Phương pháp biến trạng thái doc

6.4 Phương pháp biến trạng thái
6.4.1 Giới thiệu .
6.4.2 Phương trình trạng thái của mạch .
6.4.3 Phân tích quá độ bằng PP biến trạng thái .
6.4.4 Hướng áp dụng .
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 1
6.4.1 Giới thiệu phương pháp

Quá trình điện từ trên mạch điện tại một thời điểm bất
kỳ phụ thuộc vào năng lượng bên trong mạch , tức là
dòng qua cuộn cảm và áp trên tụ điện. Hai đại lượng này
được gọi là biến trạng thái của mạch.

Tất cả các đại lượng dòng áp khác trên mạch đều có thể
biểu diễn thông qua các biến trạng thái.

Phương pháp biến trạng thái dựa trên việc xác đònh trước
các biến trạng thái . Sau đó suy ra các đại lượng khác.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 2
6.4.2 Phương trình trạng thái của
mạch

Trạng thái của mạch tại một thời điểm bất kỳ luôn thỏa
mãn phương trình :
x’(t) = A*x(t) + B*u(t) (1)
Với x(t) là biến trạng thái và u(t) là tác động lên mạch.

Một tín hiệu y(t) bất kỳ luôn có thể biểu diễn bởi :
y(t) = C*x(t) + D*u(t) (2)


Hệ phương trình gồm hai phương trình trên được gọi là hệ
phương trình trạng thái của mạch .

A (ma trận trạng thái , n x n ); B (ma trận kích thích, n x m ),
C ( ma trận đáp ứng , p x n ), D ( ma trận truyền đạt, p x m )

n : số biến trạng thái , m = số nguồn , p : số đáp ứng.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 3
Giải phương trình trạng thái

Nghiệm của (1) theo TPKĐ có dạng : x(t) = x
tn
+ x
riêng

Phương pháp này chuyển về tìm e
At
:
e
At
=
D
0
[1] +
D
1
A +
D

2
A
2
+ … +
D
(n-1)
A
(n-1)
0
() .(0) .()
t
At At A
x
tex eeBud
W
WW


³
1
() .(0)(1).()
At At
xt e x e A But


1
2
1
21
0

11 1
21
1
22 2
21
1
1
1



1
n
t
n
n
t
n
t
n
nn n
e
e
e
O
O
O
D
OO O
D

OO O
D
OO O





ª
º
ªº
ªº
«»
«»
«»
«»
«»
«»

«»
«»
«»
«»
«»
«»
«»
«»
«»
¬¼
¬¼

¬¼

det .[1] 0A
O

%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 4
6.4.3 Phân tích quá độ bằng PP biến
trạng thái

Xác đònh sơ kiện : x(0
-
)

Xác đònh A, B, C, D : Nhờ hệ phương trình Kirchhoff

Giải PTĐT : det(
O
.[1] – A) = 0 có n nghiệm .

Xác đònh [
D
0
D
1
D
2
…
D
(n-1)

]
T

Xác đònh e
At
(đònh lý Cayley-Hamilton) : mtrận (n x n)
e
At
=
D
0
[1] +
D
1
A +
D
2
A
2
+ … +
D
(n-1)
A
(n-1)

Xác đònh ma trận biến trạng thái :

Xác đònh ma trận y(t) cần tìm.
1
() .(0)(1).()

At At
xt e x e A But


%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 5
 Đặc điểm của PP biến trạng thái

Xác đònh A, B, C, D từ hệ phương trình Kirchhoff đòi hỏi
các kỹ năng biến đổi hệ phương trình vi tích phân.

Xác đònh hàm mũ ma trận e
At
có khối lượng tính toán
lớn. Mặc dù phương pháp đã đưa ra phép tính gần đúng:
e
At
=
D
0
[1] +
D
1
A +
D
2
A
2
+ … +
D

(n-1)
A
(n-1)

Nhận xét : Do quá trình tính toán khá chuẩn nên các
phần mềm phân tích mạch đều có hỗ trợ các hàm giải
phương trình trạng thái.

Phương pháp này dùng được cho mạch phi tuyến (hơn 2
PP trước).
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 6
 PP biến trạng thái : Ví dụ 1

Tìm u(t) khi t > 0 ?
Giải

Khi t < 0 :
i
L
(0
-
) = 4 A ; u
C
(0
-
) = 2 V ;

Hệ pt mô tả mạch (t > 0):
1

3
0,5
1
20,5
3
C
L
L
C
C
du
ii
dt
di
iE
dt
du
ui
dt


°
°
°

®
°
°

°

¯
22
L
di
iE
dt
 
1
22
3
2
3
C
L
L
C
L
C
du
di
iE
dt dt
du
di
uE
dt dt

 
°
°

®
°
 
°
¯
1 H
+
_
+
_
0,5
:
1/3 F
2
:
2 V 3 V
t=0
i
L
(t) i
C
(t)i(t)
+
-
u(t)
E
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 7
Vớ duù 1 (tieỏp theo 1)
Giaỷi ra : Vaứ:

