Skkn kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng001

Bìa chính (Mẫu M1(1))

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2020

skkn


MỤC LỤC
1. Mở đầu ..................................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài ..........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………….…………1
1.3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………….…...1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................1
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm....................................................................2
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm......................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.......................4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.............................................6

2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.......................................15
3. Kết luận, kiến nghị .............................................................................................17

skkn


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Mục tiêu của Luật giáo dục 2019: “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển tồn
diện con người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề
nghiệp; có phẩm chất, năng lực và ý thức cơng dân; có lòng yêu nước, tinh thần dân
tộc và chủ nghĩa xã hội; phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân;
nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầu
của sự nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và hội nhập quốc tế” [1].
Yêu cầu về phương pháp giáo dục của Luật giáo dục 2019: “Phương pháp giáo
dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của
người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thực
hành, lịng say mê học tập và ý chí vươn lên” [1].
“Làm thế nào để phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân?”;
“Làm thế nào để phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của người học?”.
Đó là những câu hỏi tơi ln băn khoăn, trăn trở trong quá trình giảng dạy.
Vì vậy bên cạnh việc truyền đạt các kiến thức cơ bản thì việc tìm kiếm các kỹ
thuật dạy học mới phù hợp, giúp học sinh hứng thú, chủ động mở rộng, phát triển
các kiến thức là điều mà tôi luôn hết sức chú ý và chăm chút. Đó cũng chính là lý
do tơi chọn đề tài: Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số
phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Trong đề tài này, tôi xin phép được trình bày một số hướng phát triển, mở
rộng bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mô-đun số phức dựa trên kỹ thuật giải là
áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Bên cạnh đó cũng cần nói thêm rằng lớp đối tượng mà tơi giảng dạy chủ yếu

là các học sinh trung bình và khá, do đó tơi lựa chọn hướng phát triển từ từ, thích
hợp với đại đa số học sinh, đồng thời nó cũng là hướng mở để các học sinh khá,
giỏi có thể phát triển bài tốn hơn nữa.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Với lý do như trên thì mục đích nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh tìm
hiểu, xây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Phân tích ưu, nhược
điểm và so sánh kỹ thuật này với các kỹ thuật giải khác.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất mô-đun của số phức, đặc biệt là kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
mô-đun của số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Bên cạnh đó một đối tượng nghiên cứu khác vơ cùng quan trọng chính là các
em học sinh của hai lớp 12A9 và 12A7 trường THPT Sầm Sơn mà tôi giảng dạy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở
lý thuyết. Ngồi ra cịn có phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
1

skkn


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Sáng kiến kinh nghiệm này được xây dựng trên cơ sở các kiến thức cơ bản về
số phức kết hợp với các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Các kiến thức cơ bản về số phức bao gồm:
+ Các định nghĩa cơ bản về số phức.
+ Các phép toán về số phức.
+ Các tính chất về mơ-đun số phức.
+ Các tính chất về biểu diễn hình học của số phức.

Các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bao gồm:
+ Các kiến thức về đường thẳng.
+ Các kiến thức về đường tròn.
+ Các kiến thức về elip.
Đặc biệt là một số tính chất trong hình học giải tích Oxy được áp dụng trong
các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơ-đun số phức:
Tính chất 1: Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng
và một điểm
. Điểm
thuộc
sao cho khoảng cách
ngắn nhất khi
là hình chiếu của
trên
.
Lúc đó:

.

Tính chất 2: Trong hệ trục Oxy, cho đường trịn
đường tròn. Điểm

thuộc

sao cho khoảng cách

khi
là giao điểm của
với đường tròn
1) Trường hợp: nằm trong đường trịn.

;

và một điểm

khơng thuộc

lớn nhất, nhỏ nhất khi

. Lúc đó:

.

2

skkn


2) Trường hợp:

nằm ngồi đường trịn.

;

.

