ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2013 pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2013

Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013

Bài 1 (5,0 điểm). Giải hệ phương trình :

2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 20
sin cos
sin cos
1 1 20
sin cos
sin cos
y
x y
x y
x y
x
y x
x y
y x
+ + + =
+
+ + + =
+










(x.y
∈
R
).

Bài 2 (5,0 điểm). Cho dãy số thực
( )
n
a
xác định bởi :

1
1
a
=
và
1
2
3
2
n

n
n
a
a
a
+
+
= − v
ớ
i m
ọ
i
1
n
≥
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng dãy
( )
n
a
có gi
ớ
i h
ạ
n h
ữ

u h
ạ
n. Hãy tìm gi
ớ
i h
ạ
n
đ
ó.

Bài 3
(5,0
đ
i
ể
m). Cho tam giác không cân ABC. Ký hi
ệ
u (I) là
đườ
ng tròn tâm I n
ộ
i
ti
ế
p tam giác ABC và D, E, F l
ầ
n l
ượ
t là các ti
ế

p
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng tròn (I) v
ớ
i các c
ạ
nh
BC, CA, AB.
Đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua E và vuông góc v
ớ
i BI c
ắ
t (I) t
ạ
i K (K
≠
E),
đườ
ng

th
ẳ
ng
đ
i qua F và vuông góc v
ớ
i CI c
ắ
t (I) t
ạ
i L (L
≠
F). G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a KL.
a)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng D, I, J th
ẳ
ng hàng.

b)

Gi
ả
s
ử
các
đỉ
nh B và C c
ố

đị
nh,
đỉ
nh A thay
đổ
i sao cho t
ỷ
s
ố

AB
k
AC
=
(k không

đổ
i). G
ọ

i M, N t
ươ
ng
ứ
ng là các giao
đ
i
ể
m c
ủ
a IE, IF v
ớ
i (I) (M
≠
E, N
≠
F).
MN c
ắ
t IB, IC l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i P, Q. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trung tr

ự
c c
ủ
a PQ luôn
đ
i qua
m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh.

Bài 4
(5,0
đ
i
ể
m). Cho tr
ướ
c m
ộ
t s
ố
s

ố
t
ự
nhiên
đượ
c vi
ế
t trên m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng. Ta
th
ự
c hi
ệ
n các b
ướ
c
đ
i
ề
n s
ố
lên
đườ
ng th
ẳ

ng nh
ư
sau: t
ạ
i m
ỗ
i b
ướ
c, tr
ướ
c tiên xác
đị
nh
t
ấ
t c
ả
các c
ặ
p s
ố
k
ề
nhau hi
ệ
n có trên
đườ
ng th
ẳ
ng theo th

ứ
t
ự
t
ừ
trái qua ph
ả
i, sau
đ
ó
đ
i
ề
n vào gi
ữ
a m
ỗ
i c
ặ
p m
ộ
t s
ố
b
ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a hai s

ố
thu
ộ
c c
ặ
p
đ
ó. H
ỏ
i sau 2013 b
ướ
c,
s
ố
2013 xu
ấ
t hi
ệ
n bao nhiêu l
ầ
n trên
đườ
ng th
ẳ
ng trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a)

Các s
ố
cho tr
ướ
c là : 1 và 1000 ?
b)

Các s
ố
cho tr
ướ
c là : 1, 2, , 1000 và
đượ
c x
ế
p theo th
ứ
t
ự
t
ă
ng d
ầ
n t
ừ
trái qua
ph
ả
i ?

H
Ế
T
•
Thí sinh không
đượ
c s
ử
d
ụ
ng tài li
ệ
u và máy tính c
ầ
m tay.
•
Giám th
ị
không gi
ả
i thích gì thêm.