luận văn tốt nghiệp đề tài “một cách tiếp cận bài toán về hàm số ”

Luận văn tốt nghiệp

Đề tài: “ Một cách tiếp cận bài toán
về hàm số ”

Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
1

Mục lục

TT Nội dung Trang

Mở đầu 2
Phần 1 Một số vấn đề về lý thuyết 4
Phần 2
áp dụng giải toán

1

Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số 7
2

Bài toán về hàm tuần hoàn 8
3

Tìm hàm số thoả mãn điều kiện cho trớc 10
3.1

Bài toán về hàm không liên tục. 10

3.1.1. Phơng trình:
f( (x)) g(x).

10

3.1.2. Phơng trình đa thức 11

3.1.3. Dạng:

( ). ( ( )) ( ). ( ( )) w( ).
u x f g x v x f h x x


12

3.1.4. Phơng trình hai biến độc lập 15
3.2

Tính giá trị của hàm số 17
3.2

Bài toán về hàm đơn điệu 19
3.4

Bài toán về hàm liên tục 20
Tài liệu tham khảo 22





Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.

Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
2
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:
Hàm số là một khái niệm cơ bản của toán học. Các bài toán về hàm số và phương
trình hàm rất phong phú, đa dạng thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi Ôlimpic
toán. Nhưng do đặc thù của nó là tương đối khó nên chỉ xuất hiện trong các kỳ thi
HSG toán. Đối với học sinh phổ thông thì ít được tiếp cận chúng. Với mục đích là
xây dựng một chuyên đề để bồi dưỡng cho HSG của trường, và quan trọng hơn là
nhằm mục đích bồi dường chuyên môn cho chính bản thân mình tôi chọn đề tài
“ Một cách tiếp cận bài toán về hàm số ”. Trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến một số
vấn đề quan trọng, cơ bản và sát với nội dung, phân phối chương trình về hàm số
được cung cấp cho học sinh phổ thông. Các bài tập đưa ra không đòi hỏi những kiến
thức cao, xa lạ với học sinh. Qua thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy
học sinh khá giỏi đều tiếp thu được, giải được các bài toán này không quá khó khăn.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Hệ thống một số dạng toán và một số phương pháp cơ bản giải các bài toán về
hàm số thường xuất hiện trong các kỳ thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia.
- Rèn luyện ký năng giải toán hàm số cho học sinh.
- Giúp học sinh có cái nhìn mới về dạng toán này.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu:
+ Các bài toán về hàm số không quá khó, không phải dùng đến nhiều kiến thức
mở rộng khác: Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số; Hàm tuần hoàn; Tính giá
trị của hàm số; Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước;
+ Một số phương pháp thường sử dụng trong giải toán hàm số.
- Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung, chương trình phổ thông, có sự mở
rộng phù hợp với nội dung thi, bồi dường HSG toán trung học phổ thông .
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự hợp lý để học sinh
tiếp nhận chúng một cách không khó khăn, tạo được hứng thú cho học sinh khi gặp
dạng toán này.
- Đưa ra một số nhận xét về cách tiếp cận lời giải trong bài toán cơ bản, điển hình.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
3
5. Nội dung
1. Bài toán về tính chất chẵn, lẻ của hàm số.
2. Bài toán về hàm tuần hoàn.
3. Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
- Hàm không liên tục.
- Hàm liên tục, có đạo hàm.
- Hàm đơn điệu
4. Tính giá trị của hàm số.
6. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu.
- Thực nghiệm sư phạm qua công tác bồi dưỡng HSG ở trường THPT Lê Xoay.
7. Kết luận.
Với mục đích và nhiệm vụ ở trên, đề tài “ Một cách tiếp cận bài toán về hàm số ”
chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ bản của hàm số. Đề tài này chắc chắn vẫn còn nhiều
thiếu xót trong cấu trúc cũng như nội dung của nó. Tôi kính mong các thầy cô đọc và
cho nhận xét, góp ý đề đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Vĩnh Tường, tháng 5 năm 2010.
Tác giả: Nguyễn Minh Hải









Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
4
Phần 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LÝ THUYẾT VỀ HÀM SỐ

1.Định nghĩa hàm số. Cho một tập hợp khác rỗng D (D

R).
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một
và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) gọi là giá trị của hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định (miền xác định), x gọi là biến số (đối số) của hàm số f.
2. Hàm số hợp.
Định nghĩa
.
Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu
thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với
g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u;

hàm u gọi là hàm số trung gian.
3. Phép tịnh tiến hệ tọa độ. Công thức chuyển đổi hệ tọa độ.
Giả sử I là một điểm của mp có tọa độ
0 0
(x ,y )

đối với hệ tọa độ Oxy.
Gọi IXY là hệ tọa độ mới gốc I và hai trục IX, IY
theo thứ tự có cùng các vectơ đơn vị
i, j
 

với hai trục Ox, Oy.
- Giả sử M là một điểm bất kỳ của mp.
Gọi (x, y) là tọa độ của M đối với hệ Oxy
và (X; Y) là tọa độ của M đối với hệ IXY.
Khi đó:
0
0
x X x
y Y y



 
 
(CT chuyển đổi hệ tọa độ trong phép tịnh tiến tiến theo
OI

)

- Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) trên hệ Oxy, Khi đó trên hệ IXY thì (C) có
phương trình: Y = f( X + x
0
) – y
0

4. Hàm tuần hoàn.
Định nghĩa Hàm

f : D R
được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
    
1, x D x T D


   
2, f(x T) f(x), x D.

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn hai điều kiện trên gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn.
y
x
X
Y
X
Y
I
O
M
x

y
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
5
Chú ý: Các hàm:
 
y sin x,y cosx
tuần hoàn với chu kỳ là
T 2 .
 

Các hàm:
 
y tanx,y cot x
tuần hoàn với chu kỳ là
T .
 

Hàm f(x) thỏa mãn:
    
f(x T) f(x), x D.
là hàm tuần hoàn vì:

        
f(x 2T) f(x T) f(x) f(x 2T), x D.

5. Hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Định nghĩa. Cho hàm số
f :D R.



- Hàm f được gọi là hàm chẵn trên D nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. x D x D.
    


2. f (x) f( x), x D.
   

- Hàm f được gọi là hàm lẻ trên D nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. x D x D.
    


2. f (x) f( x), x D.
    

Chú ý. - Đồ thị hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm lẻ nhận
gốc O làm tâm đối xứng.
- Tổng của các hàm chẵn (lẻ) xác định trên D là một hàm chẵn (lẻ) trên D.
6. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Định nghĩa
. Hàm số f xác định trên K ( khoảng, đoạn, nửa khoảng)
- Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
1 2 1 2 1 2
x ,x K,x x f(x ) f (x ).
    

- Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
1 2 1 2 1 2
x ,x K,x x f(x ) f (x ).
    

- Hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K gọi là hàm đơn điệu trên K.
7. Hàm liên tục.
Định nghĩa 1. (Hàm liên tục tại một điểm).
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và
0
x (a;b).

Hàm số f được gọi là
liên tục tại điểm x
0
nếu
0
0
x x
lim f (x) f(x ).



Hàm số không liên tục tại điểm x
0
được gọi là gián đoạn tại điểm x
0
.
Định nghĩa 2. (Hàm liên tục trên một khoảng, trên một đoạn).

- Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J (J là một khoảng hay hợp nhiều khoảng).
Hàm số f được gọi là liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
- Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b]. Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn
[a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
x b
x a
lim f(a), lim f(b).




 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
6
8. Đạo hàm của hàm số.
Định nghĩa 1.( Đạo hàm của hàm số tại một điểm).
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm
0
x (a;b).


Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
0
0
f (x) f(x )
x x



khi x dần đến x
0
được gọi là
đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
0
, kí hiệu f’(x
0
).

0
0
x x
0
0
f '(x ) lim .
f(x) f(x )
x x





Định nghĩa 2.(Đạo hàm của hàm số trên một khoảng).
- Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J (J là một khoảng hay hợp nhiều khoảng).
Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J.
- Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f’ xác định bởi
x f '(x)
f ':J R



được gọi
là đạo hàm của hàm số f.
Chú ý. Hàm số có đạo hàm trên J thì liên tục trên J. Điều ngược lại không đúng.
9. Một số vấn đề về đa thức.
Định nghĩa
.
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n
n
P x a x a x a x a a


     
gọi là đa thức bậc n.
Định lí 1
. Nếu đa thức có nghiệm x = x
0
thì :
0 1
( ) ( ). ( )
n
n
P x x x P x

 

Nếu đa thức có nghiệm bội k là x = x
0
thì :
0
( ) ( ) . ( )
k
n
n k
P x x x P x

 

Định lí 2. Cho hai đa thức
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n
n
P x a x a x a x a a


     

và
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n

n
Q x b x b x b x b b


     

+ Khi đó
( ) ( ), , 1
n n
i i
P x Q x x R a b i n
      

+ Hoặc:
1
1 1 0 1
( ) 0, 0, 1
n n
n n
n
P x a x a x a x a x R a i n


          

(Thực ra kết quả trên chỉ cần đúng với n +1 giá trị phân biệt của x là đủ)
Định lí 3
. Hàm đa thức liên tục và có đạo hàm mọi cấp trên R.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
7
Phần 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ
1. Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số.
Ví dụ 1. Cho f(x) là một hàm số đồng thời vừa chẵn và vừa lẻ trên R. CMR: f(x)  0.
Giải
. Theo định nghĩa có:
f ( x) f (x) f (x), x R f (x) 0, x R.
         

Ví dụ 2
. Cho
0
x R.

Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

0
f (x x) f (x), x R.
   

Giải. Đặt
0

x
x t,
2
 
khi đó
2
0
x
x x t.
2
  

0 0
x x
(1) f( t) f ( t), t R.
2 2
     

Đặt
0
x
g(t) f ( t).
2
 
Khi đó:
0 0
x x
g( t) f ( t) f ( t) g(t), t R.
2 2
       

Vậy:
0
x
f (x) g(x )
2
 
, trong đó g(x) là hàm chẵn tùy ý trên R.
Ví dụ 3. Biết rằng đồ thị của đa thức P(x) có tâm đối xứng. CMR đồ thị của P’(x) có trục đối xứng.
Giải. Giả sử P(x) có tâm đối xứng là
0 0
I(x ;y ).
Khi đó qua phép đổi hệ trục tọa độ từ hệ
Oxy sang hệ IXY ( IX, IY tương ứng nhận các véc tơ
i, j
 
là các vectơ đơn vị).
CT đổi hệ trục:
0
0
x x X
y y Y
 


 

Khi đó đồ thị của P(x) trên hệ IXY có phương trình:

0 0

Y f(X) P(x X) y
   
và f(X) là hàm lẻ trên R, tức:

0 0 0 0 0 0 0
P(x X) y (P(x X) y ) P(x X) P(x X) 2y , X R.
            


0 0 0 0
P'(x X) P '(x X) 0, X R. P'(x X) P'(x X), X R.
            


P'(x)
nhận
0
x x

làm trục đối xứng.
Bài tập tương tự.
Bài tập 1. CMR mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới dạng tổng của một hàm số
chẵn và một hàm số lẻ xác định trên R.
HD. Xét hai hàm số:
f (x) f ( x) f (x) f ( x)
g(x) ,h(x) , x R.
2 2
   
   

Dễ kiểm tra g(x) là hàm chẵn, h(x) là hàm lẻ trên R, và f(x) = g(x) + h(x).
Bài tập 2. Cho a, b  R. Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

f (a x) f (x) b, x R.
    
(*)
HD. Đặt
a
x t,
2
 
khi đó
a a
x t; a x t.
2 2
    
(*) có dạng:
a a
f t f t b.
2 2
   
   
   
   
(**)
Đặt
a b
f t g(t).
2 2
 

  
 
 
Khi đó (**) trở thành:
g(t) g( t) 0, t R.
    

Vậy
a b
f (x) f x ,
2 2
 
  
 
 
trong đó g(x) là hàm lẻ tùy ý.
Bài tập 3. Biết đồ thị của đa thức P(x) có trục đối xứng. CMR đồ thị của P’(x) có tâm đối xứng.
HD. Làm tương tự Ví dụ 4.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
8
2. Bi toỏn v hm tun hon.
Vớ d 1. Cho hm

f : R R
tha món:

f(x 1) f(x 1) 2.f(x), x R.

1,

CMR : f(x 4) f(x), x R.

2, CMR : f(x) l hm tun hon.
Gii. Ta có:
( 2) ( ) 2 ( 1); ( 4) ( 2) 2 ( 3).
f x f x f x f x f x f x



( 3) ( 1) 2 ( 2)
f x f x f x



( 4) 2 ( 3) ( 2) 2[ 2 ( 2 ( 1)] ( 2)
f x f x f x f x f x f x



( 4) ( 2) 2. ( 1) ( )
f x f x f x f x



( 8) ( 4) ( ) ( )
f x f x f x f x

là hàm tuần hoàn.

