Skkn phương pháp khai thác đẳng thức cho trước trong bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC ĐẲNG THỨC
CHO TRƯỚC TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC

Người thực hiện : Trần Thị Hiền
Chức vụ
: Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2019

skkn


MỤC LỤC
Nội dung

Trang
1
2
3
3
3
4

4
4

MỤC LỤC
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận
2.2 Thực trạng và nguyên nhân
2.3 Các giải pháp
A. Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan.
B. Một số phương pháp khai thác đẳng thức cho trước
1. Sử dụng hệ quả:
thì

4

2. Sử dụng các hằng đẳng thức:
(1)
.

5

(2)

3. Thay số trong biểu thức cần tính bằng biểu thức chứa chữ

6

4. Sử dụng phương pháp hệ số bất định

8

5. Sử dụng phương pháp hình học

10

6. Một số dạng khác

11

C. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
D. BÀI TẬP THAM KHẢO
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

15
16

Phần 3: KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo

17
19

skkn

17

1

Phần 1: MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức là dạng toán cơ bản trong
chương trình tốn THCS. Trong đó việc khai thác đẳng thức cho trước là dạng
khó đối với học sinh. Dạng toán này thường xuất hiện trong các đề thi tuyển
sinh vào THPT chuyên, các đề thi học sinh giỏi các cấp và là nền tảng cho các
bài toán ở các lớp trên. Trong quá trình giảng dạy ở lớp 8, lớp 9 và dạy Đội
tuyển học sinh giỏi các cấp, tơi nhận thấy khi gặp dạng tốn này, học sinh
thường lúng túng khơng tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm, đặc biệt khi gặp
dạng toán”Cho đẳng thức A, yêu cầu chứng minh đẳng thức hoặc rút gọn biểu
thức B”, thì nhiều học sinh khơng biết bắt đầu từ đâu hoặc sa vào khai triển đẳng
thức B, sau đó mới sử dụng kết quả đẳng thức A.
Nguyên nhân học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài này xuất phát
từ những lý do sau:
1. Người giải tốn chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán.
2. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại.
3. Không đọc kĩ đề bài, chưa hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải tốn.
4. Khơng biết đề cập bài tốn theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu
nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, khơng sử
dụng hết giả thiết bài tốn, khơng biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.
5. Khơng tự tư duy lại bài tốn mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng
chưa.
Với thực tế và yêu cầu chung đó trong tài liệu này tơi xin được trao đổi
kinh nghiệm với đồng nghiệp về ''Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước
trong bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức'' với hy vọng đề tài
này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên
và học sinh trong việc dạy và học.
Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng
kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học tốn.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc củng cố các kiến thức cơ bản trong
sách giáo khoa còn cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng và rèn luyện kỹ năng
giải các dạng toán cho học sinh. Với mỗi bài học sinh phát hiện ra dạng và tìm
ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát bài toán và đặt đề tốn
tương tự. Từ đó học sinh phát triển tư duy logic, hiểu sâu kiến thức, có hứng thú
nghiên cứu khoa học và nâng cao hiệu quả giáo dục.
Nghiên cứu về " Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước trong bài
toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức''. Giúp giáo viên nâng cao
năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học từ đó
định hướng nâng cao chất lượng dạy và học mơn tốn, mở rộng, đào sâu và hồn
thiện hiểu biết. Ngồi ra cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành
công về chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức.
1.3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

skkn

2


Đối tượng nghiên cứu là các học sinh lớp 8, lớp 9 và các học sinh đội
tuyển Toán.
Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán qua các năm.
Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng
thường xuyên, các loại sách tham khảo.
Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn.
1.4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.
Hệ thơng hố một số phương pháp chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu
thức.
Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài.

Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm.
1.5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá.
1.6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham
thích học dạng tốn này hơn .
Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Xuất phát từ đặc trưng của mơn tốn của mơn Tốn ở trường THCS một
mơn “khoa học suy diễn” cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ
bản, vững chắc có hệ thống. Rèn luyện và phát triển các kĩ năng giải toán và ứng
dụng vào thực tế, khả năng tư duy logic, sử dụng ngơn ngữ chính xác. Bồi
dưỡng các phẩm chất độc lập, sáng tạo, kiên trì, tích cực cho học sinh.
Căn cứ vào thực tế dạy và học của chương trình Đại số 9 tơi thấy hệ thống
bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành mới
đáp ứng cho học sinh đại trà. Đối với học sinh khá, giỏi dạng bài tập này rất
phong phú và đa dạng.
2.2. THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN:
2.2.1. Thực trạng:
*) Số liệu thống kê
Khi chưa áp dụng đề tài, qua khảo sát 102 học sinh lớp 9A, 9F, HS đội tuyển
Toán trường THCS Trần Mai Ninh đã phản ánh học sinh cịn lúng túng với
dạng tốn này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng toán một cách thực sự,
kết quả cụ thể như sau:

