban đầu, cứ chia nhỏ như vậy cho đến khi nào gặp đến bài toán cơ bản
nhất mà chúng ta có thể xử lý được (trường hợp suy biến) thì thao tác dừng.
          Như vậy trong quá trình lập trình, việc xây dựng các chương trình con (thủ tục/hàm)
nếu sử dụng phương pháp đệ quy sẽ được hiểu như sau: Chương trình con đệ quy là
chương trình con mà trong đó có lời gọi tới chính chương trình con đó.
+ Các bài tốn có thể dùng đệ quy:
Bài toán dễ dàng giải quyết trong một số trường hợp riêng ứng với các giá trị đặc biệt
của tham số. Ta gọi đây là trường hợp suy biến. Trong trường hợp tổng qt, bài tốn có
thể quy về một bài toán cùng dạng nhưng giá trị tham số thì bị thay đổi. Và sau một số hữu
hạn bước biến đổi Ðệ Quy sẽ dẫn đến trường hợp suy biến.
Ví dụ:
1. Định nghĩa về giai thừa n!:
+ Kết quả với test n = 5:
0! = 1
5! = 5 x 4!
Nếu n>0 thì n!=n*(n-1)!

= 5 x (4 x 3!)
= 5 x (4 x (3 x 2!))
+ Code mô tả như sau:
= 5 x (4 x (3 x (2 x 1!)))
Function gt(n: Word): Longint;
= 5 x (4 x (3 x (2 x (1 x 0!)))) Trường hợp
Begin
suy biến
If n = 0 then gt : =1
= 5 x (4 x (3 x (2 x 1)))
Else gt := n*gt(n - 1);
= 120.
End;
Các bài toán khác:
2. Định nghĩa về số tự nhiên:
0 là một số tự nhiên
n là một số tự nhiên khi n-1 là 1 số tự nhiên
3. Định nghĩa dãy Fibonacci f(n):
1,
Nếu n = 1;
1,
Nếu n = 2;
F(n-1) + f(n-2) Nếu n > 2.

GV: Trần Ngọc Dơng

5

skkn

Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
Từ các ví dụ trên chúng ta nhận thấy chúng đều có chung cấu trúc dạng hàm gọi các
hàm khác dưới dạng mơ hình phân cấp. Tuy nhiên đối với một số bài toán, việc dùng hàm
gọi ngay chính nó rất hữu dụng. Có thể định nghĩa hàm đệ quy là hàm sẽ gọi đến chính nó
trực tiếp hay gián tiếp thông qua các hàm khác. Vấn đề đệ quy là một vấn đề rất phức tạp,
gây khó hiểu cho người học, đặc biệt là những học sinh mới học lập trình có tư duy thuật
tốn chưa sâu. Do đó trong đề tài sẽ giới thiệu, phân tích, mơ phỏng các bài tốn đệ quy từ
đơn giản đến phức tạp để các em dễ dàng tiếp cận.
Trước tiên ta xem xét khái niệm đệ quy, sau đó kiểm tra trên một vài chương trình có
chứa các hàm đệ quy. Cách tiến hành giải một bài toán đệ quy nhìn chung có những điểm
chung sau.
Trước tiên gọi hàm đệ quy để giải bài toán, hàm đệ quy thực ra chỉ biết cách giải bài
toán trong trường hợp đơn giản nhất (hay còn gọi là trường hợp cơ sở). Nếu hàm đệ quy
được gọi trong trường hợp cơ sở, hàm chỉ cần đơn giản trả lại kết quả. Nếu hàm được gọi
trong các trường hợp phức tạp hơn, hàm đệ quy sẽ chia công việc cần giải quyết thành hai
phần. Một phần hàm biết cách giải quyết như thế nào, cịn phần kia vẫn khơng biết cách
giải quyết như thế nào tuy nhiên để được gọi là có khả năng đệ quy, phần sau phải giống
với bài toán ban đầu nhưng đơn giản hơn hay nhỏ hơn bài toán ban đầu. Bởi vì bài tốn
mới giống với bài tốn ban đầu nên hàm sẽ thực hiện gọi chính nó để giải quyết công việc
đơn giản hơn này - đây chính là lời gọi đệ quy hay cịn gọi là một bước đệ quy. Ðể đảm bảo
việc đệ quy có kết thúc, mỗi một lần gọi đệ quy thì bài toán phải đảm bảo đơn giản hơn và
các bước đệ quy này còn thực hiện tiếp cho đến khi nào bài toán đơn giản dần, đơn giản tới
mức trở thành trường hợp cơ sở. Có thể nhận thấy hàm đệ quy xử lý trường hợp cơ sở để
trả lại kết quả tính được cho các hàm mức phức tạp hơn, rồi đến lượt các hàm này lại tính
trả lại kết quả cho các hàm phức tạp hơn nữa ... cứ như vậy cho đến lời gọi hàm ban đầu.
b) Đặc điểm của chương trình con đệ quy:
          - Trong chương trình con đệ quy có lời gọi đến chính chương trình con đó.
          - Mỗi lần gọi lại chương trình con đó thì kích thước bài tốn đã thu nhỏ hơn trước.