Tính chất 3: Trong hệ trục Oxy, cho Elip
. Điểm
cách
lớn nhất, nhỏ nhất khi
là giao điểm của

- độ dài bán trục bé (khi
- độ dài bán trục lớn (khi

thuộc
sao cho khoảng
với Elip. Lúc đó:

là giao điểm của
là giao điểm của

Tính chất 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường trịn

với elip),
với elip).

và đường thẳng

khơng cắt

đường trịn. Điểm
thuộc
,
thuộc
sao cho khoảng cách
nhỏ nhất
khi
lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng
(qua vng góc với đường
thẳng

) cắt đường trịn

và đường thẳng

. Lúc đó:

.
3

skkn


Tính chất 5: Trong hệ trục Oxy, cho hai đường trịn
và
khơng cắt nhau.
Hai điểm
lần lượt thuộc hai đường trịn sao cho khoảng cách
lớn nhất,
nhỏ nhất khi
lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng
(đường nối tâm của
hai đường tròn) với hai đường trịn. Lúc đó:
;

.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Số phức là một phần rất mới trong chương trình tốn THPT (được đưa vào
chương trình vào cuối năm lớp 12). Đây là một phần khơng khó, tuy nhiên khá lạ
do lâu nay học sinh đã quen với tập số thực, với lối tư duy trên tập số thực nên

nhiều học sinh gặp khó khăn với các bài toán số phức, đặc biệt là các bài tốn khó.
Bài tốn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mơ-đun số phức là một bài
tốn khó về số phức. Cách giải thơng thường của bài toán là áp dụng bất đẳng
thức.Tuy nhiên, bất đẳng thức là cũng một phần khó trong chương trình tốn học
phổ thông, lại được học từ giữa năm lớp 10 nên rất nhiều học sinh đã quên và gặp
rất nhiều khó khăn khi áp dụng. Thêm nữa việc phát triển bài tốn bằng bất đẳng
thức là khơng dễ nhất là đối với các đối tượng học sinh mà tôi đang giảng dạy.
Việc áp dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số
phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, bài toán được chuyển sang bài
tốn hình giải tích trong mặt phẳng nên trực quan hơn, dễ dàng xử lý hơn. Đặc biệt,
chúng ta có thể mở rộng, phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, rất đa
dạng.
Chúng ta cùng xem xét một ví dụ cụ thể như sau:
4

skkn


Ví dụ: Trong các số phức

thỏa mãn

, tìm số phức

sao cho

nhỏ nhất [2].
Giải:
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức.
Giả sử

, khi đó:

Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki:

Nên:

Dấu ‘=’ xảy ra khi

.

Vậy
nhỏ nhất bằng
khi
.
Cách 2: áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Giả sử

, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
.
Gọi

trong mặt phẳng phức, khi đó

là điểm biểu diễn cho số phức

Khi đó :
Để
nhỏ nhất khi

,
là hình chiếu của

trên

.
5

skkn


Khi đó:
Phương trình đường thẳng

Tọa đơ

:

nghiệm hệ

Vậy số phức có mô-dun nhỏ nhất là : 
.
So sánh giữa hai cách giải, chúng ta có thể thấy mức độ tương đương. Tuy
nhiên, đối với cách một sử dụng bất đẳng thức thì tâm lý chung học sinh là “ngại”
và “sợ”, trong khi với cách thứ hai thì bài tốn trở nên trực quan hơn, dễ dàng tiếp

nhận hơn.
Mặt khác, bất đẳng thức và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng đều là kiến
thức từ lớp 10, nhưng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là kiến thức trọng tâm
của hình học 10, học sinh được học trong suốt học kỳ hai lớp 10. Hơn nữa phần
kiến thức này lại được mở rộng phát triển trong hình học 12 (phương pháp tọa độ
trong khơng gian) nên đối với học sinh thì quen thuộc hơn, gần gũi hơn.
Vì vậy trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy khi tôi giới thiệu về các cách
giải của bài tốn thì phần lớn học sinh chọn cách giải thứ hai. Hơn nữa, khi chúng
ta phát triển bài toán, phức tạp hóa các điều kiện hay u cầu thì việc sử dụng bất
đẳng thức trở nên khó khăn, nhiều bài tốn khơng thể giải được. Trong khi nếu
dùng theo cách giải thứ hai bài toán dễ phát triển mở rộng hơn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Với thực trạng như trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các giải pháp
xây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số
phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Dựa trên việc áp dụng các tính chất của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
vào các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mơ-đun số phức, chúng ta
có thể phân chia bài toán thành các dạng như sau:
Dạng 1: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm và và một điểm
thuộc đường thẳng.
Chúng ta cùng bắt đầu với bài toán đầu tiên khá đơn giản:
Bài toán 1: Trong tất cả các số phức có dạng: 
với
, tìm số
phức có mơ-đun nhỏ nhất [2].
Giải.
Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức trong mặt phẳng phức
,
khi đó

thuộc đường thẳng
.
6

skkn


Ta có :

,

nhỏ nhất khi

Khi đó:
Phương trình đường thẳng

Tọa độ

là hình chiếu của

trên

.