skkn

3

Số học sinh Tỷ lệ
Kết quả
27
26%
Hứng thú với dạng toán.
42
41%
Biết cách tiếp cận dạng toán
33
33%
Chưa biết cách tiếp cận dạng toán
Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh cịn lúng
túng với dạng tốn này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng tốn một cách
thực sự. chưa có khả năng phân tích dữ liệu từ đề bài để giải quyết các bài tốn.
2.2.2. Ngun nhân:
Đây là dạng tốn khó, chủ yếu là dạng toán nâng cao dành cho học sinh
khá và giỏi.
Trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập rất ít có dạng tốn này. Vì
vậy trên lớp ít có cơ hội tiếp cận, thường nó chỉ phổ biến cho một số em đội
tuyển học sinh giỏi và học sinh ôn thi vào các trường chuyên.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP:
Thực tế trong q trình giải tốn nói chung và dạng tốn này nói riêng thì
khơng có một con đường nào thực sự cụ thể mà việc giải tốn đặc biệt là tốn
khó thì địi hỏi người dạy, người học phải tìm tịi sáng tạo cho mình một phương
pháp tiếp cận bài tốn dựa trên cơ sở đã học. Từ đó chúng ta sẽ tìm ra những
quy luật những cách giải cho một dạng tốn. Vì vậy trong khn khổ của đề tài
này, tôi xin đưa ra một phương pháp tiếp cận dạng toán chứng minh, rút gọn dựa
vào đẳng thức cho trước bằng một số bài tốn sau đây:

A. HỆ THỐNG HĨA CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN.
 Như đặt vấn đề ở trên, để giải quyết dạng toán này ta cần phải kết hợp hài
hòa giữa đẳng thức đã cho với đẳng thức cần chứng minh và biểu thức cần
rút gọn từ đó tìm ra những phép biến đổi hợp lý.
 Các phép toán cần thiết:
 Các phép toán của đa thức và phân thức đại số.
 Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là đẳng thức:

Hệ quả:
thì
 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
 Các phép biến đổi cần thiết khác (quy tắc mở ngoặc, đổi dấu, chuyển
vế ...).
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
1. Sử dụng hệ quả:
thì
Bài tốn 1:
Cho a + b + c = 0. Chứng minh:
Lời giải: Cách 1: Từ

skkn

4


Do đó:

Hay
Cách 2: Sử dụng hệ quả 1: Từ

Mặt khác: Từ

(đpcm)
suy ra

suy ra

Bài toán 2:
Cho xy + yz + xz = 0 và

. Tính giá trị biểu thức:

Lời giải: Từ giả thiết suy ra:

, nên theo hệ quả, ta có:

. Từ đó suy ra:
2. Sử dụng các hằng đẳng thức:
(1)
.

(2)

Hai đẳng thức này bị nhiều người bỏ quên, thật bất cơng khi nó đem lại cho ta
nhiều điều thú vị. Trước hết ta chú ý từ (1) suy ra

skkn

5

(3)

Từ (2) suy ra

(4)

Vận dụng hai trường hợp này thật hiệu quả và bất ngờ. Sau đây chúng ta cùng
xét một số bài toán minh họa.
Bài toán 3:
Cho a, b, c là các số thực khác 0 sao cho

.

Hãy tính giá trị biểu thức: M =
Lời giải: Đặt

. Từ giả thiết
suy ra

,M=

Từ (3) xét hai trường hợp
1) x + y + z = 0. Từ (1), (2), (3) dễ dàng suy ra:

2) x = y = z = 0 hay a = b = c = 0 => M = 8.
3. Thay số trong biểu thức cần tính bằng biểu thức chứa chữ:
Bài toán 4: Cho abc = 1, biết biểu thức sau được xác định. Chứng minh
đẳng thức:
Giải: Ta có:

=

, (Thay abc = 1)

=
Vậy
C2: Từ giả thiết

.
( đpcm).
thay vào biểu thức ta có:

skkn

6


Vậy

( đpcm)

Bài toán 5: Cho abcd = 1. Chứng minh rằng:
=1
Lời giải:
C1: Thay 1 = abcd.
C2: Tương tự bài toán 5 ta có:
Từ

thay vào biểu thức ta có:

Tổng quát với trường hợp abc = k, ta có thể thay số k trong biểu thức cần tính bằng tích abc.

Bài tốn 6: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
Rút gọn biểu thức sau:

.