          - Có một trường hợp đặc biệt: đó là trường hợp suy biến. Đây chính là trường hợp
giúp chúng ta kết thúc việc chia nhỏ chương trình để từ đây truy hồi công thức lấy kết quả.
c) Phân loại đệ quy: Gồm 2 loại:
Đệ quy trực tiếp và quy giỏn tip.

GV: Trần Ngọc Dơng

6

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG

+ Đệ quy trực tiếp: Là loại đệ quy mà đối tượng được mô tả trực tiếp qua nó:
Ví dụ 1: A mơ tả qua A, B, C… Trong đó B, C khơng chứa A.
Ví dụ 2: Mô tả đệ quy cây gia phả: Gia phả của một người bao gồm người đó và gia
phả của người ch và gia phả của người mẹ.
Ví dụ 3: Mơ tả đệ quy về thi chọn hoa hậu:
- Chọn hoa hậu của từng khu vực.
- Chọn hoa hậu của các hoa hậu.
+ Đệ quy gián tiếp: Là loại đệ quy mà đối tượng được mơ tả gián tiếp qua nó:
Ví dụ: A mơ tả qua B, C, D. Trong đó: B được mơ tả qua A và E, cịn C và D không
chứa A
2. Nguyên tắc hoạt động của giải thuật đệ quy:
Trong quá trình thực hiện lời gọi đệ quy, các tham số, biến cục bộ hay địa chỉ sẽ được
lưu tạm thời trong bộ nhớ. Các giá trị trên sẽ được lấy ra để giải quyết khi xảy ra trường
hợp suy biến, giá trị vào sau cùng sẽ được lấy ra đầu tiên. Chính vì vậy q trình lưu và xử
lý dữ liệu sẽ thực hiện theo mô hình stack.

Hình ảnh minh
họa hoạt động
của stack

a) Khái niệm stack:
Stack (ngăn xếp) là một danh sách mà việc thêm và xóa các phần tử chỉ diễn ra ở một
đầu của danh sách. Stack được thiết kế theo nguyên lý Last-In-First-Out (LIFO), nghĩa
là vào sau, ra trước. Phần tử nào được thêm vào sau cùng sẽ là phần tử được lấy ra đầu tiên.
Ví dụ: - Xếp đĩa CD chồng lên nhau, đĩa CD cuối cùng đưa vào sẽ là đĩa CD đầu tiên lấy ra
+ Đặc điểm của Stack
Mọi phần tử trong Stack phải cùng kiểu dữ liệu và có thể là bất kỳ kiểu dữ liệu nào, kể
cả struct hay object. Một Stack gồm có phần đáy (bottom) và phần đỉnh (top). Phần tử nằm
ở đỉnh Stack được gọi là Top Item. Mọi thao tác thêm, xóa phần tử đều diễn ra ở đỉnh
Stack.
b) Nguyên tắc hoạt động của giải thuật đệ quy ứng dụng Stack:

GV: TrÇn Ngäc D¬ng

7

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
- Khi thực hiện một giải thuật đệ quy thì các bước của giải thuật đệ quy sẽ lần lượt
được thực hiện tuần tự.
- Khi gặp lời gọi đệ quy thì trước khi thực hiện lời gọi đệ quy, đoạn mã lệnh chưa
được thực hiện xong cùng với các đối tượng dữ liệu liên quan tại thời điểm này sẽ được lưu