1, 2 0, 6
0, 2 0, 4
C
CL
L
CL
du
ui
dt
di
uiE
dt




đ




'
1, 2 0, 6 0
0, 2 0, 4 1
'
CC
LL
uu
E
ii

xAxBu

ê ê
êê

ôằ ôằ
ôằôằ

ơẳơẳ
ơẳ ơẳ
l
1
0,5 0,5( )
3
0, 2 0, 4
C
L
CL
du
ui i
dt
uu i


>@
0, 2 0, 4
0
C
L
u

u
i
yCx D
ê


ôằ
ơẳ
l o
(0 )
2
(0)
4
(0 )
C
L
u
x
i


ê
ê

ôằ
ôằ
ôằ
ơẳ
ơẳ
%ơ,*,1*0é10&+,1%

&/r0LQK&QJ Trang 8
Vớ duù 1 (tieỏp theo 2)
Giaỷi PTẹT: det(
O
.[1] A) = 0
01,20,6
det 0
00,20,4
O
O
Đ ã
êê

ăá
ôằô ằ

ơẳơ ẳ
âạ
1, 2 0, 6
det 0
0, 2 0, 4
O
O

ê
o
ôằ

ơẳ
2

1
2
1, 6 0, 6 0
1
0,6
OO
O
O




đ


%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 9
 Ví duï 1 (tieáp theo 3)
 Xaùc ñònh caùc giaù trò :
D
0
D
1
…
D
n-1
1
2
1
1

0
1
0,6
2
1
1
11
1
10,6
t
t
tt
ee
e
e
O
O
D
O
O
D




ªº
ªº

ªº
ªº

ªº

«»
«»
«»
«»
«»

¬¼
¬¼
¬¼
¬¼
¬¼
0,6
0
0,6 0,6
1
1, 5 2, 5 1, 5 2, 5
2,5 2,5
2,5 2,5
ttt
ttt
eee
eee
D
D


ªºª º


ªº
ªº

«»« »
«»
«»


¬¼
¬¼
¬¼¬ ¼
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 10
 Ví duï 1 (tieáp theo 4)
 Xaùc ñònh : e
At
=
D
0
.[1] +
D
1
.A
01
10 1,2 0,6
01 0,2 0,4
At
e
DD


ªºª º

«»« »

¬¼¬ ¼
01 1
10 1
0,6 0,6
0,6 0,6
1, 2 0, 6
0, 2 0, 4
1,5 0,5 1,5 1,5
0,5 0,5 0,5 1,5
At
tttt
At
tttt
e
ee ee
e
ee ee
DD D
DD D
 
 

ªº

«»


¬¼
ªº


«»

¬¼
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 11
Vớ duù 1 (tieỏp theo 5)
Xaực ủũnh ma traọn bieỏn traùng thaựi x :
1
() . (0) ( 1) . ()
At At
xt e x e A But


2
1
210 0
3
40111
2
3
C
At At
L
u
ee E
i

ê

Đã
ê
ê ê ê
ôằ

ăá
ôằ
ôằ ô ằ ôằ
ôằ
ơẳ ơ ẳ ơẳ

ơẳ
âạ
ơẳ
0,6
0,6
0,6 0,6
0,6 0,6
35
5
3
1,5 0,5 1 1,5 1,5
6
0,5 0,5 0,5 1,5 1
tt
C
tt
L

tt tt
tt tt
u
ee
i
ee
ee ee
ee ee




ê

ê

ôằ
ôằ

ơẳ
ơẳ

ê

ê

ôằ
ôằ

ơẳ
ơẳ
%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 12
 Ví duï 1 (tieáp theo 6)
 Xaùc ñònh y = C.x + D.u :
0,6
0,6
31,5 2,5
60,5 2,5
tt
C
tt
L
u
ee
i
ee


ªº

ªº

«»
«»

¬¼
¬¼
>@

0, 2 0, 4
C
L
u
u
i
ªº

«»
¬¼
>@
0,6
0,6
0,6
31,5 2,5
() 0,2 0,4
60,5 2,5
() 3 0,5 1,5
tt
tt
tt
ee
ut
ee
ut e e



ªº


«»

¬¼
 
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 13
 PP biến trạng thái : Ví dụ 2

Tìm i
1
, i
2
, i
3
khi t > 0 ?
Giải

Khi t < 0 :
i
2
(0
-
) = 1 A ; u
C
(0
-
) = 200 V ;

Hệ pt mô tả mạch (t > 0):

