Skkn một số cách giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất cho học sinh thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ PHỨC
CĨ MƠĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CHO HỌC SINH THPT

Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

MỤC LỤC
THANH HỐ, NĂM 2020
MỤC LỤC
Nội dung
1

skkn

Trang


MỤC LỤC
1.MỞ ĐẦU.........................................................................................
1.1 Lý do chọn đề tài.....................................................................
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................
1.4. Phương pháp nghiên cứu...........................................................

2. NỘI DUNG....................................................................................
2.1. Cơ sở lí luận................................................................................
2.1.1. Định nghĩa số phức…………………..................................
2.1.2. Hai số phức bằng nhau…………………………………........
2.1.3. Biểu diễn hình học của số phức…...........................................
2.1.4.Phép cộng và phép trừ số phức………………………………..
2.1.5. phép nhân số phức……………………………………………
2.1.6. Số phức liên hợp……………………………………………
2.1.7. Môdun của số phức……………………………………
2.1.8. Phép chia số phức………………………………………
2.1.9. Một số kiến thức áp dụng……………………………………
2.1.10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp…………
2.2. Cơ sở thực tiễn............................................................................
2.3. Các phương pháp tìm số phức có mơdun lớn nhất, nhỏ nhất.....
2.3.1. Dạng 1 ..............................................................................
2.3.2. Dạng 2................................................................................
2.3.3. Dạng 3................................................................................
2.4. Kiểm chứng , so sánh.................................................................
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………………...
3.1. Kết luận......................................................................................
3.2. Kiến nghị....................................................................................
Tài liệu kham khảo.............................................................................

2

skkn

1
1
1

2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
9
10
11
13
13
13
14


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế
giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, và

thực sự gây khơng ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế. Bên cạnh
đó các bài tốn về số phức trong những năm gần đây không thể thiếu trong các
đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt việc giải bài tốn “Tìm tập hợp các điểm trong
mặt phẳng biểu diễn số phức” khơng phải là bài tốn q khó đối với học sinh.
Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo,
môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương
trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp,... thì các em sẽ giải quyết tốt bài
tốn trên.Vấn đề là thơng qua bài tốn này học sinh biết khai thác kiến thức cơ
bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm,
lượng giác, bài tốn cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết được bài tốn
“Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước”.
Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của
mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tơi ln trăn trở tìm ra
những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh,
và tìm mọi cách để xố bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Đồng thời
nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh. Chính vì vậy mà tơi chọn
đề tài “Một số cách giải bài tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất
cho học sinh THPT” để viết sáng kiến kinh nghiệm.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Số phức là vấn đề hồn tồn mới và khó đối với học sinh bậc trung học phổ
thơng hiện nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít tài
liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập
3

skkn


cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa cịn nhiều hạn chế.
Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp khơng
ít những khó khăn. Bài tốn tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số

phức z và bài tốn tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ mật
thiết vơi nhau. Trong q trình giảng dạy phần nội dung này tơi nhận thấy vẫn
còn một số học sinh chưa giải quyết được bài tốn tìm tập hợp các điểm biểu
diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thơng thường là đường thẳng,
đường trịn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol,...Nhiều học sinh lại
gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất,
nhỏ nhât. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp
các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm,
lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng, đường trịn, Elíp, ...để
từ đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong phần tìm GTLN-GTNN của biểu thức có liên
quan đến sớ phức. Phương pháp này dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và
ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Ở đây tơi nêu ra phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết thông qua một số bài
toán cụ thể về số phức. Trong mỗi ví dụ tơi đã cố gắng phân tích để dẫn dắt
người đọc hiểu và áp dụng được phương pháp để giải tốt bài tốn. Bên cạnh đó
tơi còn nêu ra một số bài tập để người đọc có thể rèn luyện thêm kiến thức.