vào stack.
- Đến lúc nào đó không thể thực hiện lời gọi đệ quy nữa (trường hợp suy biến) thì các
đối tượng được lưu trong stack sẽ lần lượt được lấy ra để xử lý.
Ví dụ: Giải thuật đệ quy cho bài tốn tính N!
Giả sử N = 3, quy trình thực hiện như sau:
- Thực hiện lời gọi hàm: giaithua := gt(3); máy tính sẽ ghi nhớ là: gt(3) := 3 * gt(2);
và đi tính gt(2).
- Tiếp tục máy lại ghi nhớ: gt(2):= 2*gt(1); và đi tính gt(1).
- Theo định nghĩa của hàm thì khi gt(1):= 1; máy sẽ quay ngược lại: gt(2):= 2 * 1; và
cho kết quả là 2.
- Tiếp tục: gt(3) := 3 * 2; cho kết quả là 6.
Như vậy kết quả cuối cùng trả về là 6. Ta có: 3! = 6.
Mặc dù ứng dụng giải toán bằng phương pháp đệ quy kể cả toán học lẫn các ứng dụng
trong thực tiễn vẫn còn tồn tại một số ưu – nhược điểm, cụ thể như sau:
c) Ưu điểm và nhược điểm của giải thuật đệ quy:
+ Ưu điểm:
- Công cụ ứng dụng rất tốt với các bài tốn có bản chất đệ quy, thể hiện tư duy rõ ràng
và chặt chẽ.
- Ngắn gọn và có khả năng định nghĩa một tập hợp lớn các đối tượng bằng một số các
câu lệnh hữu hạn.
- Giải thuật đệ quy thực hiện được nhiều bài tốn mà giải thuật khơng đệ quy khơng
thể thực hiện được.
- Chương trình có chứa giải thuật đệ quy trở nên ngắn gọn, dễ hiểu, nêu bật bản chất
vấn đề trong bài tốn.
+ Nhược điểm:
- Chương trình có sử dụng phương pháp đệ quy tốn rất nhiều bộ nhớ hơn khi khơng
dung đệ quy vì cứ mỗi lần gọi đệ quy lại cần thêm một vùng nhớ mới trong khi vùng nhớ
cũ vẫn duy trì chưa được giải phóng.
- Tốc độ thực hiện chương trình chậm hơn khi không dụng đệ quy.
- Do đệ quy lưu trữ các dữ liệu trung gian vào Stack nên nếu lưu nhiều bộ dữ liệu lớn

trên Stack có thể gây ra hiện tng trn Stack.
3. quy quay lui:

GV: Trần Ngọc Dơng

8

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
a) Khái niệm đệ quy quay lui:
Quay lui (Backtracking) là phương pháp tìm kiếm lời giải cho các bài tốn mà nghiệm
của nó là một hay một tập cấu hìn thỏa mãn đồng thời 2 tính chất P và Q, trong đó:
+ P: Là cách xác định một cấu hình.
+ Q: Tính dừng của bài tốn.
Hay định nghĩa cách khác là:
Thuật toán quay lui dùng để giải bài tốn liệt kê các cấu hình. Mỗi cấu hình được xây
dựng bằng cách xây dựng từng phần tử, mỗi phần tử được chọn bằng cách thử tất cả các
khả năng.
Ví dụ 1:
Giả sử cấu hình liệt kê có dạng a[1..n], khi đó thuật tốn quay lui thực hiện qua các bước
1)
Xét tất cả các giá trị a[1] có thể nhận, thử a[1] nhận lần lượt các giá trị đó. Với mỗi
giá trị thử gán cho a[1] ta sẽ:
2)
Xét tất cả các giá trị a[2] có thể nhận, thử cho a[2] nhận lần lượt các giá trị đó. Với
mỗi giá trị thử gán cho a[2] lại xét tiếp các khả năng chọn a[3]... cứ tiếp tục như vậy cho
đến bước:

.....
n) Xét tất cả các giá trị a[n] có thể nhận, thử cho a[n] nhận lần lượt các giá trị đó, thơng báo
cấu hình tìm được (a[1], a[2], ..., a[n])
Ví dụ 2:
Liệt kê tất cả các hoán vị n số tự nhiên nguyên dương đầu tiên theo thứ tự tăng dần
của từ điển:
N = 3: gồm các hoán vị: 123, 132, 213, 231, 312, 321
b) Giải thuật tổng quát của đệ quy quay lui:
Procedure TRY(i: integer);
Var k: integer;
Begin
For k:=1 to n do
Begin
    
Chọn bước đi thứ k
                              If đi được THEN
                                     Begin
                                            Ghi nhận bước đi
                                             If i                                                   Try(i+1)
                                             Else

