Skkn một số kinh nghiệm trong ứng dụng của định lý viet cho phương trình bậc hai

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
VIET CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI"

1

skkn


A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình Đại số 10 chương 3 có bài :”Một số phương trình quy về phương
trình bậc nhất,bậc hai ”.Học sinh đã được học ở lớp 9_THCS
rất kỹ,đặc biệt là ứng dụng của định lý Viet để tính tổng các biểu thức đối xứng giữa 2
nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn và xét dấu các nghiệm của nó.Tuy nhiên phần
lớn Học sinh ở các Trung tâm GDTX chưa hiểu được bản chất ứng dụng của định lý Viet
cho phương trình bậc hai.Ở Trunh tâm GDTX_DN Hoằng hoá đối với khối 10 mỗi lớp
chỉ có 01 đến 02 em là hiểu sơ qua cách giải một số bài tốn dễ của dạng này.Cịn lại hầu
hết các em khơng nhớ cả cách giải phương trình bậc hai chứ nói gì đến nhớ ứng dụng của
định lý Viet cho phương trình bậc hai.Chính vì thế nên khi gặp các bài toán ứng dụng của
định lý Viet để biện luận dấu các nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số nào đó
hầu hết các em khơng biết làm.Vì vậy nên Tơi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm trong
ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học.
B.NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1.Cơ sở lý luận.
Mơn Tốn là một trong những mơn khoa học cơ bản và khoa học ứng dụng.Chính vì
vậy địi hỏi Người học nói chung và Học sinh nói riêng phải
nắm vững kiến thức một cách hệ thống và lơgic qua từng lớp học,từng cấp học đã trải
qua.Do đó để học tốt Mơn Tốn nói riêng và các Mơn khoa học nói chung địi hỏi Người
học,Học sinh phải hiểu bản chất của kiến thức được lĩnh hội qua từng bài học.Từ đó Học

sinh mới khắc sâu và vận dụng tri thức vào giải các bài tập ứng dụng được dễ dàng.
2.Thực trạng của vấn đề.
Trong chương trình Tốn học ở cấp Trung học cơ sở Bộ GD_ĐT có xuất bản “Vở bài
tập Toán”,chủ yếu Học sinh làm bài tập dưới dạng điền vào chỗ cịn thiếu để hồn thành
bài tập về nhà theo định hướng cho trước .Vì vậy Học sinh ở THCS thụ động trong việc
chiếm lĩnh tri thức,chưa phát huy được tính tích cực,sáng tạo của Học sinh trong việc giải
một bài tốn nào đó.
Họcsinh bị động chỉ có thể suy nghĩ theo một hương nào đó mà các tác giả viết sách đã
viết.Do đó phần lớn Học sinh cấp 2 chưa hiểu được bản chất của kiến thức được lĩnh
hội.Chính vì vậy mà hầu hết các Trung tâm GDTX thường đón nhận Học sinh vào trường
là những Học sinh học lực trung bình hoặc yếu kém,thậm chí có những em cịn kém cả về
2

skkn


đạo đức.Các em yếu về kiến thức lẫn kĩ năng vận dụng ,nên thi vào lớp 10 các em thường
đạt điểm thấp hoặc thậm chí có em bị điểm liệt .
Do đầu vào kiến thức của các em hổng nhiều nên thực tế khi học có những bài dài,nội
dung kiến thức nhiều Giáo Viên hướng dẫn các em tự đọc SGK thì phần lớn HS làm bài
tập vận dụng kiến thức đó cịn kém.Điều này thể hiện rất rõ khi HS học bài :”Một số
phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai một ẩn“.Đây là kiến thức HS đã được
học ở lớp 9 ,lên lớp 10 chủ yếu là ôn lại nhưng phần lớn HS quên cách giải phương trình
bậc nhất,bậc hai.Đặc biệt là vấn đề ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai
có chứa tham số để tính giá trị các biểu thức tổng ,hiệu có tính đối xứng của các nghiệm
phương trình đó.Vì ơn lại nội dung đã được học ở lớp 9 nên SGK Đại số 10 ban cơ bản
cũng viết sơ lược và cho ít bài tập vận dụng do giảm tải nên bỏ bớt đi những bài tập dạng
này.Tuy nhiên Trong SBT cơ bản ,SGK và SBT nâng cao vẫn cho rất nhiều bài tập ứng
dụng nội dung này.Chính vì vậy mà Tôi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm trong ứng dụng
của định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học.