4

skkn


2. NỘI DUNG

2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Định nghĩa số phức.
Một số phức là một biểu thức có dạng x+ yi , trong đó x, y là các số thực và

1
số i thoả mãn i =−1 . Ký hiệu số phức đó là z và viết z=x + yi .

i được gọi là đơn vị ảo
x được gọi là phần thực.
y được gọi là phần ảo của số phức z = x +yi
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
2.1.2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = x + yi và z’ = x’ + y’i.
z = z’ Û

{x=x' ¿ ¿¿¿

2.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
2.1.4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

2.1.5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

2.1.6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức

= a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức

trên.
5

skkn


Vậy

=

= a - bi

Tính chất của số phức liên hợp:
(1):
(2):
(3):
(4): z. =

(z = a + bi )

2.1.7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu

là mơđun của số phư z, đó là số thực

không âm được xác định như sau:
- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì
- Nếu z = a + bi, thì

=

=

=

=

2.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z-1=
Thương

của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ
tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số
thực thông thường.
2.1.9. Một số kiến thức áp dụng.
+ Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
2
2
2
2
2
Với 4 số thực a, b, c, d ta có: ( ab+ cd ) ≤( a + c ) ( b +d )

Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
6

skkn

+ Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên
+ Tính chất của hàm số lượng giác
2.1.10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp.
Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
2

2

2
Phương trình đường trịn: ( x−a ) + ( y−b ) =R .
2

Phương trình đường Elíp:

2

x y
+ =1
a2 b2
.

2.2. Cơ sở thực tiễn
Trong trường THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó cơng
việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải tốn khơng
phải là cơng việc đơn giản của mỗi giáo viên.
Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh trường THPT Hàm
Rồng, tôi đã thực hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó
khơng thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh
say mê, tìm tịi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học mà người thầy đã gieo. Trong
các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà tôi đang trình bày và đề

tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, nó khơng
phải là để dạy ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh. Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn
luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết.
2.3. Các phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Tìm số phức z có mơđun lớn nhất (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện
cho trước.
Phương pháp chung:
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện.
Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈ (G)

sao cho

khoảng cách OM có giá trị lớn nhất (hoạc nhỏ nhất).
2.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn
7

skkn


(5 cách giải)
Ví dụ 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiên sau .Tìm số phức z có
mơđun lớn nhất, nhỏ nhất.
1.
3.

2.

|

|z−2+2i|=1

z+3−5i
|=√ 2
z−1+3i
4.

z+2−i
|=√ 2
z+1−i

|

Lời giải
Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó:

Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I(2;4), bán
kính

Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
(3)
Từ (2), (3) ta suy ra:

.Vậy:

Cách giải 2: (định lý về dấu của tam thức bậc 2)
2
2
2
2
2
2

Đặt t= x + y . Do ( x−2 ) + ( y −4 ) =5⇔ x + y +15=4 ( x+2 y )

√

2
2
2
Ta có |x +2 y|≤ 5 ( x + y ) =√ 5. t , Suy ra t +15≤4 √ 5 t ⇔ √ 5≤t≤3 √ 5

√

Vậy
Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
8

skkn


Đặt x−2= √ 5sin t , y−4=√ 5cost
2

2

2
2
Tacó : x + y =( 2+ √ 5. sin t ) + ( 4+ √ 5 . cost ) =25+4 √ 5 ( sin t+2 cost )

2

2

Do −√ 5≤sin t +2. cost≤ √ 5 ⇒5≤x + y ≤45 ⇔ √ 5≤|z|≤3 √ 5

Vậy
Cách giải 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.
khi đó |z|min ⇔OM min , |z|max ⇔ OM max
Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2 x− y=0 .
Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của
hệ phương trình:

{( x−2 )2 +( y−4 )2=5 ¿ ¿¿¿

⇒ A (1;2), B(3;6)
OA≤OM≤OB Hay

Với mọi điểm M thuộc đường trịn (C) thì

√ 5≤|z|≤3 √5
Vậy:

Cách giải 5. (phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường trịn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ.
Ta có |z|min ⇔OM min ⇔ M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất
y

Ta có OI= √ 4+16=2 √5
Kẻ AH ⊥ Ox theo định lý ta lét ta có:

AH OA 2 √ 5−√ 5 1

=
=
=
4
OI 2 √ 5
2
⇒ AH=2 ⇒OH =1⇒ z=1+2 i

B

4

M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất.

I

A

x

9

skkn

K


Kẻ BK ⊥Ox , theo định lý ta lét ta có:

O

H

4
OI 2 √ 5
2
= =
=
BK OB 2 √ 5+ √ 5 3
⇒ BK=6 ⇒OK =3⇒ z=3+6 i
Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên
Đáp số:
2.

z=

4+ √ 2 4 + √ 2
−
i,
2
2

z=

3. z=(−3+ √10 ) i ,

z=5+
4.

z =−( 3+ √ 10 ) i

10 √ 5
2 5
− 1+ √ i ,
13
√13

(

Ví dụ 2: Cho số phức

4− √ 2 4−√ 2
−
i
2
2

)

z =5−

10 √ 5
2 5
− 1− √ i,
13
√ 13

thỏa mãn

(

)

.