GV: TrÇn Ngäc D¬ng

9

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ

quy trong «n thi HSG
                                                   In kết quả
                                             Bỏ việc ghi nhận
                                      End;
                  End;
    End;
- Thủ tục bắt đầu hoạt động với Try(1).
- Phân tích giải thuật:
 Nếu một khả năng j nào đó phù hợp cho x i thì xác định xi theo khả năng j. Thường
phải thêm thao tác ghi nhận trạng thái mới của bài toán để hỗ trợ cho bước quay lui.
Nếu i=n thì ta có được một lời giải, ngược lại thì tiến hành bước i+1 để xác định xi+1
 Nếu khơng có khả năng nào chấp nhận được cho x i thì ta lùi lại bước trước (i-1) để
xác định lại thành phần xi-1
 Nếu một khả năng j nào đó phù hợp cho x i thì xác định xi theo khả năng j. Thường
phải thêm thao tác ghi nhận trạng thái mới của bài tốn để hỗ trợ cho bước quay lui.
Nếu i=n thì ta có được một lời giải, ngược lại thì tiến hành bước i+1 để xác định xi+1.
 Nếu khơng có khả năng nào chấp nhận được cho x i thì ta lùi lại bước trước (i-1) để
xác định lại thành phần xi-1.
- Về bản chất của đệ quy quay lui là quá trình tìm kiếm theo chiều sâu, chúng ta có thể mơ
tả q trình tìm kiếm theo sơ đồ cây nhị phân như sau:
Try(1)
Try(2)

Try(2
)
Try(3)

Try(3)

Try(3)

Try(3)

Áp dụng: Với bài toán liệt kê tất cả các hoán vị n số tự nhiên nguyên dương đầu tiên theo
thứ tự tăng dần của từ điển: Cho N = 3:
- Try(k): Tìm thành phần thứ k của hoán vị
- Duyệt tập các phương án chọn: {1, 2, …, N}
- Chấp nhận được k: Khi k chưa được chọn trước đó.
- Thực hiện bước chọn: Đánh dấu k đã chọn.
- Thành công: Khi chọn được thành phần thứ k = N
- Thông báo kết quả: Hiển thị N số của hoán vị
- Hủy chọn: Đánh dấu k cha c chn.

GV: Trần Ngọc Dơng

10

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
c) Nét đặc trưng của phương pháp đệ quy quay lui:
• Các bước hướng tới lời giải cuối cùng của bài tốn hồn tồn được làm thử.
• Tại một bước:
– Nếu có một lựa chọn thì ghi nhận lại lựa chọn và tiến hành các bước thử tiếp
theo.
– Ngược lại thì làm lại bước trước, xóa bỏ sự ghi nhận và quay về thử các lựa
chọn còn lại.
d) Ưu và nhược điểm:

+ Ưu điểm: Việc quay lui là thử tất cả các tổ hợp để tìm được một lời giải. Thế mạnh của
phương pháp này là nhiều cài đặt tránh được việc phải thử nhiều trường hợp chưa hồn
chỉnh, nhờ đó giảm thời gian chạy.
+ Nhược điểm: Trong trường hợp xấu nhất độ phức tạp của quay lui vẫn là cấp số mũ. Vì
nó mắc phải các nhược điểm sau:
o Rơi vào tình trạng "thrashing – thất bại": quá trình tìm kiếm cứ gặp phải bế tắc với
o

cùng một nguyên nhân.
Thực hiện các công việc dư thừa: Mỗi lần chúng ta quay lui, chúng ta cần phải đánh

o

giá lại lời giải trong khi đơi lúc điều đó không cần thiết.
Không sớm phát hiện được các khả năng bị bế tắc trong tương lai. Quay lui chuẩn,

khơng có cơ chế nhìn về tương lai để nhận biết đc nhánh tìm kiếm sẽ đi vào bế tắc.
4. Phương pháp khử đệ quy:
a) Khử đệ quy là gì?
Khử đệ quy ở đây là biến một thủ tục đệ quy thành một thủ tục chỉ chứa vịng lặp mà
khơng ảnh hưởng gì đến các yếu tố khác, chứ khơng phải là thay đổi thuật toán.
b) Tại sao phải khử đệ quy ?
Khử đệ quy là một việc làm phức tạp và khó khăn. Ở hàm n! ta có thể dùng một thuật
tốn khơng đệ quy, nhưng trong một số bài toán, đệ quy là bắt buộc. Tuy nhiên đôi khi,
sự hạn hẹp của bộ nhớ dành cho chương trình; hoặc ngơn ngữ máy khơng có đệ quy, vì
vậy các trình biên dịch đều phải có nhiệm vụ khử đệ quy.
c) Khử để quy như thế nào ?
Khử đệ quy thực chất là chúng ta phải làm công việc của một trình biên dịch đối với
một thủ tục, đó là: Đặt tất cả các giá trị của các biến cục bộ và địa chỉ của chỉ thị kế tiếp
vào Stack, quy định các giá trị tham số cho thủ tục và chuyển tới vị trí bắt đầu thủ tục, thực