Vớ d 2
. Cho hm

f : R R \ {3}
tha món:



f(x) 5
f(x 1) , x R.
f(x) 3

CMR: f(x) l hm tun hon.
Gii. Ta có:
( ) 5
5
( 1) 5 2 ( ) 5
( ) 3
( 2)
( ) 5
( 1) 3 ( ) 2
3
( ) 3
f x
f x f x
f x
f x
f x
f x f x
f x

( ) 5
2 5
2 ( 2) 5
( ) 3
( 4) ( ),
( ) 5
( 2) 3
2 3
( ) 3
f x
f x
f x
f x f x x R
f x
f x
f x

Vậy f(x) tuần hoàn.
Bi toỏn tổng quát: Hàm

f : R R \ {3}
thoả mãn:



f(x) 5
f(x a) , x R.
f(x) 3

là hàm tuần hoàn vì: f(x+4a) = f(x), x R.
Vớ d 3. Cho hm

f : R R
tha món:

f(x 4) f(x 4) f(x), x R.

CMR: f(x) l hm tun hon.
Gii. Từ giả thiết có:

( 4) ( 4) ( )

( 8) ( 4) 0 ( 8) ( 4), .
( 8) ( ) ( 4)
f x f x f x
f x f x f x f x x R
f x f x f x








( 12) ( ) ( 24) ( )
f x f x f x f x


Vớ d 4. Cho hm

f : R R
tha món:

1, f(x 3) f(x) 3
2, f(x 2) f(x) 2


t

g(x) f(x) x, x R.

CMR :g(x 6) g(x), x R.
( CMR: g(x) l hm tun hon)
Gii. Đặt g(x) = f(x) x, x R. Ta chứng minh: g(x + 6) = g(x), x R.
Ta có:
( 6) ( 6) 6 (( 3) 3) 6 ( 3) 3 6
g x f x x f x x f x x



( 6) ( 3) 3 ( ) 3 3 ( ). (1)
g x f x x f x x g x


Tơng tự:
( 6) ( 6) 6 (( 4) 2) 6 ( 4) 2 6
g x f x x f x x f x x


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
9

( 6) ( 3) 3 ( ) 2 2 ( ). (2)
g x f x x f x x g x
          

Tõ (1) vµ (2) suy ra: g(x+6) = g(x), x R. VËy f(x) tuÇn hoµn.

Bài tập tương tự.
Bài tập 1
. Hàm số y = f(x) xác định với mọi
x ( ; ),
  
và đồ thị của nó nhận hai đường thẳng
x = a, x = b làm trục đối xứng (b > a). CMR f(x) là hàm số tuần hoàn.
HD. Giả thiết có:
f (a x) f (a x); f (b x) f (b x), x R.
       

CM hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2b – 2a.
Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x. Biết đồ thị của hàm số đối xứng qua điểm


0 0
A(x ;y )
và qua đường thẳng x = b ( b ≠ x
0
). CMR f(x) là hàm tuần hoàn.
HD. Theo giả thiết có:
0 0 0
f (x x) f (x x) 2y , x R.
     


f (b x) f (b x), x R
    

CM hàm tuần hoàn chu kỳ 4b – 4x

0
.
( Ví dụ hàm y = sinx thỏa mãn điều kiện Bài tập 4)
Bài tập 3
. CMR các hàm sau không tuần hoàn:

2
1. y sin(x )


2. y tan x


Bài tập 4. Cho hàm


f : R R
thỏa mãn:


     
2
1
f(x a) f(x) f (x), x R .
2
với a cho trước.
CMR: f(x) là hàm tuần hoàn.
Giải. Ta cã:
        
2 2 2 2 2

1 1
f (x a) ( f(x) f (x)) f(x) f (x) f(x) f (x)
2 4


2
1
( 2 ) ( ) ( )
2
f x a f x a f x a
      

2
1 1 1 1
( ( )) ( ) ( ),
2 2 2 2
f x f x f x x R

        

VËy f(x) lµ hµm tuÇn hoµn.
Bài tập 5. Cho hàm

f : R R
thỏa mãn:
   
f(x) a.sin(ux) b.cos(vx), x R.


*

(a, b,u, v R )

CMR: f(x) tuần hoàn khi chỉ khi

u
Q.
v

Bài tập 6. Cho hàm

f : R R
thỏa mãn:
    
f(x) f(x 3).f(x 3), x R. (1)

CMR: f(x) là hàm tuần hoàn.
HD CM.
0 0
( ) ( 18) 0 (3)
f x f x  






Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
10

3. TÌM HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
3.1. Các bài toán không có điều kiện liên tục.
3.1.1. Xét phương trình dạng:
f( (x)) g(x).
 

- Đặt:
(x) t.
 
Giải x theo t được phương trình: x = h(t).
Được:
f(t) g(h(t))

là hàm số cần tìm.
- Nếu không rút được x theo t hoặc biểu thức quá phức tạp, thì bằng cách nào đó ta biến đổi
cả g(x) theo
(x)

:
g(x) k( (x))
 
khi đó:
f( (x)) k( (x)) f(t) k(t)
    

Ví dụ 1. Tìm f(x) trên R, biết:
2
x 2 2x 5
f , x 1.
x 1 x 1

 
 
  
 
 
 

Giải. Đặt
2
2
2
2
2 5
1 2 7 8 1
1
( )
1 1 2 2 5
2
1
1
t
x t t t
t
t x f t
x t t t
t
t

 


 
   

 
     
   

 

 

 
.Thö l¹i tho¶ m·n.
Ví dụ 2. Tìm f(x) trên R, biết:
3
3
1 1
f x x , x 0.
x x
 
    
 
 

Giải. §Æt
3 3 3 3
3
1 1 1
1
( ) 3( ) 3 ( ) 3

t x x x x t t f x x x
x
x x x
            

Thö l¹i tho¶ m·n.
Ví dụ 3.
Tìm f(x) trên R, biết:
2
f( 1 x) 1 x , x 1.
     

