Skkn kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bìa chính (Mẫu M1(1))

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2021

skkn


MỤC LỤC
1. Mở đầu ..................................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài ..........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu ...................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................1
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm....................................................................2
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm......................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.......................3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.............................................5

2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.......................................18
3. Kết luận, kiến nghị .............................................................................................20

skkn


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Mục tiêu của Luật giáo dục 2019: “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển tồn
diện con người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề
nghiệp; có phẩm chất, năng lực và ý thức cơng dân; có lòng yêu nước, tinh thần dân
tộc và chủ nghĩa xã hội; phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân;
nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầu
của sự nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và hội nhập quốc tế” [1].
Yêu cầu về phương pháp giáo dục của Luật giáo dục 2019: “Phương pháp giáo
dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của
người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thực
hành, lịng say mê học tập và ý chí vươn lên” [1].
“Làm thế nào để phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân?”;
“Làm thế nào để phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của người học?”.
Đó là những câu hỏi tơi ln băn khoăn, trăn trở trong quá trình giảng dạy.
Vì vậy bên cạnh việc truyền đạt các kiến thức cơ bản thì việc tìm kiếm các kỹ
thuật dạy học mới phù hợp, giúp học sinh hứng thú, chủ động mở rộng, phát triển
các kiến thức là điều mà tôi luôn hết sức chú ý và chăm chút. Đó cũng chính là lý
do tơi chọn đề tài: Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số
phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Trong đề tài này, tôi xin phép được trình bày một số hướng phát triển, mở
rộng bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mô-đun số phức dựa trên kỹ thuật giải là
áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

Với lý do như trên thì mục đích nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh tìm
hiểu, xây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Phân tích ưu, nhược
điểm và so sánh kỹ thuật này với các kỹ thuật giải khác.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất mô-đun của số phức, đặc biệt là kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
mô-đun của số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Bên cạnh đó một đối tượng nghiên cứu khác vơ cùng quan trọng chính là các
em học sinh của hai lớp 12A9 và 12A2 trường THPT Sầm Sơn mà tôi giảng dạy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở
lý thuyết. Ngồi ra cịn có phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin.

1

skkn


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Sáng kiến kinh nghiệm này được xây dựng trên cơ sở các kiến thức cơ bản về
số phức kết hợp với các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Các kiến thức cơ bản về số phức bao gồm:
+ Các định nghĩa cơ bản về số phức.
+ Các phép toán về số phức.
+ Các tính chất về mơ-đun số phức.
+ Các tính chất về biểu diễn hình học của số phức.
Các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bao gồm:
+ Các kiến thức về đường thẳng.
+ Các kiến thức về đường tròn.

+ Các kiến thức về elip.
Đặc biệt là một số tính chất trong hình học giải tích Oxy được áp dụng trong
các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơ-đun số phức:
Tính chất 1: Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng
và một điểm
. Điểm
thuộc
sao cho khoảng cách
ngắn nhất khi
là hình chiếu của trên
.
Lúc đó:

.

Tính chất 2: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn
đường tròn. Điểm
khi

thuộc

là giao điểm của

và một điểm

sao cho khoảng cách
với đường tròn

1) Trường hợp:

nằm trong đường tròn:

2) Trường hợp:

nằm ngồi đường trịn:

Tính chất 3: Trong hệ trục Oxy, cho đường trịn

khơng thuộc

lớn nhất, nhỏ nhất khi

. Lúc đó:
,

.
,

và đường thẳng

.
khơng cắt

đường trịn. Điểm
thuộc
,
thuộc
sao cho khoảng cách
nhỏ nhất
khi

lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng (qua vng góc với đường
thẳng

) cắt đường trịn

và đường thẳng

. Lúc đó:

.

Tính chất 4: Trong hệ trục Oxy, cho hai đường trịn
và
khơng cắt nhau.
Hai điểm
lần lượt thuộc hai đường tròn sao cho khoảng cách
lớn nhất,
nhỏ nhất khi
lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng
(đường nối tâm
của hai đường trịn) với hai đường trịn. Lúc đó:

,

2

skkn


Tính chất 5: Trong hệ trục Oxy, cho Elip

khoảng cách
lớn nhất, nhỏ nhất khi
Lúc đó:

độ dài bán trục bé (khi
độ dài bán trục lớn (khi

. Điểm
thuộc
là giao điểm của
là giao điểm của

là giao điểm của

sao cho
với Elip.

với Elip),

với Elip).