Lời giải: Từ giả thiết ta có:

Tương tự ta cũng có:

Thay vào biểu thức ta có:

skkn

7


Bài tốn 7: Cho a, b, c đơi một khác nhau và ab+ ac + bc = 1. Tính giá trị biểu
thức:
a) A =

b) B =

Giải :
a) Ta có :
Tương tự:
Thay vào biểu thức A ta có: A=
b) Ta có:
Tương tự :

Thay vào và rút gọn ta được: B =

-1

4. Sử dụng phương pháp hệ số bất định
Bài toán 8: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:

Tính giá trị biểu thức
Lời giải: Ta có

.

Giả sử a, b là cac số thực thỏa mãn:
Khi đó

với mọi x, y, z

Vậy

skkn

8


Bài toán 9: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn:

Tính giá trị biểu thức

.

Lời giải

Ta thấy

Vậy E

. Giả sử a, b là các số thực thỏa mãn

.

* Bài tập tương tự:
Bài toán 10: Cho các số thực dương x, y, z và x > y thỏa mãn:

Tính giá trị biểu thức

.

Bài tốn 11: Cho các số thực dương x, y, z, t, s thỏa mãn:

skkn

9


Tính giá trị biểu thức

.

5. Sử dụng phương pháp hình học
Bài toán 12: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:

Tính giá trị biểu thức

.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vng tại B có
và đường cao BH. Đặt BH = y,

B
3

4

y

CD = z, ta thấy x, y, z thỏa mãn
A

x
H

z

C

Từ đó suy ra:
Vậy G = 12.
Bài tập tương tự:

Bài toán 13: Cho các số thực x, y, z với y dương ,thỏa mãn:

skkn

10


Tính giá trị biểu thức

.

Bài tốn 14: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:

Tính giá trị biểu thức
6. Một số dạng khác
Bài toán 15: Cho

(*) với a, b, c đôi một khác nhau.

Chứng minh:

.

Lời giải: Từ (*) ta suy ra:
Hay
Nhân hai vế với

ta có:

(1)

Biến đổi tương tự ta có:

(2)
(3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta có:

skkn

11


Bài tốn 16: Cho
Chứng minh:
Lời giải: Ta có:
Tương tự ta có:
và
Do đó ta có:

Bài tốn 17:
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác khơng, đồng thời
thỏa mãn:

. Chứng minh rằng:

.

Lời giải:
Đặt

ta có: p + q + r = 0
và

(*)

(**)

Từ (**) suy ra:
Kết hợp với (*) ta có:
hay

(đpcm)

Bài tốn 18: Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
(*)

skkn

12


Lời giải: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Cách 2:

Đặt

Từ điều kiện suy ra:

, ta được :

*Ý tưởng: Nhìn đẳng thức cần chứng minh khá cồng kềnh, tuy nhiên nếu tinh ý
một chút, ta thấy rằng bên vế trái của (*) có tổng của ba thừa số đồng thời vế
phải của (*) xuất hiện tổng hoán vị của hai thừa số. Vì vậy nếu chuyển vế ta sẽ
nhóm được nhân tử chung là:

Đến đây hướng tối ưu nhất có lẽ là quy đồng mẫu số và biến đổi tương đương,
kết hợp với giả thiết

suy ra điều phải chứng minh.

skkn

13


Hoặc , ta có thể đi tới hướng tư duy ẩn phụ hóa để đơn giản bài tốn hơn một
chút. Vẫn là hướng phát hiện như bên trên, ta sẽ đặt ẩn phụ các thừa số
. Khi đó giả thiết
minh

và ta cần chứng

(**). Nếu chỉ dựa vào GT để chứng minh

(**) là chưa đủ mà cần phải khéo léo kết hợp với GT của bài toán để biến đổi.
Bài toán 19: Cho

và

. Rút gọn biểu thức

sau:

Lời giải:
Từ giả thiết

, bình phương hai vế ta có:
(*)

Biến đổi mẫu số của phân thức đã cho ta có:

Thay (*) vào

ta có:

Từ đó:

Vậy C = 2015.

Bài toán 20: Cho

và

.

Rút gọn biểu thức:

skkn

14


Lời giải: Từ giả thiết ta có:

( vì

)

Vậy N = 2
C. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài toán 21: Cho

(*). Chứng minh rằng:
với n là số nguyên dương lẻ.

Lời giải:
Ta có:

(a+b) = 0 hoặc (b+c) = 0 hoặc (a+c) = 0
Hay a = - b; b = - c; c = - a
Do n lẻ nên:
Suy ra:

(vì cùng bằng

)

Bài tốn 22: Chứng minh rằng nếu:
Thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta đều có:
Lời giải: Ta có:

Suy ra:
hoặc
hoặc
Vì vai trị của a, b, c là bình đẳng với nhau nên có thể giả sử

skkn

15


Do đó với n là số ngun dương lẻ thì ta có:

Hay
Bài tốn 23: Chứng minh rằng, nếu

thì

Lời giải: Ta có:

D. BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 2: Cho
Chứng minh rằng:

.