Giải
. §Æt
2 2 2 4 2
1 1 ( ) 1 ( 1) 2 2
t x x t f t t t t
           


4 2
( ) 2 2,
f x x x x R
     
(Tho¶ m·n)
Ví dụ 4
. Tìm f(x) trên R*, biết:
    
2
1

f( ) 2x 1 2x , x 0.
x

Giải. §Æt
2 2
1 1 2 1 2 1
( ) 1 2. ( ) 1 2.
t x f t f x
x t t t x x
          

Ví dụ 5.
Bài tập tương tự.
Bài tập 1. Tìm f(x) trên R\{1,-2}, biết:
 
   
 
3x 1 x 1
f( ) , x 0,x 1.
x 2 x 1

HD. Đặt
3 1 2 1 1 4
.
2 3 1 3 2
x t x t
t x
x t x t
   
    

   
Vậy
4 4 2
( ) ( ) , .
3 2 3 2 3
t x
f t f x x
t x
 
   
 

Bài tập 2. Tìm f(x) trên R\{1}, biết:
     
2
1
f(1 ) x 1, x 0,x 1.
x

HD. §Æt
2
2
2
1 1 2
1 ,( 1) ( ) 1 .
1 1 ( 1)
t t t
t x t f t
x t t t


 
        
 
  
 





Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
11
3.1.2. Phng trỡnh a thc.
Phng phỏp:1 - Tỡm mt s nghim ca a thc: x
1
, x
2
, ,x
k
.
- Biu din
1 2
( ) ( )( ) ( ). ( )
n
P x x x x x x x Q x

thay vo phng trỡnh.
- Tỡm a thc Q(x)

Vớ d 1. (MODOVA) Tỡm a thc P(x) vi h s thc, tho món ng thc:

3 2 3 2
( 3 3 2). ( 1) ( 3 3 2). ( )
x x x P x x x x P x


Gii
. Giả thiết
2 2
( 2)( 1). ( 1) ( 2)( 1). ( ), .
x x x P x x x x P x x R



( 2) 0 ( 1) 0 (0) 0 (1) 0 ( ) ( 2)( 1) ( 1). ( )
P P P P P x x x x x Q x


Thay vào PT ta đợc:

2 2
( 2)( 1)( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( 1)( 1)( 2). ( )
x x x x x x x Q x x x x x x x x Q x



2 2
2 2
( ) ( 1)

( 1). ( 1) ( 1). ( ) , .
1 1
Q x Q x
x x Q x x x Q x x R
x x x x





2
2
( )
, . ( ) ( 1)( 1)( 2)( 1)
1
Q x
c x R P x cx x x x x x
x x


c l s thc bt kỡ.
Vớ d 2
. Tỡm a thc P(x) vi h s thc, tho món ng thc:

3 2 2 2
( 3 3 2). ( ) ( 1)( 1). ( 1)
x x x x P x x x x P x


Gii. Giả thiết

2 2
( 2)( 1). ( ) ( 1)( 1)( 1). ( 1), .
x x x x P x x x x x P x x R



( 1) (1) 0 ( ) ( 1)( 1). ( )
P P P x x x Q x


Thay vào phơng trình đợc:

2 2 2 2 2
( 2)( 1) .( 1). ( ) ( 1)( 1)( 2 ). ( 1), .
x x x x x Q x x x x x x Q x x R



2 2
2 2
( 1) ( )
( 1). ( ) ( 1). ( ) , .
1 1
Q x Q x
x x Q x x x Q x x R
x x x x

2 2
2 2
( 1) ( )
, . ( ) ( 1)( 1).
( 1) ( 1) 1 1
Q x Q x
c x R P x c x x x
x x x x




Phng phỏp2 Tỡm bc ca a thc (bc n )(so sỏnh bc ca x hai v d oỏn bc ca
a thc v chng minh)
- t
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n n
P x a x a x a x a a



Thay vo phng trỡnh.
- ng nht h s, ta tớnh c a
0
, a
1

, , a
n
Vớ d 1. Tỡm a thc P(x) h s thc tho món:

2
2. ( ) (1 ) , .
P x P x x x R


Gii. Giả sử:
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n n
P x a x a x a x a a





1
1 1 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n n
n n n
P x a x a x a x a

2
2. ( ) (1 ) (2 ( 1) )
n n
n n n n
P x P x a a x x


Vì
2
2
1
2 ( 1) 0, .
2 ( 1) 1
3
n
n n
n
n n
n
a a n a
a a

Đồng nhất hệ số ta thu đợc
1 0
1 1
; .
2 3
a a

Vậy
3
1 1 1
( ) .
3 2 3
P x x x


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
12
Vớ d 2. Tỡm a thc P(x) h s thc tho món:

( ) ( ) ( ) 3 ( ), , . (1)
P x y P x P y xy x y x y R


Gii. Giả sử:
1
1 1 0
( ) ( 0).
n n

n n n n
P x a x a x a x a a



Theo giả thiết ta có:

1 1
1 1 0 1 1 0
1
1 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 3 ( )
n n n n
n n n n n
n n
n n
a x y a x y a x y a P x a x a x a x a
a y a y a y a xy x y







Đồng nhất hệ số của
2 2
3.
x y xy n

Khi đó:
3 2
( ) . ( 0)
P x ax bx cx d a


Thay vào hệ thức (1) đợc:

3 2 3 2 3 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3 3 .
a x y b x y c x y d ax bx cx d ay by cy d x y xy



2 2 2 2
3 3 2 3 3 , , .
ax y axy bxy d x y xy x y R



0
1; .
d b
a c R

Vậy
3
, .
y x cx c R


Bi tp tng t.
Bi tp 1
. Tỡm a thc P(x) vi h s thc, tho món ẳng thc:

2 2 2 2
(4 2 )(4 4 2). ( ) ( 1)( 3 2). (2 1)
x x x x P x x x x P x


Gii.
2 2
( ) ( 1)( 3 1)
P x c x x x

, c l s thc bt kỡ.
3.1.3. Phng trỡnh dng:
( ). ( ( )) ( ). ( ( )) w( ).
u x f g x v x f h x x

(Phng trỡnh hai bin ph thuc)
Phng phỏp 1: t t = t(x) sao cho: g(x) = h(t); h(x) = g(t).
Khi ú thu c:
'( ). ( ( )) '( ). ( ( )) w'( ).

u t f h t v t f g t t


Ta thu c h:
( ). ( ( )) ( ). ( ( )) w( )
'( ). ( ( )) '( ). ( ( )) w'( ).
u x f g x v x f h x x
u x f h x v x f g x t






Gii h thu c:
( ( )) ( )
( ( )) ( )
f g x m x
f h x n x





( Phng trỡnh dng 3.1.1 )
Vớ d 1. Tỡm f(x) trờn R*, bit:

1
f(x) 2.f( ) x, x 0. (1)
x

Gii. t
1
.
x
t

Thay vào PT đợc:

1 1
f( ) 2.f(t) t, t. f( ) 2.f(x) x, x 0. (2)
t x

Từ (1) và (2) suy ra:
2
2 2
3 ( ) ( ) , 0.
3
x
f x x f x x
x x



Vớ d 2
. Tỡm f(x) trờn R\{1}, bit:


1 1
(x 1)f(x) f( ) , x 1. (1)

x x 1

Gii
. t
2
1 1 1 1 1
( 1) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) , 1. (2)
1
1 1
1
t x
x f f t x f xf x x
t t t t x x
t