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Số phức là một phần rất mới trong chương trình tốn THPT (được đưa vào
chương trình vào cuối năm lớp 12). Đây là một phần khơng khó, tuy nhiên khá lạ
do lâu nay học sinh đã quen với tập số thực, với lối tư duy trên tập số thực nên
nhiều học sinh gặp khó khăn với các bài tốn số phức, đặc biệt là các bài tốn khó.
Bài tốn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức là một bài
tốn khó về số phức. Cách giải thơng thường của bài tốn là áp dụng bất đẳng
thức.Tuy nhiên, bất đẳng thức là cũng một phần khó trong chương trình tốn học
phổ thơng, lại được học từ giữa năm lớp 10 nên rất nhiều học sinh đã quên và gặp

rất nhiều khó khăn khi áp dụng. Thêm nữa việc phát triển bài toán bằng bất đẳng
thức là không dễ nhất là đối với các đối tượng học sinh mà tôi đang giảng dạy.
Việc áp dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số
phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, bài tốn được chuyển sang bài
tốn hình giải tích trong mặt phẳng nên trực quan hơn, dễ dàng xử lý hơn. Đặc biệt,
chúng ta có thể mở rộng, phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, rất đa
dạng.
Chúng ta cùng xem xét một ví dụ cụ thể như sau:
Ví dụ 1: Trong các số phức

thỏa mãn

, tìm số phức

sao cho

nhỏ nhất [2].
Giải:
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức.
Giả sử

, khi đó:

Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki:

3

skkn

Dấu ‘=’ xảy ra khi

.

Vậy
khi
.
Cách 2: Sử dụng phương pháp hàm.
Giả sử

, khi đó:

Ta có:
Xét hàm số

(TXĐ:

).

Bảng biến thiên:

-

+

Vậy
khi
hay
khi

Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Giả sử
, khi đó:
Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
.
Gọi

trong mặt phẳng phức, khi đó

là điểm biểu diễn cho số phức

4

skkn


Khi đó :
Để
nhỏ nhất khi

là hình chiếu của

Khi đó:
Phương trình đường thẳng
Tọa đơ

trên

:

nghiệm hệ

Vậy số phức có mơ-đun nhỏ nhất là : 
.
So sánh giữa ba cách giải, chúng ta có thể thấy cách thứ ba là cách trực quan
nhất, dễ hiểu nhất. Đồng thời khi chúng ta phát triển bài toán bằng cách phức tạp
hóa các điều kiện hay biểu thức cực trị thì cách giải thứ ba cũng dễ phát triển mở
rộng hơn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Với thực trạng như trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các giải pháp
xây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun
số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Bài tốn sử dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun
số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thường gồm hai bước cơ bản:
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức .
Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Dựa trên việc áp dụng các tính chất của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
vào các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mơ-đun số phức, chúng ta
có thể phân chia thành các dạng như sau:
Dạng 1: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm và và một điểm
thuộc đường thẳng.
Đặc điểm của các bài toán toán dạng này là tập hợp các điểm
biểu diễn
cho số phức
thỏa mãn yêu cầu của bài tốn là một đường thẳng. Khi đó bài tốn
tìm cực mơ-đun số phức trở thành bài tốn cực trị hình học. Chúng ta cùng bắt đầu
với bài tốn đầu tiên như sau:
5

skkn


Bài tốn 1: Trong các số phức thỏa mãn
mơ-đun nhỏ nhất [2].
Giải.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Gọi

, tìm số phức

có

, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
.

trong mặt phẳng phức, khi đó

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có :

,

nhỏ nhất khi

Khi đó:
Phương trình đường thẳng
Tọa độ

:

là hình chiếu của

trên

.

là nghiệm hệ

Vậy số phức có mơ-dun nhỏ nhất bằng
khi:
.
Mở rộng, phát triển bài tốn bằng cách phức tạp hóa các u cầu của bài tốn,
của biểu thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chúng ta được bài toán sau:
Bài tốn 2: Trong các số phức

thỏa mãn

, tìm số phức

sao

cho
nhỏ nhất [2].
Giải.

Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
6

skkn


Gọi

, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
.

trong mặt phẳng phức, khi đó

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có:
cho số phức ).
Để
nhỏ nhất thì

(với
là hình chiếu của

Khi đó:
Phương trình đường thẳng
Tọa độ

:

trên

là điểm biểu diễn

.

.

là nghiệm của hệ

.

Vậy
khi:
.
Bài toán 3: (Đề tham khảo THPTQG 2017) Cho số phức
Gọi
nhất của

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

tính

A.
B.
C.
Giải.
Chọn A.

Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Gọi

thỏa mãn

là điểm biểu diễn số phức ,

D.

và
7

skkn


Từ
thẳng

và

nên ta có

thuộc đoạn

.
8

D
6

4

A
H

2

E
5

2

N

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có:

. Để

đạt giá trị nhỏ nhất khi

trên

. Khi đó
đạt giá trị lớn nhất khi

là hình chiếu của

.
. Khi đó

.