3.Giải pháp thực hiện.
*Do cả bài: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai ,cả lý
thuyết và bài tập có 4 tiết nên nội dung đề tài này được áp dụng trong các tiết học phụ
đạo ,dưới dạng các chuyên đề.
*Về kiến thức cần ghi nhớ:
+Định lý Viet:”Nếu phương trình

có 2 nghiệm

thì

” .
+ Các Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (HĐT)

*Các dạng bài tập vận dụng:
@. Dạng 1: Khơng giải phương trình hãy tính các biểu thức là tông,hiệu,tổng bậc
2,bậc 3,dạng đối xứng của các ngiệm phương trình bậc hai.

3

skkn


Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khơng khó,HS chỉ cần nhớ định lý Viet
và các HĐT rồi vận dụng làm là được,đây là dạng bài tập dễ nhất,HS trung bình cũng làm
được.
Ví dụ 1: Khơng giải phương trình ,giả sử phương trình
nghiệm ,hãy tính tổng các lập phương các nghiệm của phươnh trình.
Cách giải: Theo đề bài gọi

có 2

là các nghiệm của pt

theo định lý Viet ta có:

Theo

đề

ta

có

.Từ

HĐT

Áp dụng ta có :

Ví dụ 2:Khơng giải pt, giả sử phương trình
,hãy tính tổng

.

Cách giải: Theo đề bài gọi
theo định lý Viet ta có:

có 2 nghiệm

là các nghiệm của pt
.

Áp dụng HĐT
hai lần ta có:

4

skkn


@. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm thỗ mãn một hệ
thức đối xứng của các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khơng khó,HS chỉ cần nhớ định lý
Viet và các HĐT rồi vận dụng làm giải pt theo tham số ngược lại với Dạng 1 là được,đây
là dạng bài tập dễ nhất,HS trung bình cũng làm được.
Ví dụ 3:Tìm m để pt

có 2 nghiệm

thỗ mãn điều kiện:

.
Cách giải: Theo đề bài gọi

là các nghiệm của pt

theo định lý Viet ta có:
Theo Ví dụ 1 ta có :

theo đề bài
Ví dụ 4:Tìm m để pt
điều kiện:

có 2 nghiệm

thỗ mãn

,Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Nhận xét; Đây là bài tập tương đối dễ,các em Hs chỉ cần áp dụng định lý Viet và kết
hợp với giả thiết cho là giải tìm m rồi thay m giải pt tìm x là xong.
Cách giải: Theo đề bài gọi

là các nghiệm của pt

theo định lý Viet ta có:

(1)

5

skkn


Theo đề ta có
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
Thay

vào pt đã cho ta được pt:

giải pt ta được 2 nghiệm

Ví dụ 5: Với giá trị nào của tham số k thì pt :
hiệu của chúng bằng 17.

có 2 nghiệm mà

Nhận xét: Đây là bài tập đòi hỏi HS phải biết suy luận ngoài việc nắm vững nội dung
định lý Viet thì HS cịn phải biết vận dụng các HĐT thành thạo ,đặc biệt phải đưa HĐT
Từ bình phương của hiệu về HĐT bình phương của tổng mớ có thể giải được.Vì vậy bài
tốn này đối với HS khá ,giỏi ở hệ GDTX cũng khó,do đó GV nên hướng dẫn cho HS
hiểu và vận dụng để những bài tương tự các em có thể làm được.
Cách giải: giả sử pt

có 2 nghiệm

áp dụng định lý Viet cho pt trên ta có:

và
(3)

theo đề bài
(4)
Thay (3) và (4) ta có :

@.Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm trái dấu.
Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khơng khó,HS phải hiểu được bản chất
của pt có 2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định lý Viet giải

tìm giá trị của tham số là được.
Ví dụ 6:Tìm m để pt

có 2 nghiệm trái dấu.
6

skkn


Cách giải: Giả sử

là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo đề bài ta có

Mà theo định lý Viet ta lại có

Từ đó suy ra :
Ví dụ 7:Tìm k để pt
kiện :
.

(5) có 2 nghiệm

thỗ mãn điều

Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất của pt có
2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá
trị của tham số là được,hoặc xét dấu tích của 2 hiệu giữa 2 nghiệm của pt với 1 .
Cách giải 1: Giả sử
là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo đề bài ta có
.Nếu đặt x=y+1 thì pt (5.) đã cho trở thành pt ẩn y như sau:

(6)
Lập luận do pt (5.) có 2 nghiệm thỗ mãn đk:
nên pt (6.) có 2 nghiệm thỗ mãn đk:
từ đó cách giải đơn giản hơn là chỉ tìm k để pt (6.) có 2 nghiệm trái dấu ,tức là
mà theo định lý Viet ta có
Cách giải 2: Giả sử

là 2 nghiệm của pt trên

khi đó theo điịnh lý Viet ta có

7

skkn


theo đề bài ta có

.