hiện lần lượt từng câu lệnh. Sau khi thủ tục hồn tất thì nó phải lấy ra khỏi ngăn xếp địa chỉ
trả về và các giá trị của các biến cục bộ, khôi phục các biến và chuyển tới địa chỉ trả về.
 Ví dụ: Tính N!
Phương pháp đệ quy

Phương pháp khử đệ quy

GV: Trần Ngọc Dơng

11

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
Function gt(n: Word): Longint;
Begin
If n = 0 then gt : =1
Else gt := n*gt(n - 1);
End;

Function giaithua(n: Word): Longint;
var k : Word;
GT : longint ;
Begin
GT := 1 ;
For k:= 1 to n do GT := GT * k ;
giaithua:= GT ;
end ;

5. Sự khác nhau giữa đệ quy và lặp: Sự so sánh trong phần này giúp học sinh phân biệt
tốt hơn việc áp dụng các thuật toán tương ứng để giải toán một cách linh hoạt.
Giống nhau:
- Cả 2 phương pháp đều liên quan đến lặp.
- Đều phải có điều kiện để kiểm tra tính dừng của vịng lặp.
Khác nhau:
Đệ quy

Lặp (khơng đệ quy)

- Sử dụng cấu trúc lựa chọn
- Sử dụng vòng lặp tường minh

- Sử dụng cấu trúc lặp
- Quá trình lặp bằng cách sử dụng liên tục
các lời gọi hàm
- Dừng khi đến trường hợp cơ sở (trường - Dừng khi điều kiện trong vòng lặp sai.
hợp suy biến.
- Tốn thời gian và bộ nhớ khi xử lý.
- Chương trình chạy nhanh và sử dụng ít bộ
nhớ.
Lưu ý: Mặc dù phương pháp lặp vẫn được sử dụng cho nhiều bài toán, tuy nhiên tồn tại
nhiều bài tốn chỉ có thể giải bằng đệ quy.

GV: Trần Ngọc Dơng

12

skkn

Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
II. GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ ÔN LUYỆN THI HSG THÔNG QUA CÁC
BÀI TẬP VÍ DỤ ĐỆ QUY, KHỬ ĐỆ QUY VÀ ĐỆ QUY QUAY LUI.
Như đã đề cập trên phần đầu của SKKN, sau khi phân tích các khái niệm, ưu-nhược
điểm của từng đối tượng đệ quy, đệ quy quay lui, khử đệ quy tôi sẽ xây dựng các bài toán
từ đơn giản đến phức tạp, mỗi bài tốn có thể có một phương pháp hoặc cả 3 phương pháp
tương ứng với các đối tượng trên nhằm giúp cho học sinh áp dụng linh hoạt trong q
trình xây dựng thuật tốn (code cụ thể nằm trong phần phụ lục). Đặc biệt mỗi bài tốn sẽ
có bộ test (ghi trên đĩa CD) để học sinh tối ưu được thuật tốn của mình cũng như tạo
hứng thú trong học tập.
1. Các bài tập cơ bản về đệ quy và không đệ quy:
BÀI 1: Cho n là một số nguyên dương, hãy tính lũy thừa an

Đệ quy
Function LT(a,n: Word): Longint;
Begin
If n = 0 then LT := 1
else LT := a * LT(a,n - 1);
End;

Lặp (không đệ quy)
Function LT (a: Longint;n: Word): Longint;
Var i: Word; S: Longint;
Begin
S:=1;
For i:=1 To n Do S:=S*a;
LT:=S;
End;

BÀI 2: Cho n là một số nguyên dương, tính tổng S=1+2+3+...+n

Đệ quy
Function S(k: Word):longint;
Begin
If k=1 then S:=1
else If k>1 then S:=S(k-1) + k;
End;

Lặp (không đệ quy)
Function S(n:Word):longint;
Var P:longint; i:Word;
Begin
If n=0 then P:=1
Else Begin
P:=1;
For i:=1 To n Do P := P+i;
End;
S:=P;
End;