Vậy
.
Bài tốn 4: (Đề khảo sát chất lượng toán 12 Sở GDĐT Thanh Hóa 2021) Cho số
phức

thỏa mãn

Gọi

nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
A.

B.

lần lượt là giá trị nhỏ
Tính

C.

D.

Giải.
Chọn A
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Giả sử
Gọi

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

.
trong mặt phẳng phức, khi đó

thuộc miền trong tính cả biên của hình thoi
được giới hạn bởi bốn đường thẳng

với
.

8

skkn


Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
với
Quan sát hình vẽ ta thấy
trên

.
đạt giá trị nhỏ nhất khi
. Khi đó

là hình chiếu của

.

đạt giá trị nhỏ nhất khi

. Khi đó

.

Vậy
.
Dạng 2: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa một điểm và một
diểm thuộc đường tròn.
Đặc điểm của các bài toán toán dạng này là tập hợp các điểm
biểu diễn
cho số phức
thỏa mãn yêu cầu của bài toán là một đường trịn. Chúng ta cùng
xem xét các bài tốn sau:
Bài tốn 5: Trong các số phức thỏa mãn
, tìm số phức
nhất, nhỏ nhất [3].
Giải.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức

lớn

, khi đó:

Giả sử
Gọi

có

.
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường tròn

trong mặt phẳng phức, khi đó

.

9

skkn


Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Xét điểm

(

nằm trong hình trịn).

Ta có :
Để
nhỏ nhất khi

là giao của

với đường trịn ( là tâm đường trịn).

Khi đó:

Để

lớn nhất khi

là giao của

với đường trịn ( là tâm đường trịn).

Khi đó:
Đường thẳng

Tọa độ điểm M là nghiệm hệ
Vậy với
là lớn nhất.

thì

.
là nhỏ nhất, với

thì

Bài tốn 6: (Đề tham khảo THPTQG 2018) Cho số phức
mãn
. Tính
khi
A.
B.
C.
Giải.

Chọn B
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Gọi

thỏa
đạt giá trị lớn nhất.
D.

là điểm biểu diễn của số phức
Tập hợp điểm

Theo giả thiết ta có:
biểu diễn số phức

là đường trịn tâm

bán kính

10

skkn


Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Gọi:
Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D.
Ta có:
Vì

là trung tuyến trong

.
Mặt khác:

Bài tốn 7: (Đề thi giao lưu kiến thức thi THPTQG lần 3 Quảng Xương 1 2021) Giả sử

là hai trong các số phức

ảo. Biết rằng

, giá trị lớn nhất của

thỏa mãn
bằng

A.
B.
C.
Giải.
Chọn D.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Gọi

là số thuần

, khi đó:

D.

là

số thuần ảo  Phần thực
Gọi

là các điểm biểu diễn cho số phức
bán kính

và

, khi đó

thuộc đường trịn tâm

.

11

skkn


Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Xét điểm

thỏa mãn

khi đó :

Gọi

là trung điểm của

, ta có:

Nên

thuộc đường trịn tâm

bán kính

Dạng 4: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc đường thẳng
và một điểm thuộc đường tròn.
Nâng cao, phát triển bài tốn từ tìm một số phức sang tìm hai số phức ta được
các bài toán như sau:
Bài toán 8: Trong các số phức

thỏa mãn

,

các số phức
sao cho
nhỏ nhất [4].
Giải.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Giả sử
Gọi

.

, khi đó:

là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn
Gọi

tìm

trong mặt phẳng phức, khi đó

.
, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
.

trong mặt phẳng phức, khi đó

12

skkn


Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có :
nhỏ nhất khi

là giao của đường thẳng

vng góc với đường trịn
thẳng .

, cịn

qua

(

là tâm đường trịn)

là giao của đường thẳng

với đường

Khi đó:
.
Trong đó :
Đường thẳng

qua

vng góc với đường thẳng

 Phương trình đường thẳng
Tọa độ điểm

.

.

là nghiệm hệ

.

.
cần tìm là
Tọa độ điểm
Vậy với

ứng với số phức

.

là nghiệm hệ

.
thì

là nhỏ nhất.
13

skkn


Bài toán 9: (Đề thi thử tốt nghiệp THPT lần 1 năm 2021 Thành Nhân - HCM) số
phức

thỏa mãn

và

nhất của biểu thức
A.

. Giá trị nhỏ

bằng
B.