Bài 3: Cho

. Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho

và x, y, z khác

Chứng minh:
Bài 5: Cho
Bài 6: Cho

. Tính
(a, b, c khác 0)

skkn

16


Tính
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:

Tính giá trị biểu thức
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
1. Kết quả, đánh giá:
Sau khi đưa ra những bài tốn này hướng dẫn cho học sinh, tơi khảo sát thu lại kết quả như
sau:

Đơn vị

Khối 8;9

Hứng thú với dạng
Biết cách tiếp
toán
cận dạng toán
Tổng số
102 HS
46
36
Tỷ số%
100%
45,1%
35,3%
Qua bảng trên và bảng khảo sát ban đầu ta thấy chất lượng học sinh được
tăng lên một cách rõ rệt:
- Hứng thú với dạng toán: tăng từ 27 HS lên 46 HS ( 20,8% lên 45,1%).
- Biết cách tiếp cận dạng tốn: tăng từ 20HS lên 36HS ( 8,3% lên 33,3%).
Thơng qua bảng số liệu cho thấy sáng kiến này đã có tính ứng dụng và
mang lại hiệu quả cho việc học tập của học sinh.
2. Tính ứng dụng của đề tài
Phương pháp nghiên cứu đề tài này được vận dụng với các giờ đại số giờ
tự chọn, đặc biệt hiệu quả trong việc định hướng nghiên cứu cho học sinh.
Giáo viên có thể dùng làm tài liệu giảng dạy, nâng cao trình độ chun
mơn đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn thi vào lớp 10 PTTH.
Có thể thực hiện một chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trong tổ nhóm
chun mơn.
Phần 3. KẾT LUẬN

Trong năm học 2018- 2019 tơi đựợc Phịng Giáo dục và Đào tạo thành
phố Thanh Hóa, Ban giám hiệu trường THCS Trần Mai Ninh phân công bồi
dưỡng học sinh giỏi. Kết hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm gần
đây bản thân tơi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải
cho bài tốn hoặc mỗi dạng tốn nào đó là cơng việc rất cần thiết. Vì vậy tơi đã
tìm tịi nghiên cứu đưa ra một số phương pháp hướng dẫn cho học sinh tiếp cận
dạng toán này.

skkn

17


Trên đây là một số bài tốn tơi đã vận dụng vào quá trình nghiên cứu và
hướng dẫn cho học sinh. Những biện pháp và bài học tơi đã trình bày ở trên,
bước đầu đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy
nhiên, nếu thực hiện tốt tơi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy
học mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo để nâng cao chất lượng học sinh nói
chung và chất lượng mũi nhọn nói riêng.
Nội dung của đề tài và những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một biện
pháp nhỏ bé để góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, nó khơng tránh khỏi
nhiều thiếu sót, vì vậy tơi rất mong được sự góp ý, xây dựng của các thầy giáo,
cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tơi từng bước hồn thiện phương
pháp giảng dạy của mình. Tơi hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc nâng cao
chất lượng dạy và học, góp phần tạo hứng thú cho học sinh khi học tập về phần
nàỵ
Đề tài còn nhiều hạn chế như:
- Chưa khai thác được hết các dạng.
- Các bài tập chưa nhiều;
- Cách trình bày chưa thật súc tích, khoa học.

Tơi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các em học
sinh về đề tài này để tôi rút kinh nghiệm cho việc viết đề tài lần sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiếm kinh nghiệm của mình khơng sao chép
nội dung của người khác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 3 năm 2019
CAM KẾT KHƠNG COPY
Người viết

Trần Thị Hiền

skkn

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9.
- Toán nâng cao và phát triển toán 9 – Vũ Hữu Bình.
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – Bùi Văn Tuyên.
Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở - Toán 9 – Đại số - Vũ Hữu Bình – Nguyễn
Ngọc Đạm – Nguyễn Bá Đang – Lê Quốc Hân – Hồ Quang Vinh.
1. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8. NXB Giáo Dục
2. Nâng cao & phát triển toán 8. NXB Giáo Dục
3. Nâng cao & phát triển toán 9. NXB Giáo Dục.
4. Các chuyên đề chọn lọc toán 9 – Tôn Thân, Phạm Thị Lệ Hằng, Nguyễn Đức
Trường.

5. 225 bài toán chọn lọc Đại số. NXB Đại học quốc gia.
6. Một số tạp chí tốn học tuổi thơ. NXB Giáo Dục
7. Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ. NXB Giáo Dục
8. Thực hành giải toán. NXB Giáo Dục
9. Một số đề thi học sinh giỏi ...

skkn

19