:

lànghiệm hệ

Vậy số phức có mơ-dun nhỏ nhất bằng
khi:

.
Trong bài toán này, vấn đề trọng yếu là điểm
biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
. Từ đây chúng ta có thể phát triển mở rộng bài
tốn theo chiều hướng khó, phức tạp hơn nhưng vẫn giữ được tính chất điểm
biểu diễn cho số phức
thuộc một đường thẳng. Chúng ta cùng xem xét bài toán
thứ hai như sau:
Bài toán 2: Trong các số phức thỏa mãn
đun nhỏ nhất [2].
Đối với bài tốn này chúng ta đã thay thế điều kiện

, tìm số phức

có mơ-

bởi một điều

kiện khác về mơ-đun phức tạp hơn là:
. Nhưng khi khai thác điều
kiện này chúng ta được điều kiện tương đương với điều kiện đã cho trong bài tốn
ban đầu.
Giải:
Giả sử

, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường thẳng
.

trong mặt phẳng phức, khi đó

7

skkn


Ta có :

,

nhỏ nhất khi

Khi đó:
Phương trình đường thẳng

Tọa độ

là hình chiếu của

trên

.

:

là nghiệm hệ

Vậy số phức có mơ-dun nhỏ nhất bằng
khi:
.
Tiếp tục mở rộng, phát triển bằng cách phức tạp hóa u cầu của bài tốn,
chúng ta được bài tốn thứ ba có điều kiện giống như điều kiện của bài toán thứ hai
song yêu cầu đã cao hơn:
Bài toán 3: Trong các số phức
nhỏ nhất [2].
Lúc này, điều kiện của
rộng thành tìm
Giải:
Giả sử

thỏa mãn

, tìm số phức

sao cho

vẫn như trong bài tốn hai song u cầu được mở

để mơ-đun của số phức

nhỏ nhất.

, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường thẳng
.

trong mặt phẳng phức, khi đó

Gọi

.

là điểm biểu diễn cho số phức

8

skkn


Khi đó :
Để
nhỏ nhất khi

,
là hình chiếu của

Khi đó:
Phương trình đường thẳng

Tọa độ

trên

.

:

nghiệm hệ

Vậy số phức có mơ-dun
nhỏ nhất bằng
khi:
.
Bài tốn thứ tư cúng tương tự như vậy nâng cao yêu cầu của bài toán.
Bài toán 4: Trong các số phức

thỏa mãn

, tìm số phức

sao cho

nhỏ nhất [2].
Giải:
Lúc này, điều kiện vẫn như vậy, nhưng yều cầu đã được kết hợp thêm tính
chất của mơ-đun số phức:
được quy về bài tốn tương tự như bài toán ba.
Giả sử

, và như vậy bài tốn lại

, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
.

trong mặt phẳng phức, khi đó

9

skkn


Ta có :
phức ).
Để
nhỏ nhất thì

(với
là hình chiếu của

Khi đó:
Phương trình đường thẳng

Tọa đô

trên

là điểm biểu diễn cho số
.

:

nghiệm hệ

Vậy số phức có mơ-dun
nhỏ nhất bằng
khi:
.
Dạng 2: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa một điểm và một
diểm thuộc đường trịn.
Đặc điểm của các bài tốn trong dạng một là điều kiện của
biểu diễn cho số
phức thuộc đường thẳng, bây giờ chúng ta phát triển bài toán bằng cách cho điểm
thuộc một đường tròn. Chúng ta cùng xem xét các bài toán sau:
Bài toán 5: Trong các số phức
nhất, lớn nhất [3].
Giải.
Giả sử
Gọi

thỏa mãn

, tìm số phức

có mơ-đun nhỏ

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

trong mặt phẳng phức, khi đó

.

10

skkn


Ta có :
Để
nhỏ nhất khi
là giao của
với đường trịn ( là tâm đường trịn).
Khi đó:
và
Để
nhỏ nhất khi
là giao của
với đường trịn ( là tâm đường trịn).
Khi đó:
và
.
Vậy có mơ-dun lớn nhất bằng khi
, có mơ-đun nhỏ nhất bằng 1 khi
.
Lại nâng cao u cầu của bài tốn từ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơ-đun
số phức
sang tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mô-đun một biểu thức chứa ta

được bài toán thứ sáu.
Bài toán 6: Trong các số phức
nhất, nhỏ nhất [3].
Giải.
Giả sử
Gọi

thỏa mãn

có

lớn

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

Xét điểm

, tìm số phức

trong mặt phẳng phức, khi đó
.