@.Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu.
Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất của pt có
2 nghiệm dương phân biệt hoặc 2 nghiệm âm phân biệt,từ đứ suy ra dấu của tổng và tích
2 nghiệm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị của tham số là được.Tuy nhiên GV nên
nhắc HS phải xét thêm cả biệt thức delta không âm là điều kiện để pt bậc 2 có 2nghiệm.
Ví dụ 8:Tìm m để pt

(5) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Cách giải :GV gợi ý cho HS phân tích đề bài Đk để pt bậc 2 nghiệm phân biệt là

Vậy điều kiện cần là m >1.
Khi pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì yêu ccầu HS nêu định lý Viet ta có hệ:
theo đề suy ra

Kết hợp điều kiện để pt có nghiệm thì m>1 mới thỗ mãn đề bài.
Nhận xét : Đối với dạng toán này GV nên dạy sau khi HS học xong định lý về dấu của
tam thức bậc hai thì các em mới hiểu và vận dụng giải bài tập được chính xác.

Ví dụ 9:Tìm m để pt

(7) có 2 nghiệm dương phân biệt.

8

skkn


Cách giải :
Khi pt đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt thì yêu ccầu HS nêu định lý Viet ta có hệ:

Bài tập mở rộng (Đối với HS khá giỏi).
Bài toán biện luận số nghiệm cũng như dấu của phương trình bậc 4 trùng phương
Dạng :
Nhận xét : Để làm được bài tốn trên địi hỏi HS phải hiểu được bản chất của 3 Dạng
vừa trình bày ở trên.Ngồi ra còn yêu cầu HS lập luận chặt chẽ và lơgic các bước phân
tích bài tốn cũng như khi giải nó.
GV hướng dẫn HS đặt ẩn phụ
từ đó đưa bài toán về giải và biện luận

nghiệm và dấu các nghiệm của pt bậc hai tương ứng là :
đơn giản
hơn.cụ thể chúng ta cùng phân tích và giải minh hoạ 2 trường hợp riêng của bài tốn trên
như sau:
Ví dụ 9: Tìm m để pt
khi đó pt (*) trở thành pt
pt(**)

phải

thỗ

. (*) vơ nghiệm.Cách giải: Đặt
(**) Để pt(*)vơ nghiệm thì

mãn

điều

kiện:

Vậy khi m >1 pt đã cho vơ nghiệm.
Ví dụ 10:Tìm m để pt

. (I. có đúng 3 nghiệm phân biệt.

9

skkn

Cách giải:
Đặt

khi đó pt (I.) trở thành pt

(II)

Để pt (I) có đúng 3 nghiệm phân biệt thì pt(II) có 2 nghiệm thỗ mãn :

Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho trên có 3 nghiệm phân biệt,trong đó 1 nghiệm
bằng 0 và 2 nghiệm còn lại là 2 số đối nhau do từ chỗ đặt ẩn phụ t suy ra nghiệm x của pt
ban đầu.
Nhận xét : Bằng cách phân tích tương tự 2 bài tốn trên chúng ta có thể dễ dàng rút
ra cách giải biện luận theo tham số nào đó số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng
phương ở trên.Do chương trình cắt giảm tải nên Tôi đưa ra ứng dựng này để mong
mọi người bàn bạc xem đề tài này có đi sâu vào phân tích những kiến thức quá tầm
nhận thức của HS cấp 3 chăng.
4.Kiểm nghiệm .
Khi áp dụng đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy thì cần lưu ý
đối với GV ,nhiệm vụ của GV là người định hướng cho HS phân tích yêu cầu của từng
bài tốn liên quan về dấu các nghiệm thì HS sẽ khắc sâu được kiến thức mà không học
theo kiểu dập khuân,máy móc.Có như vậy mới tạo cho HS sự tích cực trong việc xây
dựng và lĩnh hội kiến thức mới của các bài học mới ,hình thành trong các em phương
pháp suy nghĩ tương tự ,giúp các em hiểu sâu ,nhớ lâu kiến thức cũ,liên hệ và nắm bắt
kiến thức mới nhanh nhạy và sáng tạo hơn.
Nhận xét : Đề tài này đã được bản thân Tôi tiến hành dạy thực nghiệm trong 3 năm học
gần đây,và đã đem lại kết quả cao trong việc giảng dạy.Cụ thể trong năm học 2012-2013
vừa qua tại 3 lớp 10 Trung tâm GDTX_DN Hoằng hoá gồm 2 lớp dạy thực nghiệm là lớp
10A,10B,và 1 lớp đối chứng đều học chương trình chuẩn kiến thức,và có năng lực trong