Từ (1) và (2) suy ra:
2
2 2
1
( 1) ( ) ( 1) ( ) 1
1
( 1) ( ) (1 ) ( )
x f x f x
x
x f x x f x x
x

2 2 2
2
2
1 1 1
[( 1) 1]. ( ) 1 ( ) , 0;1.
1 1 (1 )( 1) 1
x x x x x
x f x f x x
x x x x x x




Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
13
Vớ d 3. Tỡm f(x) trờn R, bit:
2f(x) 3xf( x) 2 3x

.
Gii
. Đặt
2
6 . ( ) 4. ( ) 4 6
2. ( ) 3 ( ) 2 3
6 . ( ) 9 . ( ) 3 (2 3 )
x f x f x x
t x f t t t t
x f x x f x x x








2 2 2
(4 9 ). ( ) 4 6 6 9 4 12 9
x f x x x x x x



2
2
4 12 9
( ) , .
4 9
x x

f x x R
x



( Thử lại thoả mãn).
Vớ d 4. Tỡm tt c cỏc hm

f : R R
tha món:
2
f(x) xf(1 x) x 1, x R.


Gii. Đặt
2
1 (1 ) (1 ). ( ) (1 ) 1
t x f t t f t t



2
2
. (1 ) (1 ). ( ) ( 2 1)
. (1 ) ( ) 1
x f x x x f x x x x
x f x f x x

2 2 3 2
[( (1 ) 1]. ( ) ( 2 2) ( 1) 3 2 1
x x f x x x x x x x x



3 2
2
3 2 1
( ) , .
1
x x x
g x x R
x x



(Thử lại thoả mãn).
Bi tp tng t.
Bi tp 1. Tỡm tt c cỏc hm

f : R R
tha món:

a.f(x 1) b.f(1 x) g(x), x R.

(a, b, g(x) cho trc, g(x) xỏc nh trờn R,
a b

)
p dng:

1, 2009.f(x 1) 2010.f(1 x) x, x R.



2
2, 2008.f(x 1) 2009.f(1 x) x 1, x R.



2
3, 2008.f(x 1) 2010.f(1 x) x 2x 2, x R.

HD. Đặt
1 1 2,
t x x t

thay vào PT đợc:

a.f(1 t) b.f(t 1) g(t 2), t R.

Vì
2 2
2 2

. (1 ) . (1 )
0 ( )
a g x b g x
a b f x
a b




Bi tp 2. Tìm tất cả các hàm số
2
: \
3
f R R




thoả mãn:

2 2
2 ( ) 1005 , \ . (1)
3 2 3
x
f x f x x R
x

HD
2010 ( 1)
( )
3 2
x x
f x
x




Bi tp 3
. Tỡm hm f(x) tha món:
1 1
( 1) 3 1 2 , .
1 2 2
x
f x f x x
x







HD.
2

1 1
( ) , .
4 2 2
x x
f x x
x




Nu vic chuyn i gia hai bin gp khú khn, ta phi thc hin chuyn i theo ba bin,
hoc nhiu hn.
Vớ d 1. Tỡm tt c cỏc hm

f : R R
tha món:





1 1
f(x) .f 1, x R \ {0;1} (1)
2x 1 x

Gii. Đặt
1 1
0;1 1
1
t

t t t tx x
x t



thế vào (1) đợc:
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
14

1 1
( ) 1, 0;1 ( ) 1, 0;1. (2)
2( 1) 2( 1)
t t x x
f f t t f f x x
t t x x
 
   
        
   
 
   

§Æt
(1)
1 1 1 1 1
1, 0;1.
1 1 2
x t t

t x f f t
x t t t
  
   
       
   
 
   


1 1 1
1, 0;1. (3)
1 2
x x
f f x
x x
 
   
    
   

   

LÊy (2) – (3)x
1
2
x

®îc:
1 1

( ) , 0;1. (4)
1 4 2
x x
f f x x
x

 
   
 

 

LÊy (1)x (2x) – (4) ®îc:
1 6 2
(2 ) ( ) 2 ( ) , 0.
4 2 7
x x x
x f x x f x x
x x
 
      

Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm
 
f : R \ { 1} R
thỏa mãn:
 
   
    
   

 
   
x 3 x 3
f f x, x R \ { 1}
x 1 1 x

Giải. §Æt
3 3 3 3
1 1 1 1
x y x y
y x
x y x y
   
    
   
Khi ®ã (1) trë thµnh:

3 3 3 3
( ) , 1. ( ) , 1. (2)
1 1 1 1
y y x x
f y f y f x f x
y y x x
 
   
 
          
   
   
 

 

§Æt
3 3 3 3
1 1 1 1
x y x y
y x
x y x y
   
    
   
Khi ®ã (1) trë thµnh:

3 3 3 3
( ) , 1. ( ) , 1. (3)
1 1 1 1
y y x x
f f y y f x f x
y y x x
 
   
 
          
   
   
 
 

LÊy (2) + (3) – (1) ®îc:
3

2
1 3 3 8
( ) ( )
2 1 1 2(1 )
x x x x
f x x
x x x
  
   
  

Ví dụ 3. Tìm hàm f(x) biết rằng:
2
( ) . ( 0, ) (1)
a
f x f x a x a
a x
 
   
 

 

Giải. Trong (1) thay x bởi
2
a
a x

được:
2 2 2

ax
(2)
a a a
f f
a x x a x
   

 
   
 
   

Trong (2) thay x bởi
2
a
a x

được:
2 2
ax ax
( ) (3)
a a
f f x
x x
 
 
 
 
 

Giải hệ (1),(2),(3) bằng cách: (1) + (2) –(3) được:
3 2 3
( ) , 0, .
2 ( )
x a x a
f x x x a
x x a
 
  


Bài tập tương tự.
Bài tập 1. Tìm hàm f(x) xác định
1
3
x
  
thỏa mãn:
1
( ) (1)
1 3
x
f x f x
x

 
 
 

 

HD.
3 2
2
9 6 2 1
( ) , .
18 2 3
x x x
f x x
x
  
  


Bài tập 2. Tìm hàm f(x) xác định
\{-1;0;1}
x R
 
thỏa mãn:
1
. ( ) 2 1 (1)
1
x
x f x f
x

 
 
 


 

HD.
2
4 1
( )
5 ( 1)
x x
f x
x x
 




Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
15
3.1.4. Phương trình hai biến độc lập.
Phương pháp: Chọn một biến là một giá trị cụ thể hoặc phụ thuộc vào biến kia và đưa
phương trình về dạng 3.1.4.
Ví dụ 1
. Tìm tất cả các hàm