BÀI 3: Cho n là một số nguyên dương, Tìm số fibonaxi thứ n

Đệ quy
Function Fibo(n:longint):longint;
Begin
If ((n=0)or(n=1)) then Fibo:=1

Lặp (không đệ quy)

function Fibo(n : int64):int64;
var f0, f1, fi:int64; i :integer;
begin

GV: Trần Ngọc Dơng

13

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
else Fibo:=Fibo(n-2)+Fibo(n-1);
End; // CHẠY CHẬM KHI N=45

if n<=1 then exit;
f0:=0; f1:=1;
for i:=2 to n do
begin
fi:=f1 + f0; f0:=f1; f1:=fi;
end;
fibo:=fi;
end;

BÀI 4: Tìm ước chung lớn nhất của 2 số nguyên dương.

Đệ quy
Function UCLN(m,n:longint):longint;
Begin

If(m=n) then UCLN:= m
else
If (m>n) then UCLN:=UCLN(m-n,n)
else UCLN:=UCLN(m,n-m);
End;

Lặp (không đệ quy)
Function UCLN(m,n:longint):longint;
Begin
While m<>n do
If m>n then m:=m-n else n:=n-m;
UCLN:=m;
End;

2. Các bài tập đệ quy và đệ quy quay lui:
BÀI 1: Liệt kê tất cả các hoán vị n số tự nhiên nguyên dương đầu tiên theo thứ tự
tăng dần của từ điển:
Ví dụ: N = 3 gồm các hoán vị: 123, 132, 213, 231, 312, 321
Hướng dẫn:
- Với N=1 thì chỉ có 1 hốn vị duy nhất là: 1.
- Với N= 2 thì có 2 hốn vị là:
+ Khi chọn 1 là số đứng đầu, ta có hốn vị: 1 2
+ Khi chọn 2 là số đứng đầu, ta có hốn vị: 2 1
- Với N=3:
+ Khi chọn 1 là số đứng đầu, ta có 2 hoán vị: 1 2 3; 1 3 2
+ Khi chọn 2 là số đứng đầu, ta có 2 hốn vị: 2 1 3; 2 3 1
+ Khi chọn 3 là số đứng đầu, ta có 2 hốn vị: 3 2 1; 3 1 2
.....
Với tập hợp N số, khi chọn một trong các số từ 1 đến N, ta sẽ có các hốn vị gồm: số
đứng đầu đã chọn và một trong các hoán vị của tập số {1..N}.

Như vậy, ta nhận thấy có thể giải bài tốn này bằng cách dùng thuật tốn đệ quy quay lui.
Ta có:
- Try(j): thực hiện chọn số thứ j cho hốn vị.

GV: TrÇn Ngäc D¬ng

14

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
- Các phương án chọn: Có N phương án chọn, i = 1, 2, 3..., N.
- Chọn được: khi giá trị i chưa được chọn.
- Phương pháp tổ chức lưu trữ: Dùng một mảng một chiều KTra1 có N phần tử mang kiểu
dữ liệu Boolean. Giá trị khởi tạo ban đầu của các phần tử đều là True
KTra1

True

True

True

….

True

i

1

2

3

….

n

Giá trị i chưa được chọn khi KTra1[i]= True
- Thực hiện bước đi thứ j:
+ Đánh dấu giá trị được chọn: KTra1[i]:= False.
+ Gán giá trị của i cho số thứ j:
- Cách tổ chức lưu trữ: Dùng một mảng một chiều KTra2 có N phần tử để lưu các giá trị đã
được chọn:

KTra2

True

True

True

….

True

j

1

2

3

….

n

Lưu vết: KTra2[j]:=i;
- Thành công: Khi đã chọn đủ N số ( j=N).
- Hủy bước đi thứ j: gán giá trị True cho KTra1[i]: KTra1[i]: =True;
Thuật toán: (Code tham khảo trong phần phụ lục)
procedure try(j:byte);
var i,k:byte;
begin
for i:=1 to n do
if ktra1[i]=true then
begin
ktra1[i]:=false;
ktra2[j]:=i;
if j=n then
begin
for k:=1 to n do write (ktra2[k],' '); writeln;
end
else try(j+1);
ktra1[i]:=true;

end;
end;
Chương trình chính: thực hiện gọi try(1);
BÀI 2: Liệt kê dãy nhị phân có độ di n