đợt thi khảo sát chất lượng đầu năm là tương đối như nhau.
Lớp thực nghiệm giảng dạy theo nghiên cứu của đề tài,còn lớp đối chứng tiến hành dạy
thơng thường.Sau q trình dạy học hết chương 3 “phương trình và hệ phương trình “GV
đã tiến hành kiểm tra 2 bài một bài 15 phút và một bài 45 phút cho 3 lớp dạy với đề kiểm
tra như nhau,kết quả thu được như bảng sau:

10

skkn


a.)kết quả bài kiểm tra 15 phút:
Đề Bài:
Câu 1: Xác định các giá trị của tham số m để hiệu các nghiệm của pt
bằng 4.
Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để pt
nghiệm trái dấu.

có 2

Kết quả : (thể hiện dưới bảng sau).
Điể 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sỉ số

0

0

0

0

2

5

8

9

12

8

1

45

0

0

0

0

1

8

5

9

10

11

0

44

10 0

0

2

4

8

10

12

7

3

0

0

46

m
Lớp
Lớp

10A
thực
nghiệm
10
B
Lớp đối
chứng
C

b.)kết quả bài kiểm tra 45 phút:
Đề Bài:
Câu 1: Không giải phương trình,hãy xét dấu các nghiệm của pt sau(nếu có):
.

11

skkn


Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để pt
thỗ mãn điều kiện:

có 2 nghiệm

.

Câu 3: Tìm m để pt :

có 2 nghiệm âm phân biệt.

Kết quả : (thể hiện dưới bảng sau).
Điể 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sỉ số

0

0

0

0

0

2

3

13

17

8

2

45

0

0

0

0

1

7

6

10

12

8

0

44

10 0

0

0

3

10 16

8

6

3

0

0

46

m
Lớp
Lớp
10A
thực
nghiệm
10
B
Lớp đối
chứng
C

c.)kết quả 2 bài kiểm tra trên: Qua kết quả của 2 bài kiểm tra trên cho thấy:”Lớp
thực nghiệm hiểu rõ bản chất của định lý Viet hơn lớp đối chứng”.
GV thực hiện kiểm tra kiến thức đã học liên quan đến đề tài theo nhiều hình thức khác
nhau,thể hiện trong quá trình tham gia xây dựng bài mới của HS,trong việc kiểm tra bài
cũ của HS cho thấy HS các lớp thực nghiệm nắm kiến thức tốt hơn và vững chắc hơn so
với HS lớp đối chứng .Không những vậy mà lớp thực nghiệm còn nắm bắt kiến thức một
cách hệ thống và lơgic hơnqua q trình nhận thức các bài tốn có nội dung liên quan đến
đề tài nghiên cứu khoa học này.
C.KẾT LUẬN
12

skkn

* Kết quả áp dụng đề tài vào giảng dạy cho thấy:HS nắm vững kiến thức và lập
luận lôgic hơn khi giải các bài tập có liên quan đến nội dung của đề tài.
* Đề tài tạo điều kiện cho GV cùng với HS trong quá trình giảng dạy,vận dụng
phương pháp xây dựng cho nội dung kiến thức mới.Việc đưa ra đề tài và khai thác nó
trong q trình dạy học tạo sự phát triển tư duy lôgic của HS có tính kế thừa kiến thức ở
những bài trước.
* Để khắc sâu kiến thức cho HS còn một điều quan trọng nữa là GV hỗ trợ nhằm
phát huy khả năng của các em trong việc xây dựng và lĩnh hội kiến thức ở những bài học
sau.HS tích cực nắm bắt các nội dung kiến thức ,hiểu rõ được bản chất của từng bài
tốn ,từ đó sẽ học ngày càng giỏi hơn.
*Việc so sánh kết quả giảng dạy giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng cho
thấy:Lớp thực nghiệm học theo chương trình tự chọn hợp lý và phát huy được hết khả
năng hơn.Trong quá trình học tập của các em lý thuyết được bổ sung dần khi áp dụng
vào các bài toán cụ thể ,như thế các em chủ động hơn trong việc tìm tịi và lĩnh hội
kiến thức mới.
* Thực tế áp dụng đề tài trong quá trình giảng dạy các lớp 10 qua mấy năm học
gần đây Tôi nhận ra rằng:Việc áp dụng đề tài này vào quá trình giảng dạy có tác dụng
phát triển tốt tư duy và năng lực sáng tạo của HS trong quá trình lĩnh hội kiến thức
mới trong học tập.
* Do điều kiện thời gian nên đề tài mới tập trung khai thác một số nội dung chính
,có những chỗ vẫn chưa thể đi sâu .Hệ thống bài tập còn được bổ sung thêm trong q
trình giảng dạy.Có thể bài viết này cịn hạn chế nhiều mong các đ/c đồng nghiệp cùng
Ban giám khảo đọc và góp ý thêm cho Tơi để đề tài này được ứng dụng rộng hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

13

skkn