Tìm mơđun lớn nhất của số phức
A.

B.

C.

D.

Giải:
Gọi

.

Ta

có:

.
Đặt

Chọn đáp án A.
Lưu ý: Ta cũng có thể dùng máy tính bỏ túi nhập hàm số
để tìm GTLN-GTNN
Ví dụ 3:

10

skkn


Cho số phức

thoả mãn

. Gọi

trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

.

và

là giá trị lớn nhất và giá
. Tính mơđun của số phức

B.

. C.

.

D.

.

Giải
Đặt

. Ta có

.

Mặt khác
Đặt

.
,

Suy ra

.

Ta có

.

Do đó

,

. Chọn B

2.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng
(4 cách giải)
Ví dụ 4: Tìm z sao cho

|z| đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn

điều kiện sau:
1. u= ( z+3−i )( z +1+3 i ) là số thực.
2. u= ( z−1 )( z+2i ) là số thực.

z+2−3i
|=1
3. z−4+i
|

4.

|z+i|=|z−2−3i|

Lời giải
Cách giải 1: Giả sử z=x + yi ( x , y ∈ R )
2

2

u=( x+3+ ( y−1 ) i ) ( x +1+ ( 3− y ) i )=x + y +4 x−4 y+6+2 ( x − y+4 ) i

Ta có u ∈ R ⇔ x− y +4=0 .
11

skkn


phức z là dường thẳng (d): x− y +4=0

tập hợp các điểm biểu diễn số
.

Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z thì |z|min ⇔OM min ⇔OM ⊥(d )
Ta được M(-2;2) ⇔ z=−2+2 i .

√

2

2

√

2

2

√

2

Cách giải 2. Ta có |z|= x + y = x + ( 4 +x ) = 2 ( x +2 ) +8≥2 √2 .
Vậy |z|min =2 √ 2⇔ x=−2 ⇒ y=2 ⇔ z=−2+2 i
2

2
2
2
2
Cách giải 3. |z|= √ x + y =√ x + ( 4 +x ) =√ 2 x +8 x+16

Xét hàm số

f (x )=√ 2 x 2 + 8 x +16 , f ' ( x )=

2 x+4

√ 2 x 2+ 8 x +16

'

f ( x )=0 ⇔ x=−2 ⇒|z|min ⇔ f ( x )min ⇔ x=−2 ⇒ y =2⇔ z =−2+2i

Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z = x+yi.
2

M ∈( d )⇒ x − y+ 4=0 ⇔ x− y =−4 ⇒ 16=( x− y ) ≤2 ( x 2 + y 2 )

⇒ x 2 + y 2 ≥8 ⇒|z|=√ x 2 + y 2 ≥2 √2 ⇒|z|min =2 √ 2⇔ x=− y=−2⇔ z=−2+2 i .
Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên
4 2
z= + i
5 5 .
Đáp số: 2.

3.

z=

3 1
− i
10 10

3 6
z= + i
5 5
4.

2.3.3. Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp
(3 cách giải)
Ví dụ 5: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện:
1.

.

2.

|z−4i|+|z+4i|=10

Lời giải
12

skkn

3.

|z+2|+|z−2|=6


Trong mặt phẳng Oxy .Giả sử các điểm M,

lần lượt biểu số phức z, -

1, 1. Suy ra:
biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ;

biểu diễn số phức z-1.Với

trên trục thực Ox
-Khi đó điều kiện:

và

Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng
Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:
Tìm z sao cho |z|min , |z|max
x2
|z|=OM =√ x + y = 3+
4
Cách giải 1: Ta có
2

√

2

2

x
⇒0≤ ≤1⇒ √ 3≤|z|≤2
4

Do

|z|min =√ 3⇔ z=±√3 i
Vậy : |z|max =2 ⇔ z=±2
2

Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z

⇒

2

x y
+ =1
4 3

x2 y 2
x2 y2
OM =x + y =4
+
≤4

+
=4 ⇒OM ≤2
4 4
4 3
Khi đó:

) ( )
x y
x y
OM =x + y =3 ( + )≥3 ( + )=3⇒ OM≥ √ 3
3 3
4 3
2

2

Từ đó ta được

2

2

2

2

(

2

2

2

2

√ 3≤|z|≤2

|z|min =√3 ⇔ z=±√3 i
Vậy: |z|max =2⇔ z=±2
Cách giải 3:
Đặt x=2.sin t , y=√ 3cost
2

2

2

, t ∈[ 0;2π)
2

2

2

Ta có: OM =x + y =4 sin t+3 cos t=3+sin t
13

skkn

nằm


2

2

Do 0≤sin t≤1, ∀ t ⇒3≤OM ≤4⇒ √ 3≤|z|≤2 .

|z|min =√ 3⇔ z=±√3 i
|z|max =2 ⇔ z=±2

Vậy:

Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên

2.|z|min=3 ⇔ z=±3 , |z|max =4 ⇔ z=±4 i
Đáp số: 3 .|z|min =√ 5⇔ z=±√ 5i, |z|max =3 ⇔ z=±3 i
2.4. Kiểm chứng - so sánh.
Năm học 2018 - 2019 tơi được phân dạy mơn tốn lớp 12C6, 12C7 trường
THPT Hàm Rồng (là lớp chọn theo khối A1 của nhà trường). Kết quả kiểm tra 2
nhóm học sinh (có học lực từ TB khá trở lên) cuối năm lớp 12 về chủ đề: Tìm
số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất tơi thu được kết quả như sau:

Nhóm

Sĩ
số

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

SL

TL%

SL

TL%

SL

TL%

SL

TL%

Nhóm1

40

15

37,5%

20

50,0%

4

10,0%

1

3,0%

Nhóm 2

48

10

20,8%

16

33,3%

18

37,5%

4

8,4%

Nhóm 1 (Được dạy phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ
nhất): là các học sinh của lớp 12C6.
Nhóm 2 (khơng được dạy phương pháp tìm số phức có môđun lớn
nhất, nhỏ nhất): là học sinh của lớp 12C7.

14

skkn


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết quả thực hiện.
Qua các năm giảng dạy chương trình tốn học 12 ơn luyện thi THPT Quốc
gia, tôi thấy khả năng tiếp thu và vận dụng các phương pháp trên để giải các bài tập
tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất đã mang lại những kết quả đáng mừng.
+ Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện
ở số lượng cũng như chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại học tăng.
+ Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về tìm số phức có
mơđun lớn nhất, nhỏ nhất khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu
trong sáng kiến kinh nghiệm.
+ Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách
giải nêu trong sáng kiến kinh nghiệm.
3.2 . Kiến nghị
Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được một số phương pháp
giảng dạy cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh. Chính điều đó sẽ
thuận lợi cho giáo viên khi dạy tiết giải bài tập trong q trình ơn luyện thi
THPT Quốc gia .

Đề tài của tôi trên đây có thể cịn mang màu sắc chủ quan, chưa hồn thiện,
do nhiều hạn chế. Vì vậy tơi rất mong được sự đóng góp ý kiến q báu của các
Thầy Cơ, các bạn đồng nghiệp để ngày càng hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cám ơn!
Thanh Hoá, ngày 27 tháng 5 năm 2020
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác
Xác nhận của Hiệu trưởng

Người viết đề tài

Trịnh Đình Chiến

15

skkn


TÀI LỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số phức và hình học phẳng - Nguyễn Hữu Điển .
2. Phương pháp giải toán số phức và ứng dụng - Nguyễn Văn Dũng
3. Phân dạng và phương pháp giải toán Số Phức - Lê Hồnh Phị
4. Một số số báo “Tốn học và tuổi trẻ”.

16

skkn


DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên
TT

1

2

3

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, C)

Phát hiện và sửa chữa sai

Sở Giáo dục và

C

2013-2014

lầm của học sinh khi giải bài

Đào tạo

toán tở hợp

Thanh Hóa

Mợt sớ phương pháp giải toán

Sở Giáo dục và

B

2015-2016

hình học không gian ở trường

Đào tạo

THPT

Thanh Hóa

Ứng dụng phương pháp lượng

Sở Giáo dục và

C

2018-2019

giác hóa để giải một số bài

Đào tạo

toán đại số trong trường

Thanh Hóa

THPT

17

skkn

Năm học
đánh giá
xếp loại