GV: Trần Ngọc Dơng

15

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
Biểu diễn dãy nhị phân có độ dài n dưới dạng a[1..n]. ta sẽ liệt kê các dãy nhị phân
bằng cách thử dùng các giá trị {0,1} gán cho a[i]. Với mỗi giá trị thử gán cho a[i] lại thử
các giá trị có thể gán cho a[i+1]. Ví dụ với n=3, cây tìm kiếm quay lui như sau:

Thuật toán: (Code tham khảo trong phần phụ lục)
procedure try(i:integer);
var j: integer;
Begin
for j := 0 to 1 do
{xét các giá trị có thể gán cho a[i]}
begin
a[i] := j;
{thử a[i]}
if i=n then xuat {nếu thử đến cấu hình cuối thì in kết quả}
else try(i+1); {nếu chưa phải cấu hình cuối thì gọi đệ quy chọn tiếp
a[i+1]}

end;
end;
Chương trình chính: thực hiện gọi try(1);
BÀI 3: Bài toán rút tiền tự động ATM
Một máy rút tiền tự động ATM có n (n<=20) tờ tiền có giá trị t 1,t2,…,tn. Hãy đưa ra một
cách trả với số tiền đúng bằng S.
Dữ liệu vào từ file “ATM.INP” có dạng:
    - Dịng đầu là 2 số n và s
- Dòng 2 gồm n số t1,t2,…,tn
Kết quả ra file “ATM.OUT” có dạng: Nếu có thể trả đúng S thì đưa ra cách trả, nếu
khơng thì ghi -1. Ví dụ:
ATM.INP
10 390
200 10 20 20 50 50 50 50 100 100

ATM.OUT
20 20 50 50 50 100 100

Thuật toán: (Code tham khảo trong phần phụ lục)
procedure xuat; {tính cách trả}

GV: TrÇn Ngäc D¬ng

16

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG

procedure try(i:integer);
var j:integer;
begin
for j:=0 to 1 do
if kt=false then
begin
a[i]:=j;
if i=n then xuat else try(i+1);
end;
end;
BEGIN
{Đọc và ghi kết quả}
END.
BÀI 4: Dãy số
Cho dãy số nguyên a1,a2,..an. số ap (1 < p < n) được gọi là một số trung bình cộng trong
dãy nếu tồn tại 3 chỉ số i, j, k (1 < i, j, k < n) đôi một khác nhau sao cho ap = (ai + aj + ak)/3.
Yêu cầu: Cho n và dãy số a1 a2,.. an. Hãy tìm số lượng các số trung bình cộng trong dãy.
Dữ liệu vào:  Từ tệp TBC.INP
-              Dịng đầu ghi số ngun dương n (3 < n < 1000)
-              Dòng thứ hai chứa n số nguyên ai  (|ai|< 108) mỗi số cách nhau bởi dấu cách.
Kết quả ra : Ghi vào tệp TBC.OUT số lượng các số trung Bình cộng trong dãy.
Ví dụ:
TBC.INP
TBC.OUT
5
2
43635
7
5
6452897

Thuật tốn: (Code tham khảo trong phần phụ lục)
Procedure try(i:integer);
var j:integer;
begin
for j:=1 to n do
if b[j]=0 then
begin
a[i]:=j;
if a[i]>a[i-1] then
if i=3 then xuat else
begin
b[j]:=1;
try(i+1);
b[j]:=0;

GV: Trần Ngọc Dơng

17

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
end;
end;
end;
BÀI 5: Tiền khách sạn
Trong dịp nghi lễ 30 tháng 4 và 1 tháng 5 vừa qua do cùng đợt nghỉ với ngày giỗ tổ
Hùng Vương 10 tháng 3(âm lịch) nên số ngày nghỉ lễ tăng lên. Vì thế lượng khách du lịch