* *
f : R R
thỏa mãn:
*
1 1

f(x)f(y) f(xy) , x,y R .
x y
    

Giải
. Chọn y = 1. Từ đó lập luận theo x.
Chän y = 1 ®îc:

       
1 1 1 x
f(x)f(1) f(x) 1 f(x).(f(1) 1) 1 (2)
x x x

NÕu tÝnh ®îc f(1) th× ta tÝnh ®îc f(x). Cho x = 1 ta ®îc:

2
(1) 1
(1) (1) 2 0
(1) 2
f
f f
f
 

   




VËy f(1) = 2

1
( )
x
f x
x

 

Ví dụ 2
. Tìm tất cả các hàm

f : R R
thỏa mãn:

         
f(xy) f(x y) f(x y 1) xy 2x 1, x,y R. (1)

Giải
. Chän y = 0 (1) ®îc:
(0) ( ) ( 1) 2 1 (2)
f f x f x x
    

Chän y = 1 ®îc:
( ) ( 1) ( 2) 3 1 (3)
f x f x f x x
     

Thay x = x + 1 vµo (3) ®îc:
( 1) ( ) ( 3) 3( 1) 1 (4)

f x f x f x x
      

LÊy (4) – (1) ®îc:
( 3) 3 (0). (5)
f x x f
   
TÝnh f(0) ?
Thay x = 0 vµo (2), x = -2 vµo (5) ®îc :

2 (0) (1) 1
(0) 0
(1) (0) 1
f f
f
f f
 

 

 


VËy f(x+3) = x + 3 suy ra f(x) = x,  x R.
Ví dụ 3
. Tìm hàm
:
f R R

thỏa mãn 3 điều kiện sau:

2
1, (1) 1
2, ( ) ( ) ( ), , .
3,
1 ( )
, 0.
f
f x y f x f y x y R
f x
f x
x x

    
 
 
 
 

Giải. Thay x = y = 0 và (2) được:
(0) 2 (0) (0) 0.
f f f
  

Thay x = -1, y= 1 vào (2) được:
(0) ( 1) (1) ( 1) 1.
f f f f
      

Xét

, 0, 1.
x R x x
   
Ta có:

2
2
1
1 1 1 1 ( 1)
1
1
1 1 1 1 ( 1)
1
x
f
x x f x
x
f f f f f
x
x x x x x
x
x
x

 
 
 
 
 
       

 
      
 
       

    
       

 
 
 
 
 


 
2 2
1 1
(1) ( ) (1)
1 1
x
f f f x f
x x x
 
     
   
     
 
 
     

 


 
2 2
2
( ) 1
1 ( ) 1
1 1
x f x
f x
x x x
     
   
     
 
     

(lo¹i)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
16

2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) 1 1 2 ( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x f x f x x f x

x x x x x
 
    
    


2 2
1 2 ( ) 2 1 ( ) , 0, 1.
x f x x x f x x x
          

Vậy
( ) .
f x x


Bài tập tương tự
Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm

f : R R
thỏa mãn:

     




 



f(x y) f(x y) 2f(x).cosy, x,y R.
f(0) f( ) 1
2


HD. CM: f(t) + f(-t) = 2cos t (1)
( ) ( ) 0 (2)
f t f t

  


( ) ( ) sin (3)
f t f t t

   

LÊy (1) + (2) – (3) ®îc:
( ) sin cos ( ) sin cos
f t t t f x x x
    
( Thö l¹i tho¶ m·n)
Bài toán 2
. Tìm hàm
:
f R R

thỏa mãn 3 điều kiện sau:

4

1, (1) 1
2, ( ) ( ) ( ) 2
3,
1 ( )
, 0.
f
f x y f x f y xy
f x
f x
x x

   
 
 
 
 

HD. Trong (2) cho x = 0 được:
( ) (0) ( ) 0 (0) 0.
f y f f y f
    

Cho x = y = t/2 được:
2
( ) 2 , . (1)
2 2
t t
f t f t
 
  

 
 

Cho x = y = 1/t được:
2
2 1
( ) 2 , 0.
2
t
f f t
t t
 
   
 
 

Theo (3) ta có:
 
2
4
4 3
2
2 1
2
8 ( ) ( 0) (2)
2
t
f
f t
f f t t t

t t t
t
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 

Từ (1) và (2) suy ra
2 2
3 ( ) 3 ( 0) ( ) ,( 0).
f t t t f t t t
    

Mà
2
(0) 0 ( ) , .
f f t t t R
    
Vậy
2
( ) .
f x x


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
17
3.2. Tớnh giỏ tr ca hm s ti mt im xỏc nh.Phng phỏp quy np.
Phng phỏp: - Thay trc tip cỏc giỏ tr thớch hp ca x, t ú dn n giỏ tr cn tớnh.
- Xõy dng hm s tho món iu kin, sau ú tớnh giỏ tr.
- Xõy dng biu thc truy hi, lp cụng thc tng quỏt ca dóy cỏc giỏ tr x
( trong trng hp tớnh giỏ tr x nguyờn hoc t nhiờn)
Vớ d 1. Cho hm

f : R R
tha món:



1, f(x y) x f(y)
2, f(0) 2
Tớnh: f(2010) ?
Gii
. Ta có: f(1) = f(1+0) = 1 + f(0) = 1 + 2 = 3.
f(2) = f(1+1) = 1 + f(1) 1 + 3 = 4

Quy nạp: f(n) = n + 2, n N* f( 2010) = 2010 + 2 = 2012.
Vớ d 2
. Cho hm s
4 3 2
( ) ax x x ; ( , , , )
f x x b c d a b c d R


Bit
(1) 10; (2) 20; (3) 30.
f f f

Tính
(12) ( 8)
34
10
f f



Gii
. Đặt g(x) = f(x) 10x, xR.
Khi đó: g(1) = g(2) = g(3) = 0 g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-d/6).
Ta có: f(12) + f(-8) = g(12) + 120 + g(-8) 80 = 990( 12- d/6+8+d/6) +40 = 1976

(12) ( 8)
34 1976 34 2010.
10
f f

Vớ d 3
. Cho hm

f : R R
tha món:

f(x)f(y) f(xy) 3(x y 2), x, y R. (1)

Tớnh f(2007) ?
Gii. Trớc hết đi tìm hàm f(x) thoả mãn hệ thức trên.
Cho x = y = 0 ta đợc:
2
(0) (0) 6 (0) 2;3.
f f f

Nếu f(0)= -2 thì: chọn y = 0 (1) trử thành:
3
( ). (0) (0) 3( 2) ( ) 2
2
f x f f x f x x