(

Ta có :
Để
nhỏ nhất khi

nằm trong hình tròn)
là giao của

với đường tròn (

là tâm đường tròn).
11

skkn


Khi đó:
Để

lớn nhất khi

là giao của

với đường trịn (

là tâm đường trịn).

Khi đó:
Đường thẳng

Tọa độ điểm M là nghiệm hệ

Vậy với

thì

là nhỏ nhất,

với
thì
là lớn nhất.
Dạng 3: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa một điểm và một
điểm thuộc Elip.
Mở rộng với
thuộc Elip ta được bài toán sau:
Bài toán 7: Trong các số phức thỏa mãn
đun lớn nhất, nhỏ nhất [3].
Giải.
Giả sử
,
là điểm biểu diễn cho số phức

, tìm số phức

có mơ-

trong mặt phẳng phức.

khi đó:
với

().

thuộc elip có tiêu điểm

 Phương trình của

, độ dài trục lớn bằng
.

12

skkn


Ta có:

với

thuộc elip nên

Nên:

khi

hoặc

tương ứng với

hoặc

.

khi
hoặc

tương ứng với
hoặc
.
Dạng 4: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc đường thẳng
và một điểm thuộc đường tròn.
Lại nâng cao, phát triển bài tốn từ tìm một số phức sang tìm hai số phức ta
được bài toán thứ bảy như sau:
Bài toán 8: Trong các số phức
các số phức
Giải.

sao cho

Giả sử

, khi đó:

Gọi

thỏa mãn

Giả sử

, tìm

nhỏ nhất [4].

là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

;

trong mặt phẳng phức, khi đó

.
, khi đó:

Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức
thuộc đường thẳng
.

Ta có :
nhỏ nhất khi
góc với đường trịn

là giao của đường thẳng
, cịn

trong mặt phẳng phức, khi đó

qua ( là tâm đường trịn) vng

là giao của đường thẳng

với đường thẳng

.

Khi đó:

Trong đó :
13

skkn


vng góc với đường thẳng
Đường thẳng qua
 Phương trình đường thẳng

Tọa độ điểm

Điểm

là nghiệm hệ

cần tìm là

Tọa độ điểm

ứng với số phức

.

là nghiệm hệ

Vậy với
thì

là nhỏ nhất.
Dạng 5: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa hai điểm lần lượt
thuộc hai đường trịn.
Vẫn là bài tốn tìm hai số phức, song điều kiện của hai số phức được thây đổi
từ thuộc một đường thẳng, một đường tròn sang thuộc hai đường trịn ta được bài
tốn thứ tám và thứ chín.
Bài tốn 9: Trong các số phức
thỏa mãn
;
, thì
lớn nhất, nhỏ nhất bằng bao nhiêu [4].
So với bài toán thứ tám, bài tốn thứ chín được phát triển về điều kiện của
thuộc đườn thẳng, đường tròn sang thuộc hai đường trịn khác nhau.
Giải.
Giả sử
Gọi

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

trong mặt phẳng phức, khi đó

.
14

skkn

Giả sử
Gọi

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

trong mặt phẳng phức, khi đó

.

Ta có :
lần lượt là tâm đường trịn

Với

.

.
Trong đó:
Vậy

:

.

Bài tốn 10: Trong các số phức
thỏa mãn
lớn nhất, nhỏ nhất bằng bao nhiêu [4].

Giải.
ặt
Đ

, thì

, khi đó

Giả sử
Gọi

;

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

trong mặt phẳng phức, khi đó

.

Ta có:
15

skkn


Giả sử
Gọi

, khi đó:
là điểm biểu diễn cho số phức

thuộc đường trịn

trong mặt phẳng phức, khi đó

.

Ta có :
Với

lần lượt là tâm đường trịn

.

Trong đó:
Vậy:

.