đổ về Nha Trang tham quan cũng tăng kỷ lục, dẫn đến tinh trạng các khách sạn ở
đây “cháy phòng”. Khách sạn Quang Huy chỉ còn một phịng nên quyết định cho th
phịng này theo hình thức thỏa thuận về giá cả. Sau khi tổng hợp các đơn đặt hàng, khách
sạn nhận được n đơn đặt hàng, trong đó đơn đặt hàng thứ i đăng ký ngày bắt đầu là a i, ngày
trả phòng là bi và chấp nhận trả số tiền th phịng là ci. Do có nhiều đơn đặt hàng, thời
gian đặt phòng lại chồng chéo nhau, số tiền khách hàng chấp nhận trả cho khách sạn cũng
khác nhau nên ban quản lý khách sạn đang rất khó khăn khơng biết nhận lời hay từ chối
khách hàng nào.
Yêu cầu: Viết chương trình giúp khách sạn nhận đơn đặt phòng sao cho lợi nhuận thu được
là lớn nhất.
Lưu ý: Theo điều lệ của khách sạn, khách hàng phải trả phòng trước 12 giờ trưa, khách
hàng khác có thể nhận phịng từ 12 giờ trong một ngày.
Dữ liệu vào: được ghi trên tệp khachsan.inp bao gồm:
- Dòng thứ nhất là số nguyên n (1 ≤ n ≤ 12000) thể hiện số đơn đặt hàng.
- n dòng tiếp theo gồm 3 số nguyên a i, bi và ci. Mỗi số cách nhau một khoảng trắng với ràng
buộc(l ≤ai ≤ bi ≤ 100, 0 ≤ ci ≤1000).
Dữ liệu ra: lưu trong tệp khachsan.out với một số nguyên thể hiện số tiền lớn nhất.
Ví dụ:
khachsan.inp
3
128
236
476

khachsan.out
20

khachsan.inp
4
145

138
354
469

khachsan.out
17

Thuật tốn: (Code tham khảo trong phần phụ lục)
procedure try(i:byte);
var j:byte;
begin
for j:=1 to n do
if b[j]=0 then
begin
a[i]:=j;
if a[i]>a[i-1] then
if vao[a[i]]>=ra[a[i-1]] then
if i=k then xuat
{kiem tra tuan tu cac hoan vi}
else

GV: Trần Ngọc Dơng

18

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG

begin
b[j]:=1;
try(i+1);
b[j]:=0;
end;
end;
end;
* Ghi chú: Các bài tốn kèm theo giải thuật, test được bổ sung thêm trong phần phụ lục và
đĩa CD.
3. Kết quả đạt được:
Với mục đích nâng cao hiệu quả ôn thi học sinh giỏi bản thân tơi ln tìm tịi và áp
dụng mọi phương pháp giải quyết vấn đề, đặc biệt là những bài toán khó. Do đó phương
pháp đệ quy được áp dụng trên một số bài toán nhằm trang bị cho các em một số kiến thức
giải quyết bằng nhiều cách, trong đó có phân tích về thuật tốn, bộ nhớ lưu trữ và tốc độ xử
lý chương trình.
Bản thân tơi nhận thấy việc phân tích và áp dụng phương pháp đệ quy, khử đệ quy và đệ
quy quay lui để giải một số bài toán giúp cho các đối tượng tham gia đạt được một số kết
quả sau:
Đối với giáo viên tham gia giảng dạy:
- Tăng cường tiếp thu các kiến thức tư duy giải thuật, bồi dưỡng và trau dồi kiến thức.
- Q trình ơn thi học sinh giỏi khơng phải chỉ là cách truyền đạt kiến thức một chiều,
mà bản thân giáo viên cũng được học tập từ các em học sinh.
- Thơng qua các bài tốn giải bằng phương pháp đệ quy, khử đệ quy, đệ quy quay lui
giúp giáo viên có kiến thức rõ nét hơn trong việc phân tích thuật tốn và làm cho
chương trình mượt hơn khi nói về tốc độ xử lý, khơng gian lưu trữ.
- Xây dựng các test cho chương trình để tạo hứng thú học tập cũng như là thử nghiệm
những đặc trưng và nhược điểm của phương pháp đệ quy.
Đối với học sinh trực tiếp tham gia ôn luyện:
- Biết phân tích, đánh giá giải thuật từ đó xây dựng chương trình hồn thiện hơn,
nhằm vét tất cả các test trong đề thi.

- Hứng thú học tập thông qua cách chấm điểm từ các test được giáo viên xây dựng.
- Kết quả các năm ôn thi của học sinh:
TT

Họ và tên

Giải

Năm hc

1.

Nguyn Th Thu Trang

KK

2015

2.

Nguyn Th c

Ba

2017

GV: Trần Ngọc Dơng

19

skkn


Một số kinh nghiệm giải toán bằng phơng pháp đệ
quy trong «n thi HSG
3.

Đồng Đức Mạnh

Ba

2017

4.

Trần Tuấn Anh

KK

2018

5.

Phạm Hồng Qn

KK

2018

GV: Trần Ngọc Dơng

20

skkn