Thử lại vào (1) thấy không thoả mãn.
Nếu f(0)=3. chọn y = 0 (1) đợc: f(x)=x + 3. Thử lại thấy thoả mãn .
Vậy f(2007) = 2010.
Vớ d 4
. Cho hm f xỏc nh trờn N* tha món:

n 1
1, f(n 1) n( 1) 2f(n)
2, f(1) f(2011)



Tớnh f(1) + f(2) + + f(2010) ?
Gii. Ta có: f(2) = 1- 2f(1); f(3) = -2 -2f(2); f(4) = 4- 2f(3); , f(2010) = 2009 -2f(2009);
f(2011) = -2010 -2f(2010)
Cộng theo vế các đẳng thức thu đợc:
f(2) + f(3) ++ f(2011) = 1 2 +3 4++ 2009 2010 - 2(f(2) + f(3) ++ f(2010))
do f(1) = f(2011) nên: 3(f(1)+f(2) + f(3) + + f(2010)) = - 1005
f(1)+f(2) + f(3) + + f(2010) = - 335.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
18
Bài tập tương tự
Bài tập 1
. Cho hàm

f : R R
thỏa mãn:

       
f(1) 0; f(m n) f(m) f(n) 3(4nm 1), m,n N.

Tính f(8)? f( 23) ?
HD. Ta cã:
(2) (1 1) 2 (1) 9; (4) (2 2) 2 (2) 45 63.

f f f f f f
        


(8) (4 4) 2 (4) 189 315; (16) (8 8) 2 (8) 756 1395.
f f f f f f
         


(3) (1 2) (1) (2) 21 30; (19) (16 3) (16) (3) 573 199
8.
f f f f f f f f
           

Bài tập 2
. Cho hàm

f : R R
thỏa mãn:
      
f(x) f(y) f(x y) xy 1, x, y R.

Nếu f(1) = 1. Hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n.
HD
. CM:
2
3 2
( ) .
2
n n

f n
 

§Ó
2
( ) 2 0 1.
f n n n n n
      

Bài tập 3. Tìm tất cả các hàm
:
f Z R

thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ( ). ( ) ( ) ( ), , .
2) (0) 0
3) 5
(1)
2
f x f y f x y f x y x y Z
f
f
     



HD. Trong bài toán này chúng ta phải cố gắng tính giá trị hàm số tại một số điểm, từ đó tìm
ra công thức tổng quát và đi chứng minh công thức đó.
Theo (1) có:

(2)
0
0
1
(0). (0) 2. (0) (0) 2 2 .
2
f f f f    
Lại có:
1
1
5 1
(1) 2 .
2 2
f   

Ta chứng minh quy nạp công thức:
1
( ) 2 , . (5)
2
n
n
f n n Z  

Bài tập 4 Tìm tất cả các hàm số
:
f N N

thỏa mãn điều kiện sau:

( ( )) 2, .

f f n n n N
   

Bài tập 5. Cho hàm f xác định trên tập số nguyên và thoả mãn các điều kiện sau: f(0) ≠ 0, f(1) = 3.

     
f(x)f(y) f(x y) f(x y), x,y Z.
Tính f(7).
Bài tập 6. Cho
9
( ) .
9 3
x
x
f x 

Tính
1 2 2009

2010 2010 2010
f f f
     
 
     
     

Bài tập 7. (KoMal-B381) Cho d·y hµm sè:

1
1 1

2 7
( )
3
( ) ( ( )), 1.
n n
x
f x
x
f x f f x n



 




 

TÝnh
(2010) 2009 2011
(2010); (2010); (2010)
f f f

HD
.
(2010)
(2010) 2010
f 
;

2009
1 6037
(2010) 3
2010 2 2012
f     



2011
1 4027
(2010) 2
2010 3 2013
f     



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
19
3.3. Các bài toán về hàm đơn điệu.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm đồng biến
:
f R R

thỏa mãn:

( ( ) ) ( ) 1, , . (1)
f f x y f x y x y R
     

Giải. Từ (1) suy ra:
( ( )) ( ( ) ) ( ) 1, , . (1')
f x f y f f y x f x y x y R
       

Trong (1) thay y = 0 ta được:
( ( )) ( ) 1, . (2)
f f x f x x R
   

Trong (1) thay x bởi f(x) được:

(2)
( ( ( )) ) ( ( ) ) 1 ( ( ) 1) ( ) 2, , . (3)
f f f x y f f x y f f x y f x y x y R           
Trong (2) thay y bởi f(y) được:
( ( ) ( )) ( ( )) 1 ( ) 2 (4)
f f x f y f x f y f x y
      

Từ (3), (4) suy ra:
( ( ) 1) ( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1.
f f x y f f x f y f x y f x f y f y y
           

Vậy
( ) 1, .
f x x x R
   

Thử lại thấy thỏa mãn.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm đồng biến
:
f R R

thỏa mãn:

( ( ) ) ( ) (0), , .
f f x y f x y f x y R
     
(*)
Giải. Từ giả thiết suy ra:
( ( ) ) ( ) (0), , .
f f y x f x y f x y R
     


f (f (x) y) f(f (y) x) f (x) y f (y) x, x, y R
         
do f đồng biến.

f (x) x f (y) y C, x, y R f (x) C x
         
thế vào (*)  C = f(0).
Vậy f(x) = x + f(0) với f(0) tùy ý.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1
. Tìm tất cả các hàm
f :[1; ) [1; )
  

thỏa mãn:

f (xf (y)) yf (x), x, y [1; ).
   

HD. CM: f(1) = 1 và f đồng biến.
Xét f(x) > x và f(x) < x đều dẫn đến mâu thuấn. Vậy f(x) = x.
Bài tập 2
. Tìm tất cả các hàm đơn điệu
f : R R

thỏa mãn:

( ( )) ( ) , , .
f x f y f x y x y R
    

3.4. Các bài toán về hàm liên tục
Sau đây là một số hàm chuyển đỏi các phép toán số học, kết quả của các bài toán này là cơ sở
để chúng ta giải các bài toán phức tạp hơn.
Bài toán 1.(Phương trình Cauchy)

Xác định các hàm
( )
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), , . (1)
f x y f x f y x y R
    

Giải
. Từ (1) suy ra
(0) 0, ( ) ( ), (2 ) 2 ( ), .
f f x f x f x f x x R
      

Tương tự ta chứng minh được:
(3 ) 3 ( ), (4 ) 4 ( ), (5 ) 5 ( )
f x f x f x f x f x f x
  