C.

D.

Giải:
Chọn D.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức .
Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn số phức

,

và

nên

Đặt

khi đó:

nên

thuộc đoạn thẳng

biểu diễn cho

.

thuộc đường trịn tâm

bán kính

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có :
nhỏ nhất khi

là giao của đường thẳng

vng góc với đường trịn
thẳng

cịn

qua

(

là tâm đường trịn)

là giao của đường thẳng

với đường

Khi đó:
Dạng 5: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa hai điểm lần lượt
thuộc hai đường tròn.
Vẫn là bài tốn tìm hai số phức, song điều kiện của hai số phức được thay đổi
từ thuộc một đường thẳng, một đường tròn sang thuộc hai đường tròn ta được các
bài toán sau.
14

skkn


Bài tốn 10: Trong các số phức

thỏa mãn

,

thì

lớn nhất, nhỏ nhất bằng bao nhiêu [4].
Giải.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Giả sử
Gọi

, khi đó:

là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường tròn

tâm

Giả sử
Gọi

trong mặt phẳng phức, khi đó
bán kính

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

trong mặt phẳng phức, khi đó

tâm

bán kính

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có
Vậy

:

,

:

.

Bài tốn 11: Trong các số phức
thỏa mãn
lớn nhất, nhỏ nhất bằng bao nhiêu [4].
Giải.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Đặt

,

thì

, khi đó
15

skkn


Giả sử
Gọi

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

tâm

trong mặt phẳng phức, khi đó
bán kính

Ta có:
Giả sử
Gọi

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

tâm

trong mặt phẳng phức, khi đó
bán kính

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có

:

,

Vậy:
.
Dạng 5: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa một điểm và một
điểm thuộc Elip.

Đặc điểm của các bài toán toán dạng này là tập hợp các điểm
biểu diễn
cho số phức
thỏa mãn yêu cầu của bài toán là một Elip. Ta đến với bài toán thứ
sáu như sau:
Bài toán 12: Trong các số phức thỏa mãn
mơ-đun lớn nhất, nhỏ nhất [3].
Giải.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Giả sử

,

là điểm biểu diễn cho số phức

, tìm số phức

có

trong mặt phẳng phức,
16

skkn


khi đó:

với

thuộc elip có tiêu điểm

, độ dài trục lớn bằng

 Phương trình của

.

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có:

với

thuộc Elip nên

Nên:

khi

hoặc

tương ứng với

hoặc

khi

hoặc

tương ứng với

hoặc

Bài tốn 13: Cho số phức
lớn nhất. Tính
.

thỏa mãn:
[3].
.

A.
B.
C.
Giải.
Chọn B
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Giả sử

,

.
và

D.

là điểm biểu diễn cho số phức

Khi đó:

với

thuộc elip có tiêu điểm
 Phương trình của

.

.

, độ dài trục lớn bằng
.

17

skkn


Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Ta có:
với
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy để
lớn nhất khi
khi đó
.
Dạng 6: Một số bài tốn liên quan tới tính chất đối xứng.
Bài toán 14: (Đề khảo sát chất lượng chuyên KHTN Hà Nội 2019) Cho số phức
thỏa mãn :

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

B.
C.
Giải.
Chọn A.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Gọi

là
D.

.

là điểm biểu diễn số phức

Ta có:

tức biểu diễn hình học của số phức thỏa mãn giả

thiết là đường thẳng
B
A

M'

M

A'

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Xét điểm

và

phía với đường thẳng
Do đó

thì

Dễ thấy
nên

nhỏ nhất bằng

cùng
trong đó

đối xứng với qua đường thẳng
nhỏ nhất bằng

18

skkn


Bài toán 15: (Đề khảo sát chất lượng THPTQG liên trường Nghệ An 2018) Biết
rằng hai số phức ,
thỏa mãn
phần thực là
và phần ảo là
thỏa mãn

và

. Số phức có
. Giá trị nhỏ nhất của

bằng
A.
.
B.
. C.
Giải.
Chọn C.
Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
Gọi

,

,

độ

. Khi đó quỹ tích của điểm

.

.

.

lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức

,

là đường trịn

;quỹ tích của điểm
là đường
tích của điểm
là đường thẳng

D.

,

trên hệ trục tọa

tâm

trịn tâm
.