123
11
2
22
0
0
C
C
ii i J
Ri u E
di
LRiu
dt

°

°

®
°
°

¯
3
:
C
du
NX i C
dt

2
11
2
2
1111
1
C
C
L
C
du
ui EJ
dt R C C R C C
di R
ui
dt L L

   
°
°
®
°

°
¯
+
_
100
:
400

P
F
t=0
K
100
:
0,5 H
J
1 A
E
200 V
i
2
(t)
i
1
(t)
i
3
(t)
+
-
u
C
(t)
R
1
R
2
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%

&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 14
Vớ duù 2 (tieỏp theo 1)
Theỏ soỏ :
Bieỏt:
Vaứ:
'
22
25 2500 25 2500
2 200 0 0
'
CC
uu
E
J
ii
xAxBu

ê ê
êêê

ôằ ôằ
ôằôằôằ

ơẳơẳơẳ
ơẳ ơẳ
l
1
11
32
11

11
11
C
C
iuE
RR
iuiEJ
RR




đ




1
3
2
0, 01 0 0, 01 0
0, 01 1 0, 01 1
C
iu
E
i
J
i
yCxDu

ê ê
ê
ê ê

ôằ ô ằ
ôằôằôằ

ơẳơẳơẳ
ơẳ ơ ẳ
l
2
(0 )
200
(0)
1
(0 )
C
u
x
i


ê
ê

ôằ
ôằ
ôằ
ơẳ
ơẳ

%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 15
Vớ duù 2 (tieỏp theo 2)
Giaỷi PTẹT: det(
O
.[1] A) = 0
0 25 2500
det 0
0 2 200
O
O
Đã
êê

ăá
ôằô ằ

ơẳơ ẳ
âạ
25 2500
det 0
2200
O
O

ê
o
ôằ

ơẳ

24
1
2
225 10 0
61
164
OO
O
O



đ


%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 16
 Ví duï 2 (tieáp theo 3)
 Xaùc ñònh caùc giaù trò :
D
0
D
1
…
D
n-1
1
2
1
1

61
0
1
164
2
1
1
161
1
1164
t
t
tt
ee
e
e
O
O
D
O
O
D




ªº
ªº

ªº

ªº
ªº

«»
«»
«»
«»
«»

¬¼
¬¼
¬¼
¬¼
¬¼
61 164
0
3 61 3 164
1
1,592 0,5922
9,7.10 9,7.10
tt
tt
ee
ee
D
D

 
ªº


ªº

«»
«»

¬¼
¬¼
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 17
 Ví duï 2 (tieáp theo 4)
 Xaùc ñònh : e
At
=
D
0
.[1] +
D
1
.A
01
1 0 25 2500
01 2 200
At
e
DD

ªºª º

«»« »


¬¼¬ ¼
01 1
10 1
61 164 61 164
2 61 2 164 61 164
25 2500
2 200
1,35 0,3495 24, 27 24, 27
1,942.10 1,942.10 0,3495 1,35
At
tt tt
At
tttt
e
ee ee
e
eeee
DD D
DD D
 
   

ªº

«»

¬¼
ªº


«»

¬¼
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 18
Vớ duù 2 (tieỏp theo 5)
Xaực ủũnh ma traọn bieỏn traùng thaựi x :
1
() . (0) ( 1) . ()
At At
xt e x e A But


2
200 1 0 150
1011,5
C
At At
u
ee
i
Đã
ê
ê ê ê

ăá
ôằ
ôằ ô ằô ằ

ơẳ ơ ẳơ ẳ

ơẳ
âạ
61 164
61 164
2
150 79,61 29,61
1, 5 1,146 1, 646
tt
C
tt
u
ee
i
ee


ê
ê


ôằ
ôằ

ơẳ
ơẳ
%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 19
 Ví duï 2 (tieáp theo 6)
 Xaùc ñònh y = C.x + D.u :
1

3
2
0, 01 0 0, 01 0
0, 01 1 0, 01 1
C
iu
E
i
J
i

ªº ª º
ªºªºªº

«» « »
«»«»«»

¬¼¬¼¬¼
¬¼ ¬ ¼
61 164
1
61 164
3
0,5 0, 7961 0, 2961
1,942 1,942
tt
tt
i
ee
i

ee


ªº
ªº


«»
«»

¬¼
¬¼
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 20
6.4.4 Hướng áp dụng

Sử dụng hàm lsim() của MATLAB :
x [y,x] = lsim(A,B,C,D,u,t);
x [y,x] = lsim(A,B,C,D,u,t,x0);
x [y,x] = lsim(num,den,u,t);

Trong đó ta qui ước : gọi n là số biến trạng thái , m là số tín
hiệu tác động , p là số tín hiệu ra quan tâm.

Các hàng của x và y tương ứng các hàng của u , là giá trò
các biến tại các thời điểm tương ứng của vecto thời gian t.
Để truy cập các biến trạng thái cũng như các biến ra chúng
ta dùng phép toán lấy luôn giá trò một cột của ma trận :
y(:,2) -> lấy cột thứ hai.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%

&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 21