1. Từ đó chúng ta chứng minh quy nạp công thức:
( ) ( ), , *.
f nx nf x x R n N
   

- Thật vậy: Giả sử có
( ) ( ), ,
f kx kf x x R
  
với k nguyên dương.
Khi đó có:
(( 1) ) ( ) ( ) ( ).
f k x f kx x f kx f x
    

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay

20

( ) ( ) ( 1) ( ),
kf x f x k f x x R
     

Kết hợp với tính chất
( ) ( )
f x f x
  
được:
( ) ( ), , .
f mx mf x m Z x R
    


 
( )
( ) ( . ) ( ) , *, .
x
m
x x f x
f x f m mf f m Z x R
m m m
        

2. Ta đi chứng minh:
( ) ( ), , .
f px pf x p Q x R
    

- Với p hữu tỷ luôn tồn tại m N*, n Z* sao cho:
.
m
p
n


Khi đó:
. ( ) ( ).
m x x m
f x f m mf f x
n n n n
   
  
   
   
Vậy
( ) ( ), ,
f px pf x p Q x R
    
.
3. Ta chứng minh:
( ) ( ), , .
f rx rf x r R x R
    

Với mọi số thực r luôn tồn tại dãy số hữu tỷ
( )
n

p
sao cho
lim lim
n n
n n
p r p x rx
 
  

Vì hàm liên tục trên R nên:

lim ( ) ( ) ( ) lim . ( ) . ( ), .
n n
n n
f p f rx f rx p f x r f x x R
 
     

4. Vậy
( ) ( .1) . (1), .
f x f x x f x R
   
Thử lại thấy
( ) , (1)
f x ax a f
 
thỏa mãn.
Kết luận:
( ) ax, ,
f x x R a R

   
tùy ý.
Nhận xét. – Chỉ cần giả thiết hàm liên tục tại một điểm nào đó là đủ. Vì khi đó theo tính chất (1)
hàm sẽ liên tục trên R.
- Kết quả bài toán không thhay đổi nếu thay R bằng nửa khoảng
[ ; ),( ; ].
a b
 

- Nếu thêm thay điều kiện liên tục bằng điều kiện
( )
f x
có đạo hàm trên R thì bài toán có
thể làm đơn giản hơn.
Bài toán 1.1. Tìm các hàm
( )
f x
xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), , . (2)
f x y f x f y x y R
    

Giải. Lần lượt lấy đạo hàm (2) theo biến x, y ta được.

'( ) '( ), , ; '( ) '( ), , .
f x y f x x y R f x y f y x y R
       

'( ) '( ), , '( ) ( ) .
f x f y x y R f x const f x ax b
        

Thử lại vào (2) suy ra b = 0. Vậy
( ) ax, ,
f x x R a R
   
tùy ý.
Nhận xét. Nếu thay điều kiện hàm liên tục bằng điều kiện hàm đồng biến (hoặc nghịch biến
trên R) ta vẫn thu được kết quả tương tự.
Bài toán 1.2
. Tìm các hàm
( )
f x
xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), , . (2)
f x y f x f y x y R
    

Giải. Theo bài toán 1, có:
1
( ), , *.
x
f f x x R m N
m m
 
    
 

 

Do f(x) đồng biến trên R nên:
1 1 1 1
( )f f x f x
n n n n
   
      
   
   

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
21

   
0
1 1 1 1
1 ( ) 1 lim ( ) 0 (0)
x
f f x f x f x f
n n n n

          

Vậy
( )
f x
liên tục tại x = 0, theo bài toán 1 suy ra

( ) ax, , 0
f x x R a
   
tùy ý.
Nhận xét. Nếu hàm số nghịch biến trên R thì
( ) ax, , 0
f x x R a
   
tùy ý.
Bài toán 2. Xác định các hàm
( )
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), , . (3)
f x y f x f y x y R
   

Giải. – Nhận thấy:
( ) 0
f x

thỏa mãn.
- Nếu tồn tại
0
( ) 0.
f x

Khi đó theo (3) có:

0 0 0
( ) ( ( )) ( ). ( ), .
f x f x x x f x f x x x R
      
( ) 0, .
f x x R
   

Lại có:
2
( ) 0, .
2 2 2
x x x
f x f f x R
 
   
     
   
 
   
 

Đặt
ln ( ) ( ).
f x g x

Khi đó g(x) liên tục trên R và:

( ) ln ( ) ln( ( ). ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( ), , .
g x y f x y f x f y f x f y g x g y x y R

         

Theo bài toán 1 thì
( ) ,
g x bx b R
 
tùy ý. Vậy
( )
bx x
f x e a
 
với a > 0 tùy ý.
Bài toán 3. Xác định các hàm
( )
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

f (x)
f (x y) , x, y R.
f (y)
f (x) 0, x R.

   



  


Giải. Đặt x – y = z. Khi đó hệ điều kiện trở thành:

f (z y) f (z)f (y), x, y R.
f (x) 0, x R.
   


  

Theo Bài toán 2 suy ra
( )
x
f x a

với a > 0 tùy ý.
Bài toán 4. Tìm tất cả các hàm đơn điệu
f : R R

thỏa mãn:

( ( )) ( ) , , . (4)
f x f y f x y x y R
    

Giải. - CM:
1 2 1 2
f (y ) f (y ) y y . (*)
  

Thay x bởi f(x) vào (4) được:
f (f (x) f(y)) f (f (x) y x y f (0) f(f(x y))

        

Từ (*)
f (x y) f(x) f (y), x, y R.
     

- Theo Bài toán 1.2 suy ra
f (x) kx, k

tùy ý. Thay vào (4) được:
- Kết luận: f(x) = x và f(x) = - x thỏa mãn.
Hoàn toàn tương tự, ta giải được bài toán sau.
Bài toán 5
. Xác định các hàm f(x) liên tục trên
R \{0}
thỏa mãn điều kiện:

f (xy) f (x) f (y), x, y R \{0}.
   
(*)
HD. Vậy
f (x) bln | x |, x R,b R
   
tùy ý.
Bài toán 6. Xác định hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

f (xy) f (x) f (y), x, y R.
   

HD. – CM: f(0) = 0  f(x) = 0 ,  x  R.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
22

Tài liệu tham khảo

1. SGK Đại số lớp 10. ( Chơng trình phân ban)
2. SGK Đại số lớp 11. ( Chơng trình phân ban)
3. SGK Đại số lớp 12. ( Chơng trình phân ban)
4. Phơng trình hàm Nguyễn Văn Mậu 1997.
5. Các bài toán thi Olimpic Toán - 2007
6. Bài toán hàm số qua các kỳ thi Olimpic Nguyễn Trọng Tuấn 2005
7. Các bài toán về hàm số Phan huy khải 2007.






Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.