, bán kính

, bán kính

; quỹ

y
I2

8

I1

4

O

B

A

3

I3

M

x

6

Bước 2: Chuyển bài tốn tìm cực trị số phức sang bài tốn cực trị hình học.
Gọi

có tâm

,

là đường trịn đối xứng với

đó
Gọi
điểm

với
,

lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng
,

,

ta có

khi

với

qua

. Khi

.
,

. Khi đó với mọi
, dấu "=" xảy ra

. Do đó
.
Trên đây là một số dạng tốn tơi đã phân chia và phát triển theo kinh nghiệm
giảng dạy của mình trong những năm qua.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
19

skkn


Để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài, tơi đã tiến hành triển khai đề tài tại
lớp 12A9, còn lớp 12A2 thì khơng (nghĩa là ở lớp 12A2 thì tơi dạy học sinh tìm giá
trị lớn nhất, giả trị nhỏ nhất của mô-đun số phức bằng cách sử dụng bất đẳng thức,
cịn lớp 12A9 thì chủ yếu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của mô-đun số phức
bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng). Đây là hai lớp mà tơi đánh giá có chất
lượng tương đương. Sau đó tơi đã đánh giá kết quả bằng một bài kiểm tra trắc
nghiệm ngắn (20 phút) như sau:
ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1. Cho số phức
A.

thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của

B.

Câu 2. Cho số phức
A.

C.

thỏa mãn

D.

. Giá trị lớn nhất của

B.

Câu 3. Trong các số phức
nhỏ nhất là.
A.
B.

C.
thỏa mãn

Câu 5. Cho số phức
là.
A.
A.

thỏa mãn

nhất của
A.

.

, biết số phức
bằng.
D.

.

. Giá trị lớn nhất của
C.

thỏa mãn

D.

.

. Giá trị nhỏ nhất của

B.

C.

Câu 7. Cho các số phức

.

D.

C.

B.

Câu 6. Cho số phức

là.

, số phức có mơ-đun
C.

B.

.

D.

Câu 4. Trong các số phức
thỏa mãn
có mơ-đun nhỏ nhất. Khi đó
A.

là.

thỏa mãn

D.
và

là.
.

. Giá trị lớn

là.
B.

C.

Câu 8. Cho các số phức
Giá trị nhỏ nhất của

thỏa mãn

D.
và

.
.

là.
20

skkn


A.

B.

C.

Câu 9. Số phức z thỏa mãn

. Gọi

nhất và giá trị nhỏ nhất của
là đúng?
A.

. Đặt

B.

Câu 10. Cho hai số phức
A.

thỏa mãn

.

lần lượt là giá trị lớn
, mệnh đề nào sau đây

C.
và

lớn nhất của biểu thức

D.

D.
và

.
Giá trị

bằng.
B.

C.

D.

Kết quả thu được là:
Lớp
Điểm
[0; 3)
[3; 5)
[5; 7)
[7; 9)
[9; 10]

12A2
Tần số
Tần suất (%)
5
11,36
10
22,73
18
40,91
7

15,91
4
9,09
N = 44

12A9
Tần số
Tần suất (%)
2
4,26
3
6,81
21
47,73
14
29,79
7
14,89
N = 47

So sánh kết quả đạt được của hai lớp, chúng ta có thể thấy được hiệu quả của
đề tài sau khi được triển khai.
Nhìn chung, nhiều học sinh đã biết cách làm các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của modun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Học
sinh khơng cịn tâm lý “e ngại” khi gặp phải các bài tốn dạng này, thậm chí một bộ
phận khơng nhỏ học sinh có thể tiếp cận với những bài tốn khó hơn trong các đề
thi trung học phổ thơng quốc gia hay các đề khảo sát của các trường.
Bên cạnh đó học sinh cũng học hỏi được cách tư duy lô-gic, cách quy lạ về
quen, cách mở rộng phát triển các bài tốn khơng chỉ trong phần này mà còn các
phần khác nữa.

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trên đây là những kinh nghiệm của tơi trong q trình dạy học. Với tuổi đời
và tuổi nghề còn non trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi không tránh khỏi những
21

skkn


thiếu sót. Rất mong được các đồng chí góp ý và chia sẻ kinh nghiệm giúp tôi ngày
tiến bộ hơn trong công tác, phát triển hơn chuyên môn nghiệp vụ.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
3.2. Kiến nghị.
Tôi mong muốn được Sở GDĐT, nhà trường cung cấp cho chúng tôi một số
SKKN đã được Sở, nhà trường đánh giá là có chất lượng của những năm học trước
để chúng tơi được học hỏi, nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy nhằm nâng
cao chất lượng dạy học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Nguyễn Thị Bích Huệ

22

skkn

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Luật Giáo dục 2019 . Nguồn:
[2] Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn . Nguồn:
[3] Chuyên đề số phức – Nguyễn Chín Em. Nguồn:
[4] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa modul số phức –
Nguyễn Hoàng Việt . Nguồn:

skkn