Với cách mở rộng và phát triển như vậy, cứ tiếp tục chúng ta có thể xây dựng
được một lớp các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức
từ đơn giản đến phức tạp tùy thuộc vào điều kiện hay yêu cầu của bài toán, tùy
thuộc vào sự đa dạng của bài tốn hình học giải tích tương ứng mà chúng ta lựa
chọn.
Với một lớp đối tượng học sinh không tốt lắm (phần lớn là học sinh trung
bình và một bộ phận nhỏ học sinh khá), tôi lựa chọn cách phát triển mở rộng bài
toán dần dần từng bước một như trên, giúp học sinh được tiếp cận từ từ phù hợp

với trình độ, nhận thức của học sinh. Đồng thời đơn giản hóa các bài tốn về giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô-đun số phức giúp các bài toán đến gần hơn với học
sinh, để học sinh cảm thấy mình “có thể” giải được bài tốn, có hứng thú hơn, nỗ
lực hơn trong qua trình học tập.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài, tôi đã tiến hành triển khai đề tài tại
lớp 12A9, cịn lớp 12A7 thì khơng (nghĩa là ở lớp 12A7 thì tơi dạy học sinh tìm giá
16

skkn


trị lớn nhất, giả trị nhỏ nhất của mô-đun số phức bằng cách sử dụng bất đẳng thức,
còn lớp 12A9 thì chủ yếu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của mô-đun số phức
bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng). Đây là hai lớp mà tôi đánh giá có chất
lượng tương đương. Sau đó tơi đã đánh giá kết quả bằng một bài kiểm tra trắc
nghiệm ngắn (15 phút) như sau:
ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1: Cho số phức

thõa mãn

A.

. Giá trị nhỏ nhất của

B.

Câu 2: Cho số phức

C.

thõa mãn

A.

D.

. Giá trị lớn nhất của

B.

Câu 3: Trong các số phức
nhất là.
A.
B.

C.
thõa mãn

Câu 5: Cho số phức
A.

của
A.

bằng.
D.

.

C.
thõa mãn

là.

D.
. Giá trị nhỏ nhất của

B.

Câu 7: Cho các số phức

, biết số phức

C.

thõa mãn

A.

.

. Giá trị lớn nhất của

B.

Câu 6: Cho số phức

.

D.

C.

thõa mãn

là.

, số phức có mơ-đun nhỏ
C.

B.

.

D.

Câu 4: Trong các số phức
thõa mãn
có mơ-đun nhỏ nhất. Khi đó
A.

là.

.
là.

D. .
và

. Giá trị lớn nhất

là.
B.

Câu 8: Cho các số phức
nhỏ nhất của
A.

C.
thõa mãn

D.
và

.
. Giá trị

là.
B.

C.

D.

.

Kết quả thu được là:
Lớp

12A7

12A9
17

skkn


Điểm
[0; 3)
[3; 5)
[5; 7)
[7; 9)
[9; 10]

Tần số
5
10
18
8
4
N = 45

Tần suất (%)
11,11
22,22
40
17,78
8,89

Tần số
2
3
21
15
7
N = 48

Tần suất (%)
4,17
6,25
43,75
31,25
14,58

So sánh kết quả đạt được của hai lớp, chúng ta có thể thấy được hiệu quả của
đề tài sau khi được triển khai.
Nhìn chung, nhiều học sinh đã biết cách làm các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của modun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Học
sinh khơng cịn tâm lý “e ngại” khi gặp phải các bài tốn dạng này, thậm chí một bộ
phận khơng nhỏ học sinh có thể tiếp cận với những bài tốn khó hơn trong các đề
thi trung học phổ thơng quốc gia hay các đề khảo sát của các trường.
Bên cạnh đó học sinh cũng học hỏi được cách tư duy lô-gic, cách quy lạ về
quen, cách mở rộng phát triển các bài tốn khơng chỉ trong phần này mà còn các
phần khác nữa.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trên đây là những kinh nghiệm của tơi trong q trình dạy học. Với tuổi đời
và tuổi nghề còn non trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi không tránh khỏi những

thiếu sót. Rất mong được các đồng chí góp ý và chia sẻ kinh nghiệm giúp tôi ngày
tiến bộ hơn trong công tác, phát triển hơn chuyên môn nghiệp vụ.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
3.2. Kiến nghị.
Tôi mong muốn được Sở GDĐT, nhà trường cung cấp cho chúng tôi một số
SKKN đã được Sở, nhà trường đánh giá là có chất lượng của những năm học trước
để chúng tôi được học hỏi, nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy nhằm nâng
cao chất lượng dạy học.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 7 năm 2020

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

18

skkn